Sen Met grafico

1

Método GráficoSensibilidad

Mg. Ing. José Villanueva Herrera

2

Temario

Identificación de restricciones activas, inactivas y redundantes.

Concepto de Holgura y excedente.

Ejemplos de aplicación

Uso de reportes del LINDO / WINQSB

Ejercicios por resolver

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Definicion de variables:X1= # unidades tipo Inca Kola Diet (en litros)X2= # unidades tipo Inca Kola (en litros)F.O.: Max 8X1 + 5X2 (ganancia semanal)

Restricciones:

2X1 + 1X2 <= 1200 (Cantidad de saborisantes)3X1 + 4X2 <= 2400 (Tiempo de producción) X1 + X2 <= 800 (Limite producción total) X1 - X2 <= 450 (Producción en exceso) No Negatividad Xj >= 0 , j= 1, 2. (Resultados positivos)

Graficando un Modelo de Programación Lineal

4

1200

600

Factible

Restricción de los saborisantes: 2X1+X2<=1200

X2

No Factible

Horas deProducción3X1+4X2<=2400

Restricción del total de producción: X1+X2<=800

600

800

Restricción del exceso de producción:X1-X2<=450

• Tipos de puntos de factibilidad

Punto InferiorPunto Medio Punto Extremo

X1

5

Recalcular la región factible

600

800

1200

400 600 800

X2

X1

comenzar con una ganancia dada de = $2,000...

Utilid. = $ 000 2,

Entonces aumente la ganancia...

3,4,

...y continúe hasta que salga de la región factible

Ganancia =$5040

Resolución gráfica para encontrar la solución óptima

6

600

800

1200

400 600 800

X2

X1

Se toma un valor cercano al punto óptimo

Feasibleregión

RegiónFactible

Región no factible

7

✔Resumen de la solución óptima (Solución optima)

Vertice optimo= (480 , 240 ) Valor optimo = 5040 , del enunciado se tiene:

Inca Kola Diet = 480 litrosInca Kola = 240 litrosGanancia = $5040

* Esta solución utiliza todas las materias primas (saborisantes) y

todas las horas de producción. * La producción total son 720 litros (no 800).

* La producción de Inca Kola Diet excede a la de Inca Kola por solo 240 litros y no por 450.

8

✔ Soluciones óptimas y puntos extremos.

* Si un problema de programación lineal tiene una solución óptima, entonces esta corresponde a un punto extremo.

✔ Múltiples soluciones óptimas.

* Cuando existen múltiples soluciones óptimas implica que la función objetivo es una recta paralela a uno de los lados

de la región factible.* Cualquier promedio ponderado de la solución óptima es también una solución óptima.

9

✔ Solución mediante el método

Partamos de la base que el problema a resolver es el siguiente:Max 8X1 + 5X2 (ganancia semanal)Sujeto a:2X1 + 1X2 <= 1200 (Cantidad de saborisantes)3X1 + 4X2 <= 2400 (Tiempo de producciónX1 + X2 <= 800 (Limite producción totalX1 - X2 <= 450 (Producción en excesoXj >= 0 , j= 1, 2. (Resultados positivos)

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Análisis de sensibilidad para la solución óptima.

✔ ¿Es sensible la solución óptima a cambios en los parámetros de entrada?

✔ Posibles razones para responder la pregunta anterior:

* Los valores de los parámetros usados fueron los mejores estimados.

* Medio ambiente por ser dinámico puede producir cambios.* El análisis del “qué pasa si” puede proveer información

económica y operacional.

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Análisis de sensibilidad de los coeficientes de la función objetivo

Rango de optimalidad

La solución óptima permanecerá inalterable mientras:• Un coeficiente de la función objetivo se encuentre dentro del

rango de optimalidad.• No hay cambios en ningún otro parámetro.

El valor de la función objetivo cambiará si el coeficientemultiplica una variable cuyo valor es distinto de cero.

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✔ Los efectos del cambios en un coeficiente de la función objetivo, sobre la solución óptima

600

800

1200 X2

X1

Max 8x1 + 5x2

Max 4x1 + 5x2Max 3.75x1 + 5x2 Max 2x1 + 5x2

400 600 800

13

✔ Los efectos del cambio de un coeficiente de la función objetivo, sobre la solución óptima

600

800

1200

400 600 800

X2

X1Max8x1 + 5x2

Max 3.75x1 + 5x2

Max8x1 + 5x2

Max 3.75 x1 + 5x2M

ax 10 x1 + 5x23.75

10

Rango de optimalidad

14

✔ Cambios Múltiples

El rango de optimalidad es válido cuando un único coeficiente de la función objetivo cambia.

