Ri hi iRichiami sul comportttamento dlldelleseziiioni in ... · Il calcolo del momento allo...

Università degli Studi di Roma TreFacoltà di IngegneriaC di T i d ll C i i I° M d l A/A 2007 08Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2007-08

LEZIONE N° 2

Ri hi i l t t d ll i i i• Richiami sul comportamento delle sezioni incemento armato normale semplicemente inflessee presso-inflessee presso inflesse

Il diagramma momento curvaturaIl diagramma momento curvaturaIl calcolo del momento di fessurazioneIl calcolo del momento di snervamentoIl calcolo del momento di snervamentoIl calcolo del momento ultimo

Università degli Studi di Roma TreFacoltà di IngegneriaC di T i d ll C i i I° M d l A/A 2007 08

Il t t di i i

Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2007-08

Il comportamento di una sezione in c.aIl diagramma Momento (M) - Curvatura (χ)

Mf = Momento di FessurazioneMf Momento di FessurazioneMy = Momento di SnervamentoMu = Momento Ultimo Punti caratteristici del diagramma M-χ

N=cost

Munto

M

N N

N cost

My

Mu

Mom

en

N N

Mf

Curvatura χCurvatura χ


Il comportamento flessionale di una sezione in .c.aIpotesi sul comportamento sezionale

• GeneraliConservazione delle sezioni pianePerfetta aderenza acciaio-calcestruzzoPerfetta aderenza acciaio-calcestruzzo

• I° stadioSezione interamente reagenteMateriali a comportamento elastico lineareMateriali a comportamento elastico lineare

• II° stadioCls teso non reagenteM i li l i liMateriali a comportamento elastico lineare

• III° stadioCls teso non reagenteMateriali a comportamento non-lineare


Il t t di i iIl comportamento di una sezione in c.aZone caratteristiche del diagramma M-χ

I° Stadio Il momento flettente e lo sforzo normale resistenti della sezione si valutano considerando la sezione interamente reagente omogeneizzata a CLSinteramente reagente omogeneizzata a CLS

II° Stadio Il momento flettente e lo sforzo normaleresistenti della sezione si valutano considerandola sezione elastica ma parzializzata.

III° Stadio Il momento flettente e lo sforzo normaleresistenti si valutano considerando per la sezionele condizioni di stato limite ultimo.


Il t t di i iIl comportamento di una sezione in c.aIl diagramma M-χ semplificato

Il diagramma M può

M (χ M )

N=costIl diagramma M-χ puòessere costruito in formasemplificata determinandoi punti di transizione tra i

(3)(χy , My) (χu , Mu)III° Stadio

i punti di transizione tra idiversi stadi della sezione

(1) Fessurazione del cls(2)

(χf , Mf)II° Stadio (1) Fessurazione del cls

(2) Snervamento armature(1)

I° Stadio (3) Collasso sezionale perrottura del cls odell’acciaio

χ


Il t t di i iIl comportamento di una sezione in c.aIl legame curvatura - deformazione

Legame curvatura-deformazione

zxεχ =

Modello Cinematico

φy

Deformazione della fibra a livello z

dφyrχ

φ==

rdxd y 1

zz

ddu yφε ==

dx

dxdxrd εφ +=trascurabile

zu yφ=

u zdxdxxε ==

dx+εxdxdxdxrd xy εφ +=


IL t t l I° St di


IL comportamento al I° StadioIl calcolo del momento di Fessurazione

nAAA +=*Caratteristiche della sezione

Tensione al lembo inferiore del clsctfi

x

xtc fy

JM

AN

=+= **,σ

x

sc

sc

nJJJ

nAAA

+=

+*

Caratteristiche della sezioneomogeneizzata a calcestruzzo

Asse neutro

Ac

Ayi

( )WJNAf ***

Zona tesa

As ( )NAfA

WAJ

yNAfM ctf

xx

i

ctf −=

−= *

**

yctff

fWM *= (flessione semplice)

La sezione si può assimilare ad una sezione composta da solo calcestruzzo,mentre le aree vengono pesate da un coefficiente che vale 1 per l’area del

ctfxf fWM = (flessione semplice)

mentre le aree vengono pesate da un coefficiente che vale 1 per l area delcalcestruzzo e n=Es/Ec (coefficiente di omogeneizzazione) per l’areadell’acciaio.


