Scarto 01 - 1 / 28 Lezione 8 La valutazione dello scarto per fuori tolleranza.

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Lezione 8

La valutazionedello scarto per“fuori tolleranza”

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lo scarto

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lo scarto

Una nota impresa europea che costruisce cuscinetti a sfere acquista le

sfere da un fornitore del “far east”.

Il contratto prevede una certa percentuale di sfere fuori tolleranza che

devono essere scartate dal test di accettazione condotto dall’ufficio

“prove sugli acquisti”.

Su di una prima

fornitura parziale

viene condotto un

test per verificare che

la percentuale

prevedibile di scarto non superi il valore pattuito

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lo scarto

Si è definita sulla popolazione di sfere da cuscinetto una variabile

casuale X avente, per ciascuna sfera prodotta, valore uguale al valore

del diametro misurato in millimetri.

La media della X per l’intera popolazione vale = 80,0.

Qualora la varianza 2 della X per l’intera popolazione dovesse

essere maggiore di 0,01 si avrebbe uno scarto maggiore di quanto

pattuito con il fornitore e sarebbe necessaria una molto costosa

(avvocati, interpreti, prove sperimentali e documentali, …)

ricontrattazione della fornitura ... .

Quale è lo scarto pattuito?

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lo scarto

1. Definita la variabile casuale X studio la sua distribuzione:

è plausibile che, come avviene nel caso di molteplici fonti di disturbo al

processo produttivo che agiscono in modo indipendente, la X abbia

distribuzione normale, con media = 80,0 e varianza 2 = 0,01

79,6 79,7 79,8 79,9 80 80,1 80,2 80,3 80,4

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79,6 79,7 79,8 79,9 80 80,1 80,2 80,3 80,4

lo scarto

2. Da considerazioni progettuali, tecniche, ecc, si evince che le sfere

da scartare sono quelle che non rientrano nell’intervallo:

25,80;75,79

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lo scarto

3. Nel caso che si sta studiando si può prevedere uno scarto pari al:

%24,10124,00062,00062,0

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la valutazione dello scarto con Z

La individuazione dello scarto può essere condotta anche con l’uso

delle tabelle della variabile Z :

– si definisce la variabile casuale X con distribuzione normale,

media e varianza 2

– si stabiliscono i valori critici xci e xcs per la variabile X che

individuano l’intervallo di tolleranza ammessa.

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– si costruisce la variabile standardizzata Z che risulta avere

distribuzione normale, media = 0 e varianza 2 = 1

– si individuano i valori critici della Z corrispondenti ai valori

critici della X

X

Z

cs

csci

ci

xz

xz ;

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– la frazione che dovrà essere scartata corrisponde alla probabilità

che la variabile standardizzata Z risulti

esterna all’intervallo [ zci ; zcs ]

csci zZzZ P

zci zcs

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- si costruisce la variabile standardizzata Z che risulta avere


- si individuano i valori critici della Z corrispondenti

ai valori critici della X

1,0

80

XXZ

50,21,0

8025,80

50,21,0

8075,79

cscs

cici

xz

xz

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– dalla tabella della Z troviamo il valore della probabilità che

Z sia esterno ai valori critici così determinati:

%24,10124,0 csci zZzZP -2,50 2,50

0,00620,0062

il valore dello scarto risulta praticamente uguale a quello

individuato con il procedimento illustrato in precedenza.

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la valutazione dello scarto max e min

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• Un costruttore di resistori, avendo scoperto che la sua linea produce resistori da 100 con una dispersione superiore a quanto

preventivato, vuole determinare a quanto ammonta lo scarto dovuto

ai resistori fuori tolleranza ( è ammessa una tolleranza di

premesse:

• costruiamo una variabile casuale X che assume, per ciascun resistore, valore uguale al valore della resistenza misurata a 70 °C

• ipotizziamo, come è plausibile, che la X per la intera popolazione dei resistori sia distribuita in maniera normale;

• ipotizziamo, e potremmo verificare tale ipotesi con un test sulla media, che la X per la intera popolazione abbia media = 100.

