Semantica di Tarski

• Dato un linguaggio e specificate le regole di formazione dei suoi enunciati (cioè la sintassi), per porsi il problema della loro verità, occorre specificare la semantica, cioè assegnare ad essi un significato. Per questo, si deve

• Fissare una STRUTTURA, cioè

1) Un insieme non vuoto di enti (detto dominio) di cui gli enunciati si stipula che parlino;

2) Una (funzione d’)interpretazione che assegna ai simboli specifici del linguaggio, cioè ai simboli di predicato e di funzione, un significato.

• Quale sarà questo significato?

Cominciamo dai simboli di predicato.

1) Predicato con arietà 1.

Quale sarà, per es. , il significato di “essere pari”, supponendo che il dominio di riferimento sia quello dei numeri naturali?

Sarà quello specifico sottoinsieme dei numeri naturali costituito dai numeri pari.

• Quale sarà il significato di “essere rosso” in riferimento al dominio costituito dall’insieme di tutte le donne italiane?

Sarà quello specifico sottoinsieme costituito dalle donne coi capelli rossi

• 2) predicato con arietà 2:

• Quale sarà, per es. , il significato di “amare”, supponendo che il dominio di riferimento sia l’insieme di tutti gli esseri umani?

Sarà quello specifico sottoinsieme di coppie ordinate costituito da quelle per cui il primo elemento ama il secondo.

• 3) predicato con arietà 3:

• Quale sarà, per es. , il significato di “dare”, supponendo che il dominio di riferimento sia quello degli enti del nostro mondo quotidiano?

• Sarà quello specifico sottoinsieme di terne ordinate per le quali valga che il primo elemento dà il secondo elemento al terzo.

• Che cosa significa che l’interpretazione I associa

• “ad ogni P P, tale che a(P)=n, un sottoinsieme I(P) di An ?”

Vediamo una ad una le varie componenti di questa frase

• Ad ogni P P

• Vuol dire: “ad ogni simbolo P che appartiene all’insieme dei simboli di predicato”, cioè vuol dire:

“ad ogni simbolo di predicato P”

“tale che (P)=n”

è la funzione che associa ad ogni simbolo di predicato la sua arietà n, quindi

tale che (P)=n

vuol dire

“di arietà n”

• un sottoinsieme I(P) di An

I(P) è il nome che diamo al sottoinsieme.

Che cos’è An?

E’ l’insieme di tutte le possibili “n-uple”, cioè di tutte le possibili liste di n elementi di A.

I(

Esempi:Se n=1, A1 coinciderà con A stesso, perché

sarà l’insieme di tutte le possibili liste contenenti ciascuna un solo elemento di A.

Se n=2, A2 consisterà nell’insieme di tutte le possibili liste contenenti ciascuna due elementi di A, cioè sarà l’insieme di tutte le coppie di elementi di A.

• Se n=3, A3 consisterà nell’insieme di tutte le possibili liste contenenti ciascuna tre elementi di A, cioè sarà l’insieme di tutte le terne di elementi di A.

• Che cosa significa dunque che l’interpretazione I associa

ad ogni P P, tale che a(P)=n, un sottoinsieme I(P) di An ?

Che l’interpretazione associa ad ogni simbolo di predicato che abbia arietà n un opportuno sottoinsieme dell’insieme delle liste di n elementi di A.

cioè

a) ad ogni simbolo di predicato di arietà 1

un sottoinsieme del dominio A;

b) ad ogni simbolo di predicato di arietà 2

un sottoinsieme dell’insieme di coppie di A;

c) ad ogni simbolo di predicato di arietà 3

un sottoinsieme dell’insieme di terne di A.

• Vediamo ora i simboli di funzione

1) funzioni di arietà 0:SONO IN REALTA’ CASI LIMITE DI FUNZIONI,

perchési tratta di simboli di costanti individuali, cioè di

nomi per “individui” (“enti”). Dunque, il loro significato sarà l’individuo (l’ente) designato con quel nome

[nella dispensa, a p. 20, c’è, infatti, scritto che se c è un simbolo di costante, allora I(c), cioè la sua interpretazione, è un elemento del dominio A];

• per comprendere i vari casi delle funzioni vere e proprie, ricordiamo che cos’è una “funzione”: è un’operazione che porta da un insieme (detto dominio) ad un insieme (detto codominio),

cioè un’operazione che prende “in entrata” elementi del dominio e dà “in uscita”, come risultato, elementi del codominio.

