Università degli Studi di Roma TreFacoltà di IngegneriaC di T i d ll C i i I° M d l A/A 2007 08Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2007-08
LEZIONE N° 2
Ri hi i l t t d ll i i i• Richiami sul comportamento delle sezioni incemento armato normale semplicemente inflessee presso-inflessee presso inflesse
Il diagramma momento curvaturaIl diagramma momento curvaturaIl calcolo del momento di fessurazioneIl calcolo del momento di snervamentoIl calcolo del momento di snervamentoIl calcolo del momento ultimo
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Il t t di i i
Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2007-08
Il comportamento di una sezione in c.aIl diagramma Momento (M) - Curvatura (χ)
Mf = Momento di FessurazioneMf Momento di FessurazioneMy = Momento di SnervamentoMu = Momento Ultimo Punti caratteristici del diagramma M-χ
N=cost
Munto
M
N N
N cost
My
Mu
Mom
en
N N
Mf
Curvatura χCurvatura χ
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Il comportamento flessionale di una sezione in .c.aIpotesi sul comportamento sezionale
• GeneraliConservazione delle sezioni pianePerfetta aderenza acciaio-calcestruzzoPerfetta aderenza acciaio-calcestruzzo
• I° stadioSezione interamente reagenteMateriali a comportamento elastico lineareMateriali a comportamento elastico lineare
• II° stadioCls teso non reagenteM i li l i liMateriali a comportamento elastico lineare
• III° stadioCls teso non reagenteMateriali a comportamento non-lineare
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Il t t di i iIl comportamento di una sezione in c.aZone caratteristiche del diagramma M-χ
I° Stadio Il momento flettente e lo sforzo normale resistenti della sezione si valutano considerando la sezione interamente reagente omogeneizzata a CLSinteramente reagente omogeneizzata a CLS
II° Stadio Il momento flettente e lo sforzo normaleresistenti della sezione si valutano considerandola sezione elastica ma parzializzata.
III° Stadio Il momento flettente e lo sforzo normaleresistenti si valutano considerando per la sezionele condizioni di stato limite ultimo.
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Il t t di i iIl comportamento di una sezione in c.aIl diagramma M-χ semplificato
Il diagramma M può
M (χ M )
N=costIl diagramma M-χ puòessere costruito in formasemplificata determinandoi punti di transizione tra i
(3)(χy , My) (χu , Mu)III° Stadio
i punti di transizione tra idiversi stadi della sezione
(1) Fessurazione del cls(2)
(χf , Mf)II° Stadio (1) Fessurazione del cls
(2) Snervamento armature(1)
I° Stadio (3) Collasso sezionale perrottura del cls odell’acciaio
χ
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Il t t di i iIl comportamento di una sezione in c.aIl legame curvatura - deformazione
Legame curvatura-deformazione
zxεχ =
Modello Cinematico
φy
Deformazione della fibra a livello z
dφyrχ
φ==
rdxd y 1
zz
ddu yφε ==
dx
dxdxrd εφ +=trascurabile
zu yφ=
u zdxdxxε ==
dx+εxdxdxdxrd xy εφ +=
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IL t t l I° St di
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IL comportamento al I° StadioIl calcolo del momento di Fessurazione
nAAA +=*Caratteristiche della sezione
Tensione al lembo inferiore del clsctfi
x
xtc fy
JM
AN
=+= **,σ
x
sc
sc
nJJJ
nAAA
+=
+*
Caratteristiche della sezioneomogeneizzata a calcestruzzo
Asse neutro
Ac
Ayi
( )WJNAf ***
Zona tesa
As ( )NAfA
WAJ
yNAfM ctf
xx
i
ctf −=
−= *
**
yctff
fWM *= (flessione semplice)
La sezione si può assimilare ad una sezione composta da solo calcestruzzo,mentre le aree vengono pesate da un coefficiente che vale 1 per l’area del
ctfxf fWM = (flessione semplice)
mentre le aree vengono pesate da un coefficiente che vale 1 per l area delcalcestruzzo e n=Es/Ec (coefficiente di omogeneizzazione) per l’areadell’acciaio.
