Il lago, genius loci del territorio bresciano: occasione di educazione ambientale e di introduzione al pensiero scientifico - Anno 2014-2015

Seminario N° 2

Quanto tempo è necessario per svuotare un

lavandino ?

Classe IV del Liceo Calini

Liceo Leonardo da Vinci

Professori : Aldo Auditore

Marco Pietro Longhi

OGGETTO DEL SEMINARIO N. 2

• Immaginiamo, per semplicità, che un lago sia occupato da acqua uniformemente inquinata e che

non vi siano meccanismi di autodepurazione in atto. Allora l’unico modo per “pulire” il lago è quello

di ricambiarne l’acqua

• Il problema è: quanto tempo è necessario ? Infatti la Water Framework Directive dà tempo fino al

2015 (o al massimo 2027).

• Assimiliamo il lago ad un serbatoio che vogliamo svuotare, in assenza di afflussi: questa

semplificazione drastica ci consente di inquadrare il problema alla luce di alcuni principi fisici

fondamentali

• Condurremo un esperimento di svuotamento misurando il livello dell’acqua in funzione del tempo

• Il processo di svuotamento di questo serbatoio può essere bene interpretato alla luce

dalla legge di conservazione della massa + teorema di Bernoulli

• Utilizzeremo poi queste principi per derivare un modello matematico del processo e mostrarne il

potere predittivo

• Strumenti di calcolo: utilizzeremo un foglio elettronico per elaborare e mostrare i dati misurati

SEMINARIO N. 2: cosa impareremo ?

• Utilizzeremo un foglio elettronico per elaborare e mostrare I dati misurati

• Determineremo sperimentalmente una funzione che lega il livello nel lago al tempo

• Deriveremo l’equazione che esprime la conservazione della massa in un serbatoio

• Verificheremo il potere predittivo di un modello teorico

• Poi, se avanzerà tempo, controlleremo sperimentalmente, in due modi diversi, la validità dei risultati

forniti dal Teorema di Bernoulli

SEMINARIO N. 2: il foglio elettronico come strumento di elaborazione dei dati e di visualizzazione

Utilizzeremo un foglio elettronico (Excel, oppure

la versione “Open Office” fornita da ORACLE

(scaricabile da http://www.openoffice.org/it/). I

comandi sono molto simili e le funzionalità

identiche

In un foglio elettronico I dati sono individuati

dalle loro coordinate, come nel piano cartesiano

E’ possibile elaborare I dati in molti modi. Ad

esempio, è possibile rappresentare le funzioni

in un grafico.

In questo la caso la nostra funzione è la serie

dei dati che misureremo

SEMINARIO N. 2: Alcune nozioni indispensabili

Poniamo un cilindro graduato sotto al getto per un secondo.

Misureremo un volume defluito nel cilindro che sarà pari all’area

del getto per la sua velocità

Formula di Torricelli (ipotesi fondamentale: dissipazioni energetiche nulle)

gYU 2

U [m/s]: velocità del getto

Y [m]: livello del serbatoio

g [m/s2]: accelerazione di gravità

aUt

Vq

Per esempio: t = 8 s; V=0.4 l = 0.0004 mc; q = 0.0004/ 8= 0.00005 m3/s

Ripetiamo la misura per un tempo t. Il volume uscente è

Definiamo portata media in uscita dal serbatoio in t, q [m3/s]

taUV

aU

SEMINARIO N. 2: il primo ingrediente del modello matematico - la conservazione della massa

Concentriamoci sulla massa presente nel serbatoio al tempo t.

Possiamo anche esprimerla come

)t(YA)t(M

[kg/m3]: densità o massa per unità di volume

A [m2]: superficie trasversale del serbatoio cilindrico

Y(t) [m]: livello del lago al tempo t

La massa nel serbatoio diminuisce nel tempo, ma solo perchè

fluisce nella bacinella sottostante. La massa infatti si conserva

E’ evidente che

V)t(M)tt(M

V)tt(M)t(M

SEMINARIO N. 2: il primo ingrediente del modello matematico - la conservazione della massa

VA)t(YA)tt(Y

V)t(V)tt(V

V)t(V)tt(V

A

V)t(Y)tt(Y

Questa è l’equazione di conservazione della massa

e ci dice come varia la massa presente nel serbatoio

in funzione del tempo t.

