Consolidamento conoscenze

1. Scrivi l’enunciato del teorema di Pitagora. “ In ogni ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………” 2. Siano c, C e i rispettivamente i cateti e l’ipotenusa di un triangolo rettangolo, quale delle

seguenti scritture esprime correttamente il teorema di Pitagora?

i2=c2 +C2 C2=i 2 + c2 i2=C2- c2

3. Completa.

a. La misura dell’ipotenusa di un triangolo rettangolo si calcola estraendo la ………………… ……………………………………………………………………………………………………. b. La misura di un cateto di un triangolo rettangolo si calcola estraendo la ……………………. …………………………………………………………………………………………………….

4. Nella seguente tabella sono date, in centimetri, le misure dei cateti (c,C) oppure quelle di un

cateto e dell'ipotenusa (i) di un triangolo rettangolo. Indica qual è la misura incognita esatta, scegliendola fra le tre opzioni proposte.

c C i misura incognita 12 9 ….. 15 16 17 ….. 8 10 5 6 7 16 ….. 34 29 32 30 21 20 …… 28 29 27

5. Rispondi.

a. Che cos’è una terna pitagorica?............................................................................................ b. Quando una terna pitagorica è detta primitiva?..................................................................... c. Come possono essere ottenute le terne pitagoriche derivate?.................................................

6. Vero falso?

a. Se tre numeri rispettano la relazione pitagorica possono esprimere le misure dei lati di un triangolo rettangolo ……………………… b. Dati tre numeri a, b e c se risulta che c2=a2 + b2 allora i tre numeri formano una terna pitagorica………………. c. Una terna pitagorica primitiva è formata solo da tre numeri naturali…………… d. La terna 5, 10, 13 è una terna pitagorica…………………..

7. Osserva la figura e rispondi. a. Nel triangolo ABC cosa rappresenta il segmento CH?............................... b. Come si chiamano i segmenti AH e HB ?................................................... c. Nel triangolo ACH quali sono i cateti, qual è l’ipotenusa? ……………… d. Nel triangolo CHB quali sono i cateti, qual è l’ipotenusa? ………………

Scegli il completamento esatto.

C

ic

A B

C

H

A B

D C

8. Dato il rettangolo ABCD si ha:

a. AC = � 22 CBAB + � 22 CBAB − � CBAB+

b. AB = � 22 CBAC + � 22 CBAC − � CBAC+ 9. Dato il quadrato ABCD si ha:

a. d = � l2 � 2l � l2

b. l = �2

d �

2

d �

2

d

10. Dato il triangolo equilatero ABC l’altezza si calcola :

a. h = � 32

l � 3l � 32l

b. l = �3

h �

32

h �

3

2h

11. Le formule relative al calcolo dell’altezza e del lato di triangolo isoscele sono state scritte in

modo sbagliato, correggile:

12. Dato il rombo ABCD il lato si calcola.

� 22

2

'

2

−

= ddl �

22

2

'

2

+

= ddl � ( ) ( )22 'ddl +=

13. Nel trapezio ABCD sono stati evidenziati i triangoli rettangoli ACK e CKB.

Scrivi le formule che ti permettono, applicando Pitagora, di conoscere: il lato obliquo, l’altezza, la proiezione, la diagonale. CB =……………....... BK =………………... CK =………………... CA =………………...

Formula errata Formula corretta 2

2

2

+= blh

2

bhl +=

A B

D C

l

d

A Bb/2H

C

lh

A Bl/2H

C

lh

A B

D C

l

d/2

d'/2

A B

D C

H K

Abilità 1. Completa la seguente tabella riferita ad alcuni triangoli rettangoli

2. Calcola il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo, sapendo che l’ipotenusa misura 39 cm e

che un cateto è i 5/13 dell’ipotenusa. 3. Stabilisci quali delle seguenti terne di numeri rappresentano terne pitagoriche:

a. 10, 24, 26; b. 13, 7, 11; c. 21, 28, 35, d. 21, 24, 50 4. Scrivi due terne pitagoriche derivate dalla terna: 8, 15, 17

………., ………., ………..; ………., ………, ………… 5. L’ipotenusa di un triangolo rettangolo misura 45 cm e il cateto maggiore è i suoi 4/5. Calcola la

misura del perimetro, dell’area e dell’altezza relativa all’ipotenusa.