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IL t t l I° St di
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IL comportamento al I° StadioIl calcolo della curvatura di Fessurazione
ycxχf M (χy , My) (χ M )
N=cost
hAc
A
Zona tesa (χf , Mf)
(χu , Mu)
II° Stadio
III° Stadio
As
yctff
(χf f)
I° Stadio
c
cctff yh
Ef−
=χχ
cy
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IL t t l I° St diIL comportamento al I° StadioEsempio (flessione semplice)
C l l il t l t di f i di i i tt lCalcolare il momento e la curvatura di fessurazione di una sezione in c.a. rettangolareb=h=30 cm e armatura inferiore uguale all’armatura superiore pari a 2 φ 20. Si assuma N=0Es=200.000 Mpa, Ec=33.000 Mpa, coefficiente di omogeneizzazione n=6, fctf=1.5 MPa,d’=4 cm
202φPer ragioni di simmetria il baricentro si trova nel baricentrogeometrico della sezione e quindi a 15 cm dal bordo superiore einferiore.
202φ2* 36,97514.3463030 cmA =××+×=
423
* 76618)430(286623030 cmJ =−×××+×
= 76618)42
(28.66212
cmJx =×××+=
kNcmfJM tfx
f 18.76615.076618*
=×== 165
1003.31054.4330015.0 −−−
⋅=⋅
== cmfχkNcmfy
M ctfi
f 18.76615.015
1003.31515
cmfχ
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Il t t l II° St di
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Il comportamento al II° StadioIl calcolo del momento allo snervamento (fless. semplice)
Acx
Ac
As
yiZona tesa
Asse neutro
In tal caso la sezione si può ancora assimilare ad una sezione composta da
Fessurazione del cls per flessioney
ctff
In tal caso la sezione si può ancora assimilare ad una sezione composta dasolo calcestruzzo, mentre le aree vengono pesate da un coefficiente che vale1 per l’area del calcestruzzo e n=Es/Ec (coefficiente di omogeneizzazione) perl’area dell’acciaio. Deve però essere escluso il calcestruzzo teso consideratol area dell acciaio. Deve però essere escluso il calcestruzzo teso consideratonon reagente
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Il t t l II° St di
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Il comportamento al II° StadioIl calcolo del momento allo snervamento (fless. semplice)
L’ t i l t di t*b
L’asse neutro si valuta mediantel’equilibrio alla traslazione della sezioneossia annullando il momento staticodella sezione omogeneizzata S
yc
0* =nSAs’
h
d’
⎞⎛
della sezione omogeneizzata Sn
Asse neutro
Ac
Zona tesa
x( )AAnf ss
'+=
h
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+= 121 0
fhfyc
Astesa
y ctff
bf
'
''
0ss
AAdAhAh
++
=d’
M
ss AA +
M
Calcolo delle tensioni nel cls e nell’acciaio
b 3
cx
c yJM
*max, =σ )(*max, cx
s ydJMn −=σ ∑+
×=
kkks
cx dAnybJ 2
,*
3
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Il t t l II° St di
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Il comportamento al II° StadioIl calcolo del momento allo snervamento (fless. semplice)
P il l l d l t di t M d ll l ti t iPer il calcolo del momento di snervamento My e della relativa curvatura χy sipuò procedere imponendo che nell’armatura tesa di verifichi una tensionepari alla tensione di snervamento dell’acciaio di cui è composta fy:
As’d’yx fJ
M =*
Ac
yc
Zona
xh ( )c
y ydnM
−=
EfAsse neutro
As
Zona tesa
d’ yf ( )c
syy yd
Ef−
=χ
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Il t t l II° St di
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Il comportamento al II° StadioEsempio (flessione semplice)Calcolare il momento e la curvatura di fessurazione di una sezione in c.a. rettangolare
( )
gb=h=30 cm e armatura inferiore uguale all’armatura superiore pari a 2 φ 20. Si assuma N=0Es=200.000 MPa, Ec=33.000 MPa, coefficiente di omogeneizzazione n=6, fctf=1.5 MPa,d’=4 cm
cmfhfyc 52.6121 0 =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+=
( ) cmb
AAnf ss 512.2'
=+
=
dAdA ''+
202φ
f ⎟⎠
⎜⎝ cm
AAdAdAh
ss
ss 15'0 =++
=
33 52630b
202φ
4223
2,
* 17309)52.626(28.66)452.6(28.663
52.6303
cmdAnybJk
kksc
x =−⋅⋅+−⋅⋅+×
=+×
= ∑
fJ *15Ef
( ) kNmydn
fJM
c
yxy 38.55=
−= ( )
151059.9 −−⋅=−
= cmydEf
c
syyχ
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Il t t l II° St di
Nel caso di flessione composta (N, M) occorre distinguere il caso di piccola eccentricità dal
Il comportamento al II° StadioIl calcolo del momento allo snervamento (fless. composta)
p ( , ) g pcaso di grande eccentricità. Il primo caso si verifica quando il centro di pressione è situatoall’interno del nocciolo centrale d’inerzia, caso per il quale l’asse neutro è esterno allasezione. Se il centro di pressione è esterno al nocciolo l’asse neutro taglia la sezione cherisulta essere parzializzatarisulta essere parzializzata.
As’d’N
Acx
Ac
yc
x
As
hN
Asse neutro
Ac
As
yiZona tesa
Asse neutro
Ac
As
Zona tesa
x
d’ yf
yctff
d
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Il t t l II° St diIl comportamento al II° StadioEllisse centrale d’inerziaSi definisce ellisse centrale d’inerzia di un’area, l’ellisse con centro nel baricentro dell’areastessa e i cui assi minore e maggiore sono rispettivamente i raggi giratori d’inerzia massimostessa e i cui assi minore e maggiore sono rispettivamente i raggi giratori d’inerzia massimoe minimo della sezione. Essa fornisce una indicazione rapida sul comportamento flessionaledella sezione.
yx 22
Nel problema della pressoflessione esiste una relazione dinatura geometrica tra asse neutro e centro di pressione:L’asse neutro è l’antipolare del centro di pressione rispetto
1yx2x
2y
=+ρρ
yL asse neutro è l antipolare del centro di pressione rispettoall’ellisse centrale d’inerzia. Infatti se scriviamo la formula diNavier per la pressoflessione si ha:
NNNEllisse centraled’ine ia
ρx
0yI
NyxI
NxAN
x
0
y
0 =++d’inerzia
xρy
01yyxx2x
02y
0 =++ρρ
Retta antipolare di crispetto all’ellissecentrale d’inerzia
c
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Il t t l II° St diIl comportamento al II° StadioNocciolo Centrale d’inerziaIl luogo dei centri di pressione antipoli delle rette tangenti alla sezione è la frontiera del
i l t l d’i i i i d i t i di i i li l i i ltnocciolo centrale d’inerzia insieme dei centri di pressione per i quali la sezione risultainteramente compressa. Detta An l’area del nocciolo centrale d’inerzia, la condizione per cuila sezione risulti tutta compressa tale si esprime come segue
yyxx
Nel caso di pressoflessione retta si è in genere interessati ai punti del nocciolo per i quali
n2x
02y
0 Ay,x01yyxx∈∀>++
ρρ
p g p p ql’asse neutro è ortogonale all’asse di sollecitazione ed è tangente alla sezione rispettivamenteal lembo inferiore e superiore. Tali punti sono detti punti di nocciolo inferiore e superiore.
Nel caso ad esempio della figura accanto, per individuare laloro posizione basta far riferimento all’equazione della rettacs y antipolare con la condizione che essa passi per i punti x=0 ey=yi per individuare cs e y=ys per individuare ci :
W01yy xs2xsCi ρ xi
2xiCs Wy01yy
→+ρc
cs
x
yi
ys
yci
ycs
Ayy01yy xs
s
xCi2
x
sCi −=−=→=+ρ
ρ ciCs2
x Ayy01 −=−=→=+
ρci
y
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Il t t l II° St diIl comportamento al II° StadioDefinizione di Nocciolo Centrale d’inerzia
NOCCIOLO CENTRALE D’INERZIA DI UNA SEZIONE RETTANGOLARE
b/3
6/h12/hyh12bh
I 22x
Ci
2
3
x2x =−=−=→===
ρρhh/32/hy
y12bhA s
Cix −ρ
6/h12/hy22
x −=−=−=ρ
b 6/h2/hy
yi
Cs −=−=−=b
ESEMPIO: Sezione 20 x 50 cmESEMPIO: Sezione 20 x 50 cmyci = 8.33 cmycs = -8.33 cm
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Il t t l II° St diIl comportamento al II° StadioDefinizione di Nocciolo Centrale d’inerzia
1) Si determina la posizione del baricentro
( )( )sbbhb
2ssbb
2hhb
ASy
00
00n
G −+
−+==
1) Si determina la posizione del baricentro
cen
yG
b
s
( ) hbbhb 33
2) Si determina il raggio giratore d’inerzia rispetto all’asse baricentrico (asse x)
ci
x h
( )
( )sbbhb
)y2h(hb)y
2s(s)bb(
3sbb
3hb
AI
00
2G0
2G0
30
30
x2x −+
−−−−−−
+==ρ
2.5
yb0
3) Una volta noto il giratore d’inerzia i punti di nocciolo si determinano con le formule precedentemente fornite.
2.5
0.25
ep
G
0.851.25
ESEMPIO P l fi t i h
0.50
Ap
0.85 ESEMPIO: Per la figura accanto si ha:yG=0.40 cm, ρx=0.487 cmyci =0.28 cm, ycs = 0.59 cm
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Il t t l II° St di
Nel caso di flessione composta (N, M) con piccola eccentricità la sezione è interamente
Il comportamento al II° StadioIl calcolo del momento allo snervamento (fless. composta)
p ( , ) preagente e dunque è da considerarsi al primo stadio. In caso contrario la sezione è al IIstadio. Occorre quindi valutare la posizione dell’asse neutro mediante la relazioneseguente, che per sezioni rettangolari è un’equazione algebrica di 3° grado:
( ) ( ) 0** =⋅− cncn ySeyJ
N
dove e=M/N yc (asse neutro)
N N
(eq. 3°grado per sezioni rettangolari)
ySN
nc =σ
yc
As’
h
d’
e
in
is ySNn=,σ
fSAc
y
Zona tesa
xh e
( )cy ydSNnf −=
( )c
yny ydn
fSNeM
−==
sy EfAs
tesad’ yf n
y S( )c
syy yd
f−
=χ
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Il t t l III° St di
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Il comportamento al III° StadioIl calcolo del Momento e della curvatura ultimaAl III° stadio il calcestruzzo è fessurato e i materiali presentano un comportamento nonp plineare che le normative schematizzano come segue.
Leggi Costitutive
CLS ACCIAIO
gg
CLS ACCIAIO
⎪⎪⎨
⎧<
= s
ys
s fEf
E εεσ
⎪⎪⎩
⎨>
s
yy
s
Ef
f ε
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Il t t l III° St diIl comportamento al III° StadioIl calcolo del Momento e della curvatura ultimaPer il calcolo del momento ultimo occorre riferirsi ai così detti campi di Rottura i qualip qdefiniscono campi di deformazione entro i quali è il calcestruzzo o l’acciaio a raggiungere ilsuo stato limite ultimo (resistenza)
εεc1
(4)(3)
εcu
3/7 h
h
d’
yd
c
su
cu
f=
=
=
εεε
000
1
000
000
210
5.3As’
(2)
h
(1)(0)
s
ydsy E
f=ε
As
(0,0’) piccola eccentricità (Compressione)(1) sez. fortemente armata(2) Sez normalmente armata
εsu εsyb
Campi di Rottura
(0’)As
(2) Sez. normalmente armata(3) Sez. debolmente armata(4) Piccola eccentricità (Trazione)
Campi di Rottura
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Il t t l III° St di
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Il comportamento al III° StadioIl calcolo del Momento e della curvatura (fless. Semplice)Per il calcolo del momento ultimo occorre riferirsi ai così detti campi di Rottura i qualip qdefiniscono campi di deformazione entro i quali è il calcestruzzo o l’acciaio a raggiungere ilsuo stato limite ultimo (resistenza)
La valutazione del momento ultimo di una sezione in c.a. con singola o doppia armatura,soggetta a momento flettente, si effettua come segue:
Determinazione del meccanismo di rottura: confronto percentuali meccaniche diDeterminazione del meccanismo di rottura: confronto percentuali meccaniche diarmatura con quelle relative alle deformate limite
Determinazione della posizione dell’asse neutro: equilibrio della sezione alla traslazione
Calcolo del momento ultimo della sezione: equilibrio della sezione alla rotazione rispettoad un polo qualsiasi
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Il t t l III° St di
Per la valutazione del campo di rottura è sufficiente determinare i valori delle percentuali
Il comportamento al III° StadioIl calcolo del Momento e della curvatura (fless. Semplice)
p pmeccaniche di armatura corrispondenti al passaggio da una zona e la successiva, econfrontare poi il valore della percentuale d’armatura presente nella sezione con i predettilimiti.
