262 DICEMBRE 2002 trasmissioni meccaniche 81

GG li ingranaggi face gear, o a denti frontali (figura1-a), sono un particolare tipo di trasmissione incui una delle ruote è un pignone cilindrico a den-

ti diritti o elicoidali montato in modo che l’asse della ruo-ta e quello del pignone, che possono essere concorrentio sghembi, formino un angolo prossimo a 90°. Il profilodel pignone è costante per tutta la sua lunghezza men-tre la ruota frontale presenta una geometria (figura 1-b)che varia in modo da assicurare un profilo coniugato. Ilcontatto ideale ruota-pignone può essere lineare o pun-tiforme in base alla bombatura e/o al numero di dentidel pignone di lavoro rispettoal numero di denti del pignone‘utensile’. Le linee di contattonon sono rettilinee, e inoltresono disposte obliquamente sulfianco del dente. Elementi ca-ratteristici di questo tipo di in-granaggio sono l’elevato rap-porto di contatto e la regolaritàdi ingranamento. L’ingranaggioface gear ha una ridotta sensi-bilità al disallineamento e i bas-si errori di trasmissione garanti-scono un basso livello di rumo-rosità. La geometria del contat-

LE SOLLECITAZIONIDEGLI INGRANAGGIA DENTI FRONTALI

Un ingranaggio a denti frontali (Face Gear) offrevantaggi sia in termini di peso sia in termini

di ripartizione dei carichi sui denti,in particolare nel caso di trasmissioni multiple.

La caratterizzazione dello stato di sollecitazionemediante FEM e il confronto con un ingranaggio

conico convenzionale equivalente

SANDRO BARONE, PAOLA FORTE

C O M P O N E N T I

1. Face gear: (a) modellodell’ingranaggio,(b) dente della ruotafrontale.

a

b

to e la robustezza dei denti rendonopossibile la trasmissione di potenzeelevate.Questo ingranaggio, che in passatoha avuto sporadiche applicazioni, li-mitate a trasmissioni con basso nu-mero di giri e bassa potenza, recen-temente ha destato l’interesse dei

maggiori costruttori di trasmissioniper elicotteri e convertiplani [1,2]. In-fatti, esso offre, rispetto ai più con-venzionali ingranaggi conici, sia van-taggi di peso sia vantaggi in terminidi ripartizione dei carichi sui denti, inparticolare nel caso di trasmissionimultiple. Varie applicazioni del face-gear possono essere reperite nel sitoInternet di uno dei maggiori costrut-tori [3,4].Litvin [5-7] ha proposto uno studiogeometrico-analitico completo degliingranaggi face gear con generazio-ne della ruota frontale per inviluppoda un pignone cilindrico a denti di-ritti e simulazione dell’ingranamen-to con il pignone. In questo studio èstato analizzato l’effetto di errori diposizionamento degli assi del pigno-ne e della ruota, ed è stato dimo-strato che questo errore non com-porta errori di trasmissione, comenel caso delle ruote coniche, masemplicemente uno spostamentodelle ellissi ideali di contatto.Per quanto riguarda la verifica a re-sistenza, l’esperienza con ingranaggileggeri, ma sottoposti a carichi e ve-locità elevate, dimostra che i metoditradizionali di calcolo predicono li-velli di carico con errori molto eleva-ti [8]. Infatti, le formule semi empiri-che comunemente usate, derivatedalla formula di Lewis e corrette confattori dettati dall’esperienza, nontengono conto degli effetti sullo sta-to di tensione dello spessore dellacorona, del disallineamento e della

ripartizione di carico tra i denti. D’al-tra parte, l’inflessione dei denti edella corona influenzano notevol-mente la ripartizione del carico tra identi e l’andamento della pressionedi contatto e della tensione alla basedel dente. Da queste considerazioni,nasce la necessità di

analisi ad elementi finiti (FEM) per ladeterminazione della distribuzionedello stato di tensione. Tali analisidovrebbero essere inoltre eseguitecon modelli tridimensionali, in parti-colare nei casi in cui gli in-granaggi non sono cilindricie ad assi paralleli.In letteratura tecnica sonoriportati i risultati di molteanalisi FEM piane eseguiterisolvendo il problema del

contatto con la rimozione dei nodiche comportano forze di trazionedai nodi ipotizzati in contatto [9],oppure con elementi gap e meshmolto raffinate [10]. In applicazionitridimensionali, sono stati usati ele-menti gap nel caso di ingranaggi ci-lindrici a dentatura diritta ed elicoi-dale [11].La simulazione dell’ingranamentonel caso di ruota spiroconica [12-16]

è stata effettuata utilizzando parti-colari elementi di contatto disponi-bili in programmi commerciali peranalisi ad elementi finiti.Altri approcci per risolvere il proble-ma della ripartizione del carico tra identi di un ingranaggio generico so-

no basati sull’ipotesi dideformazione del dente espostamento del punto dicontatto sotto carico linea-re [17] e comunque con

funzioni di influenza approssimate,determinate da uno studio prelimi-nare FEM tridimensionale [18].Per quanto riguarda gli ingranaggiface gear sono state condotte anali-si FEM su un singolo dente caricatouniformemente su tutta l’ipoteticalinea di contatto [19] e analisi piùgrossolane per modellare l’ingranag-gio a due ruote frontali e un pigno-ne per simulare la ripartizione delmomento [20].L’obiettivo di questo articolo riguar-da la caratterizzazione dello stato di

sollecitazione di un ingranaggio ditipo face gear e un confronto con uningranaggio conico equivalente,avente gli stessi coni primitivi e raggimedi (figura 2-b).Un codice di calcolo [21] sviluppatoper la generazione per inviluppodella superficie del dente e la simu-lazione cinematica dell’ingranamen-to è stato utilizzato per generare lesuperfici dei denti del face gear e perindividuare i punti di contatto fra identi del pignone e quelli della ruo-ta frontale.Questi risultati sono stati utilizzatiper creare modelli CAD tridimensio-nali dai quali ottenere i modelli FEMper le analisi strutturali.

C O M P O N E N T I

82 trasmissioni meccaniche 262 DICEMBRE 2002

2. Schemi di uningranaggio face gear(a) ed un ingranaggioconico (b).

a

b

b

a

3. Punti ed ellissi di contattodeterminate sulla superficiedel fianco del dente della ruotafrontale (a) e del pignone (b).

C O M P O N E N T I

262 DICEMBRE 2002 trasmissioni meccaniche 83

MODELLAZIONECAD

La modellazione geometrica dei den-ti della ruota frontale e del pignoneè stata eseguita interfacciando unprogramma per la generazione perinviluppo dei fianchi dei denti e unsistema CAD 3D di tipo parametrico-variazionale.Il fianco del dente della ruota fronta-le è stato generato da un program-ma, sviluppato con il codice Mathe-matica®, basato sulla formulazioneanalitica del fianco e del raccordo del

dente per inviluppo del dente di unpignone creatore, shaper, con profiload evolvente di cerchio. In figura 3sono riportate le superfici dei fianchidei denti di una ruota frontale e diun pignone ottenute da questo pro-gramma.

I risultati ottenuti sono stati trasmes-si al sistema CAD Pro/ENGINEER2000i® per la generazione dei model-li solidi. La superficie del fianco dellaruota frontale è stata generata nel-l’ambiente CAD utilizzando curve di

appoggio. In particolare, la soluzioneadottata è stata quella di costruire ilfianco e il raccordo mediante curvedi appoggio “longitudinali”, e suc-cessiva unione delle due superfici conimposizione delle condizioni di conti-nuità delle tangenti e delle curvature

all’interfaccia. Il modello soli-do del dente è costruito tra-mite operazioni di specchiatu-ra della geometria importatae la definizione dei contorni, in par-ticolare ai bordi interno ed esternodella ruota.

Il modello del pignone è stato co-struito facendo uso delle equazionidel fianco del dente con profilo adevolvente, introdotte come inputesterno ad un modello parametricoin ambiente Pro/ENGINEER®. Il fianco

del dente del pignone è statogenerato mediante operazionidi “sweeping” basate sulla de-scrizione di una superficie co-me traslazione del profilo adevolvente lungo una traietto-ria prefissata. La scelta ditraiettorie rettilinee o curve

ha consentito la creazione rispettiva-mente di pignoni cilindrici o bomba-ti. In figura 4 è mostrato il modellosolido dell’ingranaggio face gear.La costruzione dei denti dell’ingra-naggio conico a denti diritti di con-fronto è stata eseguita direttamentein ambiente Pro/ENGINEER®, co-struendo il profilo del dente al rag-gio esterno e proiettandolo in dire-zione del vertice del cono primitivo.

MODELLAZIONEE ANALISI FEM

I modelli ad elementi finiti dei dentidella ruota frontale e del pignone so-no stati creati in ambiente Pro/ENGI-NEER® utilizzando il modulo Pro/FEM-POST®. Gli elementi utilizzati so-no solidi tetraedrici a 4 nodi. È stataadottata la meshatura automatica

con un infittimentoimposto nella zonadel raccordo e inquella di applicazio-ne del carico, per untotale di circa40.000 elementi (fi-gura 5). Il dente è

stato vincolato incastrando i lati delsupporto inferiore.Per quanto riguarda il carico è stata

4. Modello CAD 3D del face gear.

6. Distribuzioni dellatensione equivalentevalutata con le analisiFEM eseguita sullaruota frontale (caricoapplicato nel punto dicontatto più esterno).

a

b

5. Modelli ad elementi finiti deidenti della ruota frontale (a)e del pignone (b).

applicata la teoria di Hertz conside-rando i punti di contatto ideali rica-vati dallo studio cinematico (ingra-namento di ruote rigide).Nota la curvatura relativa, sono statideterminati i semiassi e l’orienta-mento dell’ellisse di contatto. In fi-gura 3 sono riportati sul fianco deidenti i punti di contatto teorici e lecorrispondenti ellissi di contatto. Inpratica, dato che un semiasse risultadi un ordine di grandezza inferioreall’altro, il carico è stato distribuitocon andamento parabolico su unsegmento.Questi dati sono stati riportati neimodelli CAD. Il modello FEM è statoquindi esportato in formato per AN-SYS®, codice utilizzato per l’analisi el’elaborazione dei risultati. Il file diesportazione contiene tutte le infor-mazioni riguardanti nodi, elementi,vincoli, carichi e caratteristiche delmateriale.Una procedura analoga è stata adot-tata per la generazione del modelloFEM dell’ingranaggio conico. I cari-chi agenti sul singolo dente dellaruota conica e del pignone conicosono stati applicati considerando lateoria di Hertz e una bombatura delpignone conico tale da garantire el-lissi di contatto con dimensioni com-parabili, a parità di carico, con quel-le del face gear.L’uso integrato del programma per

la generazione del fianco deldente, del sistema CAD Pro/EN-GINEER® e del codice ANSYS® per leanalisi FEM ha consentito la genera-zione di geometrie tridimensionalipiuttosto complesse, con il vantag-gio di poter analizzare diverse confi-gurazioni di carico e di studiare ilcomportamento strutturale dell’in-granaggio al variare di parametri ca-

ratteristici, quali ad esempio il rag-gio di raccordo alla base del dente elo spessore del supporto (rim).In questo lavoro, sono state eseguitediverse analisi su un singolo dentedel face gear e del pignone variandola posizione dell’ellisse di contattolungo il fianco del dente. L’analisi si èconcentrata soprattutto sulla valuta-

zione delle tensioni alla base deldente e sulla sua flessibilità, in vistadi una futura indagine sulla riparti-zione dei carichi fra i denti in presa.

RISULTATIE CONFRONTO

Entrambi gli ingranaggi sono statimodellati considerando ruote con100 denti e pignoni ingrananti con17 denti. È stato assunto un modulodi 10, e un angolo di pressione di20°. Il carico considerato corrispondea 30.000 N al raggio medio.E’ stato considerato il caso ideale diun solo dente in presa.Nelle figure 6 e 7 sono presentati i ri-

sultati dell’analisiFEM per il dente ri-spettivamente dellaruota frontale e delpignone consideran-do il punto di contat-to più esterno.A destra della distri-buzione della tensio-

ne equivalente di Von Mises sull’in-tero dente, è riportato il grafico del-l’andamento della stessa sulla lineaAB al piede del dente.Per meglio evidenziare le tensionisui due fianchi del dente, sono ripor-tati i risultati da due differenti puntidi vista. Occorre osservare che, data

la discontinuità legata alla modalitàdi introduzione del carico, su un seg-mento anziché su un’area, le solleci-tazioni relative alla zona di contattonon sono da ritenersi significative.D’altra parte lo studio del contatto,che esula dallo scopo del presente la-voro, avrebbe richiesto una meshben più raffinata.Esclusa quindi la zona di contatto, lemappe e i grafici mostrano come ivalori più elevati di sollecitazionesiano raggiunti in una zona limitata

C O M P O N E N T I

84 trasmissioni meccaniche 262 DICEMBRE 2002

7. Distribuzionedella tensioneequivalente valutatacon le analisi FEMeseguita sul pignonedel face gear (caricoapplicato nel puntodi contatto piùesterno).

8. Distribuzione della tensioneequivalente valutata con le analisiFEM eseguita sulla ruota conica(carico applicato nel punto dicontatto più esterno).

alla base del dente su entrambi ifianchi, con la differenza che sulfianco caricato la tensione massima(120 MPa circa) è di trazione e quin-di più critica per la fatica, mentre sulfianco opposto, che registra il massi-mo assoluto (165 MPa circa), è dicompressione.Per quanto riguarda il pignone, si ri-levano valori più elevati della tensio-ne massima alla base del dente (165MPa e 240 MPa i valori massimi suidue fianchi): il pignone è dunquel’elemento più critico della coppia.Questi risultati sono stati confermatidalle analisi condotte per altri puntidi contatto (figura 3).Per quanto riguarda il confronto conl’ingranaggio conicoequivalente, in figure 8 e9 sono riportati i risultatidell’analisi FEM relativial dente della ruota co-nica e del pignone. Sinota che le distribuzionidella tensione sono praticamentesimmetriche lungo i denti rispettoalla mezzeria e che le tensioni massi-me (100 MPa e 115 MPa i valori ri-spettivi sul fianco caricato) sonocomparabili con quelle della ruotafrontale ma sensibilmente inferioririspetto a quelle del pignone del fa-ce gear.In figura 10 sono invece riportateper confronto le distribuzioni dello

spostamento totale nelle stesse con-dizioni di carico.Anche in questo caso i valori più ele-vati della grandezza in esame si tro-vano nel face gear, in corrisponden-za della zona di contatto. Si osservache sia il picco di tensione che quellodello spostamento sono associati ad

una asimmetria nelladistribuzione, legataalla posizione e orien-tamento dell’ellisse di

contatto. C’è da aggiungere chequesti risultati sono di prima appros-simazione perché, non avendo simu-lato l’insieme dei due denti in presa,il modello FEM del singolo dentenon tiene conto dei vincoli allo spo-stamento rappresentati dalla super-

ficie dell’altro dente al di fuori dellazona di contatto teorica.Nella realtà quindi la zona di contat-to è più ampia e ciò dovrebbe porta-re ad una diminuzione del picco ditensione alla base del dente oltreche del picco di spostamento. C’èinoltre da osservare che, nel caso

reale, sarà impossibile evitare erroricostruttivi e di posizionamento i cuieffetti si traducono, nel face gear, es-senzialmente in spostamenti dell’el-lisse di contatto lungo il dente [5],mentre nella ruota conica con dentibombati anche in una variazionenelle dimensioni e orientamento del-l’ellisse di contatto con sicuro peg-gioramento delle condizioni di solle-citazione alla base del dente. Infine,

l’ingranaggio conico a denti di-ritti, scelto per il confronto permotivi di semplicità, non è esen-te da urti e sollecitazioni dina-miche, mentre la geometria delface gear rende l’ingranamentopiù graduale.

Un confronto più bilanciato, ma an-che più complesso, potrà essere fattoin futuro con un ingranaggio spiro-conico.

La bibliografia di questo articolo si puòrichiedere all’ing. Sandro Barone, oppurealla redazione della rivista Progettare(progettare@bp.vnu.com).

S. Barone, P. Forte, Dipartimentodi Ingegneria Meccanica,Nucleare e della Produzione,Università di Pisa, Facoltàdi Ingegneria, Via Diotisalvi 2,56126 Pisa.E-mail: barone@ing.unipi.it,p.forte@ing.unipi.it

C O M P O N E N T I

262 DICEMBRE 2002 trasmissioni meccaniche 85

9. Distribuzione dellatensione equivalentevalutata con le analisi FEMeseguita sul pignoneconico (carico applicatonel punto di contatto piùesterno).

a

c

b

d

10. Distribuzioni deglispostamenti nella ruota frontale(a), nel pignone del face gear(b), nella ruota conica (c)e nel pignone conico (d).