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1. stabiliamo di usare un campione di 31 resistori;

2. stabiliamo di voler operare con una confidenza del 95%;

3. come variabile campionaria viene scelta la variabileche presenta distribuzione di tipoC2 modificata di chi-quadro con ( n -1 ) gradi di libertà;

4. individuiamo l’intervallo di confidenza al 95% per la varianza tramite la distribuzione della variabile C2 modificata di chi-quadro:

2

22

nS

C

560,057,1

22

2

inf2

22

sup2

2

nn

nn

SS

C

S

C

S

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5. la campagna sperimentale sul campione porta

alla determinazione del valore della varianza campionaria :

e da questo valore calcoliamo:

6. la variabile X è pertanto una variabile casuale con distribuzione normale, media = 100, varianza 2 compresa fra 2,27 e 6,38


57,32 nS

38,6560,0

57,327,2

57,1

57,3 2

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la valutazione dello scarto massimo

7. Studiamo la distribuzione normale con media = 100 e varianza

2 6,38

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2 6,38 e cerchiamo la frazione della popolazione esterna

all’intervallo 100 5%questa rappresenta lo scarto!

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Con un livello di fiducia del 95% possiamo quindi stimare lo scarto

massimo nel 0,024 + 0,024 = 0,048, cioè nel 4,8%, della intera

produzione.

0,024 0,024

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Nei piani del costruttore si sarebbe dovuto verificare 2 < 2 ,

con cui lo scarto massimo si sarebbe assestato allo 0,00082

(circa lo 0,08%) cioè a 820 pezzi per milione.

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la valutazione dello scarto minimo


2 2,27 e cerchiamo la frazione della popolazione esterna

all’intervallo 100 5%questa rappresenta lo scarto minimo!

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la valutazione dello scarto minimo

Con un livello di fiducia del 95% possiamo quindi stimare lo scarto

minimo nel 0,00045 + 0,00045 = 0,0009, cioè nel 0,09%, della

intera produzione corrispondenti a 900 ppm.

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la valutazione dello scarto tramite Z

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• Un costruttore di resistori, avendo scoperto che la sua linea produce resistori da 100 con una dispersione superiore a quanto

preventivato, vuole determinare a quanto ammonta lo scarto dovuto

ai resistori fuori tolleranza ( è ammessa una tolleranza di

premesse:

• costruiamo una variabile casuale X che assume, per ciascun resistore, valore uguale al valore della resistenza misurata a 70 °C

• ipotizziamo, come è plausibile, che la X per la intera popolazione dei resistori sia distribuita in maniera normale;

• ipotizziamo, e potremmo verificare tale ipotesi con un test sulla media, che la X per la intera popolazione abbia media = 100.

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1. stabiliamo di usare un campione di 31 resistori;

2. stabiliamo di voler operare con una confidenza del 95%;

3. come variabile campionaria viene scelta la variabileche presenta distribuzione di tipoC2 modificata di chi-quadro con ( n -1 ) gradi di libertà;

4. individuiamo l’intervallo di confidenza al 95% per la varianza tramite la distribuzione della variabile C2 modificata di chi-quadro:

2

22

nS

C

560,057,1

22

2

inf2

22

sup2

2

nn

nn

SS

C

S

C

S

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5. la campagna sperimentale sul campione porta

alla determinazione del valore della varianza campionaria :

e da questo valore calcoliamo:

6. la variabile X è pertanto una variabile casuale con distribuzione normale, media = 100, varianza 2 = 6,38


57,3312 S

38,6560,0

57,32

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7. si costruisce la variabile standardizzata Z che risulta avere


– si individuano i valori critici della Z corrispondenti ai valori

critici della X

52,2

100

XXZ

98,152,2

100105

98,152,2

10095

cscs

cici

xz

xz

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– dalla tabella della Z troviamo il valore della probabilità che Z sia

esterno ai valori critici così determinati:

%78,40478,0 csci zZzZP -1,98 1,98

0,02390,0239

il valore dello scarto risulta praticamente uguale a quello

individuato con il procedimento illustrato in precedenza.

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