IL t t l I° St di


IL comportamento al I° StadioIl calcolo della curvatura di Fessurazione

ycxχf M (χy , My) (χ M )

N=cost

hAc

A

Zona tesa (χf , Mf)

(χu , Mu)

II° Stadio

III° Stadio

As

yctff

(χf f)

I° Stadio

c

cctff yh

Ef−

=χχ

cy


IL t t l I° St diIL comportamento al I° StadioEsempio (flessione semplice)

C l l il t l t di f i di i i tt lCalcolare il momento e la curvatura di fessurazione di una sezione in c.a. rettangolareb=h=30 cm e armatura inferiore uguale all’armatura superiore pari a 2 φ 20. Si assuma N=0Es=200.000 Mpa, Ec=33.000 Mpa, coefficiente di omogeneizzazione n=6, fctf=1.5 MPa,d’=4 cm

202φPer ragioni di simmetria il baricentro si trova nel baricentrogeometrico della sezione e quindi a 15 cm dal bordo superiore einferiore.

202φ2* 36,97514.3463030 cmA =××+×=

423

* 76618)430(286623030 cmJ =−×××+×

= 76618)42

(28.66212

cmJx =×××+=

kNcmfJM tfx

f 18.76615.076618*

=×== 165

1003.31054.4330015.0 −−−

⋅=⋅

== cmfχkNcmfy

M ctfi

f 18.76615.015

1003.31515

cmfχ


Il t t l II° St di


Il comportamento al II° StadioIl calcolo del momento allo snervamento (fless. semplice)

Acx

Ac

As

yiZona tesa

Asse neutro

In tal caso la sezione si può ancora assimilare ad una sezione composta da

Fessurazione del cls per flessioney

ctff

In tal caso la sezione si può ancora assimilare ad una sezione composta dasolo calcestruzzo, mentre le aree vengono pesate da un coefficiente che vale1 per l’area del calcestruzzo e n=Es/Ec (coefficiente di omogeneizzazione) perl’area dell’acciaio. Deve però essere escluso il calcestruzzo teso consideratol area dell acciaio. Deve però essere escluso il calcestruzzo teso consideratonon reagente


Il t t l II° St di



L’ t i l t di t*b

L’asse neutro si valuta mediantel’equilibrio alla traslazione della sezioneossia annullando il momento staticodella sezione omogeneizzata S

yc

0* =nSAs’

h

d’

⎞⎛

della sezione omogeneizzata Sn

Asse neutro

Ac

Zona tesa

x( )AAnf ss

'+=

h

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+= 121 0

fhfyc

Astesa

y ctff

bf

'

''

0ss

AAdAhAh

++

=d’

M

ss AA +

M

Calcolo delle tensioni nel cls e nell’acciaio

b 3

cx

c yJM

*max, =σ )(*max, cx

s ydJMn −=σ ∑+

×=

kkks

cx dAnybJ 2

,*

3


Il t t l II° St di



P il l l d l t di t M d ll l ti t iPer il calcolo del momento di snervamento My e della relativa curvatura χy sipuò procedere imponendo che nell’armatura tesa di verifichi una tensionepari alla tensione di snervamento dell’acciaio di cui è composta fy:

As’d’yx fJ

M =*

Ac

yc

Zona

xh ( )c

y ydnM

−=

EfAsse neutro

As

Zona tesa

d’ yf ( )c

syy yd

Ef−

=χ


Il t t l II° St di


Il comportamento al II° StadioEsempio (flessione semplice)Calcolare il momento e la curvatura di fessurazione di una sezione in c.a. rettangolare

( )

gb=h=30 cm e armatura inferiore uguale all’armatura superiore pari a 2 φ 20. Si assuma N=0Es=200.000 MPa, Ec=33.000 MPa, coefficiente di omogeneizzazione n=6, fctf=1.5 MPa,d’=4 cm

cmfhfyc 52.6121 0 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

( ) cmb

AAnf ss 512.2'

=+

=

dAdA ''+

202φ

f ⎟⎠

⎜⎝ cm

AAdAdAh

ss

ss 15'0 =++

=

33 52630b

202φ

4223

2,

* 17309)52.626(28.66)452.6(28.663

52.6303

cmdAnybJk

kksc

x =−⋅⋅+−⋅⋅+×

=+×

= ∑

fJ *15Ef

( ) kNmydn

fJM

c

yxy 38.55=

−= ( )

151059.9 −−⋅=−

= cmydEf

c

syyχ


Il t t l II° St di

Nel caso di flessione composta (N, M) occorre distinguere il caso di piccola eccentricità dal

Il comportamento al II° StadioIl calcolo del momento allo snervamento (fless. composta)

p ( , ) g pcaso di grande eccentricità. Il primo caso si verifica quando il centro di pressione è situatoall’interno del nocciolo centrale d’inerzia, caso per il quale l’asse neutro è esterno allasezione. Se il centro di pressione è esterno al nocciolo l’asse neutro taglia la sezione cherisulta essere parzializzatarisulta essere parzializzata.