6. Completa la seguente tabella, riferita al quadrato ABCD ( 2 = 1,414):

Cateto minore c Cateto maggiore C Ipotenusa i 12 cm 35 cm

24,4 cm 30,5 cm 16 cm 34 cm

Area ( in cm2) Lato ( in cm ) Perimetro ( in cm ) Diagonale ( in cm ) 961

44 11,2 236 ≈ 50,904

A B

D C

l

d

7. Il lato di un quadrato è congruente al cateto maggiore di un triangolo rettangolo avente l’ipotenusa di 52 cm e il cateto minore che supera di 7 cm 1/4 dell’ipotenusa stessa. Calcola il perimetro e la diagonale del quadrato.

8. Completa la seguente tabella riferita ad un triangolo isoscele ABC.

AB (in cm) AC=BC (in cm) CH (in cm) P (in cm) A(in cm2) 10 12 20 64 15 120

9. Calcola l’area di un trapezio isoscele che ha il perimetro di 228 cm e il lato obliquo di 34 cm,

sapendo che la base minore è 2/3 della maggiore. Esercizio 1

Soluzione:

Esercizio 2

Soluzione:

Esercizio 3

Soluzione:

Esercizio 4

Soluzione:

Esercizio 5

Soluzione:

Esercizio 6

Soluzione:

Esercizio 7

Soluzione:

Esercizio 8

Soluzione:

Esercizio 9

Soluzione:

Esercizio 10

Soluzione:

Esercizio 11

Soluzione:

Esercizio 12

Soluzione:

Esercizio 13

Soluzione:

Esercizio 14

Soluzione:

Esercizio 15

Soluzione:

Esercizio 16

Soluzione:

Esercizio 17

Soluzione:

Esercizio 18

Soluzione:

Esercizio 19

Soluzione:

Esercizio 20

Soluzione:

Esercizio 21

Soluzione:

Esercizio 22

Soluzione:

Esercizio 23

Soluzione:

Esercizio 24

Esercizio 25

Soluzione:

Esercizio 26

Esercizio 27

Soluzione:

Esercizio 28

Soluzione:

Esercizio 29

Soluzione:

Esercizio 30

Soluzione:

A B

C Q 3

Q1

Q 2

RECUPERO

1. Vero o falso? a. Il teorema di Pitagora si può applicare a tutti i tipi di triangoli ………….. b. Il teorema di Pitagora si può applicare a tutte quelle figure in cui si possono ricavare triangoli rettangoli…...... c. Se i lati di un triangolo formano una terna pitagorica allora il triangolo è rettangolo………..

2. Dato il triangolo rettangolo ABC, scrivi le formule che ti permettono di

calcolare :

a. la misura dell’ipotenusa quando sono noti i due cateti ……………… b. la misura di un cateto quando sono noti l’ipotenusa e l’altro cateto ……..................

3. Osserva le figure e calcola quanto richiesto:

Q1 = 784 cm2 Q3= 1156 cm2 Q2 = 441 cm2 Q2 = 900 cm2 Q3 = ………. Q1= ……..

Q1 = 1764 cm2 Q3= 3721cm2 Q2 = 1600 cm2 Q2 = 3600 cm2 CB = ………. AB = ……..

Scegli il completamento corretto. 4. Tre numeri a, b, c (con a<b<c) formano una terna pitagorica se:

a. c = a + b b. c2= a2 – b2 c. c2= a2+ b2

5. Stabilisci quali terne di numeri possono rappresentare, in cm, i lati di un triangolo rettangolo: a. 18, 24, 30 b. 10, 13, 15 c. 5, 12, 13 d. 9,16,18

C

ic

A B

C Q 3

Q1

Q 2

A B

CQ 3

Q1

Q 2

A

B C

Q 3

Q1

Q 2

6. Calcola l’area e il perimetro di un triangolo rettangolo, sapendo che i due cateti misurano

rispettivamente 4,8 cm e 6,4 cm. 7. Calcola l’area di un rettangolo sapendo che la diagonale è i 5/4 della

base e la loro somma misura 54 cm. 8. Calcola il perimetro di un rombo avente le diagonali lunghe

rispettivamente 20 cm e 48 cm . (Osserva la figura nella quale è stato già individuato un triangolo rettangolo...!)

