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ARCHIMEDEIERI E OGGI

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«L’ERMA» di BRETSCHNEIDER«L’E

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In copertina: Un disegno di Laura Pfeifer che riproduce la spirale di Teodoro, ‘approssimabile’ con quella di Archimede.

HESPERIA 34 - ARCHIMEDE IERI E OGGI ISBN 978-88-913-1712-4

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Autori

StefAniA AdilettA, è dottore di ricerca in storia antica presso l’Università di Roma “Tor Vergata”e si è occupata di storio-grafia greca in frammenti. Sta ora attendendo a un corpus di fonti su Archimede.

MArco AndreAttA, è professore di geometria nell’Università di Trento ed è presidente del MUSE, il museo delle scienze. E’ studioso di geometria algebrica proiettiva, e ultimamente non trascura l’ambito della divulgazione scientifica.

lorenzo BrAcceSi, è stato professore di storia greca nelle Uni-versità di Torino e Venezia e Padova dove oggi insegnano suoi allievi, più o meno meritevoli. Ha pubblicato con le principali case editrici italiane.

MAddAlenA BrAcceSi, è docente di ruolo nella scuola secon-daria di primo grado e si occupa precipuamente di didattica laboratoriale e inclusiva. Collabora con le case editrici Zani-chelli ed Erickson.

lucA fezzi, è professore di storia romana nell’Università di Padova. Indaga su problemi di storia tardo-repubblicana e il suo ultimo libro, edito da Laterza, fa luce sulla tradizione dell’attraversamento cesariano del Rubicone.

clAudio fontAnAri, è professore di geometria nell’Università di Trento. Si interessa di geometria algebrica, nonché di storia e filosofia della matematica. Ha collaborato, per Bollati Borin-ghieri, a un’edizione del metodo archimedeo.

Hesperia 34 Archimede.indd 1 19/10/18 17:10

Università di PadovaDipartimento di Scienze Storiche, Geografiche e dell’Antichità

Università di BolognaDipartimento di Storia Culture Civiltà

ESPERIA 34 - 25-09-2018.indd 1ESPERIA 34 - 25-09-2018.indd 1 30/11/2018 16:34:4930/11/2018 16:34:49

Hespería

Comitato consultivo

D. BRIQUEL (Paris), G. CAMASSA (Udine), A.C. CASSIO (Roma),M. GIANGIULIO (Trento), M. GRAS (Paris), M.L. LAZZARINI

(Roma), M. LOMBARDO (Lecce), A. ROUVERET (Paris),T. VAN COMPERNOLLE (Montpellier), R. VATTUONE (Bologna),

F. ZEVI (Roma)

redazionedi

STEFANIA ADILETTA


HESPERÌA, 34STUDI SULLA GRECITÀ DI OCCIDENTE

serie monografi ca - 1

a cura diLorenzo Braccesi, Andrea Debiasi,Flavio Raviola, Giuseppe Sassatelli

ARCHIMEDE, IERI E OGGI

diStefania Adiletta, Marco Andreatta, Lorenzo Braccesi,

Maddalena Braccesi, Luca Fezzi, Claudio Fontanari


Nella serie monografica si inserisce il presente volume che, in un quadro storico più ampio, e in una revisione totale, ripropone miei affondi mirati già apparsi in “Hesperìa” (22, 2008 e 26, 2010) e in “Sicilia Antiqua” (12, 2015). Ai quali, nella prima parte del volume, si affiancano i contributi del collega Luca Fezzi dell’Uni-versità di Padova e della dottoressa di ricerca Stefania Adiletta che qui anticipa, in rapida sintesi, i contenuti di una ricerca di respiro molto più ampio. Cui se-guono, nella seconda parte del volume, un articolo archimedeo di due matematici dell’Università di Trento, Marco Andreatta e Claudio Fontanari, che hanno ge-nerosamente acconsentito a impreziosire il volume con le loro pagine, nonché un contributo didattico di mia figlia Maddalena che mostra come, ai ragazzi, si possa spiegare la geometria ricorrendo alla costruzione di figure archimedee.

A tutti il mio ringraziamento, e in particolare a Stefania Adiletta che, con intel-ligente fatica, ha curato la redazione di questa pubblicazione.

L. B.


SOMMARIO

Premessa ..................................................................................................... Pag. 5

PARTE PRIMA

Archimede ieri

Lorenzo Braccesi, Archimede e le ultime vicende di Siracusa ..................... » 11

Stefania Adiletta, Appunti sulla fortuna di Archimede ............................. » 41

Luca Fezzi, Cicerone e la scoperta della tomba di Archimede ....................... » 69

PARTE SECONDA

Archimede oggi

Marco Andreatta - Claudio Fontanari, Archimede e la matematica oggi » 77

Maddalena Braccesi, Archimede matematico. Tre percorsi di geometria per la scuola secondaria di primo grado ............................................................. » 101


Maddalena Braccesi

ARCHIMEDE MATEMATICOTre percorsi di geometria per la scuola secondaria di primo grado

A partire dalla riforma scolastica del 2004, le Indicazioni nazionali per il curricolo del primo ciclo di istruzione prevedono che la storia antica, in particolare le civiltà medi-terranee, non vengano trattate nella scuola secondaria di primo grado nell’ambito della disciplina “storia”. Seguendo le indicazioni attuali, tale periodo è infatti argomento di studio nella scuola primaria e, successivamente, in quella secondaria di secondo grado. Nell’insegnamento della matematica si incontrano però personaggi e situazioni adatti ad ampliare e ad approfondire le nebulose conoscenze che ragazzi e ragazze hanno acquisito in precedenza, nel corso della scuola primaria o attraverso esperienze personali.

Mi riferisco in particolare, seguendo l’ordine cronologico, ai seguenti contesti:

• Il mito di Didone e la fondazione di Cartagine: problema isoperimetrico.• Pitagora (580-500 a.C. circa): numeri fi gurati - relazione tra i lati del triangolo rettan-

golo - pentagono stellato.• La leggenda di Ippaso di Metaponto (IV-V secolo a.C.): numeri irrazionali.• Teodoro (465-398 a.C. ca. ): spirale dei numeri irrazionali.• Platone (428/427 - 348/347 a.C.): poliedri regolari (solidi platonici).• Euclide (attivo tra il 323 e il 283 a.C.): fattorizzazione unica - poliedri regolari - costru-

zione del rettangolo aureo.• Archimede (287-212 a.C.): Stomachion - spirali - area del cerchio - poliedri semiregolari

(solidi archimedei) - superfi cie della sfera.• Eratostene (276-194 a.C. ca.): crivello per individuare numeri primi - misura della

circonferenza della Terra.

In questa sede presenterò alcune attività svolte insieme ai miei studenti della scuola secondaria di primo grado nell’ambito della geometria, che trovano ispirazione o si pre-stano a collegamenti con l’opera di Archimede. Le prime due riguardano la geometria del piano, la terza riguarda invece la geometria dello spazio. Ogni docente che volesse riproporle potrà decidere qual è il momento più opportuno per farlo. Nessuna attività è prerequisito per ciascuna delle altre.


102 maddalena braccesi

Geometria del piano

1. Dal Tangram allo Stomachion

Il Tangram, detto anche “Quadrato delle sette astu-zie”, è un antico gioco cinese, popolare anche ai giorni nostri. Si tratta di un puzzle formato da sette pezzi ri-cavati da un quadrato, che ben si presta come mezzo didattico attraverso il quale imparare giocando.

Quando i ragazzi e le ragazze costruiscono il proprio Tangram a partire da un foglio di cartoncino, imparano a tracciare segmenti paralleli e perpendicolari utilizzan-do riga e squadra. Quando ci giocano riproducendo o inventando molteplici fi gure, aff errano il signifi cato di equiscomponibilità e di equiestensione, potenziando al contempo le loro abilità visuo-spaziali. Quando osser-vano i pezzi da cui è formato, analizzano proprietà di

triangoli e quadrilateri. Sovrapponendo le tessere possono riconoscere unità frazionarie e frazioni equivalenti...

La critica è divisa riguardo all’origine del Tangram: alcuni studiosi ritengono che sia nato proprio in Cina, durante la dinastia Zhou (740-330 a.C.)1. Altri ritengono invece che abbia fatto un viaggio di andata e ritorno dall’Europa alla Cina. Secondo quest’ulti-

1 Elffers - Schuyt 1997.

Fig. 1. Tangram


archimede matematico 103

ma versione, sarebbe partito dalla Grecia come Stomachion, giunto in Cina nel pe-riodo tardo antico o nel medioevo cinese, e tornato infi ne in Europa nell’Ottocento come Tangram2.

In realtà il puzzle quadrato studiato da Archimede, lo Stomachion, è più com-plesso del Tangram, e per questo motivo si suggerisce di proporlo agli studenti in un secondo momento.

Mentre per la costruzione del Tangram si può partire da un semplice cartoncino quadrato, per costruire lo Stomachion, che è formato da quattordici tessere, di cui un-dici triangoli, due quadrilateri e un penta-gono, è consigliabile stampare sul cartonci-no una griglia quadrettata, dalla quale i ragazzi e le ragazze ricaveranno prima un quadrato di lato 12 unità, poi i vari poligoni che lo compongono.

Una volta che scolari e scolare avranno a disposizione Tangram e Stomachion e che, per comodità, avranno numerato le tessere, si potranno analizzare e confrontare i due puzzles, in particolare i poligoni dai quali sono formati, ponendo per esempio le seguenti domande:

Ci sono tessere congruenti? Quali sono?Ci sono tessere simili (stessa forma, dimensioni diverse)? Quali sono?Ci sono tessere che presentano assi di simmetria? Disegna gli assi!Descrivi tutti i poligoni che formano il puzzle.

La richiesta più gradita dai ragazzi e dalle ragazze sarà probabilmente quella di creare o riprodurre alcune fi gure. Creare nuove fi gure risulta particolarmente piacevole e interes-sante per le persone fantasiose; lo stesso Carrol, l’autore di Alice nel paese delle meraviglie, si era divertito a realizzare i personaggi del suo romanzo con le tessere del Tangram. Ri-produrre fi gure assegnate coinvolge invece maggiormente le persone che amano mettersi in gioco nella risoluzione di problemi. Utilizzando le tessere del Tangram, quest’ultima at-tività non risulta particolarmente diffi cile, mentre con lo Stomachion è una vera e propria impresa. Per questo motivo lo Stomachion, chiamato successivamente da diversi autori romani Loculus Archimedeius, è stato nominato in tempi più recenti “Il gioco che fa venire il mal di stomaco” o “Il gioco che fa impazzire”.

Non è chiaro se sia stato proprio Archimede a inventare questo puzzle, oppure, com’è

2 Geymonat 2006.

Fig. 3. Stomachion



più probabile, se ne abbia soltanto studiato le proprietà geometriche. Pare che il suo inte-resse fosse rivolto soprattutto agli aspetti combinatori di questo gioco, cioè ai diversi modi in cui può essere composta una stessa fi gura. Il fatto che esistano ben 536 modi diversi per formare un quadrato con i pezzi dello Stomachion per gli studenti è veramente strabiliante!

Un’ulteriore richiesta che si può fare ai ragazzi è dunque la seguente:

Utilizzando tutte le tessere dello Stomachion, costruisci un quadrato diverso da quello che abbiamo considerato per costruire la fi gura.

Volendo utilizzare lo Stomachion anche per esercitarsi sul calcolo delle aree, si può infi ne richiedere agli studenti di determinare l’area di ciascuna tessera, prendendo come unità di misura il quadratino del reticolo. La domanda non è banale, perché, se per alcune fi gure il calcolo sarà diretto, per altre sarà necessaria una scomposizione della fi gura in poligoni più semplici; per altre ancora sarà invece necessario ragionare per diff erenza.

2. Spirali

Osservando la realtà che ci circonda e prestando attenzione alle forme che si incontrano sia nella natura, sia nell’arte, è facile imbattersi in una spirale, cioè una curva che si avvol-ge attorno a un punto fi sso. Le spirali si possono dividere in due grandi gruppi: quelle a passo costante e quelle a passo non costante. A livello di scuola secondaria di primo grado,



si può proporre come prima attività l’osservazione e l’analisi di immagini di spirali, da classifi care in base a questa suddivisione.

SPIRALI A PASSO COSTANTE SPIRALI A PASSO NON COSTANTE Spirali di Archimede Spirali logaritmiche

Spirale di Teodoro Spirale di Fibonacci

Spirale iperbolica

Spirale di Eulero (o di Cornu)



Archimede, nel trattato Spirali, spiega per prima cosa la generazione meccanica della curva che porta il suo nome. Bisogna considerare due movimenti che avvengono contemporaneamen-te: un punto che si muove a velocità costante sul raggio di un disco che gira a velocità costante. In termini matematici si tratta della traiettoria di un punto che si sposta uniformemente su una semiretta, a sua volta in moto rotatorio unifor-me intorno alla sua origine fi ssa. In questo tipo di curva i segmenti staccati dalla spirale sulla se-miretta, a parte il primo, hanno sempre la stessa lunghezza. La lunghezza dei segmenti può essere vista come il “passo” della spirale.

Se, invece di viaggiare a velocità uniforme, il punto che si muove lungo il raggio au-menta la sua velocità man mano che si allontana dall’origine della semiretta, mantenendo però un’accelerazione costante, allora la curva sarà una spirale equiangolare (o logaritmi-ca), studiata nel 1638 da Cartesio. In questo caso i segmenti staccati sulle semirette che partono dal centro non hanno lunghezza costante: se fi ssiamo una semiretta, i segmenti staccati dalla spirale logaritmica sono sempre più lunghi man mano che ci allontaniamo dal centro (più precisamente sono in progressione geometrica).

Un’altra diff erenza che gli studenti possono osservare tra una spirale archimedea e una logaritmica è che quest’ultima non ha un’origine: se la percorriamo dall’esterno verso l’interno, pur avvicinandoci sempre più al centro, non lo raggiungiamo mai.

Altri tipi di spirali si possono senz’altro osservare e descrivere a livello qualitativo, ma le defi nizioni meccaniche e matematiche sarebbero troppo complesse per ragazze e ragazzi di questa fascia d’età.Una volta fatte queste prime considerazioni, si suggerisce di costruire grafi camente una spirale per ciascun gruppo.

2a. La spirale di Teodoro

L’insegnante distribuisce agli alunni e alle alunne un foglio bianco non quadrettato, al centro del quale ciascuno, utilizzando la squa-dra goniometrica, deve disegnare un triangolo rettangolo isoscele unitario.

Se il formato del foglio è A4, si suggerisce di scegliere come misura dei cateti del triangolo di partenza 2 o 3 cm. Applicando il teorema di Pi-tagora, si può determinare la lunghezza dell’ipo-

Fig. 3. Macchina per generare una spirale di Archimede

Fig. 4. Squadra goniometrica



tenusa, che risulta √ 2. Al secondo passaggio, l’i-potenusa del primo triangolo diventa un cateto del nuovo triangolo; l’altro cateto è di lunghezza unitaria. Applicando nuovamente il teorema di Pitagora, si ricava che l’ipotenusa del secondo triangolo misura √ 3. Procedendo in questo mo-do, si costruisce una spirale; la successione delle lunghezze dei raggi corrisponde alla successione delle radici quadrate dei numeri naturali.

Escludendo le radici dei quadrati perfetti, si può aff ermare che le lunghezze delle ipotenuse rappresentano i numeri irrazionali.

Con l’aumentare del numero di triangoli, la spirale di Teodoro può essere approssimata con una spirale di Archimede, nella quale la distanza tra due bracci successivi tende al numero π al crescere del numero di giri.

2b. La spirale di Fibonacci

Un modo carino e molto semplice per rifl ettere sulla costruzione della spirale di Fibo-nacci è l’introduzione del problema seguente3:

Problema: GEOMETRIA DELLE CHIOCCIOLE

Giulio ha osservato nel suo giardino la conchiglia di una chiocciola e vorrebbe disegnarla con il compasso, seguendo un modello che ha visto in un libro. L’idea è quella di disegnare quarti di circonferenza all’interno di quadrati, formando spirali che assomigliano a chiocciole. Incomincia con un piccolo quadratino, al quale ne accosta altri procedendo in senso orario.

Nella fi gura puoi vedere questi quadrati: il primo ha il lato lungo 1 quadretto, il secondo 2 quadretti, il terzo 3 quadretti, il quarto 5 quadretti, il quinto 8 quadretti, eccetera.

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Fig. 5. Costruzione della spirale di Teodoro.