2) Se il simbolo di funzione ha arietà 1, - per es. “essere madre di s” - l’operazione corrispondente porterà dall’insieme degli esseri umani all’insieme degli esseri umani, in questo modo: dal dominio noi le forniamo s ed essa andrà nel codominio a individuare una s’, che è, appunto, la madre di s.

• 3) Se il simbolo di funzione ha arietà 2, - per es. “addizionare” - l’operazione corrispondente porterà dall’insieme di coppie di numeri (p. es. dei numeri interi) all’insieme dei numeri (interi), in questo modo: dall’insieme di coppie di numeri prenderà di volta in volta la coppia di numeri da sommare, la sommerà e darà un risultato che si trova nell’insieme (codominio) dei numeri.

• Come abbiamo fatto sopra nel caso dei simboli di predicati, chiediamoci che cosa significa che l’interpretazione I associa

“ad ogni f F, tale che (f)=n, una funzione I(f): An A?”

Vediamo una ad una le varie componenti di questa frase

• Ad ogni f F

• Vuol dire: “ad ogni simbolo f che appartiene all’insieme dei simboli di funzione”, cioè vuol dire:

“ad ogni simbolo di funzione f “

“tale che (f)=n”

è la funzione che associa ad ogni simbolo di funzione la sua arietà n, quindi

tale che (f)=n

vuol dire

“di arietà n”

• Una funzione I(f)

I(P) è il nome che diamo all’interpretazione del simbolo di funzione, cioè alla funzione

vera e propria.

Dunque

ad ogni simbolo di funzione fdi arietà n

l’interpretazione associa

una certa funzione I(f): An A

che ora andiamo a specificare da vicino.

An A

È la specificazione di dominio e codominio della funzione, a seconda della arietà del suo simbolo:

Se l’arietà n è 1

An A è: A1 A, cioè semplicemente

A A.

dunque

la funzione che costituisce il significato di un certo simbolo f

di arietà 1 ha per dominio un insieme di individui e come codominio pure un insieme di individui

Se l’arietà n è 2

An A è

A2 A, cioè

la funzione che costituisce il significato di un certo simbolo f

di arietà 2 ha per dominio un insieme di coppie di individui e come codominio un insieme di individui

dunque

l’interpretazione I associaad ogni f F, tale che (f)=n, una funzione I(f): An

Asignifica chel’interpretazione associa ad ogni simbolo di

funzione che abbia arietà n una funzione (cioè un’operazione) che agisce sugli elementi di An (rispettivamente, agisce su un elemento di A alla volta se il simbolo è di funzione con arietà 1; agisce su coppie di individui di A, se la funzione è con arietà 2) e dà come risultato elementi di A.

Verità in una struttura

• Abbiamo detto all’inizio che, per stabilire la verità degli enunciati espressi usando un linguaggio elementare, occorreva innanzitutto specificarne il significato.

• L’abbiamo fatto utilizzando la nozione di struttura.

• Ora possiamo parlare di verità degli enunciati, che sarà, quindi, sempre riferita ad una struttura che ne specifichi il significato.

Un po’ di ordine

• Definiremo la verità di un enunciato in una struttura (A╞ A , che si legge “A è vero nella struttura A”) sulla base della sua complessità, cioè

• Prima la daremo per enunciati costituiti da simboli di predicati e di termini;

• Poi per enunciati in cui compaiono connettivi,• Infine per enunciati in cui compaiono i

quantificatori

La verità di enunciatiP(t1,…tn)

Se A è P(t1,…tn), cioè se l’enunciato A è costituito da un simbolo di predicato seguito da un numero di simboli di termini adeguato rispetto alla sua arietà, A sarà vero nella struttura se e solo se gli enti che costituiscono il significato dei termini t1,…tn secondo l’interpretazione data nella struttura appartengono all’insieme che costituisce il significato di quel simbolo di predicato,

CIOE’

Facciamo qualche esempio:

1) se, in una data struttura, “P” è l’insieme dei numeri pari e t è il numero 6, P(6) è vero in quella struttura, perché l’ente che costituisce il significato del termine t secondo l’interpretazione data nella struttura (cioè il numero 6) appartiene all’insieme che costituisce il significato di quel simbolo di predicato (cioè appartiene ai numeri pari)

• 2) se, in una data struttura, “L” è l’insieme delle coppie di individui in cui il primo membro ama il secondo e t1 è il signor Marco e t2 è la signora Elisa, L(t1, t2) è vero in quella struttura, se e solo se la coppia degli enti che costituiscono il significato dei termini t1, t2 secondo l’interpretazione data nella struttura (cioè la coppia Marco ed Elisa, data in questo ordine) appartiene all’insieme che costituisce il significato di quel simbolo di predicato (cioè appartiene all’insieme delle coppie in cui il primo elemento ama il secondo).

