Dati due numeri naturali a e b, diremo che a è divisibile per b se la divisione a : b è esatta, cioè con resto 0. In questo caso diremo anche che b è un divisore di a.

24 : 3 = 8 con resto 0

26 : 4 = 6 con resto 2Nel primo caso diremo che 24 è divisibile per 3.

Nel secondo caso diremo che 26 non è divisibile per 4.

Per sapere se due numeri sono divisibili o no è necessario eseguire la divisione e controllare se è esatta o con resto zero. Per alcuni casi però esistono dei metodi, detti criteri di divisibilità , che ci permettono di stabilire se un numero è divisibile per un altro senza eseguire la se un numero è divisibile per un altro senza eseguire la divisione.

Un numero è divisibile per 2 se è un numero pari, cioè se l’ultima sua cifra è 0, 2, 4, 6, 8.

4 24 12

10 124 230

36 98 2 348

Un numero è divisibile per 3 se la somma di tutte le sue cifre è un multiplo di 3.

Un numero è divisibile per 4

12 24 129

36 78

45 108 2 139

Un numero è divisibile per 4 se le sue ultime due cifre sono due zeri o un multiplo di 4.

Un numero è divisibile per 5 se l’ultima sua cifra è 0 o 5.

52 108 2 040

508 620

12 144 24

10 25 130

35 70

45 100 4 135

Un numero è divisibile per 11 se la differenza fra la somma delle cifre di posto dispari e quella delle cifre di posto pari è 0, 11 o un multiplo di 11.

66 88 132

275 792

6 479 671 7 513un multiplo di 11. 6 479 671 7 513

Es. 792 (7+2) – 9= 0

Un numero è divisibile per 10, 100, 1000, … se termina rispettivamente con 1, 2, 3, … zeri.

10 20 130 300

4 000 700 1 200

15 000 45 000

Un numero naturale si dice primo se è divisibile solo per 1 e per se stesso.

Un numero naturale si dice composto se ha altri divisori oltre a 1 e se Un numero naturale si dice composto se ha altri divisori oltre a 1 e se stesso.

I numeri 2, 5, 13, 41 si dicono perciò numeri primi .

I numeri 6, 30, 27, 10 si dicono numeri composti.

Spesso può essere necessario sapere da quali fattori è formato un numero composto, ovvero può servire scriverlo come prodotto di uno o più numeri.

Per esempio, il numero 12 lo possiamo pensare ottenuto dai seguenti fattori:

12 = 1 x 12 12 = 3 x 4 12 = 2 x 6

Diciamo di avere operato una fattorizzazione del numero 12; i numeri 1, 12, 3, 4 e 6 sono i fattori da cui è composto il numero 12 che, ovviamente, risulta divisibile per ciascuno di essi.

A volte può essere necessaria una particolare fattorizzazione i cui fattori siano tutti numeri primi; ovvero può essere utile scrivere il numero come prodotto di uno o più numeri che siano tutti numeri primi.

12 = 2 x 2 x 3 ovvero 12 = 2 x 32

Fattori primi

Il procedimento che ci permette di scrivere un numero composto come prodotto di numeri primi è un’operazione che si chiama scomposizione in fattori primi.

Per scomporre in fattori primi un numero, lo si divide per il più piccolo numero primo che sia suo divisore, si divide quindi il quoziente ottenuto per il più piccolo numero primo, che sia suo divisore e così via fino ad avere come quoziente il numero 1.

Il numero dato sarà uguale al prodotto di tutti i numeri primi che abbiamo Il numero dato sarà uguale al prodotto di tutti i numeri primi che abbiamo scritto alla sua destra come divisori.

Scomponiamo in fattori primi il numero 732

732 2

366 2

183 3

61 61

1

732 = 2 x 3 x 612

Consideriamo i numeri 12 e 18; essi hanno dei divisori comuni, e cioè 1, 2, 3 e 6, il più grande dei quali è 6; diremo che 6 è il Massimo Comune Divisore fra 12 e 18 e scriveremo:

M. C. D. (12; 18) = 6 M. C. D. (12; 18) = 6

Si dice Massimo Comune Divisore (M. C. D. ) fra due o più numeri il più grande dei divisori comuni ai numeri dati.

