Roronoa Lillo (lillo)

POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI

8 June 2012

Abstract

Inizialmente non doveva esserci alcun articolo, ma dovevo solo sfruttarel'implementazione delle formule Latex per scrivermi un glossario, o se volete uneserciziario, del mio corso di analisi. Poi ho pensato: "ma siii, ora lo pubblico anche,a qualcuno potrebbe servire". C'è poco da leggere, tanto integrare, e per quel chevale: buona lettura.

La lettura è sconsigliata a persone avverse all'algebra, alla trigonometria, ad avvocati, a tutti coloro

che pensano che la matematica non serve a niente e a Renzo Bossi. Il prodotto può avere effetti

collaterali quali conati di vomito, dissenteria, pellagra e elezioni anticipate. Decreto Ministeriale 00/

00, aut.min.rich.

Integrali indefiniti

Esercizio 1

integriamo per parti:

ELECTROYOU.IT

POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 1

Abbiamo ottenuto un identità, quindi possiamo scrivere:

Esercizio 2

ma per quanto scritto nell'esercizio precedente:

Esercizio 3

ELECTROYOU.IT RORONOA LILLO (LILLO)

POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 2

ma l'integrale sulla destra rientra nel caso quindi:

Esercizio 4

Portando l'integrale a primo membro:

ELECTROYOU.IT RORONOA LILLO (LILLO)

POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 3

Esercizio 5

Integrali nella forma:

Esercizio 6

integriamo per parti scegliendo 1 come fattore differenziale:

ELECTROYOU.IT RORONOA LILLO (LILLO)

POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 4

l'integrale sulla destra è del tipo :

Esercizio 7

Allo stesso modo di sopra risolviamo:

ELECTROYOU.IT RORONOA LILLO (LILLO)

POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 5

Esercizio 8

Esercizio 9

integriamo per parti:

ELECTROYOU.IT RORONOA LILLO (LILLO)

POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 6

Esercizio 10

integriamo per parti:

Esercizio 11

Formule per ricorrenza

ELECTROYOU.IT RORONOA LILLO (LILLO)

POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 7

Esempio 1

Esempio 2

ma l'integrale a destra è stato precedentemente risolto:

Esercizio 12

ELECTROYOU.IT RORONOA LILLO (LILLO)

POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 8

Esercizio 13

effettuando la divisione tra polinomi otteniamo:

quindi:

ELECTROYOU.IT RORONOA LILLO (LILLO)

POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 9

Esercizio 14

effettuando la divisione tra polinomi otteniamo:

quindi:

Esercizio 15

Risoluzione attraverso fratti semplici

Δ>0

Esempio 1

troviamo le radici del denominatore per scomporre in fratti semplici:

quindi:

ELECTROYOU.IT RORONOA LILLO (LILLO)

POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 10

da cui:

torniamo all'integrale:

Esempio 2

troviamo le radici del denominatore per scomporre in fratti semplici:

quindi:

da cui:

ELECTROYOU.IT RORONOA LILLO (LILLO)

POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 11

tornando all'integrale:

Δ=0

Esempio 1

calcoliamo le radici del denominatore:

quindi:

tornando all'integrale:

ELECTROYOU.IT RORONOA LILLO (LILLO)

POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 12

Esempio 2

radici del denominatore:

possiamo scomporre in fratti semplici:

da cui:

si tratta quindi di risolvere i seguenti integrali:

Δ<0

Esempio 1

da cui:

ELECTROYOU.IT RORONOA LILLO (LILLO)

POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 13

Esempio 2

l'integrale iniziale diventa:

Esercizio 16

integriamo per sostituzione :

ELECTROYOU.IT RORONOA LILLO (LILLO)

POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 14

ma essendo :

Esercizio 17

integriamo per sostituzione:

quindi si tratta di risolvere:

effettuando la divisione tra polinomi otteniamo:

quindi si tratta di risolvere i seguenti integrali:

ELECTROYOU.IT RORONOA LILLO (LILLO)

POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 15

risolviamo l'integrale rimasto attraverso i fratti semplici (Δ=0):

che risolto ci porta a:

la soluzione completa nella variabile t risulta:

ed essendo , la soluzione all'integrale nella variabile x risulta:

Esercizio 18

integriamo per sostituzione:

ELECTROYOU.IT RORONOA LILLO (LILLO)

POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 16

ma essendo:

il risultato nella variabile x risulta:

Esercizio 19

integriamo per parti:

occupiamoci dell'integrale sulla destra, essendo l'unico rimasto, e procediamo perfratti semplici:

ELECTROYOU.IT RORONOA LILLO (LILLO)

POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 17

quindi:

da cui:

inseriamo nella quanto trovato:

ancora fratti semplici all'integrale sulla destra:

l'integrale diventa:

ora inseriamo nella quanto trovato:

ELECTROYOU.IT RORONOA LILLO (LILLO)

POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 18

ancora dobbiamo sviluppare l'ultimo integrale sulla destra: le radici deldenominatore sono:

quindi l'integrale può essere essere espresso nella forma:

inseriamo quanto trovato nella e otteniamo la soluzione completa dell'integrale:

Esercizio 20

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POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 19

scomponiamo in fratti semplici per risolvere l'integrale sulla destra (Δ<0):

da cui:

l'integrale diventa:

l'ultimo integrale può essere risolto trovando le radici del denominatore:

In definitiva l'integrale vale:

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POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 20

Integrali definiti

Esercizio 1

[1]

Esercizio 2

[2]

Esercizio 3

[3]

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POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 21

Esercizio 4

[4]

Esercizio 5

[5]

Esercizio 6

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POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 22

Esercizio 7

[7]

Esercizio 8

integriamo per parti:

reintegriamo per parti, scegliendo lo stesso fattore differenziale (ex):

nell'ultima espressione, portando fuori il segno meno dall'integrale, ritroviamo lostesso integrale di partenza, quindi possiamo scrivere:

Esercizio 9

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POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 23

Esercizio 10

Esercizio 11

Discutere la convergenza del seguente integrale:

non potendo trovare facilmente le primitive della funzione, utilizziamo il criterio delconfronto per stabilire la convergenza dell'integrale; scegliamo per confrontare lafunzione:

che risulta maggiore di in . Questo non è un problema, in quanto stiamostudiando il comportamento dell' integrale all'infinito. Vediamo quindi se l'integraledi questa nuova funzione converge:

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POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 24

La g(x) tende a un valore finito. Per il criterio del confronto anche

tenderà a un valore finito, quindi convergerà.

Esercizio 12

Discutere la convergenza dell'integrale improprio:

La ricerca delle primitive della f(x) è a dir poco ardua, anche wolframalpha si rifiutadi mostrarci i passaggi. Utilizziamo il criterio del confronto asintotico e troviamo unag(x) che abbia lo stesso comportamento all'infinito:

e calcoliamo il limite del rapporto:

il limite è un numero finito diverso da 0, possiamo quindi studiare il carattere di g(x)per definire quello di f(x):

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POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 25

La convergenza dell'integrale di g(x) implica quella dell'integrale di f(x).

Esercizio 13

Determinare la convergenza del seguente integrale:

Potremmo risolvere l'integrale, ma visto che è solo da stabilire la convergenza dif(x) applichiamo il criterio del confronto asintotico, per cui scegliamo una g(x) il cuiandamento all'infinito sia simile alla funzione data:

calcoliamo il limite del rapporto:

Limite finito e diverso da 0. Studiamo la g(x) per determinare il carattere di f(x):

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POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 26

divergendo l'integrale de g(x), anche l'integrale di f(x) diverge.

Esercizio 14

Studiare il carattere di:

Calcolare le primitive non mi sembra il caso, quindi studiamo quest'integraleattraverso l'assoluta integrabilità, applicabile a funzioni che cambiano segno: quindistudiamo:

il che rende la funzione a termini positivi. Questo ci permette di applicare il criteriodel confronto, e scegliamo come funzione di confronto:

studiamone la convergenza:

se tale integrale converge anche converge, ma per il criterio di

assoluta convergenza anche converge.

Esercizio 15

Un particolare integrale: L'integrale di Fresnel:

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POCHE PAROLE E PIÙ INTEGRALI 27

e vediamo a discapito delle previsioni che quest'integrale converge. Non calcolole primitive, ma eseguo un procedimento che dovrebbe portarmi a definire laconvergenza:

procedo per sostituzione:

quindi l'integrale diventa:

Da notare che anche gli estremi di integrazione subiscono il cambio di variabile.Integriamo per parti:

soffermiamoci sull'integrale rimasto; un integrale di quel tipo è risolvibile allo stessomodo dell'esercizio precedente, ovvero applicando dapprima il criterio di assolutaconvergenza, e poi quello del confronto. In linea di massima integrali impropri deltipo:

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convergono quando α > 1. Ed è il nostro caso, essendo . L'integrale di Fresnel

converge.

Esercizio 16

si tratta di trovare l'area di piano compresa tra l'asse x e la funzione data

dove gli estremi di integrazione non appartengono al dominio della funzione.Applichiamo quindi il limite, e dividiamo l'integrale in due integrali indicando con cun generico punto compreso nell'intervallo ]-1,1[:

figura 1

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Bibliografia e Sitografia

• Appunti di Analisi matematica.• Elementi di Analisi matematica I e II ; Marcellini-Sbordone• Metodi di integrazione ; Zeno Martini, EY• Analisi matematica attraverso gli esercizi; Zeno Martini, EY• Wolframalpha.com

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