Giulio vuole disegnare ancora 2 quadrati. Quanto misurano i lati dei quadrati che deve ancora disegnare? Scegli la risposta esatta!

12 quadretti e 17 quadretti13 quadretti e 18 quadretti13 quadretti e 21 quadretti17 quadretti e 21 quadretti21 quadretti e 34 quadretti

Accostando in successione quadrati che hanno per lati i valori della successione di Fi-bonacci, cioè 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 [...] si ottiene l’approssimazione di un rettangolo dalle proporzioni auree. Tracciando all’interno di ogni quadrato un quarto di circonferenza, si otterrà di conseguenza una spirale, detta spirale di Fibonacci, in grado di approssimare la spirale aurea. La diff erenza tra queste due spirali sta nel fatto che quella di Fibonacci è data dall’unione di un’infi nità di quarti di circonferenza, mente la vera spirale aurea è un particolare tipo di spirale logaritmica.

Volendo approfondire l’argomento, si può costruire il rettangolo aureo con riga e com-passo seguendo il procedimento presentato per la prima volta da Euclide negli Elementi.

Ricordiamo che il rettangolo aureo è un rettan-golo tale che il rapporto fra il lato maggiore e quel-lo minore è uguale a quello fra il lato minore e il segmento ottenuto sottraendo quest’ultimo dal lato maggiore: a : b = b : (a – b). Tale rapporto, che è un numero irrazionale, viene defi nito rapporto aureo e si indica con la lettera φ. Disegnando all’interno di un rettangolo aureo un quadrato, la parte di superfi -cie rimanente è a sua volta un rettangolo aureo.

La costruzione è la seguente: si parte da un qua-drato, il cui lato corrisponderà al lato minore del ret-tangolo. Si trova poi il punto medio di un lato e si punta su di esso il compasso, con apertura sino a un vertice non adiacente del quadrato. Il punto nel quale la circonferenza così determinata interseca il prolun-gamento del lato, determina il secondo estremo del lato maggiore del rettangolo.

Il legame tra i numeri di Fibonacci e il rapporto aureo è dato dal fatto che il rapporto tra un numero della successione e il suo precedente si avvicina sempre più al numero φ. Fig. 6. Rettangolo aureo.



Geometria dello spazio

Dai solidi platonici ai solidi archimedei

Quando si pensa allo studio di poliedri e fi gure solide nell’ambito della scuola prima-ria e secondaria, solitamente ci si limita al calcolo di superfi ci e volumi di prismi, piramidi e semplici solidi di rotazione. Utilizzando materiali opportuni, in particolare tessere di polydron poligonali, si possono però presentare anche a livello pre-universitario questioni molto più interessanti, legate alla struttura combinatoria, alla simmetria e alla regolarità dei poliedri.

Vedere, costruire e manipolare gli oggetti matematici di cui si parla, permetterà di dare signifi cato ai concetti coinvolti e di appoggiare i processi mentali su solide immagini interiori. Lavorare in questo modo unisce l’utile al dilettevole: secondo la mia esperienza, attività di questo genere sono infatti molto coinvolgenti per gli studenti.

Tra le varie attività di laboratorio sui poliedri che si possono presentare, ritengo parti-colarmente interessanti le seguenti:

I poliedri regolari (solidi platonici).La formula di Eulero.Dai poliedri regolari ai semiregolari (solidi archimedei).

a. I poliedri regolari

Prima di incominciare questa attività gli studenti hanno già avuto occasione di pren-dere confi denza con il materiale a disposizione e con il concetto di poliedro.

I ragazzi e le ragazze si dividono in piccoli gruppi e l’insegnante avvia la discussione, chiedendo alla classe qual è il poligono regolare con il minor numero di lati; questo sarà il poligono con il quale iniziare a costruire poliedri regolari.

Fig. 7. Tessere di polydron.



Ma... regolari in che senso? È abbastanza intuitivo per gli studenti, ragionando in analogia con il caso bidimensionale, aff ermare che un poliedro è regolare se tutte le sue facce sono uguali; probabilmente arriveranno anche a ipotizzare che le facce debbano essere poligoni regolari. Meno evidente è il fatto che ci deve essere una terza condizione, cioè che da ogni vertice esca lo stesso numero di spigoli, o, equivalentemente, che in ogni vertice arrivi lo stesso numero di facce. Tale concetto può essere chiarito costruendo alcu-ni poliedri per i quali la suddetta condizione non vale.

