Nozioni di trigonometria - Matematica gratuita per le ... · • in un triangolo rettangolo...

Matematica per le scuole superiori

Prerequisiti: - Conoscere le fondamentali nozioni di go-

niometria e di geometria elementare. - Possedere sufficiente abilità nel calcolo

algebrico.

OBIETTIVI DI APPRENDIMENTO

Una volta completata l’unità, gli allievi devo-

no essere in grado di:

- enunciare e dimostrare le relazioni fra gli

elementi di un triangolo rettangolo

- risolvere i triangoli rettangoli, eventual-

mente anche con l’ausilio di una calcola-

trice scientifica

- enunciare e dimostrare i teoremi del cose-

no e dei seni

- risolvere i triangoli qualsiasi, eventual-

mente anche con l’ausilio di una calcola-

trice scientifica

- risolvere, con l’ausilio della trigonometria,

qualche semplice problema di geometria o

di ambito disciplinare diverso

- delineare con proprietà l’evoluzione della

trigonometria

Lo studio di questa unità riguarda il 2°biennio di tutte le scuole. Gli studenti dei Licei non scientifici lo faranno precedere dallo studio dell’unità 36.

37.1 Introduzione.

37.2 Relazioni trigonometriche nel

triangolo rettangolo.

37.3 Pendenza di una strada.

37.4 Relazioni trigonometriche in

un triangolo qualunque.

37.5 Risoluzione dei triangoli qua-

lunque.

37.6 Alcune applicazioni.

37.7 Nota storica.

Verifiche.

Una breve sintesi

per domande e risposte.

Lettura.

Nozioni di

trigonometria

Unità 37

Unità 37 – Nozioni di trigonometria

2 Matematica per le scuole superiori

37.1 INTRODUZIONE

37.1.1 Incominciamo con alcuni quesiti:

a) Sai spiegare se le misure 15 m, 20 m, 36 m possono essere quelle dei lati di uno stesso triangolo?

b) Sai spiegare se gli angoli di 35° e 50° possono essere angoli di uno stesso triangolo rettangolo?

c) Sei in grado di calcolare il rapporto tra un cateto e l’ipotenusa di un triangolo rettangolo isoscele?

d) Sei in grado di calcolare il rapporto tra il cateto maggiore e l’ipotenusa di un triangolo rettangolo, aven-

te un angolo di 30°?

Se hai risolto le precedenti questioni, dovresti essere consapevole del fatto che siamo a conoscenza di

relazioni tra i lati di un triangolo e di relazioni tra gli angoli. Così, per esempio, sappiamo che:

• se a è la lunghezza dell’ipotenusa di un triangolo rettangolo e b, c sono quelle dei cateti, risulta:

[1] a2 = b2 + c2;

• se , sono le misure (in gradi sessagesimali) degli angoli acuti di un triangolo rettangolo, si ha:

[2] + = 90°.

Non conosciamo, però, alcuna relazione che leghi le misure dei lati con quelle degli angoli di un trian-

golo, se si esclude quella che, detto in parole povere, assicura che al lato maggiore è opposto l’angolo

maggiore. Questo perlomeno in generale, poiché in qualche situazione particolare abbiamo informa-

zioni in merito. Così, per esempio, è noto che:

• i tre lati di un triangolo hanno uguale lunghezza se e solo se i suoi tre angoli hanno uguale ampiez-

za (che, in questo caso, è 60°);

• un triangolo ha due angoli congruenti se e solo se ha due lati congruenti;

• un triangolo è rettangolo e isoscele se e solo se le ampiezze dei suoi angoli sono: 90°, 45°, 45°;

• in un triangolo rettangolo l’ipotenusa è lunga il doppio di un cateto se e solo se l’angolo opposto a

quel cateto è ampio 30° (e, di conseguenza, l’altro angolo acuto è ampio 60°).

37.1.2 Ora, però, in molte circostanze è utile disporre di relazioni generali che leghino le misure dei lati e

degli angoli di un triangolo. Valga per tutti il seguente esempio.

Si voglia misurare l’altezza AB di una torre (1) (Fig. 1) e non si riesca a farlo direttamente per qualche

ragione su cui non stiamo ad indagare.

FIG. 1

Si supponga, invece, di riuscire a misurare, ovviamente con gli strumenti necessari, la distanza CA di

un conveniente punto C dalla torre e l’angolo AĈB (angolo sotto cui è vista la torre dal punto C). Si

supponga, inoltre, di poter scegliere C in modo che BÂC sia retto.

1 La chiamiamo “torre” ma potrebbe trattarsi di qualunque cosa: un palo, un campanile, una casa, un albero, ec-

cetera


Matematica per le scuole superiori 3

Certo, se potessimo prendere C in modo che AĈB fosse ampio 45°, potremmo concludere subito che

AB è lunga quanto CA. Come sai, in questo modo Talete aveva calcolato le altezze delle piramidi.

Così pure, se potessimo prendere C in modo che AĈB fosse ampio 30° o 60°, avremmo ancora la pos-

sibilità di risalire rapidamente alla lunghezza di AB. Provaci tu.

Ma se non possiamo scegliere C in modo da trovarci in una situazione così favorevole?

In questo caso bisogna esplorare strade nuove ed è quello che andiamo a fare.

La parte della matematica che si occupa di queste cose è la trigonometria. La parola è l’unione di due

termini greci: trigonon (triangolo) e metron (misura). Appunto: misura dei triangoli.

37.2 RELAZIONI TRIGONOMETRICHE NEL TRIANGOLO RETTANGOLO

37.2.1 Ci proponiamo di trovare delle relazioni tra gli elementi – lati ed angoli – di un generico triangolo

rettangolo. Premettiamo anzitutto che, preso un triangolo ABC rettangolo in A (Fig. 2), per nostra co-

modità indichiamo una volta per tutte con a la misura dell’ipotenusa e con b, c quelle dei cateti opposti

rispettivamente ai vertici B, C; e inoltre indichiamo con la misura dell’angolo retto (α=90°) e con

, le misure degli angoli acuti di vertici B, C nell’ordine.

FIG. 2

37.2.2 Consideriamo il triangolo ABC, rettangolo in A (Fig. 2). Per definizione di seno e di coseno di un

angolo acuto si ha: AC

BC=sinβ ,

AB

BC=cos β ; ossia, per le convenzioni fatte:

b = a sinβ , c = a cos β .

D’altra parte gli angoli acuti di un triangolo rettangolo sono evidentemente complementari, per cui:

sin γ= cos β , cos γ= sinβ . Di conseguenza:

c = a sin γ , b = a cos γ .

In definitiva si hanno i due seguenti gruppi di formule:

[3] {𝐛 = 𝐚 𝐬𝐢𝐧𝛃𝐜 = 𝐚𝐬𝐢𝐧𝛄

{𝐛 = 𝐚𝐜𝐨𝐬 𝛄𝐜 = 𝐚 𝐜𝐨𝐬𝛃

Esse riassumono le seguenti proprietà:

In ogni triangolo rettangolo, la lunghezza di ciascun cateto è uguale a quella dell’ipotenusa

moltiplicata per:

- il seno dell’angolo opposto ad esso;

- il coseno dell’angolo acuto adiacente ad esso.

37.2.3 Dalle relazioni precedenti si ottengono poi facilmente queste altre:

b

c=

a sinβ

a cos β ,

c

b=

a sin γ

b cos γ ;

da cui segue:

[4] 𝐛 = 𝐜 𝐭𝐚𝐧𝛃 , 𝐜 = 𝐛 𝐭𝐚𝐧𝛄.



Ossia, detto a parole:

In ogni triangolo rettangolo, ciascun cateto è uguale all’altro cateto per la tangente

dell’angolo opposto al primo.

37.2.4 Le precedenti relazioni [3] e [4], unite al fatto che =90°, permettono di risolvere i triangoli

rettangoli, vale a dire di calcolare gli elementi incogniti di un triangolo rettangolo, noti ovviamente

alcuni altri elementi capaci di determinarlo. I casi possibili sono i seguenti:

a) si conoscono due lati; b) si conoscono un lato e un angolo acuto.

• ESEMPIO 1. Nel triangolo ABC, rettangolo in A, si ha: b=3, c=4. Determinare a,, .

RISOLUZIONE. Mediante il teorema di Pitagora si trova a=5. Quindi, in virtù della relazione b=a sin β, si

trova sin β=3

5 e, con una calcolatrice: β≈36°52'12".

Una volta trovato , l’angolo si trova subito giacché è il complementare di : γ≈53°7'48".

• ESEMPIO 2. Nel triangolo ABC, rettangolo in A, si ha: a=5, =70°. Determinare , b, c.

