La ricerca operativa,nata intorno al 1939 in Inghilterra,è una disciplina che fornisce strumenti matematici di supporto alle attività decisionali in cui occorre gestire e coordinare attività e risorse limitate al fine di massimizzare o minimizzare una funzione obiettivo.

La ricerca operativa si occupa di formalizzare un problema in un modello matematico e calcolare una soluzione ottima.

Cos’è la ricerca operativa?

La ricerca operativa si suddivise in cinque distinte fasi:

1) Formulazione del problema;

2) Raccolta delle informazioni;

3) Costruzione del modello matematico (attraverso la funzione obiettivo e vincoli di segno);

4) Risoluzione del modello;

5) Controllo del modello e delle soluzioni ottenute.

Quali sono le fasi della ricerca operativa?

I problemi di scelta possono essere classificati in quattro grandi gruppi:

1. Problemi discreti e continui:

• Discreti: quando le variabili d’azione possono assumere solo valori interi all’interno dei loro intervalli di variabilità;

• Continui: quando le variabili possono assumere tutti i valori nel loro intervallo di variabilità, la scelta avviene fra un numero infinito di possibilità.

2. Problemi in una o più variabili:

• Dipende dal numero delle variabili

Classificazione dei problemi di scelta

3. Problemi in condizione di certezza o incertezza:

• certezza: i dati sono sicuri e fissi, frutto di indagini precise;

• incertezza: i dati dipendono da eventi casuali che hanno una certa probabilità di verificarsi.

4. Problemi con effetti immediati o differiti:

• Effetti immediati: se il tempo fra la decisione e la realizzazione, non influisce sulle grandezze economiche in questione;

•Effetti differiti: se bisogna valutare il tempo fra la decisione e l’attuazione della scelta,come per esempio negli investimenti finanziari e industriali.

Problemi di scelta

nel caso continuo

I termini principali utilizzati nei problemi di scelta sono:

Costi: ad esempio le spese per i macchinari oppure gli affitti. Possono essere suddivisi in:

• Fissi ovvero quei costi che non dipendono dalla quantità x prodotta o venduta;

• Variabili ovvero quei costi che dipendono dalla quantità x prodotta o venduta.

La somma di questi bene,ovvero il costo totale,verrà indicata con C(x).

La funzione Costo sarà quindi:

C(x)= C.F. + C.V.

Dove per C.F. si intenderanno i costi fissi e per C.V si intenderanno i costi variabili.

Ricavi:ciò che l’azienda ottiene mediante la vendita di merci. Viene indicato con R(x)=p.x, dove p è il prezzo unitario della merce venduta e x è la quantità di prodotto.

La funzione Ricavo sarà quindi:

R(x)= p.x

Profitto-Guadagno-Utile:è la differenza tra ricavo e costo totale.

La funzione Profitto sarà quindi:

U(x)= R(x)-C(x)

Grafici

I grafici dei problemi di scelta possono essere rappresentati da una retta oppure da una parabola.

Dopo aver individuato il Ricavo ed il Costo utilizziamo la funzione Utile,perché il problema ci chiede di trovare il massimo utile giornaliero.

Lo troviamo quindi utilizzando la formula

Y= R(x) – C(x) Y = 1,2 x – (0,7x + 6)

Y= 1,2x - 0,7x – 6

Y= 0,5 x – 6 con i vincoli 0 ≤ x ≤ 20x ≥ 0 Vincolo di segno

x ≤ 20 Vincolo Tecnico

Un commerciante acquista prodotti di costo 0,70 € al kg e li rivende a 1,20 € al kg. Per il trasporto deve sostenere costi fissi giornalieri di 6 € e al massimo può trasportare 20 kg di prodotti al giorno. Calcola la quantità di prodotti da vendere per avere il massimo utile giornaliero.

Notiamo che la variabile di scelta in questo caso è la quantità di prodotti acquistata,perché non indica il numero preciso di prodotti. Notiamo anche però che possiamo trasportare soli 20 kg d prodotti al giorno,quindi la variabile deve essere un numero qualunque positivo e non superiore a 20.

R(x)= 1,2 x C(x)= 0,7x + 6

Ricavo giornaliero

Costi Fissi

Costi Variabili

Problema Retta

Il grafico può essere compilato in due modi:

Se il produttore acquista un numero di prodotti inferiori a 12, quindi 0 ≤ x < 12,è in perdita.

Se x =12 il commerciante non ha né un utile né una perdita,infatti l’ordinata è Y= 0.

Per tutti i valori superiori a 12 e inferiori a 20,quindi 12 < x ≤ 20, il commerciante ha un utile. L’utile infatti è crescente e raggiunge il massimo del trasportabile quindi 20.

Y(20)= 0,5 per 20 – 6 = 4 utile massimo giornaliero.

Se il produttore acquista un numero di prodotti inferiori a 12,quindi 0 ≤ x < 12,è in perdita. Se x =12 il costo è uguale al ricavo,e si ha il cosiddetto punto di rottura o break-even point, ovvero il punto che divide la zona di perdita dalla zona di utile.Per tutti i valori superiori a 12 e inferiori a 20,quindi 12 < x ≤ 20, il commerciante ha un utile,perché i ricavi superano il costo totale. Per x = 20 abbiamo il massimo utile ,ovvero la differenza tra ricavi e costi.

R(20) – C(20)= 1,2 * 20 –(0,7 *20 + 6) = 24 – (14 + 6) = 4

Problema Parabola

Una ditta produttrice di detersivi per lavatrici ha costi al litro di 2 € e sostiene una spesa fissa settimanale di 100 €. La ditta prevede di ricavare 3 € al litro con una spesa di vendita per ogni litro pari del numero di litri venduti.