• 3) se, in una data struttura, “D” è l’insieme delle terne di enti in cui il primo elemento dà il secondo elemento al terzo elemento, t1 è il solito signor Marco, t2 è un diamante e t3 la signora Elisa, D(t1, t2 , t3) è vero in quella struttura, se e solo se la lista degli enti che costituiscono il significato dei termini t1, t2 , t3 secondo l’interpretazione data nella struttura (cioè la terna Marco, diamante ed Elisa, data in questo ordine) appartiene all’insieme che costituisce il significato di quel simbolo di predicato (cioè appartiene all’insieme terne di enti in cui il primo elemento dà il secondo elemento al terzo elemento).

• Come abbiamo fatto sopra in altri casi, chiediamoci che cosa significa che

A╞ P(t1,…tn) se e solo se

(I(t1),…,I(tn))I(P) ?

A╞ P(t1,…tn)

vuol dire

P(t1,…tn) è vero nella struttura A

• (I(t1),…,I(tn))è la lista dell’interpretazione del termine t1,

del termine t2,…, del termine tn

• I(P)

è l’interpretazione del simbolo di predicato P (cioè, a seconda dell’arietà del predicato, sarà un insieme di enti, di coppie di enti, di terne di enti, ecc.)

quindi

A╞ P(t1,…tn) se e solo se (I(t1),…,I(tn))I(P)vuol dire cheP(t1,…tn) è vero nella struttura Ase e solo sela lista dell’interpretazione del termine t1, del

termine t2,…, del termine tn appartiene all’interpretazione del simbolo di predicato P

cioè

Se e solo se

1) Nel caso del predicato di arietà 1:

l’ente che costituisce il significato di t appartiene all’insieme di enti che costituiscono il significato di P nella struttura;

2) Nel caso del predicato di arietà 2:

La coppia di enti che costituiscono il significato di t1, t2 appartiene all’insieme di coppie che costituiscono il significato di P nella struttura;

3) Nel caso del predicato di arietà 3:

La terna di enti che costituisce il significato di t1, t2 , t3 appartiene all’insieme di terne che costituiscono il significato di P nella struttura;

1) Una congiunzione A1 A2 è vera in una struttura se e solo se sono veri entrambi gli enunciati congiunti:

A╞ A1 A2 se e solo se A╞ A1 e A╞ A2

La verità di enunciati

contenenti connettivi:

2) Una disgiunzione A1 A2 è vera in una struttura se e solo se è vero almeno uno degli enunciati disgiunti:

A╞ A1 A2 se e solo se A╞ A1 o A╞ A2

3) Un’implicazione A1 A2 è vera in una struttura se e solo se è falso A1 o è vero A2 :

A╞ A1 A2 se e solo se A non ╞ A1 o A╞ A2

4) una negazione di un enunciato A1 è vera se e solo se l’enunciato A1 non è vero nella struttura:

A╞ ¬A1 se e solo se A non ╞ A1

infine

Definiamo la verità delle formule con quantificatore:

1) Una formula del tipo xA1 sarà vera nella struttura se e solo se ogni enunciato che risulta dalla sostituzione di tutte le occorrenze della variabile x dentro A1 con un elemento del dominio della struttura è vero nella struttura:

A╞ xA1 se e solo se A╞ A1(a/x) per ogni a A

aa

Dove

A1(a/x)

significa

l’enunciato che risulta sostituendo ad x in A1

il nome a dell’ente a

e

a A

significa che

l’ente a appartiene al dominio A della struttura.

2) Una formula del tipo xA1 sarà vera nella struttura se e solo se almeno un enunciato che risulta dalla sostituzione di tutte le occorrenze della variabile x dentro A1 con un elemento del dominio della struttura è vero nella struttura:

A╞ xA1 se e solo se A╞ A1(a/x) per qualche

a A