RISOLUZIONE. Subito si ottiene γ=90°–β=20°. Inoltre, con una calcolatrice:

b=a sin β=5 sin 70°≈5×0,939≈4,7; c=a cosβ=5 cos70°≈5×0,342≈1,7.

37.2.5 Ti proponiamo alcuni esercizi.

a) Tenendo presenti le notazioni stabilite, trovare (utilizzando la calcolatrice solo quando non ne puoi fare

a meno) gli elementi incogniti del triangolo ABC, rettangolo in A, sapendo che:

1. a=50; b=25. 2. a=70; =30°. 3. b=50; c=25√3.

4. a=172,27; b=136,29. 5. a=15; =27°15’. 6. b=30; =30°.

7. c=50; =35’45”. 8. b=38,74; =27°45’. 9. c=105,69; =52°12’23”.

b) Una scala, appoggiata ad una parete, la tocca ad un’altezza di 2,5 m dal pavimento, mentre la sua base

d’appoggio è staccata di 90 cm dalla parete. Di quanto la scala è inclinata rispetto al pavimento?

c) Un angolo acuto di un triangolo rettangolo misura 30°. Esprimere l’area del triangolo in funzione della

lunghezza del cateto adiacente a quell’angolo.

d) Calcolare la misura, espressa in gradi sessagesimali ed approssimata ai primi, dell’angolo formato dalla

diagonale di un rettangolo aureo con il maggiore dei lati del rettangolo. [R. ≈31°43’]

e) Nel quadrilatero ABCD i lati AB e AD sono uguali e così pure lo sono i lati CB e CD. Inoltre i suoi an-

goli interni con vertici in A e C sono ampi rispettivamente 100° e 60°. Calcolare un valore approssimato

del rapporto fra il lato AB e la diagonale BD. [R. 0,65]

f) Le guide AB e AC sono disposte in modo che il triangolo ABC sia rettangolo in C. Due palline, costret-

te a muoversi lungo le guide, sono lanciate contemporaneamente, una da B e l’altra da C, e arrivano si-

multaneamente in A. Sapendo che la pallina che parte da B è una volta e mezza più veloce dell’altra pal-

lina, calcolare di quanto la guida AB è inclinata rispetto alla retta BC, esprimendo la misura in gradi

sessagesimali con approssimazione per eccesso ad 1°. [R. ≈42°]

g) Si vuole calcolare la distanza Terra-Luna.

Supponiamo che due osservatori si trovino in due punti A, B di uno stesso meridiano terrestre (Fig. 3) in

modo che il primo veda la Luna esattamente al suo orizzonte quando il secondo la vede al suo zenit. No-

ta la misura dell’angolo ATB (uguale al valore assoluto della differenza tra le latitudini dei punti A, B),

che è 89°3’ e nota la misura R del raggio della Terra, che è all’incirca 6371 km, quanto dista la Terra

dalla Luna?



FIG. 3 FIG. 4

h) Si vuole calcolare la distanza Terra-Sole.

Quando è al suo primo quarto, la Luna si trova sotto un angolo retto rispetto ai centri della Terra e del

Sole (Fig. 4). Se in questa fase lunare si misura l’angolo sotto cui è vista dalla Terra la congiungente

Luna-Sole, si trova all’incirca 89°51’. Sapendo che la distanza media Terra-Luna è di circa

384.000 km, calcolare la distanza della Terra dal Sole.

NOTA BENE. Al giorno d’oggi esistono procedimenti più sottili di quelli descritti in due precedenti

esempi per misurare le distanze della Terra dai corpi celesti. Come, per esempio, quello basato sulla

misura del tempo che impiega un segnale elettromagnetico per andare e ritornare dalla Terra al cor-

po celeste in esame. Da questa misura, infatti, si risale alla distanza cercata tenendo presente che il

segnale viaggia a circa 300.000 km/s.

Naturalmente è necessario che questa distanza non sia elevata. Possiamo dire che il procedimento va

bene se restiamo nel nostro sistema planetario, poiché se ci spingiamo oltre occorrono altri procedi-

menti, sui quali non possiamo soffermarci.

Ad ogni modo, per ritornare ai procedimenti da noi descritti, riteniamo che essi siano ugualmente in-

teressanti; se non altro per il rilievo storico che rivestono (una volta non ce n'erano di migliori).

37.3 PENDENZA DI UNA STRADA

37.3.1 Hai avuto modo certamente di osservare cartelli stradali come quello illustrato in figura 5: indica una

strada con pendenza (media) del 12%. Il suo significato è semplice: se schematizziamo la strada con

l’ipotenusa di un triangolo rettangolo ABC (Fig. 6), la sua pendenza è la tangente dell’angolo in A, vale

a dire il rapporto fra il cateto CB e il cateto AC.

D’altro canto, in queste situazioni l’angolo in A è molto piccolo (meno di 10°) e quindi possiamo sup-

porre CB

AC≈

CB

AB . Ragion per cui si assume in genere come pendenza (media) della strada il rapporto

CB

AB , che poi altro non è che il seno dell’angolo in A.

FIG. 5 FIG. 6

Affermare, pertanto, che una strada ha una pendenza (media) del 12% significa, in fin dei conti, che

quando si percorre un tratto di 100 m di quella strada ci si innalza di 12 m sul livello del mare. Ap-

punto:

pendenza =12

100= 0,12 = 12% .

Per esempio, dai 405 m di quota di Rieti si sale, in circa 25 km, ai 1894 m del Monte Terminillo. La



pendenza media di quel tratto di strada è perciò:

pendenza =1894–405

25000≈5,96% .

Ti proponiamo un paio di esercizi.

a) Un cartello stradale indica che in quel tratto, la strada ha una pendenza del 13%. Di quanto quella strada

è inclinata rispetto ad un piano orizzontale?

b) In una certa tappa del Giro ciclistico d’Italia, la parte finale comprendeva tre settori:

- nel primo, lungo 7 km, la strada si innalzava di 364 m sul livello del mare;

- nel secondo, lungo 4 km, si innalzava di 180 m;

- nel terzo, lungo 10 km, si innalzava di 680 m.

Qual è il tratto di maggiore pendenza? Quale quello di minore pendenza? Qual è la pendenza media

dell’intera parte finale della tappa? [R. …; 5,8%]

37.3.2 Il precedente esercizio b) ci offre lo spunto per una riflessione di carattere generale.

Si consideri allora un percorso stradale formato da n tratti di lunghezze L1, L2, …, Ln, aventi pendenze medie

rispettivamente p1, p2, …, pn. Ebbene, la pendenza media p sull’intero percorso risulta essere:

p = L1p1+L2p2+…+Lnpn

L1+L2+…+Ln ,

vale a dire che la pendenza media sull’intero percorso è la media aritmetica ponderata delle pendenze

medie dei singoli tratti con pesi le loro rispettive lunghezze.

DIMOSTRAZIONE. La dimostrazione è abbastanza elementare. Chiamate al riguardo H1, H2, …, Hn le quote di

cui s’innalzano gli n tratti, si ha:

p1=H1

L1 , p2=

H2

L2 , …, pn=

Hn

Ln ;

da qui segue:

H1=L1p1 , H2=L2p2 , …, Hn=Lnpn .

La pendenza media dell’intero percorso è, d’altro canto:

p = H1+H2+…+Hn

L1+L2+…+Ln ,

ossia:

p = L1p1+L2p2+…+Lnpn

L1+L2+…+Ln .

Come volevasi dimostrare.

Si capisce facilmente che se gli n tratti sono ugualmente lunghi e perciò L1=L2=…=Ln, pur con pendenze

diverse, allora la pendenza media dell’intero percorso è uguale alla media aritmetica (semplice) delle pen-

denze medie degli n tratti.

37.4 RELAZIONI TRIGONOMETRICHE IN UN TRIANGOLO QUALUNQUE

37.4.1 Consideriamo adesso un triangolo qualsiasi ABC (Fig. 7) e tracciamo la sua altezza CH. In virtù del

teorema di Pitagora si ha BC2=CH

2+HB

2. D’altronde: CH

2=AC

2–AH

2 e HB=AB–AH. Di conseguen-

za: BC2=(AC

2–AH

2)+(AB–AH)

2.

Da qui segue BC2=AC

2+AB

2–2 AB∙AH, e poiché AH=bcos α, si ottiene:



a2=b2+c2–2bc cosα.

Analogo ragionamento vale per gli altri angoli, β e γ, e anche se il piede dell’altezza non appartiene al

lato relativo ma ad uno dei suoi prolungamenti.