1000

1

Per risolvere il problema,dobbiamo innanzitutto calcolare i litri che devono essere prodotti dalla ditta settimanalmente per avere il massimo guadagno,nell’ipotesi che non ci siano limiti di produzione e che tutta la merce prodotta vada venduta. Indichiamo quindi con x i litri venduti ottenendo la seguente situazione:

C(x)= 2x + 100 S(x)= ( x)= 0.001 x2 R(x)= 3x1000

1

Costo di produzione settimanale

Spesa di vendita

Ricavo settimanale

Per trovare il guadagno settimanale dobbiamo usare la formula

U(x)= R(x) – (C(x) + S(x) )

Y= 3x – (0,001 x2 + 2x + 100) Y= - 0,001 x2 + x + 100

Dopo aver trovato il guadagno,determiniamo le coordinate del vertice che chiameremo V:

Xv = = 500 Yv = =150

Calcoliamo poi le coordinate dei punti A,B,C di intersezione con gli assi:

)001,0(*2

1

)001,0(*4

1)100(*)001,0(*4

{x = 0

y = - 0,001 x2 + x - 100{

x = 0

y = - 100

A( 0; -100) B( 112,7;0) C(887,30;0)

{x = 0

y = - 0,001 x2 + x - 100{

y = 0

x =001,02

001,0100411

112,7

887,30

Notiamo dal grafico che per una produzione inferiore a 112,7 l la ditta è in perdita: il punto A che indica tale perdita ( y = -100) corrisponde ai costi fissi se le vendite non sono ancora iniziate quindi con x = 0. Per 112,7 il guadagno è nullo e cresce poi fino a raggiungere il massimo per una produzione di 500 l e poi decresce fino alla produzione d 887,30 l annullando nuovamente il valore. Il massimo guadagno si ha con produzione e vendita di 500 l che corrisponde all’ordinata del vertice quindi a 150 €.

Problema di scelta

tra più alternative

Lo scopo è quello di scegliere l'alternativa più conveniente al variare della variabile x tra due o più alternative,che si evidenziano attraverso l’uso di più funzioni obbiettivo. La scelta può essere comunque tra funzioni dello stesso tipo oppure di tipo diverso.

I punti di incontro fra le funzioni obbiettivo sono chiamati Punti di Indifferenza in quanto per i valori di x corrispondenti due alternative sono equivalenti.

Nei punti in cui le funzioni non sono equivalenti la scelta viene effettuata considerando i grafici; se il problema è di minimo viene scelta la alternativa rappresentata dalla funzione al di sotto, se è un problema di massimo la funzione sopra.

Esaminiamo quindi un problema per capire meglio.

Problema di minimo con la scelta tra funzioni dello

stesso tipo

Un artigiano necessita per la sua attività di un autofurgone per trasporto merci. Con le caratteristiche desiderate,in commercio ne esistono 3 diversi tipi. Il tipo A ha un costo d’acquisto di 90 000 € e costi successivi di manutenzione di 0,6 € per chilometro. Il tipo B ha un costo d’acquisto 15 000 € e costi successivi di manutenzione di 0,20 € per chilometro. Il tipo C ha un costo d’acquisto di 18 000 € e costi successivi di manutenzione di 0,1375 € per chilometro. Determinare l’autofurgone più conveniente.

Indichiamo con x il numero di chilometri che l’artigiano pensa di percorrere e con Ya, Yb e Yc le funzioni costo quindi:

Ya = 0,6 x + 90 000 Yb = 0,20 x + 15 000 Yc = 0,1375 x + 18 000

Siccome è un problema di minimo,determiniamo in quali intervalli di variabilità della x una delle funzioni ha valori inferiori alle altre 2:

Ya = 0,6 x + 90 000

Yb = 0,20 x + 15 000 con x ≥ 0

Yc = 0,1375 x + 18 000

Calcoliamo le coordinate dei punti Q ed R

{y = 0,6 x + 90 000

y = 0,20 x + 15 000{

x = 15 000

y = 18 000

Q ( 15 000; 18 000)

{y = 0,1375 x + 18 000y = 0,20 x + 15 000 {

x = 48 000y = 24 000

R (48 000; 24 000)

Notiamo che l’alternativa A (P) è più conveniente se l’artigiano prevede di percorrere meno di 15 000 km.

La B (Q) se prevede di percorrerne da 15 000 a 48 000 km.

La C (R) se prevede di percorrerne più di 48 000.

Problema di massimo con scelta

tra funzioni dello stesso tipo

Una ditta che produce articoli da vendere a domicilio,deve assumere rappresentanti di commercio ai quali offre le tre seguenti possibilità di retribuzione.

A. Stipendio fisso mensile di 1000 € più 0,25 € per ogni articolo venduto.B. Stipendio fisso mensile di 800 € più 0,50 € per ogni articolo venduto.C. Stipendio fisso mensile di 500 € più 0,65 € per ogni articolo venduto.

Qual è la retribuzione più conveniente per un rappresentante(in base agli articoli venduti)?Indichiamo con y i 3 stipendi e cerchiamo quale delle 3 risulta

superiore alle altre 2:

Y1= 0,25 x + 1000

Y2= 0,50 x + 800 x ≥ 0

Y3= 0,65 x + 500

Calcoliamo le coordinate dei punti P e Q:

{y = 0,5 x + 800

y = 0,25 x + 1000{

x = 800

y = 1200

P (800;1200)

{y = 0,65 x + 500

y = 0,5 x + 800{

x = 2000

y = 1800

Q ( 2000;1800)

Come si può notare dalla figura,per un numero di articoli venduti inferiore a 800 l’alternativa più redditizia è la P.

Per un numero di articoli venduti tra 800 e 2000 la più redditizia è la Q.

Infine per un numero di articoli venduti superiori a 2000,l’alternativa più conveniente è la terza.