1

SCALA QUADRATICA

  Grafico di y(x)

  Grafico di y(x2)

y

x

y

X=x2

2

SCALE NON LINEARI L’utilizzo di scale non lineari permette di:   Riconoscere le curve di tipo esponenziale o potenza   Semplificare le curve   Economizzare lo spazio richiesto   Rappresentare funzioni con grande codominio:

  Grafico esponenziale   Ere paleontologiche   Frequenza onde elettromagnetiche: ν= 10 Hz….1024 Hz   Lunghezza d’onda onde elettromagnetiche: λ= 10-16m.…108 m

CONDIZIONE:   Corrispondenza biunivoca tra dominio e codominio della

funzione da rettificare.

3

CRESCITA POPOLAZIONE

  Grafico P(x) 4,8

4,2

3,4

2,7

2,3

1,8 1,5 1,2 1

1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980

  Provare a fare i grafici: P(x2) , P(x3) , …..…

X (anni) P=Popolazione (miliardi) Y = ln p

1900 1 0 1910 1,2 0,18 1920 1,5 0,41 1930 1,8 0,59 1940 2,3 0,83 1950 2,7 0,99 1960 3,4 1,22 1970 4,2 1,44 1980 4,8 1,57

x

4

SCALA SEMILOGARITMICA

  Grafico Y(x): Y=ln P Y=ln P

0 10 20 30 40 50 60 70 80 x

  Dal grafico si ottiene che, per ogni coppia di valori, il rapporto: Y/x≈0,02 Y=0,02x lnP=0,02x P(x)=e0,02x

  Il tasso di incremento annuo è r=0,02 = 2%

  Previsione popolazione nel 2000: Δt = 100 anni P=e0,02*100=e2= 7,4miliardi

  P0=1

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Rettificazione Curva Esponenziale

Riconoscimento di curva esponenziale:   L’esponenziale si rettifica su scala semilogaritmica :

A = situazione iniziale α = fattore di crescita

  α = fattore di crescita = coefficiente angolare della retta   LogA = ordinata all’origine

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1 - ASSORBIMENTO di un FARMACO Dall’esperimento alla legge

  In un animale sono stati iniettati 0,5g di tiosolfato. La sostanza viene espulsa continuamente dal rene e il tiosolfato si mescola con il plasma dopo circa 10 minuti. Quindi si effettuano prelievi dopo 10 minuti e a intervalli successivi di 10 minuti: si ottengono le seguenti concentrazioni di plasma di tiosolfato:

C = 44 38 33 28 25 mg/100ml a) determinare la quantità di plasma in ml iniettata nel corpo dell’animale b) determinare la legge di assorbimento del tiosolfato.

a) Rappresentare i dati in un sistema di coordinate semilogaritmiche: Y – t , Y=Log C in funzione di t(min) Si nota che i punti giacciono quasi esattamente su una linea retta Estrapoliamo i dati al tempo t = 0 dell’iniezione: dal grafico si legge che la concentrazione iniziale risulta di 50mg/100ml.

La quantità Q di plasma è: 0,5g : Q = 50mg : 100ml Q=1000 ml = 1 l

Esercizio: riportare i dati in carta semilogaritmica.

7

2 - ASSORBIMENTO di un FARMACO Dall’esperimento alla legge

  b) Dal grafico si calcola

L’equazione della retta risulta:

Legge di assorbimento del tiosolfato

Y=LogC

Log50 Log44 Log38 Log33 Log28 Log25

0 10 20 30 40 50 t(min)

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ASSORBIMENTO di un FARMACO Dalla legge al tempo di dimezzamento

  a) dopo quanto tempo la concentrazione plasmatica si dimezza?   b) dopo quanto tempo la concentrazione plasmatica è inferiore a 20?

a) b)

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Tempo di dimezzamento

  Calcolo del tempo di dimezzamento:

  N.B.: t1/2 dipende da k e non da N0

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Esercizio1 ASSORBIMENTO di un FARMACO Tabella

In un esame, sono risultate le seguenti concentrazioni di un farmaco nel tempo riportate in tabella:

  Rappresentare i dati in un sistema di coordinate semilogaritmiche

  determinare la legge di assorbimento del farmaco.

  Calcolare t1/2 , t1/4 t1/8

  t1/2=3,76h , t1/4=7,8h , t1/8=11,7h

Tempo(h) C(mg) Y=Lg10C

0 1000 3 5 400 2+Lg4 10 180 2+Lg1,8 15 70 1+Lg7 20 30 1+Lg3 25 12 1+Lg1,2 30 5 Lg5

11 11

Esercizio2 Decadimento radioattivo

  Bequerel (inizi 1900) scopre che la radioattività è un fenomeno naturale

a)  Il decadimento del Carbonio 14 ha un tempo di dimezzamento τ = 6000 anni. Determinare la legge di decadimento.

---------------------------------------------------- b) Previsione: Un organismo contiene

oggi 1mg di C14 e muore. Quanto C14 conterrà tra 18000 anni?

  Conoscendo il tempo di dimezzamento τ, la massa varia con la legge:

--------------------------------------------- c) Datazione: Si trova un fossile di un

organismo che, da vivo, contiene 1mg di C14. In questo fossile si trova una massa M=0,0625mg di C14. Da quanto tempo l’organismo è morto?

a) La legge di decadimento è:

----------------------------------------------- b)

-------------------------------------------- c)

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Esercizi su scale semilogaritmiche

  α costante, A variabile con α=3 , A=0.5 , 1 , 2

Disegnare i grafici delle funzioni:

•  α variabile, A costante con α=0.5 , 1 , 2 A=3

Scrivere le equazioni delle curve rettificate e farne i grafici.

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Esercizi 1.  Un capitale di € 25000000 si incrementa in 9 anni raggiungendo la cifra di €100000000. Qual è il

tasso di interesse composto corrisposto dalla banca? 2.  Sperimentalmente si ottengono i seguenti valori i assorbimento di un farmaco:

Rappresentare i dati in scala semilogaritmica. Calcolare il coefficiente angolare della retta e scriverne l’equazione. Ricavare la legge di assorbimento e il tempo di dimezzamento.

  Il decadimento radioattivo del polonio presenta i seguenti valori:

Riportare i dati in scala semilogaritmica. Scrivere la legge di decadimento M(t) e calcolare il tempo di dimezzamento.

4.  Un organismo contiene alla morte 3g di C14. Quanto C14 conterrà tra 20000 anni? Rettificare la curva di decadimento, fare il grafico della curva e della curva rettificata, calcolare il tempo di dimezzamento.

y(mg/10ml) 400 100 60 40 25 16 10 6.3 3.9

T (h) 0 3 4 5 6 7 8 9 10

M (mg) 1000 950 902 850 800 750

T (giorni) 0 2 4 6 8 10

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Rettificazione Potenza

  La potenza si rettifica su scala logaritmica :

Y ( X ) , con Y=Log y X=Logx

  Esempio   Rettificare la curva:

Esercizio: stabilire con quale cambiamento di scala si possono rettificare le funzioni