In definitiva si ricava il seguente gruppo di formule:

𝐚𝟐 = 𝐛𝟐 + 𝐜𝟐 − 𝟐𝐛𝐜 𝐜𝐨𝐬𝛂

𝐛𝟐 = 𝐜𝟐 + 𝐚𝟐 − 𝟐𝐜𝐚 𝐜𝐨𝐬𝛃

𝐜𝟐 = 𝐚𝟐 + 𝐛𝟐 − 𝟐𝐚𝐛𝐜𝐨𝐬 𝛄

che esprime il cosiddetto TEOREMA DEL COSENO (detto anche teorema di Carnot (2)).

Si fa notare come nel caso particolare in cui =90°, la prima relazione del gruppo non è altro che il teore-

ma di Pitagora (del quale, pertanto, il teorema del coseno è una generalizzazione), mentre la seconda e la

terza diventano rispettivamente: c=a cos β, b=a cos γ .

Lasciamo a te il compito di giustificare queste affermazioni.

FIG. 7 FIG. 8

37.4.2 Un altro teorema, riguardante un triangolo qualunque, è il cosiddetto TEOREMA DEI SENI (detto

anche teorema di Eulero), espresso dalla seguente catena di uguaglianze:

𝐚

𝐬𝐢𝐧𝛂=

𝐛

𝐬𝐢𝐧𝛃=

𝐜

𝐬𝐢𝐧𝛄 .

Per la sua dimostrazione consideriamo il triangolo ABC (Fig. 8) e tracciamo le sue altezze AM e BN.

Prendendo in esame dapprima il triangolo rettangolo AMC e poi il triangolo rettangolo AMB, si ottie-

ne: AM=bsinγ e AM=c sinβ; perciò: b sin γ=c sin β; da cui segue:

b

sin β=

c

sin γ .

Analogamente, prendendo in esame i triangoli rettangoli BNA e BNC, si ottiene: BN=c sinα e

BN=asin γ, da cui segue: a

sin α=

c

sin γ .

In definitiva, come si voleva dimostrare:

a

sinα=

b

sinβ=

c

sin γ .

Osserviamo che questa dimostrazione, condotta avendo supposto implicitamente che il triangolo ABC

fosse acutangolo, non cambia sostanzialmente se esso è ottusangolo; come puoi controllare da te.

2 Carnot, Lazare, matematico francese, 1753-1823, padre di Sadi (1796-1832), uno dei fondatori della termodi-

namica.



Se poi il triangolo fosse rettangolo, le relazioni che esprimono il teorema dei seni sono ovvie. Si ha in-

fatti sin α=sin 90°=1):

a

1=

b

sin β=

c

sin γ .

Ti proponiamo adesso di dimostrare la seguente proprietà:

Considerato un qualsiasi triangolo, ciascuno dei rapporti uguali:

a

sin α ,

b

sin β ,

c

sin γ

è uguale al diametro del cerchio circoscritto al triangolo.

37.5 RISOLUZIONE DEI TRIANGOLI QUALUNQUE

Abbiamo visto in precedenza come si risolve un triangolo rettangolo. Adesso, sulla scorta dei due teo-

remi precedenti, siamo in grado di risolvere un triangolo qualunque, cioè di calcolare i suoi elementi

incogniti, noti ovviamente altri elementi capaci di determinarlo; vale a dire (si ricordino a questo pro-

posito i criteri di congruenza):

a) due lati e l’angolo compreso; b) un lato e due angoli; c) i tre lati.

Vediamo qualche esempio.

• ESERCIZIO 1. Nel triangolo ABC si ha: b=35,42; c=28,63; α=62°. Calcolare: α,, γ.

RISOLUZIONE (con l’uso di una calcolatrice).

a=√b2+c2–2bc cos α=√35,422+28,632–2∙35,42∙28,63∙ cos 62° ≈33,50 ;

sin β=b sinα

a=

35,42∙ sin 62°

33,50≈0,9335, da cui segue β≈69° ;

γ=180°–(α+β)≈49° .

• ESERCIZIO 2. Nel triangolo ABC si ha: a=341, α=27°42', β=75°29'. Calcolare: b, c, γ .


γ = 180°(+)=180°(27°42'+75°29')=76°49';

b=a sin β

sin α=

341∙ sin 75°29'

sin 27°42'≈710 ; c=

a sin γ

sin α=

341∙ sin 76°49'

sin 27°42'≈714 .

• ESERCIZIO 3. Nel triangolo ABC si ha: a=37; b=42; c=48. Calcolare α,, γ.


Poiché ogni lato è minore della somma degli altri due il triangolo esiste. Si ha:

cosα=b2+c2–𝑎2

2bc=

422+482–372

2∙42∙38≈0,66939 , da cui segue α≈47°59';

sin β=b sinα

a=

42∙ sin 47°59'

37≈0,84334 , da cui segue β≈57°30';

γ=180°(α+β)≈74°31'.

Alcuni esercizi da risolvere.

Con l’uso di una calcolatrice, ma solo se occorre, risolvi il triangolo ABC, sapendo che:

1. a = 37,41; b = 45,72; γ = 72°. [𝐑. c≈49,32; ≈46°10'9"; ≈61°49'51"]

2. b = 872, = 35°48′, γ = 51°12′. [R. =93°; a≈510,78; c≈680,52]

3. a = 73; = 84°; γ = 30° . [𝐑. =66°; b≈79,47; c≈39,95]

4. b = 37; c = 33; = 60° .



5. a = 123; b = 210; c = 182 .

6. a = 25,32; b = 32,25; c = 36,50 . [R. ≈42°39'46"; ≈59°40'24"; γ≈77°39'50"]

37.6 ALCUNE APPLICAZIONI

37.6.1 Note le misure a, b di due lati di un triangolo e la misura dell’angolo compreso tra essi, l’area A del

triangolo è espressa dalla seguente formula:

𝐀 =𝟏

𝟐𝐚 𝐛 𝐬𝐢𝐧 𝛄 .

Se γ≤90° la dimostrazione è immediata. La lasciamo a te.

In fondo essa è pure semplice quando γ>90° (Fig. 9). Infatti, osservato che l’angolo AĈH misura

180°–γ e che AH=b sin(180°–γ) e perciò AH=b sin γ, si ha: A=1

2 CB∙AH=

1

2a b sin γ.

Come applicazione della formula dimostrata ti proponiamo i seguenti esercizi.

a) Sia ABC un qualsiasi triangolo. Sui suoi lati ed esternamente ad esso si costruiscano i tre quadrati

ABDE, BCFG e CAHL. Dimostra che i triangoli AHE, BDG e CFL sono equivalenti al triangolo ABC.

b) Calcola l’area di un quadrilatero convesso conoscendo le misure delle sue diagonali e dell’angolo acuto

che esse formano.

c) Spiegare perché un triangolo del quale a, b sono le lunghezze di due lati, ha un’area che non supera

ab/2. In quale caso tale area è uguale ad ab/2?

FIG. 9 FIG. 10

37.6.2 Si vuole misurare la distanza di un punto A da un punto P, visibile da A ma non accessibile e quindi

tale che essa non possa essere misurata direttamente (Fig. 10).

Preso allora un punto B tale che sia possibile misurare direttamente, con appositi strumenti, la distanza

AB (che diciamo d) e gli angoli PAB e PBA (le cui misure diciamo rispettivamente e ), osserviamo

anzitutto che si ha: APB=180°–(α+β) e perciò: sinAPB= sin(α+β). Dunque, in virtù del teorema

dei seni:

AP =d sinβ

sin(α + β) .

37.7 NOTA STORICA

La trigonometria fu in origine un supporto puro e semplice dell’astronomia e in questo senso fu usata

dai principali astronomi, fino a quando non diventò una disciplina autonoma e, successivamente, si

suddivise in trigonometria piana e trigonometria sferica. L’introduzione delle nostre agili notazioni

per le funzioni trigonometriche fu una delle ultime conquiste. In questa breve nota vogliamo segnala-

re gli studiosi che fornirono i principali contributi al suo sviluppo, evidenziando come l’evoluzione di



questa disciplina interessò un lungo periodo di tempo e fu opera di uomini appartenenti a civiltà e

culture diverse fra loro.

• Ipparco di Nicea è considerato il “padre della trigonometria” e il massimo astronomo osservatore

dell’antichità. Compì osservazioni astronomiche a Rodi fra il 161 e 126 a.C.. Di lui non ci rimane alcu-

na opera, ma solo qualche riferimento da parte di studiosi vissuti molto tempo dopo. A lui alcuni sto-

rici attribuiscono la suddivisione dell’angolo giro in 360 parti uguali. Altri la attribuiscono invece al

suo contemporaneo Ipsicle di Alessandria.

• Apporti allo sviluppo della trigonometria e, in particolare, della trigonometria sferica, sono attribui-

ti a Menelao di Alessandria (circa I sec. d.C.). Di lui ci è pervenuta una traduzione araba dell’opera

Sphaerica, che tratta della geometria sulla sfera e delle conseguenti applicazioni ai fenomeni astro-

nomici.