Dopo questa premessa si può incominciare: si partirà dunque lavorando con le tessere a forma di triangolo equilatero. Poiché si vogliono ottenere poliedri regolari, si chiederà agli studenti di far arrivare in ogni vertice lo stesso numero di facce, procedendo in ordi-ne. Se le facce che arrivano in ciascun vertice sono tre, si ottiene una piramide triangolare regolare, cioè un tetraedro. Si richiederà poi di creare altri poliedri facendo arrivare in ogni vertice rispettivamente quattro facce e cinque facce, in modo da ottenere ottaedro e icosaedro. Agli studenti verrà ora spontaneo provare ad accostare sei facce, ma si accor-geranno che in questo caso si ottiene una fi gura piana, quindi con i triangoli sono stati costruiti tutti i poliedri regolari possibili.

Si prenderà allora in considerazione il poligono regolare successivo, cioè il quadrato. Il poliedro che si ottiene accostando tre facce in modo da formare un angoloide è un solido ben noto, il cubo. Accostando quattro facce quadrate, i ragazzi si accorgeranno che anche in questo caso si ottiene una fi gura piana e arriveranno alla conclusione che non esistono altri poliedri regolari formati da facce quadrate.

A questo punto sarà il turno delle tessere pentagonali. Gli studenti scopriranno che si può costruire un unico poliedro, quello nel quale in ogni vertice arrivano cinque facce: il dodecaedro.

Proseguendo con lo stesso criterio, si prenderanno in considerazione le tessere esagonali, ma in questo ca-so accostandone tre si ottiene una fi gura piana. All’au-mentare del numero di lati del poligono, aumenta l’ampiezza degli angoli interni e quindi non è possibile costruire altri poliedri utilizzando tessere che hanno la stessa forma.

I poliedri regolari sono dunque esattamente cinque; questo risultato fu dimostrato da Euclide ed è riportato nel XIII libro degli Elementi.

Ma perché i poliedri regolari vengono chiamati so-lidi platonici? Il motivo è che il primo testo scritto nel

quale si parla di tali poliedri è il Timeo di Platone. Per i ragazzini della scuola secondaria di primo grado risulta cu-

riosa e interessante la corrispondenza poliedro-elemento teorizzata dal fi losofo. Secondo questa teoria, tetraedro, ottaedro, cubo e icosaedro sono associati ai quattro elementi fon-damentali: rispettivamente fuoco, aria, terra e acqua. Il dodecaedro viene invece associato all’immagine del cosmo intero.

Fig. 8. I poliedri regolari.



b. La formula di Eulero

Una volta costruiti i solidi platonici, si prendono i quaderni e si costruisce una tabella, che gli studenti devono completare contandone facce, vertici e spigoli:

Forma delle facce Numero di faccein ciascun vertice

Numero difacce totali

(F )

Nome Numero di vertici

totali (S )

Numero dispigoli totali

(V )

triangolo equilatero 3 4 tetraedro 4 6

triangolo equilatero 4 8 ottaedro 6 12

triangolo equilatero 5 20 icosaedro 12 30

quadrato 3 6 esaedro (cubo) 8 12

Pentagono 3 12 dodecaedro 20 30

Contare in maniera diretta le facce è abbastanza semplice, con i vertici bisogna stare attenti ma è un’impresa abbordabile; per contare gli spigoli senza confondersi molti stu-denti individuano spontaneamente una strategia, per esempio contare le facce, moltipli-care il numero di lati di ogni faccia per il numero delle facce e poi dividere per due.

Una volta che la tabella è completata, si richiederà ai ragazzi di trovare una relazione tra numero di facce (F ), numero di spigoli (S) e numero di vertici (V ). Generalmente i ragazzi la individuano in poco tempo e la scrivono come F + S – V = 2, o equivalente-mente F + S = 2 + V.

Questa relazione venne osservata e messa per iscritto per la prima volta nel 1620 da René Descartes, noto anche come Cartesio, ma rimase inedita per molto tempo.

La relazione V – S + F = 2 è nota infatti come formula di Eulero per i poliedri, in onore del matematico Leonhard Euler che la riscoprì nel 1751. Per una dimostrazione rigorosa si dovette poi attendere Augustin-Louis Cauchy, che presentò questo lavoro nel 1809.