Il M.C.D. è sempre più piccolo dei numeri dati; al più, è uguale al più piccolo di essi.

Impariamo a calcolare il M.C.D. fra due o più numeri secondo il metodo della scomposizione in fattori primi .

Esempi: Calcolare il M.C.D. fra 270, 420 e 594

Scomponiamo i tre numeri in fattori primi:

270 2

135 3

45 3

420 2

210 2

105 3

594 2

297 3

99 3

270 = 2 x 3 x 5

420 = 2 x 3 x 5 x 7

3

2

Per calcolare il M.C.D. fra due o più numeri si scompongono i numeri dati in fattori primi, poi si moltiplicano fra di loro tutti i fattori comuni presi ciascuno una sola volta e con il più piccolo esponente.

Diciamo che:

45 3

15 3

5 5

1

105 3

35 5

7 7

1

99 3

33 3

11 11

1

594 = 2 x 3 x 113

M.C.D. (270; 420; 594)= 2 x 3 = 6

Due o più numeri si dicono primi tra loro se il M.C.D. è l’unità.

Calcoliamo il M.C.D. fra i numeri 9, 12 e 16.

9 = 3 12 = 2 x 3 16 = 4

Come vedi i tre numeri non hanno divisori comuni se non il numero 1, che è divisore di tutti i numeri; diremo allora che M.C.D. (9; 12; 16) = 1 e i tre numeri si dicono primi fra loro .

2 2 4

16) = 1 e i tre numeri si dicono primi fra loro .

Attenzione! Non confondere il concetto di numero primo con quello di numeri primi fra loro. Ricorda che:

• i numeri primi sono necessariamente primi tra loro:

7, 5 e 13 sono numeri primi M.C.D. (7; 5; 13)= 1

• i numeri primi tra loro non sono necessariamente nu meri primi:

9, 12 e 16 non sono numeri primi M.C.D. (9; 12; 16)= 1

Consideriamo due numeri, per esempio 8 e 12, e calcoliamo i loro multipli:

M (8)= 8; 16; 24; 32; 40; 48; 56; 64; 72; 80, 88; 96; …

M (12)= 12; 24; 36; 48; 60, 72; 84; 96; 108 …

Osserviamo che i due numeri hanno dei multipli comuni, 24; 46; 72; 96;… il più piccolo dei quali è 24; diremo che 24 è il 46; 72; 96;… il più piccolo dei quali è 24; diremo che 24 è il minimo comune multiplo fra 8 e 12 e scriveremo:

m.c.m. (8; 12) = 24

Si chiama minimo comune multiplo (m.c.m .) fra due o più numeri il più piccolo tra i multipli comuni ai numeri dati, diverso da zero.

Il m.c.m. è sempre più grande dei numeri dati o, al più, è uguale al più grande di essi.

Impariamo a calcolare il m.c.m. fra due o più numeri secondo il metodo della scomposizione in fattori primi.

Calcoliamo il m.c.m. fra 24, 20 e 28.

24 2 20 2 28 2

12 2 10 2 14 2

Il m.c.m. sarà il prodotto di tutti i fattori primi, comuni e 12 2 10 2 14 2

6 2 5 5 7 7

3 3 1 1 1

1

24= 2 x 3 20= 2 x 53 2

28= 2 x 72

tutti i fattori primi, comuni e non comuni, ciascuno preso con il più grande esponente con cui figura.

m.c.m. (24; 20; 28) = 2 x 3 x 5 x 7 = 8403

Possiamo dedurre la regola generale:

Per calcolare il m.c.m. fra due o più numeri si scompongono i numeri dati in fattori primi, poi si moltiplicano fra di loro tutti i fattori comuni e non comuni presi ciascuno una sola volta e con l’esponente maggiore.