As’d’N

Acx

Ac

yc

x

As

hN

Asse neutro

Ac

As

yiZona tesa

Asse neutro

Ac

As

Zona tesa

x

d’ yf

yctff

d


Il t t l II° St diIl comportamento al II° StadioEllisse centrale d’inerziaSi definisce ellisse centrale d’inerzia di un’area, l’ellisse con centro nel baricentro dell’areastessa e i cui assi minore e maggiore sono rispettivamente i raggi giratori d’inerzia massimostessa e i cui assi minore e maggiore sono rispettivamente i raggi giratori d’inerzia massimoe minimo della sezione. Essa fornisce una indicazione rapida sul comportamento flessionaledella sezione.

yx 22

Nel problema della pressoflessione esiste una relazione dinatura geometrica tra asse neutro e centro di pressione:L’asse neutro è l’antipolare del centro di pressione rispetto

1yx2x

2y

=+ρρ

yL asse neutro è l antipolare del centro di pressione rispettoall’ellisse centrale d’inerzia. Infatti se scriviamo la formula diNavier per la pressoflessione si ha:

NNNEllisse centraled’ine ia

ρx

0yI

NyxI

NxAN

x

0

y

0 =++d’inerzia

xρy

01yyxx2x

02y

0 =++ρρ

Retta antipolare di crispetto all’ellissecentrale d’inerzia

c


Il t t l II° St diIl comportamento al II° StadioNocciolo Centrale d’inerziaIl luogo dei centri di pressione antipoli delle rette tangenti alla sezione è la frontiera del

i l t l d’i i i i d i t i di i i li l i i ltnocciolo centrale d’inerzia insieme dei centri di pressione per i quali la sezione risultainteramente compressa. Detta An l’area del nocciolo centrale d’inerzia, la condizione per cuila sezione risulti tutta compressa tale si esprime come segue

yyxx

Nel caso di pressoflessione retta si è in genere interessati ai punti del nocciolo per i quali

n2x

02y

0 Ay,x01yyxx∈∀>++

ρρ

p g p p ql’asse neutro è ortogonale all’asse di sollecitazione ed è tangente alla sezione rispettivamenteal lembo inferiore e superiore. Tali punti sono detti punti di nocciolo inferiore e superiore.

Nel caso ad esempio della figura accanto, per individuare laloro posizione basta far riferimento all’equazione della rettacs y antipolare con la condizione che essa passi per i punti x=0 ey=yi per individuare cs e y=ys per individuare ci :

W01yy xs2xsCi ρ xi

2xiCs Wy01yy

→+ρc

cs

x

yi

ys

yci

ycs

Ayy01yy xs

s

xCi2

x

sCi −=−=→=+ρ

ρ ciCs2

x Ayy01 −=−=→=+

ρci

y


Il t t l II° St diIl comportamento al II° StadioDefinizione di Nocciolo Centrale d’inerzia

NOCCIOLO CENTRALE D’INERZIA DI UNA SEZIONE RETTANGOLARE

b/3

6/h12/hyh12bh

I 22x

Ci

2

3

x2x =−=−=→===

ρρhh/32/hy

y12bhA s

Cix −ρ

6/h12/hy22

x −=−=−=ρ

b 6/h2/hy

yi

Cs −=−=−=b

ESEMPIO: Sezione 20 x 50 cmESEMPIO: Sezione 20 x 50 cmyci = 8.33 cmycs = -8.33 cm


Il t t l II° St diIl comportamento al II° StadioDefinizione di Nocciolo Centrale d’inerzia

1) Si determina la posizione del baricentro

( )( )sbbhb

2ssbb

2hhb

ASy

00

00n

G −+

−+==

1) Si determina la posizione del baricentro

cen

yG

b

s

( ) hbbhb 33

2) Si determina il raggio giratore d’inerzia rispetto all’asse baricentrico (asse x)

ci

x h

( )

( )sbbhb

)y2h(hb)y

2s(s)bb(

3sbb

3hb

AI

00

2G0

2G0

30

30

x2x −+

−−−−−−

+==ρ

2.5

yb0

3) Una volta noto il giratore d’inerzia i punti di nocciolo si determinano con le formule precedentemente fornite.

2.5

0.25

ep

G

0.851.25

ESEMPIO P l fi t i h

0.50

Ap

0.85 ESEMPIO: Per la figura accanto si ha:yG=0.40 cm, ρx=0.487 cmyci =0.28 cm, ycs = 0.59 cm


Il t t l II° St di

Nel caso di flessione composta (N, M) con piccola eccentricità la sezione è interamente

Il comportamento al II° StadioIl calcolo del momento allo snervamento (fless. composta)

p ( , ) preagente e dunque è da considerarsi al primo stadio. In caso contrario la sezione è al IIstadio. Occorre quindi valutare la posizione dell’asse neutro mediante la relazioneseguente, che per sezioni rettangolari è un’equazione algebrica di 3° grado:

( ) ( ) 0** =⋅− cncn ySeyJ

N

dove e=M/N yc (asse neutro)

N N

(eq. 3°grado per sezioni rettangolari)

ySN

nc =σ

yc

As’

h

d’

e

in

is ySNn=,σ

fSAc

y

Zona tesa

xh e

( )cy ydSNnf −=

( )c

yny ydn

fSNeM

−==

sy EfAs

tesad’ yf n

y S( )c

syy yd

f−

=χ


Il t t l III° St di


Il comportamento al III° StadioIl calcolo del Momento e della curvatura ultimaAl III° stadio il calcestruzzo è fessurato e i materiali presentano un comportamento nonp plineare che le normative schematizzano come segue.

Leggi Costitutive

CLS ACCIAIO

gg

CLS ACCIAIO

⎪⎪⎨

⎧<

= s

ys

s fEf

E εεσ

⎪⎪⎩

⎨>

s

yy

s

Ef

f ε


Il t t l III° St diIl comportamento al III° StadioIl calcolo del Momento e della curvatura ultimaPer il calcolo del momento ultimo occorre riferirsi ai così detti campi di Rottura i qualip qdefiniscono campi di deformazione entro i quali è il calcestruzzo o l’acciaio a raggiungere ilsuo stato limite ultimo (resistenza)

εεc1

(4)(3)

εcu

3/7 h

h

d’

yd

c

su

cu

f=

=

=

εεε

000

1

000

000

210

5.3As’

(2)

h

(1)(0)

s

ydsy E

f=ε

As

(0,0’) piccola eccentricità (Compressione)(1) sez. fortemente armata(2) Sez normalmente armata

εsu εsyb

Campi di Rottura

(0’)As

(2) Sez. normalmente armata(3) Sez. debolmente armata(4) Piccola eccentricità (Trazione)

Campi di Rottura




Il comportamento al III° StadioIl calcolo del Momento e della curvatura (fless. Semplice)Per il calcolo del momento ultimo occorre riferirsi ai così detti campi di Rottura i qualip qdefiniscono campi di deformazione entro i quali è il calcestruzzo o l’acciaio a raggiungere ilsuo stato limite ultimo (resistenza)

La valutazione del momento ultimo di una sezione in c.a. con singola o doppia armatura,soggetta a momento flettente, si effettua come segue:

Determinazione del meccanismo di rottura: confronto percentuali meccaniche diDeterminazione del meccanismo di rottura: confronto percentuali meccaniche diarmatura con quelle relative alle deformate limite

Determinazione della posizione dell’asse neutro: equilibrio della sezione alla traslazione

Calcolo del momento ultimo della sezione: equilibrio della sezione alla rotazione rispettoad un polo qualsiasi



Per la valutazione del campo di rottura è sufficiente determinare i valori delle percentuali

Il comportamento al III° StadioIl calcolo del Momento e della curvatura (fless. Semplice)

p pmeccaniche di armatura corrispondenti al passaggio da una zona e la successiva, econfrontare poi il valore della percentuale d’armatura presente nella sezione con i predettilimiti.

cd

ydfs

cd

ydfs fbd

fAfbdfA '

'== μμ Percentuali meccaniche di armatura

Criteri per la determinazione della zona di rottura

53• se 2181.0' −>− Kss μμ Sezione fortemente armata • se 2132 81.0'81.0 −− >−> KK ss μμ Sezione normalmente armata • se 21.081.0' 32 =<− −Kss μμ Sezione debolmente armata

sy

Kε+

=− 5.35.3

21

259.01053

5.332 =

+=−K

32ss μμ 105.3 +



Una volta determinato il campo di rottura si valuta la posizione dell’asse neutro ricorrendo

Il comportamento al III° StadioIl calcolo del Momento e della curvatura (fless. Semplice)

p palla equazione di equilibrio alla traslazione della sezione. Ad esempio per sezioni in zona 2si ha:

εcu

b

fcd ccd yfbC 81.0=

isul

tant

i

zona 1 zona 3

cu

d

C

C’

fcd

yc

ccd yf

)'('' ssfAC εσ=

Ri

Equazione di equilibrio alla traslazione

zona 2

εsy εsu

Asse neuro T

σs(εs) εs ydf fAT =

Equazione di equilibrio alla traslazione

0'81.0 =−+ ydfydfcd fAfAKfbd → Kss 81.0'=−μμ → 81.0

'ssK μμ −= sys εε >'

0'81.0 =−−

+ ydfsusfcd fAK

KEAKfbd εδsys εε <'


Il t t l III° St diIl comportamento al III° StadioIl calcolo del Momento e della curvatura (fless. Semplice)Determinata la posizione dell’asse neutro rimane solamente da calcolare il momento ultimo dellasezione considerata. A tale scopo è sufficiente imporre l’equilibrio della sezione alla rotazione rispetto ad un polo qualsiasi. Sezione fortemente armata: In questo caso conviene assumere come polo per l’equilibrio ai momenti il baricentro dell’armaturaIn questo caso conviene assumere come polo per l equilibrio ai momenti il baricentro dell armaturatesa posta alla distanza d dal bordo superiore della sezione.

)'(')416.0( ddCydCM cu −+−= Sezione normalmente armata: In questo caso si può assumere come polo per l’equilibrio dei momenti il baricentro dellecompressioni nel calcestruzzo

)'4160(')4160( dyCydTM −+−= )416.0()416.0( dyCydTM ccu −+−= Sezione debolmente armata: In questo caso si può assumere come polo per l’equilibrio dei momenti il baricentro dellecompressioni nell’armatura compressa

)'40.0()'( dyCddTM cu −+−=


ESEMPIO 2: sezione normalmente armataESEMPIO 2: sezione normalmente armata Determinare il momento ultimo della sezione di figura considerando per un Cls di classeRck=30MPa, un acciaio Feb44K e un copriferro d’=3 cm.

30 cm

Calcolo resistenze caratteristiche:

0 83 0 85 13 26Rckf MP

45 cm

Af =13.51 cm2

Af’ =4.0 cm2

0.83 0.85 13.261.6

3741.15

cd

ykyd

f MPa

ff MPa

f

= × × =

= =

31.82 10ydsy

s

fE

ε −= = ×

Determinazione campo di rottura:p

09.0'

'305.0323.142304.3762.13

===×××

==cd

ydf

cd

ydf

fbdfA

fbdfA

μμ


Controlliamo se in corrispondenza della linea di separazione tra zona 2 e 3 l’armatura superiore siasnervata:snervata:

2 33 3

2 3

0.259 0.07 3.5 2.55 10 1.82 100.259s cu sy

KK

δε ε ε−

− −−

− −′ = = = × > = × e dunque l’acciaio compresso

è snervato. A questo punto poiché l’equazione alla traslazione della sezione si scrive μ μ’=0 215>0 81K1-2 laA questo punto poiché l equazione alla traslazione della sezione si scrive μ-μ =0.215>0.81K la sezione è chiaramente in zona 2 e dunque la sezione è normalmente armata. Determinazione posizione asse neutro Hp: armatura compressa snervata (ε’s>εsy)Hp: armatura compressa snervata (ε s εsy)

265.081.0

'=

−= ssK μμ

essendo δ=d’/d=0.07 la deformazione dell’acciaio compresso risulta pari a

3 32.6 10 1.82 10s cuK

Kδε ε − −−′ = = × > × dunque l’ipotesi iniziale è verificata

Calcolo Momento Ultimo kNfAC 6149'' kNfAT 385094376213 ×kNfAC ydf 6.149'' == kNfAT ydf 38.5094.3762.13 =×==

)'416.0(')416.0( dyCydTM ccu −+−= =192.8 kNm


Il t t l III° St diIl comportamento al III° StadioIl calcolo del Momento e della curvatura (fless. Semplice)Per l’ipotesi di conservazione delle sezioni piane il calcolo della curvatura ultima di unap psezione semplicemente inflessa si calcola esattamente come per il I° e II° stadio. Occorreperò tener presente il campo di rottura della sezione:

N 0M (χy , My) (χu , Mu)

N=0

III° Stadio c

cuu y

εχ = Zone 1, 2

(χf , Mf)II° Stadio

III Stadio

c

suu yd −=

εχ Zona 3

I° Stadio

cy

χ

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