Analizzando altri tipi di poliedri, si può far notare agli studenti che la relazione vale



per qualsiasi poliedro semplice, cioè senza buchi, indipendentemente dalla forma delle facce, dalle ampiezze degli angoli, dalla lunghezza degli spigoli e così via; non dipende cioè da aspetti di tipo metrico.

c. Dai solidi platonici ai solidi archimedei

Dopo aver costruito i cinque solidi platonici si prende in considerazione, o meglio, si prende in mano, il polie-dro regolare più semplice, il tetraedro, e si chiede agli studenti di immagi-nare di tagliare una “fetta del solido” in corrispondenza di ciascun vertice. Che forma avranno le facce del nuo-vo solido? Che tessere occorrono per costruirlo? Quante di ciascuna forma?

I ragazzi discuteranno tra di loro all’interno dei gruppi, e quando saranno arrivati a una conclusione, un rappresentante del gruppo richiederà all’insegnante i pezzi giusti per co-struire il poliedro troncato.

Tale procedimento verrà ripetuto per ciascuno dei poliedri regolari.A questo punto si osserveranno i solidi ottenuti, in particolare la situazione ai vertici:

in pratica si è tolto un vincolo dalle condizioni di regolarità (non tutte le facce hanno la stessa forma), ma le altre due condizioni permangono.



I poliedri che soddisfano queste due condizioni, cioè le facce sono poligoni regolari e in ogni vertice arriva, nell’ordine, sempre lo stesso tipo di facce, si dicono semiregolari (si escludono le famiglie infi nite di prismi e antiprismi). Come indicarli? Bisogna osservare di nuovo la situazione ai vertici: per esempio, troncando l’icosaedro, si ottiene un poliedro nel quale in ogni vertice arrivano un pentagono e due esagoni; il poliedro verrà indicato con la notazione (5, 6, 6). Solitamente questo poliedro è il più interessante per i ragazzi, perché vi riconoscono la struttura del pallone da calcio.

I poliedri semiregolari vengono chiamati solidi archimedei. Secondo la testimonianza del matematico Pappo di Alessandria (IV sec. a.C.), Archimede si occupò infatti di tali poliedri, inscrivibili in una sfera, caratterizzati da simmetrie non banali e le cui facce sono poligoni regolari non di un unico tipo. Noi ne abbiamo costruiti solo cinque, ma Archi-mede ne scoprì 13.



BIBLIOGRAFIA

Boyer 1980 C. Boyer, Storia della matematica (ed. it.), Milano, Arnoldo Monda-dori editore, 1980.

Braccesi - Ghittoni 2012 M. Braccesi e S. Ghittoni, Matematica attiva, Trento, Erickson, 2012.Geymonat 2006 M. Geymonat, Il grande Archimede, Roma, Sandro Teti Editore, 2006.Livio 2003 M. Livio, La sezione aurea, Milano 2003.Peiretti 2010 F. Peiretti, Il matematico si diverte, Rizzoli, Milano, Longanesi, 2010.

Riferimenti immagini:

Le fotografi e scattate in classe e quelle di elementi naturali sono di Maddalena Braccesi.Il disegno della spirale di Teodoro nella tabella è dell’artista Laura Pfeifer. Le altre immagini sono state prese dai seguenti siti:https://it.wikipedia.org/wiki/Spirale_archimedeahttps://commons.wikimedia.org/wiki/File:Spiral_of_Th eodorus_extended.svghttps://commons.wikimedia.org/wiki/File:Hyperspiral.svghttps://it.wikipedia.org/wiki/Spirale logaritmicahttp://www.treccani.it/enciclopedia/clotoide_%28Enciclopedia-della-Matematica%29/http://www.matematicaincitta.bz.it/?page_id=120http://maddmaths.simai.eu/divulgazione/la-matematica-umida-dellevoluzione-8-eadem-mutata-

resurgo/http://mostramatematica.galileiviareggio.net/home/archimede/la-spirale-di-archimedehttps://sandrozicari.com/2015/09/18/la-serie-di-fi bonacci-sulla-facciata-della-chiesa-di-san-nico-

la-a-pisa/


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