9. L’area di un triangolo isoscele misura 1680 cm2 e l’altezza misura

70 cm. Calcola il perimetro del triangolo. (Osserva la figura……) 10. In un trapezio isoscele la base maggiore e la base minore misurano rispettivamente 65 cm e 17

cm. Sapendo che l’altezza del trapezio misura 45 cm, calcola: a. il perimetro del trapezio b. la diagonale di un quadrato che ha lo stesso perimetro del trapezio.

A B

D C

A

B

D

C

l

d/2

d'/2

A Bb/2H

C

lh

POTENZIAMENTO

1. Vero o falso? a. Il teorema di Pitagora permette di classificare un triangolo senza conoscere la misura degli angoli ……………. b. Se due triangoli rettangoli hanno uguali l’area e un cateto hanno uguale anche il perimetro…. c. I quadrati costruiti sui cateti di un triangolo rettangolo isoscele sono ciascuno la metà del quadrato costruito sull’ipotenusa ……………… d. Una terna pitagorica non può essere costituita da numeri decimali………..

2. Completa le seguenti terne pitagoriche, ricordando che a < b < c

3. Trova la terna primitiva di ciascuna delle seguenti terne derivate

(Rifletti: se per trovare le terne derivate moltiplichi, ……………..)

Terna derivata Terna primitiva 40, 42, 58 15, 36, 39

4. Osserva il seguente disegno che rappresenta un triangolo

rettangolo sui cui lati sono stati disegnati dei rettangoli aventi una dimensione coincidente con un lato del triangolo. Sapendo che AB = 4 cm, AC = 3 cm e BC = 5 cm e che l’altezza di ogni rettangolo è doppia della base, verifica che R3 = R1 + R2

5. Completa la seguente tabella in modo che i valori assegnati alle lettere a, b, c rappresentino i lati di un triangolo rettangolo (ricorda che a < b < c!)

a b c

14 …… 50

36 48 ………

…. 56 65

a b c 10 2a + 4 =

bdi4

3=

24

20 5

5

4 +adi =

A B

C

R1

R2

R3

6. Calcola perimetro e area del triangolo ABC , sapendo che l’altezza CH misura 12 cm. (Approssima i risultati ai centesimi)

7. L’area di un rettangolo è 2352 cm2 e una dimensione è i 3/4 dell’altra. Calcola il perimetro di un quadrato che ha il lato congruente alla diagonale del rettangolo.

8. Da un punto P esterno ad una circonferenza di centro O sono state condotte le tangenti alla

circonferenza nei punti A e B. Sapendo che il punto P dista dal centro 10,2 cm e che il raggio della circonferenza misura 4,8 cm, calcola perimetro e area del quadrilatero AOBP.

9. Un trapezio isoscele è inscritto in una circonferenza. La base maggiore del trapezio coincide con

il diametro e misura 40 cm mentre la base minore misura 24 cm. Calcola l’altezza e l’area del trapezio.

Esercizio 1

Soluzione:

Esercizio 2

Soluzione:

A B

C

H

45°30°

Esercizio 3

Soluzione:

Esercizio 4

Soluzione:

Esercizio 5

Soluzione:

Esercizio 6

Soluzione:

Esercizio 7

Soluzione:

Esercizio 8

Soluzione:

Esercizio 9

Soluzione:

Esercizio 10

Soluzione:

Esercizio 11

Soluzione:

Esercizio 12

Soluzione:

Esercizio 13

Soluzione:

Esercizio 14

Soluzione:

Esercizio 15

Soluzione:

Esercizio 16

Soluzione:

Esercizio 17 Risolvi il seguente problema mediante l’applicazione del teorema di Pitagora.

Soluzione: