IL TEOREMA DI PITAGORA

Il teorema di Pitagora si applica ai triangoli rettangoli

c i

C

cateto minore

cateto

maggiore

ipotenusa

L’enunciato

c2+C2=i2

c2

C2

i2

i

C

c

IL QUADRATO COSTRUITO SULL’IPOTENUSA (i) è EQUIVALENTE ALLA

SOMMA DEI QUADRATI COSTRUITI SUI CATETI ( c , C)

La formula

Una dimostrazione

Le 4 parti in cui è diviso il quadrato costruito sul cateto maggiore insieme al quadrato costruito sul cateto minore “ricoprono” il quadrato costruito sull’ipotenusa

c2

C2

i2

i

C

c

Con il teorema di Pitagora, noti due lati è possibile trovare la misura del lato incognito:

22 Cic

22 ciC

22 Cci

ESEMPIO

Un triangolo rettangolo ha i cateti che misurano 4,5 cm e 6 cm. Per calcolare l’ipotenusa uso la formula:

a) b) c)

L’ipotenusa misura:a) 3,5 cm b) 5,5 cm c) 7,5

cm

22 5,46 22 5,46 22 5,46

ESEMPIO

Un triangolo rettangolo ha un cateto che misura 5 cm e l’ipotenusa è di 13 cm. Per calcolare l’altro cateto uso la formula:

a) b) c)

L’altro cateto misura:a) 10 cm b) 12 cm c) 14

cm

22 513 22 135 22 513

ESEMPIO

Un triangolo rettangolo ha un cateto che misura 6 cm e l’ipotenusa è di 6,5 cm. Per calcolare l’altro cateto uso la formula:

a) b) c)

L’altro cateto misura:a) 2,5 cm b) 3,5 cm c) 4,5

cm

22 65,6 22 65,6 22 65,6

In tutte le figure geometriche è possibile applicare il teorema di Pitagora

b = Cateto

h = catetod = ipotenusa

nel TRIANGOLO ISOSCELE

b : 2 = cateto

h = Catetol = ipotenusa

nel RETTANGOLO

Eccone alcune:

l = ipotenusa

nel PARALLELOGRAMMA

p = cateto

l = ipotenusa

nel ROMBO

D:2 = Cateto

h = Cateto

d:2 = cateto

h = Catetol = ipotenusa

p = catetonel TRAPEZIO

ESEMPIO

Un rettangolo ha la base che misura 12 cm e la diagonale è di 13 cm. Per calcolare l’altezza usi la formula:a) b) c)

L’altezza misura:a)4 cm b) 5 cm c) 6 cm

22 1213 22 1213 22 12:13

ESEMPIO

Un triangolo isoscele ha la base che misura 72 cm e l’altezza di 77cm. Per calcolare il lato obliquo usi la formula:a) b) c)

L’altezza misura:a) 94 cm b) 45 cm c) 85

cm

22 7277 22 7277 22 3677

ESEMPIO

Un rombo ha le diagonali che misurano 40 cm e 42 cm. Per calcolare il lato usi la formula:a) b) c)

Il lato misura:a) 29 cm b) 48 cm c) 55

cm

22 4240 22 2120 22 2042

ESEMPIO

Un trapezio ha le basi che misurano 42 cm e 56 cm, il lato obliquo è di 25 cm. Quanto misura la proiezione?a) 7 cm b) 14 cm c) 28

cmPer trovare l’altezza devi calcolare:b) b) c)

L’altezza misura:a) b) c)

22 725

€

252 − 72 22 1425

22 23 24

CURIOSITÀLA SPIRALE DI PITAGORA

Come rappresentare i numeri irrazionali

È possibile rappresentare delle lunghezze le cui misure sono espresse

da numeri irrazionali, utilizzando il teorema di Pitagora.

1

1

2

1

Si costruisce il triangolo rettangolo isoscele con i cateti che misurano 1; per il teorema di Pitagora l’ipotenusa misura

211 22 Se si costruisce un altro triangolo rettangolo con i cateti che misurano 1 e 2, per il teorema di Pitagora l’ipotenusa misura

3121)2( 22

3

La spirale di Pitagora

1

1

2

1

3

1

41

51

6

17

1

8

1

9

1

10

1

11

1

12

1

13

1

14

1

15 1

16

117

Continuando a costruire triangoli rettangoli con lo stesso metodo si ottiene: