Riflessione umoristica sulla prova ontologica di K. Goedel

7/28/2019 Riflessione umoristica sulla prova ontologica di K. Goedel

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Prova ontologica modale (diK.Goedel, ma anche di D.Scott,

Leibniz un po’ anche Anselmo...)@rvvincelli

Idea centrale: per Dio (o forse dovremmo usare dio?), se e possibile che esi-ste, allora necessariamente esiste, quindi lo sforzo sul dimostrare la possibilita.Il contesto formale e quello di un sistema assiomatico modale classico. Al riguar-do ci basti sapere che sono definiti dei quantificatori di necessita e possibilita eche in second’ordine posso quantificare non solo costanti ma anche, ad esempio,

predicati; infine, anche che una FBF puo solo essere vera o falsa.

• Proprieta p ositive. Goedel introduce questo concetto volutamente vagoed a mo’ di nozione nuova nell’ambito filosofico, per avere un qualcosa distrumentale alla sua prova dal punto di vista semantico, e non si addentranell’illustrare. E un’attribuzione pura cui nemesi e la privazione od unaproprieta che la implichi, indipedente dalla contingenza. Dio saltera fuorisostanzialmente come unione di tutte queste proprieta.

• Essenze. Termine abusato dai filosofi, per Godellio semplicemente unacaratteristica di un predicato per cui esso e vero per una data costante

(es. essere umano) ed implica tutte le proprieta positive che la costanteha; l’essere dio (Godlikeness ) e un esempio.

• Mondi. Possiamo (dobbiamo!) dare un modello al linguaggio che stiamousando, ed essendo in logica modale possiamo leggere la necessit a come“per ogni mondo vale questo”, la possibilita come “esiste un mondo in cuivale”.

Il sistema:

Ax.1.{P (ϕ) ∧ ∀x[ϕ(x) → ψ(x)]} → P (ψ)P (ϕ) significa che l’argomento ϕ, un predicato, e una proprieta P-ositiva. Que-sto assioma ci dice che se in ogni mondo una proprieta e positiva per un predicatoe ne implica un’altra sullo stesso, allora anche questa e positiva: e uno strumen-to con cui da proprieta positive ne otteniamo altre. Viene da dire: qual e laprima?

Ax.2.P (¬ϕ) ↔ ¬P (ϕ)

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Una specie di tertium non datur , siamo infatti in un contesto classico dove data

una precisa proprieta solo una versione tra essa stessa ed il suo contrario posso-no essere positive. Questo assioma dev’essere particolarmente caro agli studiosidi teodicea, banalmente vedendo la negazione della positivita come il Male.

Th.1.P (ϕ) → ♦ ∃x[ϕ(x)]Caratteristica delle proprieta positive: valgono per almeno una costante di unmondo! Per contraddizione, supponiamo che ϕ sia positiva, ma che necessa-riamente, quindi in nessun modello, nessuna costante abbia questa proprieta,cioe valga ¬∃x[ϕ(x)]. Ora questa implica ∀x[¬ϕ(x)], e per il primo assioma¬ϕ, proprieta forzata da una proprieta positiva, e anch’essa positiva. Ma ciocontraddice il secondo assioma, per cui solo una delle due proprieta puo essere

positiva.

Df.1.G(x) ⇐⇒ ∀ϕ[P (ϕ) → ϕ(x)]Definizione formale di Dio: e la proprieta di Godlikeness che innalza allo statusdi Dio le x sempliciotte che la vantano.

Ax.3.P (G)Tanto per mettere la sdraio al sole, questa propriet a divina e definita positiva.

Th.2.♦ ∃x G(x)Teorema: esiste un mondo in cui c’e una piccola x dalle grandi potenzialita,sappiamo che e la fuori (o qui dentro, Aug.). Il teorema segue dal teoremaprecedente applicato al terzo assioma.

Df.2.ϕ ess x ⇐⇒ ϕ(x) ∧ ∀ψ{ψ(x) → ∀x[ϕ(x) → ψ(x)]}Ecco la definizione di Essenza, molto cumbersome ma auto-esplicantesi: unaproprieta ϕ e essenza di una variabile x se vale ϕ(x)e ∀ψ[ψ(x)][φ ↔ ψ].

Ax.4.P (ϕ) → P (ϕ)Uno dei punti critici: una proprieta positiva (non c’e quantificatore, sappiamosolo che e positiva) lo e necessariamente (in ogni mondo); queste proprieta posi-tive hanno una qualche analogia di comportamento ai teoremi come li abbiamoimparati in proposizionale per capirci: sono veri sotto ogni interpretazione.

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Th.3.

G(x) → G ess xMettiamo sul bagnasciuga anche l’ombrellone, prima di un tuffo nel mare del-l’essere: se ics e Dio, la Godlikeness e (la sua) essenza! Detto cosı non sconvolgema e un teorema importante per come Goedel ed il resto della banda vedonoDio ed il concetto di essenza. Se x e godlike , ha tutte le proprieta positive, perdefinizione, e nessuna proprieta negativa, per l’assioma due. Quindi qualsiasiproprieta posititiva che un oggetto divino ha e buona e quindi (assioma 4) anchenecessariamente.

Df.3.E (x) ⇐⇒ ∀ϕ[ϕ ess x → ∃x ϕ(x)]Goedel definisce l’esistenza di un oggetto, prendiamo ovviamente il concetto di

esistenza come assodato. Un atomo e indispensabile quando qualcosa con la suaessenza deve esistere.

Ax.5.P (E )L’esistenza necessaria e una proprieta positiva: qua Goedel riprende Anselmo,cacchio dio e cosı avanti che sarebbe assurdo se si scordasse di porsi esistente!

Th.4. ∃x G(x) Un qualcosa di simildivino ha ogni buona proprieta, per definizione.

In particolare e indispensabile, esiste necessariamente, la qual cosa e, dall’as-sioma cinque, una proprieta positiva anch’essa. Quindi qualcosa con la propriaessenza, che e semplicemente l’essere simile al divino, deve esistere (teorema ter-zo). Altrimenti detto, se un qualcosa di simile al divino esiste allora e necessarioper qualcosa di simildivino esistere. Ma per il th. 2 e possibile che qualcosadi simildivino esista; e percio e possibile che sia necessario per qualcosa di si-mildivino di esistere; e cio vuol dire, a conti fatti, che e neceessario per questoqualcosa di simildivino di esistere. Et voila!

Critica alla prova di Goedel dagli esperti e che quasi un “beggin the an-swer”, gli assiomi sono cosı potenti che assumerli e solo qualche passo primache assumere direttamente l’esistenza di dio. Inoltre, pur se alto esercizio dilogica formale, il fatto che sia sound (provato, corretto) non accresce di molto,in termini probabilistici, la possibilita che questo benedetto dio esista davvero.Inoltre il quinto assioma e stato indicato come non necessario (esistono deriva-zioni che dagli altri portano all’ultimo teorema).

Nota: la comprensione approfondita della prova richiede conoscenze matemati-che che tendono allo stellare (dalle algebre di boole agli ultrafiltri: cose che siusano, ad esempio, anche in fisica teorica per la relativit a) ma almeno capire ilsignificato dei segni penso sia fattibile con conoscenze di base di logica.

Personalmente ero molto esaltato quando conobbi la prova, ed anche prima

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di leggere il libro, La prova matematica dell’esistenza di Dio, G. Lolli e P. Odi-

freddi , di cui questo documento e memoria: leggendo pero mi son sbollito unpo, non tanto perche l’analisi approfondita mi e tuttosommato oscura (dovreistudiarla davvero!) ma perche mi sembra tanto un esercizio fico quanto pocosignificativo moralmente, ed e proprio quello che Goedel pare volesse ottenere:niente di teologico, teo-logico semmai. In realta l’unica prova che ha davverofascino e la prima (Anselmo d’Aosta) con la sua schiettezza ed ingenuita cosıalta che anche mia mamma la sa, magari non ti dice che e sua pero ti dice “c’eraun filosofo che... forse Kant non mi ricordo”.

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