Cuando cambia más de una variable se utiliza la regla del 100%.

15

✔ Regla del 100% Para cada aumento (disminución) en un coeficiente

de la función objetivo calcular (y expresar como un porcentaje) la relación de cambio del coeficiente al máximo aumento posible (disminución) determinada por los límites del rango de optimalidad.

Sumar todos los cambios de porcentaje. Si el total es menor que 100%, la solución óptima no cambiará. Si este total es mayor que 100%, la solución óptima puede cambiar.

Revisar el link: http://tujovial.com/admoperaciones/separatas/parte2/s_sep-jvh-ana_sensi.pdf

http://tujovial.com/admoperaciones/separatas/parte2/s_sep-jvh-ana_sensi.pdf











16

✔ Reducción de costosLa reducción de costos de una variable a su cota inferior (comúnmente cero) implica que:

Los coeficientes de la función objetivo deben cambiar antes que la variable pueda tomar un valor sobre la cota inferior.

Con lo anterior la cantidad de ganancia óptima cambiará según las variables aumentadas desde la cota inferior.

✔ Holgura complementaria

Existe holgura en la solución óptima, cuando cada variable está en su cota inferior o el costo reducido es 0.

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Análisis de Sensibilidad del coeficiente del lado derecho

Cualquier cambio en el lado derecho (RH) de una restricción activa cambiará la solución óptima.

Cualquier cambio en el lado derecho de una restricción no activa que sea menor que la holgura o o el exceso, no produce ningún cambio en la solución óptima.

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✔ Para el análisis de sensibilidad de la validez de los coeficiente del lado derecho nos interesa responder las siguientes preguntas :

¿ Manteniendo todos los otros coeficientes , en cuánto cambiaría el valor óptimo de la función objetivo (por ejemplo, la ganancia) si el coeficiente del lado derecho de una restricción cambia en una unidad?

¿ Hasta cuántas unidades se puede agregar o disminuir para que la solución siga siendo válida?

19

1200

600

X2

Restricción materiales (saborisantes)

FeasibleX1

600

800

Restricción del tiempo de producción

Ganancia máxima= 5040

2x1 + 1x2 <=1200

Nueva restricción materiales ()2x1 + 1x2 <=1350 Combinación de restricciones en la producción

Puntos extremos

X1

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✔ Interpretación correcta del precio sombra

Los costos amortizados: El precio sombra, es el valor por una unidad extra del recurso, ya que el costo del recurso no es incluido en el cálculo de los coeficientes de la función objetivo.

Los costos incluidos: El precio sombra es el valor superior por unidad del recurso, el costo del recurso se incluye en el cálculo del coeficiente de la función objetivo.

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✔ El rango de factibilidad

El conjunto de los coeficientes del lado derecho entregan el rango para que el mismo conjunto de restricciones determine el punto óptimo.

Dentro del rango de factibilidad, los precios sombras permanecen constante; sin embargo, la solución óptima cambiará.

22

Otros cambios para optimizar la función objetivo

✔ La incorporación de una restricción.✔ La eliminación de una restricción.✔ La incorporación de un variable.✔ La eliminación de un variable.✔ Cambio en el lado izquierdo de los coeficientes.

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Modelo sin solución óptima

No factible: Ocurre cuando en el modelo no hay ningún punto de factible.

No acotado: Ocurre cuando el objetivo puede crecer infinitamente (objetivo a maximizar).

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Infactibilidad

Ningún punto se encuentra, simultáneamente, sobre la línea la línea y

1

2

3 1

2 3

25

Solución No Acotada

La región factible

Maximizar

La función objetivo

∞

26

Aplicación: caso Dieta Marina

Un problema de minimización del costo de la dieta: Mezcle dos porciones de lo productos: Leche, Glucosa. Minimice el costo total de la mezcla. Mantenga los requerimientos mínimos de Vitamina A, Vitamina D, y hierro.

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Variables de decisión: X1 (X2) - - El cantidad de Leche (Glucosa) se usó en cada porción (cada 2 onzas).

El modelo

minimizar 0.60X1 + 0.50X2sujeto a

20X1 + 50X2 100 Vitamina A 25X1 + 25X2 100 Vitamina D 50X1 + 10X2 100 hierro

X1, X2 0

≥Costo por 2 oz.

≥≥≥

% Vitamina A por 2 oz.

% requerido

28

La solución gráfica

5

4

2

2 5

Restricción de vitamina D

Restricción de vitamina A

Restricción de hierro

Región factibleRegión factible

44

29

✔Resumen de la solución óptima

Producto Leche = repartir 1.5 (= 3 onzas) Producto Glucosa = repartir 2.5 (= 5 onzas) Costo =$ 2.15 por porción servida. El requisito mínimo para la Vitamina D y el hierro no se encuentren en

superávit. La mezcla provee 155% del requerimiento para Vitamina A.

30

Solución para problemas lineales con muchas variables de decisión usando la computadora

Los paquetes de programas lineales resuelven grandes modelos lineales.

La mayoría de los software usan la técnica algebraica llamada algoritmo Simplex.

Los paquetes incluyen: El criterio de la función objetivo (Max o Min). El tipo de cada restricción: . Los coeficientes reales para el problema.

≤ = ≥, ,

31

Max X1 + 1.5X2S.A.:

2X1 + 2X2 <= 160 ….(1) X1 + 2X2 <= 120 ….(2)4X1 + 2X2 <= 280 ….(3)

X1,X2>=0

30

60

90

120

150

180

30 60 90 120 150

80

80 X1

X2

70

140

3

2

1

A(0,0)B(70,0)

C(60,20)

D(40,40)

E(0,60)

Solución primal óptima

Las ecuaciones (1)y (2) son activaspor que su intercepciónforman el puntoóptimo de la solución.

ANALISIS DE SENSIBILIDAD ( con dos variables)

32

Análisis de Sensibilidad El Precio Dual, es el valor asociado a una restricción, es la cantidad

en la cual, el valor de la función objetivo mejorará mientras el lado derecho o el término constante de la restricción se incremente en una cantidad.

Precio Dual (+) y L.D.( ) entonces F.O. Mejora Precio Dual (-) y L.D.( ) entonces F.O. Empeora Precio Dual (0) y L.D. ( ) entonces F.O. No cambia

33

Max X1 + 1.5X2S.A.:

2X1 + 2X2 <= 160 ….(1) X1 + 2X2 <= 120 ….(2)4X1 + 2X2 <= 280 ….(3)

X1,X2>=0

30

60

90

120

150

180

30 60 90 120 150

80

80 X1

X2

70

140

3

2

1

A(0,0)B(70,0)

C(60,20)

D(40,40)

E(0,60)

SoluciónDual

Sensibilidad parala restricción del ladoderecho de larestricción (1).

Ladoderechoactual

Mientras el lado derecho de la restricción (1) este oscilando entre (160-40 y 160+13.333), la solución dual no varia

F(53.33, 33.33)

34

Max X1 + 1.5X2S.A.:

2X1 + 2X2 <= 160 ….(1) X1 + 2X2 <= 120 ….(2)4X1 + 2X2 <= 280 ….(3)

X1,X2>=0

30

60

90

120

150

180

30 60 90 120 150

80

80 X1

X2

70

140

3

2

1

A(0,0)B(70,0)

C(60,20)

D(40,40)

E(0,60)

SoluciónDual


Ladoderechoactual

Mientras el lado derecho de la restricción (2) este oscilando entre (120-20 , 120+40), la solución dual no varia

35

Max X1 + 1.5X2S.A.:

2X1 + 2X2 <= 160 ….(1) X1 + 2X2 <= 120 ….(2)4X1 + 2X2 <= 280 ….(3)

X1,X2>=0

30

60

90

120

150

180

30 60 90 120 150

80

80 X1

X2

70

140

3

2

1

A(0,0)B(70,0)

C(60,20)

D(40,40)

E(0,60)


Mientras el lado derecho de la restricción (3) este oscilando entre (280-40, Infinito), la solución dual no varia

Infinito

Ecuación (3)inactiva

SoluciónDual

Ladoderechoactual

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Cierta empresa industrial tiene el siguiente modelo de maximización de unidades para sus productos A, B y C. Las restricciones están dadas por la disponibilidad de los materiales que intervienen en la fabricación (MAT_1, MAT_2, MAT_3 y MAT_4), la disponibilidad de mano de obra (MAN_O) y la demanda de cada producto (DEM_A, DEM_B, DEM_C)

Máx 9A + 10B + 8CSujeto a:MAT_1) 2A + 3B + 6C <= 5200MAT_2) 3A + 2B + 3C <= 6800MAT_3) 5A + 1B + 5C <= 9400MAT_4) 4A + 4B + 2C <= 9600DEM_A) A >= 400DEM_B) B >= 300DEM_C) C >= 200MAN_O) 0.02A + 0.03B + 0.01C <= 2000

ANALISIS DE SENSIBILIDAD ( mas de dos variables)

37


Responda:Se ha realizado una mejora en elproceso que ha tenido como resultadoque la nueva utilidad para el producto Csea 10.5 ¿Cómo afecta este cambioa la solución?, ¿Cuál sería el nuevovalor de la función objetivo?

Solución óptima

38


Responda:Las condiciones cambiantes del mercadohan ocasionado que las demandas de losproductos A y B disminuyan en 50 y 40respectivamente, y la demanda del productoC se incremente en 20. Aplique la regladel 100% para determinar como afectanesos cambios a la solución óptima original.¿Cuál sería el nuevo valor de la función objetivo?.

....2....

2........

1....

1.... ++permitidaVariación

solicitadaVariación

permitidaVariación


Regla del 100%

Si se requiere analizarmas de una variacióna la vez

Esta suma debe ser menor que uno.Si esta suma es mayor que 1 no seráposible determinar el nuevo valorde la F.O.

39


....2....

2........

1....



permitidaVariación


Regla del 100%

Si se requiere analizarmas de una variacióna la vez

La variación de la demanda es:Producto A: - 50Producto B: - 40Producto C: +20

La variación negativa máxima permisiblepara A es infinito = 400 - M.La variación negativa máxima permisiblepara B es 53.84 = 300 – 246.1538La variación positiva máxima para Ces 383.33 = 583.3334 - 200.

40


....2....

2........

1....



permitidaVariación


Regla del 100%

Luego(50/infinito) + (40/53.84) + (20/383.33)= 0 + 0.742 + 0.052 = 0.794 < 1.0

La variación negativa máxima permisiblepara A es infinito = 400 - M.La variación negativa máxima permisiblepara B es 53.84 = 300 – 246.1538La variación positiva máxima para Ces 383.33 = 583.3334 - 200.

Entonces podemos decir que el nuevo valorde la función objetivo es:

Variación de la F.O. = - 50(0.0) - 40(- 3.5) + 20(-19.0) = - 240Nuevo valor de la F.O. = 18550 – 240 = 18310

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Responda:Un nuevo proveedor a ofrecido suministrarun lote de 7500 kg del material 1 (MAT_1)a los mismos precios que su proveedoractual ¿Aceptaría Ud. Esta propuesta?, ¿Hasta cuanto del material 1 estaría dispuesto a adquirir?, ¿Cuál sería la utilidadmáxima bajo su propuesta?.

ANALISIS PARAMETRICO

El análisis paramétricocorresponde al estudio dela variación del precio dualy de la F.O. cuando sevaría el lado derechode una restricción.

Precio dual

42


El valor del lado derecho es 5,200,su precio dual es de 4.5 y el valor de laF.O. es de 18,550.

43


El valor del lado derecho puede aumentarhasta 5,340 y el precio dual permaneceen 4.5, el valor de la F.O. será 19,180.

44


El valor del lado derecho puede aumentarhasta 6,575 y el precio dual para estavariación <5,340 – 6,575] será de 3.15385,el valor de la F.O. será 23,075.

45


El valor del lado derecho puede aumentarhasta 7,500 y el precio dual para estavariación <6,575 - 7,500] será de 1.0,el valor de la F.O. será 24,000.

(7,500 - 6,575) = 925

Incremento(Variación)

23,075 + 925(1)

= 24,000

46


Regresando a la pregunta c)¿Aceptaría Ud. Esta propuesta?,Observe que el precio dual disminuye a medida que aumenta la variación de la materia prima MAT_1, así para una disponibilidad de 5,200 se tiene un precio dual 4.5, para una disponibilidad de 7,500 se tiene un precio dual 1.0. Luego no conviene comprar al nuevo proveedor pues la utilidad no crece en la misma proporción.

Precio dual

47


Regresando a la pregunta c)

¿Hasta cuanto del material 1 estaría dispuesto a adquirir? Por el reporte se puede adquirir hasta 5,340 (al mismo precio dual).

¿Cuál sería la utilidadmáxima bajo su propuesta?. Sería 19,180

Precio dual

48

Todo se sabe !!!!!!!!

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