• Claudio Tolomeo, vissuto ad Alessandria nel II sec. d.C., fu autore di un’opera intitolata Mathema-

tichè syntaxis (Raccolta matematica), che, attraverso una traduzione dall’arabo, giunse nel XII secolo

in Occidente col titolo di Almagesto. L’opera contiene i principi fondamentali della trigonometria

piana e i primi rudimenti di quella sferica. Tolomeo è anche ideatore della teoria geocentrica (detta

appunto anche teoria tolemaica), basata sulla centralità della Terra nell’Universo. Teoria che rimase

indiscussa fino al 1543, allorché fu soppiantata dalla teoria eliocentrica (o copernicana), formulata

dall’astronomo polacco Nikolaj Kopernik (1473-1543) nella celebre opera De orbium coelestium

revolutionibus.

• Ipparco, Menelao e Tolomeo avevano trovato e utilizzato, per le loro osservazioni, relazioni fra le

corde di un cerchio e i corrispondenti angoli al centro. Furono i matematici indiani, e in particolare

Aryabhata (V sec. d.C.), che trovarono invece relazioni fra la metà della corda e la metà dell’angolo al

centro sotteso dall’intera corda. Vale a dire, qualcosa di molto simile al moderno concetto di seno di

un angolo.

• I matematici arabi, che in altri settori della matematica avevano subito l’influsso dei Greci, riguardo

alla trigonometria seguirono invece gli Indiani, col risultato che la trigonometria araba si sviluppò

sulla base del concetto di seno di un angolo e in questa veste influenzò la trigonometria occidentale,

quando incominciarono ad essere studiate le traduzioni in latino delle opere dei matematici arabi.

Il matematico arabo che diede il maggior contributo allo sviluppo della trigonometria fu il persiano

Abu’l-Wafa (940-998). Un altro persiano, Nasir Eddin (1201-1274), continuò la sua opera, ma ben

due secoli più tardi: a lui si deve la separazione della trigonometria dall’astronomia.

• Una vera e propria ondata di traduzioni delle opere arabe in latino si ebbe nel XII secolo, ma la fase

di assimilazione della matematica fu molto lenta in Occidente (bisogna tener presente che nel lungo

periodo della dominazione romana, gli studi matematici furono poco curati). Non di meno, a partire

dalla fine del XII secolo c’è un primo risveglio, soprattutto per quanto riguarda l’interesse in campo

aritmetico e geometrico. Invece nel settore della trigonometria una vera e propria rinascita si regi-

stra solo nel XV secolo, per merito di un matematico e astronomo prussiano: Johann Müller, detto

Regiomontano (1436-1476). Egli scrisse un trattato dal titolo De triangulis omnimodis libri quin-

que, pubblicato postumo nel 1533. La trigonometria, sull’esempio di Nasir Eddin, è organizzata come

disciplina a sé, con un’esposizione sistematica in forma che si può ritenere moderna, anche se non vi

figura ancora la nostra maneggevole notazione simbolica. Trigonometria piana e sferica figurano an-

cora assieme.

• La separazione della trigonometria piana da quella sferica avvenne con un altro matematico prus-

siano, Georg Joachim von Lauchen (1514-1576), soprannominato Rhaeticus, discepolo di Coperni-



co. L’opera che contiene questa separazione è un libretto dal titolo De lateribus et angulis trian-

gulorum, pubblicato nel 1542.

• Fino a questo punto, il termine “trigonometria” non era mai comparso in alcuna delle opere

sull’argomento. Comparve, sembra per la prima volta, in un’opera di un altro matematico tedesco,

Bartholomäus Pitiscus (1561-1613). L’opera è, in realtà, un opuscolo dal titolo, per l’appunto, Tri-

gonometria, sive de solutione triangulorum tractatus brevis et perspicuus.

• Detto dei contributi del danese Thomas Finck (1561-1656), al quale si deve l’introduzione della

“tangente”, e dell’inglese Edmund Gunter (1581-1626), che introdusse il termine “coseno”, l’assetto

definitivo della trigonometria avvenne con uno dei matematici più prolifici che siano mai esistiti: lo

svizzero Leonhard Euler (1707-1783). Nelle sue opere, e in particolare nella Introductio in analy-

sin infinitorum, egli introduce il cerchio di raggio unitario (cerchio trigonometrico), concependo per

primo i valori trigonometrici di un angolo come rapporti di segmenti e quindi come numeri e non più

come lunghezze di particolari segmenti ricavati con riferimento a circonferenze di dato raggio. Si-

stema definitivamente la questione delle notazioni trigonometriche: con lui diventano definitive le

abbreviazioni sin, cos, tan, che altri studiosi avevano introdotto in tempi diversi. Riduce la risoluzio-

ne dei triangoli piani a quattro casi fondamentali, semplificando le numerose situazioni che fino ad

allora venivano prese in esame ed eliminando molte formule superflue con l’applicazione di poche di

esse.

LABORATORIO DI MATEMATICA

a) Di un triangolo si conoscono le lunghezze di due lati e l’ampiezza dell’angolo opposto ad uno di essi.

Risolvere il triangolo determinando i suoi elementi incogniti. Come applicazione, con l’uso di una cal-

colatrice, se occorre, risolvi il triangolo ABC sapendo che:

1) b = 98 , c = 45 , = 135° ; 2) a = 36 , b = 72 , = 30° ;

3) a = 50 , b = 80 , = 60° ; 4) a = 35 , b = 60 , = 28°32’ .

Come pensi di procedere?

Il triangolo esiste per qualunque scelta delle misure assegnate?

Se esiste, ne esiste comunque uno soltanto?

Discutine coi tuoi compagni e, se occorre, chiedi soccorso al tuo professore.

b) Durante gli anni della scuola secondaria di 1° grado hai imparato che l’apotema an di un poligono rego-

lare di n lati si trova moltiplicando la lunghezza del lato Ln del poligono per un certo numero fn (detto

“numero fisso”) il cui valore varia da poligono a poligono col variare del numero dei lati ma rimane co-

stante per ogni poligono regolare dello stesso numero di lati. Prova a calcolare un valore approssimato

di tali numeri fino alla terza cifra decimale. In particolare fa’ vedere che:

f3 0,289 ; f4 = 0,5 ; f5 0,688 ; f6 0,866 ; f8 1,207 ; f10 1,539.



VERIFICHE (3)

1. Determinare i lati di un triangolo rettangolo sapendo che il suo perimetro misura 60 cm e che il co-

seno di un suo angolo è 3/5. [R. 25 cm , 15 cm , 20 cm]

2. Trovare i lati di un triangolo rettangolo sapendo che la sua area è a2

4√5, dove a è una lunghezza as-

segnata, e il seno di un suo angolo è 2

3. [𝐑.

3

2a, a,

a

2√5]

3. Calcolare il perimetro di un triangolo rettangolo sapendo che il coseno di un suo angolo è 4

5 e

l’altezza relativa all’ipotenusa misura 78 cm . [R. 390 cm ]

4. Dimostrare che l’area S di un parallelogramma ABCD è data dalla seguente formula:

S = AB ∙ AC ∙ sin A .

5. Con l’uso di una calcolatrice, calcolare le ampiezze degli angoli interni del triangolo ABC, assegnato

in un piano cartesiano ortogonale (Oxy), sapendo che:

1. A(1,0), B(2,1), C(– 1,2). 2. A (1

2, – 1) , B (2,

3

2) , C(– 2,1).

3. A (3

2, 1) , B(– 1,1), C (– 2, –

1

2) . 4. A(0,0), B (

2

3, –

1

2) , C(– 1, – 2).

[R. 1) 90°, 63°26'6", 26°33'54"; 2) 82°18'14", 51°54'41", 45°47'5"; ...]

6. Con l’uso di una calcolatrice, calcolare un valore approssimato dell’area del triangolo ABC, sapendo

che:

1) BC = 127, ABC = 47°35′, ACB = 72°43′.

2) AB = 235, AC = 179, BAC = 38°45′.

3) AB = 38, BC = 42, AC = 27.

[𝐑. 1) 6584 ; 2) 13165 ; 3) 503 ]

7. La Luna è vista dalla Terra sotto un angolo di circa 31'5". Sapendo che la distanza Terra-Luna è di

circa 384000 km, calcolare il raggio della Luna. [ R. 1736 km]

8. Per misurare l’altezza CH di una torre rispetto al piano orizzontale passante per un dato punto A (Fig.

11), si sceglie (supponiamo che questo sia possibile) un altro punto B sullo stesso piano orizzontale e

si effettuano, con appositi strumenti, alcune misurazioni. Posto che si trovi: AB = 40 m, CAB =

52°21′, HBC = 54°27′, calcolare CH. [R. 703 m]

FIG. 11 FIG. 12

9. Si vuole costruire un ponte che colleghi due punti A, B (Fig. 12), dei quali è necessario conoscere la

3 I problemi (o gli esercizi) contrassegnati col simbolo ® sono risolti (totalmente o parzialmente) e la risoluzione

è situata nella cartella “Integrazione 2”, file “Matematica – Integrazione 2, unità 28-88”, pubblicata in questo

medesimo sito e scaricabile gratuitamente.



distanza. Questa non può essere misurata direttamente ma si possono effettuare altre misurazioni. In

particolare supponiamo che si trovi: CA=460 m, CB=470 m, ACB=49°34'. Calcolare AB.