“La massa al tempo t+t è uguale a quella presente

al tempo t meno quella che si è accumulata

nella bacinella”

Riscriviamo ora questa equazione in termini di

livello dell’acqua, una quantità che possiamo

facilmente leggere durante la prova

La densità si può semplificare e il volume scrivere

come prodotto dell’area retta A del serbatoio

per il livello Y

Legge di conservazione della massa per un

serbatoio scritta in termini di livello Y.

V)t(M)tt(M

SEMINARIO N. 2: il secondo ingrediente del modello matematico - il T.ma di Bernoulli

Modello di variazione del livello nel lago

in funzione del tempo.

t)t(gYataUV

)t(gYaaU)t(q

2

2

)t(YA

tga)t(Y)tt(Y

A

t)t(gYa)t(Y)tt(Y

2

2

A

tgaC)t(YC)t(Y)tt(Y

2

q è la portata uscente dalla luce di fondo. E’ cioè il volume di

acqua che esce in un secondo. Possiamo ottenerlo come

prodotto della velocità di uscita, fornito dalla f.la di Torricelli,

per l’area della luce.

Sostituendo nella equazione precedente, otteniamo:

Sostituendo nella equazione precedente

riusciamo ad ottenere una equazione in

cui è presente la sola incognita Y, in

funzione del tempo

Implementeremo questa eq.ne nel foglio elettronico per verificare se è in grado di interpretare

i dati che misureremo, ovvero per verificare se il modello ha un potere predittivo

SEMINARIO N. 2: L’esperimento e l’utilizzo del foglio elettronico

• Partiamo con la vasca, di area planimetrica A, riempita fino

alla quota h e con la luce di fondo d’area a

• Iniziamo l’esperimento aprendo la luce e facendo partire il timer

• Prepariamo sul foglio elettronico un vettore che partendo da h

decresca fino a 4 cm con passo di 1 cm

• Seguendo il progressivo abbassamento del livello, leggiamo sullo

schermo il valore del tempo in corrispondenza del quale l’acqua

nel serbatoio raggiunge i livelli predisposti sul foglio elettronico.

• Al termine, otteniamo una serie Y(t), t

• Ripetiamo l’esperimento e mediamo le due serie ottenute,

per tenere conto dei probabili errori di lettura

• Rappresentiamo in un grafico la funzione sperimentale Y(t), t

dove t è la variabile indipendente e Y quella dipendente

SEMINARIO N. 2: Inserimento dei dati nel foglio elettronico

• Proviamo ora a implementare nel foglio elettronico la relazione regressiva che abbiamo ottenuto

teoricamente

• fissiamo nelle celle del foglio elettronico il valore a, A, g

• Calcoliamo la colonna con I valori di t e la colonna con I valori del coefficiente C

• Implementiamo ora l’equazione (1). Partiamo dal livello iniziale Y(t=0)=h e calcoliamo il secondo

valore di Y; prendiamo poi il secondo e calcoliamo il terzo e così via…

• Confrontiamo la serie misurata con quella teorica, facendo un grafico delle due in funzione

del tempo

• Facciamo un grafico che rappresenti una serie in funzione dell’altra

• Funziona ?

• Conclusione: il modello teorico predice il comportamento sperimentale osservato ? Se si,

estrapoliamo il tempo di completo svuotamento del serbatoio, Ts, che non abbiamo potuto

misurare sperimentalmente

A

tgaC)t(YC)t(Y)tt(Y

2(1)

SEMINARIO N. 2: Inserimento dei dati nel foglio elettronico

Analizzando il filmato dello svuotamento riempire la colonna B (Tempo) inserendo il tempo in secondi in

corrsipondenza del quale si raggiunge il livello indicato nella colonna A. Ripetere quindi la stessa

operazione una seconda volta riempiendo la colonna C; utilizzeremo quindi la media dei tempi misurati

(colonna D)

SEMINARIO N. 2: Inserimento dei dati nel foglio elettronico

Implementiamo ora le relazioni indicate nella riga 10. Per esempio l’intervallo temporale t nella casella

E12 si calcolerà come differenza fra la cella D12 e la cella D11.

Per trasferire questa formula a tutte le celle sottostanti fare un doppio clic sull’angolo in basso a destra

della cella quando compare un “più”, oppure semplicemente trascinando la cella

N.B.

Tipicamente la lettera

greca è usata per

indicare una variazione:

t=(t2-t1)

SEMINARIO N. 2: Inserimento dei dati nel foglio elettronico

NB. Se la formula contiene un parametro costante (in questo caso il riferimento ai valori contenuti nelle

celle azzurre), questo andrà “bloccato” scrivendo la lettera corrispondente alla cella fra due dollari $ (es. per

l’area del serbatoio: $B$2)

SEMINARIO N. 2: Inserimento dei dati nel foglio elettronico

Confrontiamo ora le misure sperimentali con i risultati del modello matematico rappresentando in un grafico

le curve (tempo, livello) misurate (colonna D11:D35, colonna A11:A35) e quelle calcolate (colonna D11:D35,

colonna G11:G35) in funzione del tempo

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0 50 100 150 200 250 300 350 400

Liv

ello

(m

)

Tempo (s)

Confronto fra misure e modello

Misura Modello Modello: TS

SEMINARIO N. 2: Inserimento dei dati nel foglio elettronico

Lo stesso confronto si può fare rappresentando ogni dato misurato in funzione del corrispondente dato

teorico. Se il modello predice perfettamente il processo i punti così rappresentati si devono allineare lungo

la bisettrice del primo quadrante.

y = 1.0331x - 0.0077

R² = 0.9999

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30

Liv

ello

teo

rico

(m

)

Livello misurato (m)

Confronto fra misure e modello

SEMINARIO N. 2: la conservazione della massa e la storia della scienza

La prima formulazione esplicita della legge di

conservazione della legge di conservazione

della massa è dovuta a Benedetto Castelli,

un bresciano, allievo di Galileo e a sua volta

maestro di Torricelli

Una lapide non lontano da qua ne ricorda la figura

dov’è ?

SEMINARIO N. 2: Il Teorema di Bernoulli e la storia della scienza

Daniel Bernoulli, matematico svizzero nato nel 1700

In questo libro fornisce per la prima volta

una interpretazione energetica corretta

del processo di efflusso, derivando la relazione

già ottenuta da Torricelli per via empirica

Bernoulli fu un genio di prima grandezza.

Per ironia della sorte, prima di iniziare la sua

brillante carriera accademica suo padre

(che pure insegnava matematica) cercò di convincerlo

che avrebbe dovuto fare il mercante

“poiché la matematica non poteva fornire

alcun sostanziale beneficio economico e

reddito affidabile”.

Conclusione: fare seriamente le cose in cui si crede

SEMINARIO N. 2: una verifica finale sul valore della velocità Torricelliana

Oltre ad essere calcolabile teoricamente, la velocità U in uscita può essere misurata in due modi

diversi, così da poter essere confrontata con i valori che si ottengono dalla equazione di Bernoulli

1) per valori del livello assegnati e costanti nel tempo si procede a misurare la velocità in uscita

mediante un micromulinello idrometrico.

2) Effettuando una misura volumetrica della portata uscente (q=V/t) per valori del livello costanti nel

tempo. A tale scopo si misura con un cilindro graduato il volume V uscito nell’intervallo temporale t.

Essendo q = a U, dove a è l’area della luce, possiamo subito calcolare la velocità

U = q/a = V/(at)