10. Si vuole misurare la distanza dei punti A, B (Fig. 13) ma ciò non può essere fatto direttamente. Sup-

poniamo che sia possibile scegliere due punti C, D in modo che A, B, C, D siano complanari e si pos-

sano misurare direttamente, con appositi strumenti, la distanza CD e gli angoli ACB, BCD, CDA,

ADB. Si trovi: CD ≈ 115 m, ACB ≈ 57°15′, BCD ≈ 49°27′, CDA ≈ 45°30′, ADB ≈ 51°23′. Cal-

colare AB. [R. 185 m]

FIG. 13

11. È assegnato un pentagono regolare di lato lungo L. Recidendo opportunamente, in esso, cinque

triangoli congruenti, si ottiene un decagono regolare: calcolarne la lunghezza del lato, dopo aver sta-

bilito che sin 54°=1+√5

4. [𝐑.

L

5√5]

[Ispirato ad un quesito assegnato nell’esame di Stato 2006, indirizzo scientifico, sessione straordinaria]

12. ® Il signor Giorgio, proprietario terriero, intende regalare un orto all’amico Mario, matematico per

hobby, ma a condizione che egli riesca a risolvere un problema. L’orto ha la forma di un triangolo

rettangolo, la cui ipotenusa misura 30 m ed i cui cateti hanno misure espresse, sempre in metri, da

numeri interi. Mario deve anzitutto calcolare le misure dei cateti e poi stabilire se sull’ipotenusa esi-

ste un punto le cui distanze dai vertici del triangolo sono tutte espresse, sempre in metri, ancora da

numeri interi e se ne esiste uno solo.

Mario ottiene l’orto in regalo. Come ha fatto a risolvere il problema?

[Problema ad alto coefficiente di difficoltà]

13. Dimostrare che fra gli elementi di un triangolo qualunque sussiste la seguente relazione:

a2 − b2

c2=

sin(α − β)

sin γ .

[R. Si prendono le relazioni che esprimono il teorema del coseno relativamente

agli angoli α e β. Si tengono presenti le formule di sottrazione del seno e il teo-

rema dei seni e, dopo alcune semplificazioni, la relazione risulta dimostrata]

14. Le misure dei cateti AB e AC di un triangolo rettangolo, rispetto ad una stessa unità di misura, sono

nell’ordine 6 e 8. La circonferenza avente centro in B e raggio BA e quella che ha centro in C e rag-

gio CA intersecano l’ipotenusa BC del triangolo rispettivamente nei punti D ed E. Calcolare la misu-

ra del segmento DE e l’area della regione finita di piano delimitata dal segmento DE e dagli archi

AD ed AE delle due circonferenze suddette.

15. Nel trapezio ABCD la base maggiore AB ed il lato obliquo BC sono lunghi rispettivamente a e 2

3a.

Si ha inoltre: cosABC=4/5 e cosDAB=–3/5. Dopo aver riferito il piano del trapezio ad un conve-

niente sistema di riferimento cartesiano monometrico, trovare le coordinate dei vertici del trapezio e

rappresentarlo in tale piano.

16. I raggi del Sole, intercettando una torre, ne generano un’ombra lunga il doppio dell’altezza della tor-



re medesima. Indicata con x l’ampiezza dell’angolo che i raggi del Sole formano con il piano oriz-

zontale passante per la torre, si ha:

[A] 0°<x<30°; [B] 30°≤x<45°; [C] 45°≤x<60°; [D] 60°≤x<90°.

Una sola alternativa è corretta: individuarla e fornire una spiegazione esauriente della scelta.

17. Nel triangolo ABC l’angolo in B supera di 90° l’angolo in A ed il lato AC è 4/3 del lato BC. Sapendo

che il perimetro del triangolo è 84 cm, calcolare le misure dei suoi lati e la tangente dell’angolo Ĉ.

[R. 30 cm, 40 cm, 14 cm; tan C=7/24]

18. È data la circonferenza k di diametro BC di lunghezza 2 e centro O. Siano M il punto medio del rag-

gio OB ed A il punto medio di una qualsiasi delle semicirconferenze in cui BC divide k. Si chiami D

il punto in cui la bisettrice dell’angolo OMA interseca il raggio OA e siano E ed F i punti in cui k è

intersecata dalla retta parallela a BC, condotta per D.

1) Calcolare il coseno di ciascuno degli angoli AOE e AOF.

2) Spiegare perché i segmenti AE e AF sono lati consecutivi di un pentagono regolare (il pentago-

no regolare inscritto nella circonferenza).

[NOTA BENE. Questo esercizio descrive di fatto una costruzione con

riga e compasso del pentagono regolare inscritto in una circonferenza]

[𝐑. 1) 1

4(√5 − 1); 2)… ]

19. Da un punto P, esterno alla circonferenza K, si conducono due secanti a K. Una interseca K nei punti

A e B (PA<PB), l’altra nei punti C e D (PC<PD). Si sa che i segmenti AB, AP, PC, AD misurano

nell’ordine: 6 cm, 15 cm, 17 cm, 150

17 cm.

a) Calcolare il coseno dell’angolo ABC.

b) Verificare che il triangolo ABC è rettangolo.

c) Calcolare la misura della corda BD.

20. Un trapezio ABCD è inscritto in un cerchio di raggio 25 cm e ne contiene il centro O. Le sue basi

AB e CD misurano rispettivamente 48 cm e 40 cm.

a) Dimostrare che il trapezio è isoscele e calcolarne l’area.

b) Calcolare il valore esatto del seno dell’angolo convesso AÔD.

[R. a) 968 cm2; b) 4/5]

21. In una circonferenza di raggio 2 sono disegnate le due corde consecutive AB e BC, lunghe rispetti-

vamente 2 e √6–√2. Calcolare la lunghezza della corda AC. [R. 2√2]

22. Nel triangolo ABC la differenza fra l’angolo di vertice A e quello di vertice B è 90°.

a) Stabilire entro quali limiti può variare l’angolo in B.

b) Sapendo che i lati AC e BC sono lunghi rispettivamente 3 m e 4 m, calcolare il perimetro e l’area

del triangolo.

[R. a) 0°<B<45°; b)42

5m,

42

25m .]

23. In una circonferenza sono disegnate tre corde parallele, lunghe rispettivamente 3, 4, 5. L’angolo al

centro corrispondente alla corda più lunga è uguale alla somma degli angoli al centro corrispondenti

alle altre due corde. Dimostrare che la corda più lunga è un diametro della circonferenza.

[R. Conviene disporre le corde in modo che l’una sia consecutiva all’altra: AB,

BC, CD. Sennonché, siccome le loro lunghezze formano una terna pitagorica, la

corda CD … ed il punto D deve coincidere con il punto …. Di conseguenza …]

24. Nel triangolo ABC i lati AB, BC, CA misurano nell’ordine 20 cm, 21 cm, 13 cm.



a) Dimostrare che il triangolo è acutangolo e trovare la misura della sua altezza AH.

b) Si prendano internamente al lato BC due punti M ed N in modo che sia BM<BN ed inoltre

l’angolo MAC sia uguale all’angolo ABC e l’angolo NAB sia uguale all’angolo BCA.

Dopo aver dimostrato che gli angoli AMN e ANM sono entrambi uguali all’angolo BAC, trovare

le misure dei segmenti MN, BM e NC.

c) Calcolare le misure, espresse in gradi sessagesimali e approssimate al secondo, degli angoli in-

terni del triangolo ABN.

[𝐑. a)… , AH=12 cm; b)… , MN=128

21cm, …; c) …]

25. Nel quadrilatero convesso ABCD gli angoli ABC e ADC sono entrambi retti. Inoltre i lati AB e AD

misurano rispettivamente 6 cm e (4√3+3) cm, mentre la diagonale AC misura 10 cm. Calcolare le

ampiezze degli angoli BAD e BCD. [R. BAD=60°, … ]

26. Una cassa, avente la massa di 50 kg, è situata su un piano inclinato di 15° rispetto al piano orizzonta-

le (Fig. 14). Il peso P della cassa può essere scomposto secondo due direzioni, una parallela ed una

perpendicolare al piano inclinato. Tenendo presente che alla seconda componente si oppone la co-

siddetta reazione del vincolo che ne annulla l’effetto, affinché la cassa sia in equilibrio sul piano in-

clinato bisogna esercitare su di essa una forza F . Determinare direzione modulo e verso di questa

forza, ricordando che l’accelerazione di gravità g vale all’incirca 9,8 m/s2. [R. F ≈ 126,8 N , …]

FIG. 14 FIG. 15

27. PROBLEMA RISOLTO. Il punto P si muove in senso antiorario su una circonferenza di centro O e rag-

gio R = 18 cm (Fig. 15) con velocità angolare ω uguale a π/18 radianti al secondo. Sia P0 la sua po-

sizione nell’istante iniziale t=0. Il punto P è collegato con due aste rigide al punto O ed al punto A e

quest’ultimo punto è costretto a muoversi sulla retta OP0. Sapendo che l’asta AP è lunga L = 41 cm,

calcolare la posizione del suo estremo A nell’istante t = 3 secondi.

RISOLUZIONE. Indicato con α l’angolo P0OP, si sa che nel generico istante t è α=ωt, per cui

nell’istante t = 3 secondi, si ha: α=π/6. Partiamo da questo dato, incominciando ad osservare che si

ha: AO=AH–OH. D’altro canto:

AH=APcosHAP e OH=OPcosHOP=R

2√3 .

Inoltre, in virtù del teorema dei seni applicato al triangolo AOP, dopo alcuni calcoli si trova:

sinHAP =R

2L e pertanto: cosHAP =

1

2√4L2 − R2 .

In definitiva:

AO =1

2√4L2 − R2 −

R

2√3 = 40 − 9√3 ≈ 24,4 (cm).

28. Il punto P si muove in senso antiorario su una circonferenza di centro O e raggio R (Fig. 15, riveduta

e corretta) con velocità angolare ω uguale a 5π/24 radianti al secondo. Sia P0 la sua posizione

nell’istante iniziale t=0. Il punto P è collegato con due aste rigide al punto O ed al punto A e



quest’ultimo punto è costretto a muoversi sulla retta OP0. Sapendo che l’asta AP è lunga L=R

2√13,

calcolare in funzione di R la posizione del suo estremo A nell’istante t = 4 secondi. [R. AO=3

2R√3]

29. Nella figura sottostante (Fig. 16) sono rappresentati il quadrato OABC di lato 2 e il quadrato OPRQ

di lato 1. L’angolo ROS ha ampiezza α compresa fra 0 e π/2.

a) Esprimere in funzione di α le coordinate dei punti A, C, P, R.

b) Dimostrare analiticamente che la mediana OM del triangolo ORA è perpendicolare alla retta CP

e che la mediana ON del triangolo OCP è perpendicolare alla retta RA.

c) Dimostrare infine che per nessun valore di α le due mediane suddette possono coincidere.

FIG. 16

30. Il quadrato ABCD, di centro O, ed il quadrato OPQR sono disposti in modo che il lato OP ed il lato

AB abbiano in comune il punto H interno al segmento AM, essendo M il punto medio di AB. Sa-

pendo che OP=2AB e indicato con K il punto comune ai lati OR e BC, esprimere il rapporto fra

l’area del quadrilatero OMBK e quella del triangolo OHM in funzione della misura α dell’angolo

OHM. [R. 2 tan α –1, con π

4<x<

π

2]

31. Le corde AB e CD di una circonferenza s’intersecano nel punto E, interno alla stessa circonferenza.

È noto che il triangolo EAC ha perimetro doppio del triangolo EBD. È noto inoltre che:

cosEAC=4

5 , cos CEA=

5

13 , EA=21a ,

dove a è una lunghezza assegnata. Calcolare l’area del triangolo EBD e la lunghezza del diametro

della circonferenza. [𝐑. 31,5 a2 , 5

6a √1105]

32. Su un triangolo si hanno le seguenti informazioni:

a) le misure dei suoi lati, espresse in metri, sono numeri interi consecutivi;

b) il suo angolo maggiore è ampio il doppio del minore.

Calcolare il perimetro e l’area del triangolo. Calcolare inoltre le ampiezze dei suoi angoli, espresse

in gradi sessagesimali ed approssimate ad un primo.

[R. Indicata con x la misura del lato intermedio, … . In virtù del teorema dei seni relativo agli angoli

maggiore e minore … . In virtù del teorema del coseno relativo all’angolo minore … . Si ottengono

due espressioni del coseno dell’angolo minore, per cui … . P=15 m, A=15√7

4𝑚2; ≈ 41°24′, … ]

33. Nel triangolo ABC, indicati con α, β, γ gli angoli di vertici A, B, C rispettivamente, sia α>β>γ. In-

dicato con D il piede dell’altezza condotta per A, siano E ed F le proiezioni ortogonali di D rispetti-

vamente su AB e AC e siano G ed H le proiezioni ortogonali rispettivamente di E ed F su BC.



a) Dimostrare che, a seconda che l’angolo in A sia retto, acuto o ottuso, si ha rispettivamente:

cos2 β + cos2 γ = 1 oppure cos2 β + cos2 γ < 1 oppure cos2 β + cos2 γ > 1.

b) Sulla base del precedente risultato, dimostrare che si ha:

AD=EG+FH oppure AD>EG+FH oppure AD<EG+FH

a seconda che l’angolo in A rispettivamente sia retto, acuto o ottuso

[R. a) Dapprima di fa vedere che: cos2 β + cos2 γ = ⋯ = 1 + cos(β + γ) cos(β − γ) , per cui…;

b) Si ha: EG = ADcos2 β e FH = ⋯, per cui …]

34. Nel triangolo ABC gli angoli in A e in B sono ampi rispettivamente α e 2α, mentre il lato AB è lun-

go L. Detto P un punto del lato AB, siano PH e PK le sue distanze dai lati AC e BC rispettivamente.

a) Trovare per quali valori di α il triangolo esiste.

b) Determinare la posizione di P per la quale HK è parallela ad AB.

[

R. a) … ; b) Conviene calcolare le distanze uguali, HM e KN, dei punti H e K

dal lato AB in funzione di x=AP. A conti fatti, si trova: AP=2 L cos 2α

1+2 cos 2α

]

35. Sia il triangolo equilatero ABC e siano AD, BE, CF tre segmenti uguali (Fig. 17). Il triangolo è divi-

so in 7 parti dai segmenti AE, BF e CD. Di esse, il triangolo ADP e il quadrilatero BQPD misurano

rispettivamente 3 m2 e 15 m2.

a) Dimostrare che i triangoli ADP, BEQ e CFR sono uguali.

b) Dimostrare che i quadrilateri BQPD, CRQE e APRF sono uguali.

c) Dimostrare che i triangoli ADP e ABE sono simili.

d) Dopo aver dimostrato che il triangolo PQR è equilatero, calcolarne l’area.

FIG. 17

[𝐑.… ; d)… . Posto AB = a e AD = b, dopo alcune considerazioni si trova:

AE2= a2 + b2 − ab , BQ =

ab

AE , EQ =

b2

AE , PQ =

a(a − b)

AE .

Indicata con A l′area del triangolo PQR e con A′quella del triangolo ABC, si ha:

A′

A=

AB2

PQ2 da cui:

A′

A=

a2 + b2 − ab

(a − 2b)2 .

Siccome Area(ABE)

Area(ADP)=

AE2

AD2 , allora:

21

3=

a2 + b2 − ab

b2 , da cui: a = 3b .

Quindi: A′

A= 7. D′altro canto: A′ = A + 54. Di conseguenza: A = 9 m2]

36. Dimostrare che, se ma, mb, mc sono le mediane del triangolo ABC, uscenti dai vertici A, B, C ri-

spettivamente, seguendo le solite notazioni, si hanno le seguenti formule:

ma =1

2 √2b2 + 2c2 − a2 , mb =

1

2 √2c2 + 2a2 − b2 , mc =

1

2 √2a2 + 2b2 − c2 .



[R. Chiamato M il punto medio del lato BC, sia φ l′angolo AMC. Si ha:

b2 = ma2 + (

a

2)2

− a ma cosφ e c2 = ma2 + (

a

2)2

+ a ma cosφ .

Da qui segue facilmente la prima tre delle formule. Per le altre … ]

37. Il lato BC del triangolo equilatero ABC è diviso dai punti D ed E in tre parti uguali. Calcolare le am-

piezze (espresse in gradi sessagesimali ed approssimate al minuto primo) dei tre angoli in cui i seg-

menti AD ed AE dividono l’angolo BAC . [R. 19°6’, 21°47’, …]

38. ABC è un triangolo di area 80 cm2, nel quale il coseno dell’angolo in A è 3/5. Sia D il punto inter-

no al lato AB tale che ACD=CBA. Sapendo che l’area del triangolo ADC è 20 cm2, dimostrare che il

triangolo ABC è ottusangolo.

39. I lati AB e AC del triangolo ABC sono lunghi rispettivamente 75a e 60a, dove a è una lunghezza

assegnata. Preso, internamente al lato AB il punto D tale che le aree dei triangoli ACD e BCD siano

rispettivamente 1536 a2 e 864 a2 stabilire se il triangolo ABC è acutangolo, rettangolo o ottusangolo

e calcolare le misure delle sue altezze.

40. L’area del triangolo ABC è 84 a2 ed i suoi lati AB e AC sono lunghi rispettivamente 21a e 10a, do-

ve a è una lunghezza assegnata. Preso, internamente al lato AB, il punto D tale che l’area del trian-

golo ACD sia doppia di quella del triangolo BCD, calcolare i coseni degli angoli interni del triangolo

ABC. [𝐑. cos 𝛼 =3

5, cos 𝛽 =

15

17, cos 𝛾 = −

13

85]

41. I due segmenti AM e BN si secano nel punto H in modo che sia AH=2 HM e BH=2 HN.

a) Si può affermare che il quadrilatero ABMN è un trapezio?

b) Dimostrare che esiste un triangolo ABC del quale AM e BN sono le mediane.

c) Posto che i segmenti AM e BN misurino rispettivamente 15 cm e 12 cm e che il coseno

dell’angolo AHB è –7

16 , trovare il perimetro del triangolo ABC.

[R. a)…; b)…; c) (27

2+6√6+3√26) cm]

42. La maestra consegna a Pierino un cartoncino bianco a forma di trapezio isoscele. Vi è tracciata una

corda parallela alle basi del trapezio, alla distanza di 8 cm dalla base maggiore. La maestra incarica

Pierino di colorare in rosso la regione del cartoncino compresa tra la corda e la base maggiore. Sen-

nonché Pierino, dispettoso com’è, sposta la corda verso la base maggiore mantenendola parallela a

se stessa. In questo modo colorerà una regione che è esattamente la metà di quella che avrebbe dovu-

to colorare. Sapendo che la base minore, la base maggiore e l’altezza del cartoncino misurano rispet-

tivamente: 10 cm, 16 cm e 12 cm, calcolare:

a) le misure degli angoli del trapezio approssimate ad 1”;

b) a quale distanza dalla base maggiore, approssimata ad 1 mm, è situata la nuova corda.

[R. a) 75°57’49”, … ; b) 3,7 cm]

43. È dato un quadrato di lato lungo L. Sui suoi lati ed esternamente ad esso si costruiscono dei triangoli

equilateri e si congiungono i loro vertici non appartenenti al quadrato: si ottiene in tal modo un qua-

drilatero. Calcolarne l’area. [𝐑. L2(2 + √2)]

44. È dato un triangolo equilatero di lato lungo L. Sui suoi lati ed esternamente ad esso si costruiscono

dei quadrati e si congiungono i loro vertici non appartenenti al triangolo: si ottiene in tal modo un

esagono (Fig. 18). Calcolarne l’area. [𝐑. L2(3 + √3)]



FIG. 18 FIG. 19

45. È dato un ottagono regolare di lato lungo L. Sui suoi lati ed esternamente ad esso si costruiscono dei

quadrati e si congiungono i loro vertici non appartenenti all’ottagono: si ottiene in tal modo un poli-

gono di 16 lati (Fig. 19). Calcolarne l’area. [𝐑. 10 L2(1 + √2)]

46. Si consideri la forma stilizzata della base maggiore di un pandoro: è una stella a otto punte. I suoi

vertici esterni sono situati su una circonferenza di raggio R, ad uguale distanza l’uno dall’altro, men-

tre i vertici interni sono situati, sempre ad uguale distanza l’uno dall’altro, su una circonferenza di

raggio r, concentrica alla prima (Fig. 20). Calcolare l’area della stella. [𝐑. 4 R r √2 − √2]

FIG. 20

47. ® È dato il triangolo ABC, rettangolo in A. Indicato con M il punto medio del cateto AB, si traccino

la corda MD parallela alla mediana del triangolo condotta per B e la corda ME parallela alla mediana

condotta per A.

1) Dimostrare che il quadrilatero CDME non è inscrivibile né circoscrivibile ad un cerchio.

2) Ammesso che l’angolo ACB misuri 60°, calcolare le misure degli angoli MDC e DME, espresse

in gradi sessagesimali e approssimate ad 1 secondo.

[Problema ad alto coefficiente di difficoltà]

48. È dato il triangolo ABC, rettangolo in A. Costruire, esternamente ad esso, il quadrato ABDE sul ca-

teto AB, il quadrato AFGC sul cateto AC e il quadrato BCHL sull’ipotenusa BC.

a) Dimostrare quindi che i triangoli AEF, BLD e CGH sono equivalenti al triangolo ABC.

b) Posto che i cateti AB e AC misurino rispettivamente 3 cm e 4 cm, calcolare l’area e il perime-

tro dell’esagono DEFGHL. [R. a) … ; b) 74 cm2 , (17+2√13+√73) cm]

49. Nel triangolo ABC si ha: AB = 7 cm, AC = 6 cm, cosBAC=2

7√6.

a) Calcolare la misura del raggio della circonferenza k inscritta nel triangolo.

b) Chiamato D il punto del lato AB tale che AD = 2 cm, determinare sul lato AC il punto E in

modo che la corda DE del triangolo sia tangente alla circonferenza k.

[𝐑. a) r =5

3cm, b) CE =

5

2cm]

50. Quattro città – A, B, C, D – sono situate nei vertici di un trapezio isoscele. La somma delle distanze

x tra le città A e B e y tra le città B e C vale 55 km, la somma delle distanze y già precisata, z tra le

città A e D e t tra le città C e D vale 110 km, quella delle distanze x e t vale 90 m. Il perimetro del



trapezio è infine 140 km.

a) Calcolare le distanze tra le città A e C e fra le città B e D.

b) Dimostrare che la somma S delle distanze di un punto appartenente alla base maggiore del tra-

pezio dai suoi lati obliqui è invariante al variare del punto.

c) Dimostrare che ogni altro punto interno al trapezio o appartenete al suo contorno ha, dai lati

obliqui del trapezio, distanze la cui somma è minore di S.

51. Con riferimento alla figura sottostante (Fig. 21), il segmento AB, lungo 3L, dove L è una lunghezza

assegnata, è diviso in tre parti uguali dai punti C, D. Il quadrilatero ACEF è un parallelogramma, in

cui l’angolo acuto di vertice A misura α e il lato AF è lungo 5

2L . Il quadrilatero DBGH è simmetrico

di ACEF rispetto alla retta r, perpendicolare al segmento AB nel suo punto medio.

a) Trovare per quali valori di α l’intersezione dei due parallelogrammi suddetti non è vuota.

b) Trovare, in particolare per quali valori di α tale intersezione è un quadrilatero PQRS.

c) Quando questo quadrilatero esiste, calcolarne l’area in funzione di α.

d) Esiste un valore di α per il quale il quadrilatero PQRS è un quadrato: trovare questo valore e

calcolare il perimetro del quadrato.

[R. a) 0<α≤α1 , con α1≈78°27'47''; b) 0<α≤α2 , con α2≈53°7'47''; c) a2

2tan α ; d) 2a√2]

FIG. 21 FIG.22

52. Con riferimento alla figura 22: a) è corretto affermare che la pendenza media del tratto ABC è la

stessa di quella del tratto AC se si potesse andare direttamente da A a C in linea retta? b) è corretto

affermare che tale pendenza media è la media aritmetica delle pendenze dei tratti AB e BC?

53. Ancora con riferimento alla figura 22: qual è la pendenza media del tratto ABC?

[A] 80,0%. [B] 71,4%. [C] 114,2%. [D] un valore diverso dai precedenti.

Una sola alternativa è corretta. Individuarla e fornire un’esauriente spiegazione della scelta operata.

54. La base maggiore AB, la base minore DC e l’altezza AD del trapezio rettangolo ABCD misurano

rispettivamente: 20 m, 5 m e 6 m.

a) Determinare un punto P interno al trapezio in modo che i triangoli PAB e PCD siano entrambi

rettangoli in P.

b) Calcolare il coseno di ciascuno degli angoli APD e BPC.

[a) Se H è la proiezione di P su AB: AH=36

41, HP=

168

41; b) cos APD=–

4

5 , …]

55. Nel piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), sono assegnati i punti A(1, 3) e

B(5,−5).

a) Determinare le coordinate di un punto C equidistante dai punti O, A, B.

b) Calcolare il coseno di ciascuno degli angoli convessi OCA,OCB, ACB.

56. Considerata una circonferenza di raggio r, siano Pn e pn i perimetri dei poligoni regolari di n lati ri-

spettivamente circoscritto e inscritto nella circonferenza. Dimostrare che:



a) Pn = 2 n r tan180°

n , pn = 2 n r sin

180°

n ;

b) P2n è uguale alla media armonica di Pn e pn ;

c) pn è uguale alla media geometrica di P2n e pn .

57. Nel triangolo ABC si ha:

cos A=16

65 , AB>AC,

AB+AC

BC=

11

7 .

a) Calcolare il rapporto fra il lato AB e il lato BC.

b) Ammesso che il perimetro del triangolo misuri 108 cm, calcolare le misure dei lati.

c) Calcolare infine l’altezza del triangolo uscente da A.

[N.B.: Il problema è ispirato alla proposizione 45 dell’opera Dati di Euclide]

[𝐑. a) AB

BC=

20

21 ; b) 42 cm, 40 cm, 26 cm; c) 12 cm]

58. In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), sono assegnati i punti fissi

A(0,4) e C(–4,0) e i punti variabili P(a,b) e R(b,–a), dove a, b sono parametri reali positivi.

1. A) Trovare le coordinate del punto B, vertice del parallelogramma OABC, e quelle del punto

Q, vertice del parallelogramma OPQR.

B) Verificare che i due parallelogrammi sono in realtà dei quadrati.

2. A) Trovare le equazioni delle rette AP e CR.

B) Verificare che la retta per O, perpendicolare alla retta AP, interseca la retta CR nel punto

medio del segmento CR.

3. A) Stabilire se esistono valori del numero reale positivo k, per i quali il quadrato OPQR e il

triangolo OAP abbiano la stessa area k.

B) Nel caso particolare in cui sia k=2, calcolare le ampiezze degli angoli interni del triangolo

OAP, espresse in gradi sessagesimali e approssimate ad 1”.

[R. … ; 3A) 0<k<4, …]

59. È assegnata una semicirconferenza di diametro AB, lungo 2r. Si prendano su di essa i due punti C e

D in modo che gli angoli BAC e CAD abbiamo lo stesso coseno, uguale a 4/5.

a) Trovare il coseno dell’angolo A��D.

b) Calcolare il perimetro del quadrilatero ABCD:

[𝐑. a)24

25; b)

14

25r]

60. Il pentagono ABCDE è circoscritto ad un cerchio di centro O. I lati AE e BC sono perpendicolari al

lato AB e inoltre gli angoli AOE e DOE misurano entrambi 75°. a) Trovare le misure degli angoli in-

terni del pentagono. b) Trovare il raggio del cerchio sapendo che il perimetro del pentagono è

2a(5√3–2), dove a è una lunghezza assegnata. [R. a)… ; b) a√3]

61. Il trapezio ABCD, di basi AB e CD, è circoscritto ad un cerchio di raggio unitario e centro O. Sa-

pendo che:

cosOAB =3

5 e cos COD =

5

13 ,

calcolare le lunghezze dei lati del trapezio e verificare che risulta: AB+CD=AD+BC.

[R. Calcoli noiosi ma non concettualmente complicati. AB=75

16, CD=

100

63, AD=

25

12, BC=

4225

1008]



UNA BREVE SINTESI PER DOMANDE E RISPOSTE

DOMANDE

1. È dato un triangolo rettangolo isoscele. È vero che la misura di ciascuno dei cateti, rispetto

all’ipotenusa assunta come unità di misura dei segmenti, è √2

2 ?

2. È dato un triangolo rettangolo avente un angolo di 30°. È vero che le misure dei cateti, rispetto

all’ipotenusa assunta come unità di misura dei segmenti, sono 1

2 e

√2

2 ?

3. Un cateto di un triangolo rettangolo è lungo 12, mentre il coseno dell’angolo opposto ad esso è 3/5.

Quant’è lungo l’altro cateto?

4. I punti A e B si trovano su uno stesso piano orizzontale ω ma da parti opposte rispetto ad una monta-

gna. Indicata con C la vetta della montagna, con appositi strumenti è possibile calcolare l’ampiezza

αdell’angolo CAB e l’ampiezza β dell’angolo CBA ed inoltre l’altezza h della vetta C rispetto al piano

ω. Trovare un’espressione della distanza AB per mezzo di α, β, h.

5. Un lato di un triangolo equilatero è diviso in tre parti uguali. I segmenti che congiungono i punti di

divisione con il vertice dell’angolo opposto dividono quest’angolo in tre parti uguali. È esatto?

6. Un tratto di strada è formato da due tronconi: il primo, di 5 km, ha una pendenza media dell’8%; il se-

condo, di 7 km, ha una pendenza media dell’11%. Qual è la pendenza media dell’intero tratto di stra-

da?

[A] 9,50%. [B] 9,75%. [C] 10,00%. [D] 10,25%.

Una sola alternativa è corretta: individuarla e fornire una spiegazione esauriente della scelta operata.

7. È vero che l’area A di un quadrilatero convesso, le cui diagonali sono lunghe d e d’ e l’angolo acuto

da esse formato misura φ, è data dalla formula: A=1

2 d d' sinφ ?

8. Indicati con a ed α rispettivamente un lato e l’angolo opposto di un triangolo, il raggio R del cerchio

ad esso circoscritto è tale che: a=2R sinα. È vero o è falso?

9. In una circonferenza di centro O e raggio 3 sono assegnate due corde consecutive AB e BC, lunghe

rispettivamente 1 e 2. Stabilire se il triangolo AOC è acutangolo, rettangolo o ottusangolo, possibil-

mente senza utilizzare strumenti di calcolo automatico per calcolare le ampiezze degli angoli.

RISPOSTE.

1. Sì.

2. No. La misura del cateto minore (quello opposto all’angolo di 30°) è effettivamente 1/2, ma quella

del maggiore è √3/2.

3. Indicati con b il cateto noto e con l’angolo ad esso opposto, l’altro cateto c è tale che:

c=b

tanβ .

D’altronde: tan β=sin β

cosβ=

4/5

3/5=

4

3 , per cui: c=9.

4. Il procedimento, caso particolare del cosiddetto metodo della triangolazione, porta al seguente risulta-

to:

dist(A, B) = h (1

tanα+

1

tanβ) .



5. No, è sbagliato. Si veda al riguardo l’es. n. 35.

6. Si trova facilmente che [B] è l’alternativa corretta.

7. Sì.

8. È vero.

9. Il triangolo AOC è isoscele sulla base AC, ragion per cui la sua natura è determinata da quella

dell’angolo AOC. Per stabilire la natura di quest’angolo conviene calcolarne il coseno. Ora, una volta

indicati con α e rispettivamente gli angoli AOB e BOC, in virtù del teorema del coseno, applicato

prima al triangolo AOB e poi al triangolo BOC, si trova:

cosα=17

18 , cos β=

7

9 .

Da cui segue: sin α=√35

18 , sin β=

4√2

9 .

Pertanto: cosAOC= cos(α+β)= cosα cosβ – sin α sin β=17

18∙7

9 –

√35

18∙4√2

9>0 .

Se ne desume che l’angolo AOC è acuto e, di conseguenza, il triangolo AOC è acutangolo.

LETTURA

Dov’è l’errore ?

Consideriamo un triangolo ABC, ottusangolo in C, e sia D il punto del lato AB tale che ACD=CBA (Fig.

23). Ci proponiamo di dimostrare che AD=AB. Il che è evidentemente assurdo e pertanto ci deve essere un

errore da qualche parte nella dimostrazione. Invitiamo chi legge a trovarlo.

FIG. 23

Dalla similitudine dei triangoli ABC e ADC segue:

Area(ABC)

Area(ADC)=

BC2

DC2 e

Area(ABC)

Area(ADC)=

AB

AD ; pertanto:

BC2

DC2 =

AB

AD , o anche:

BC2

AB=

DC2

AD .

D’altro canto:

BC2= AB

2+ AC

2− 2 AB ∙ AC cosα e DC

2= AD

2+ AC

2− 2 AD ∙ AC cos α .

Di conseguenza, sostituendo nell’ultima delle precedenti uguaglianze, si ottiene:

AB2+ AC

2− 2 AB ∙ AC cosα

AB=

AD2+ AC

2− 2 AD ∙ AC cosα

AD

e da qui: AB+AC

2

AB=AD+

AC2

AD ossia: AB–

AC2

AD=AD–

AC2

AB o anche:

AB∙AD–AC2

AD=

AB∙AD–AC2

AB .

Ora, nell’ultima relazione, si constata che i numeratori delle due frazioni uguali sono uguali, per cui anche i

denominatori devono esserlo. Vale a dire: AD=AB !?!

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