cd
ydfs
cd
ydfs fbd
fAfbdfA '
'== μμ Percentuali meccaniche di armatura
Criteri per la determinazione della zona di rottura
53• se 2181.0' −>− Kss μμ Sezione fortemente armata • se 2132 81.0'81.0 −− >−> KK ss μμ Sezione normalmente armata • se 21.081.0' 32 =<− −Kss μμ Sezione debolmente armata
sy
Kε+
=− 5.35.3
21
259.01053
5.332 =
+=−K
32ss μμ 105.3 +
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Il t t l III° St di
Una volta determinato il campo di rottura si valuta la posizione dell’asse neutro ricorrendo
Il comportamento al III° StadioIl calcolo del Momento e della curvatura (fless. Semplice)
p palla equazione di equilibrio alla traslazione della sezione. Ad esempio per sezioni in zona 2si ha:
εcu
b
fcd ccd yfbC 81.0=
isul
tant
i
zona 1 zona 3
cu
d
C
C’
fcd
yc
ccd yf
)'('' ssfAC εσ=
Ri
Equazione di equilibrio alla traslazione
zona 2
εsy εsu
Asse neuro T
σs(εs) εs ydf fAT =
Equazione di equilibrio alla traslazione
0'81.0 =−+ ydfydfcd fAfAKfbd → Kss 81.0'=−μμ → 81.0
'ssK μμ −= sys εε >'
0'81.0 =−−
+ ydfsusfcd fAK
KEAKfbd εδsys εε <'
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Il t t l III° St diIl comportamento al III° StadioIl calcolo del Momento e della curvatura (fless. Semplice)Determinata la posizione dell’asse neutro rimane solamente da calcolare il momento ultimo dellasezione considerata. A tale scopo è sufficiente imporre l’equilibrio della sezione alla rotazione rispetto ad un polo qualsiasi. Sezione fortemente armata: In questo caso conviene assumere come polo per l’equilibrio ai momenti il baricentro dell’armaturaIn questo caso conviene assumere come polo per l equilibrio ai momenti il baricentro dell armaturatesa posta alla distanza d dal bordo superiore della sezione.
)'(')416.0( ddCydCM cu −+−= Sezione normalmente armata: In questo caso si può assumere come polo per l’equilibrio dei momenti il baricentro dellecompressioni nel calcestruzzo
)'4160(')4160( dyCydTM −+−= )416.0()416.0( dyCydTM ccu −+−= Sezione debolmente armata: In questo caso si può assumere come polo per l’equilibrio dei momenti il baricentro dellecompressioni nell’armatura compressa
)'40.0()'( dyCddTM cu −+−=
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ESEMPIO 2: sezione normalmente armataESEMPIO 2: sezione normalmente armata Determinare il momento ultimo della sezione di figura considerando per un Cls di classeRck=30MPa, un acciaio Feb44K e un copriferro d’=3 cm.
30 cm
Calcolo resistenze caratteristiche:
0 83 0 85 13 26Rckf MP
45 cm
Af =13.51 cm2
Af’ =4.0 cm2
0.83 0.85 13.261.6
3741.15
cd
ykyd
f MPa
ff MPa
f
= × × =
= =
31.82 10ydsy
s
fE
ε −= = ×
Determinazione campo di rottura:p
09.0'
'305.0323.142304.3762.13
===×××
==cd
ydf
cd
ydf
fbdfA
fbdfA
μμ
Università degli Studi di Roma TreFacoltà di IngegneriaC di T i d ll C i i I° M d l A/A 2007 08Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2007-08
Controlliamo se in corrispondenza della linea di separazione tra zona 2 e 3 l’armatura superiore siasnervata:snervata:
2 33 3
2 3
0.259 0.07 3.5 2.55 10 1.82 100.259s cu sy
KK
δε ε ε−
− −−
− −′ = = = × > = × e dunque l’acciaio compresso
è snervato. A questo punto poiché l’equazione alla traslazione della sezione si scrive μ μ’=0 215>0 81K1-2 laA questo punto poiché l equazione alla traslazione della sezione si scrive μ-μ =0.215>0.81K la sezione è chiaramente in zona 2 e dunque la sezione è normalmente armata. Determinazione posizione asse neutro Hp: armatura compressa snervata (ε’s>εsy)Hp: armatura compressa snervata (ε s εsy)
265.081.0
'=
−= ssK μμ
essendo δ=d’/d=0.07 la deformazione dell’acciaio compresso risulta pari a
3 32.6 10 1.82 10s cuK
Kδε ε − −−′ = = × > × dunque l’ipotesi iniziale è verificata
Calcolo Momento Ultimo kNfAC 6149'' kNfAT 385094376213 ×kNfAC ydf 6.149'' == kNfAT ydf 38.5094.3762.13 =×==
)'416.0(')416.0( dyCydTM ccu −+−= =192.8 kNm
Università degli Studi di Roma TreFacoltà di IngegneriaC di T i d ll C i i I° M d l A/A 2007 08Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2007-08
Il t t l III° St diIl comportamento al III° StadioIl calcolo del Momento e della curvatura (fless. Semplice)Per l’ipotesi di conservazione delle sezioni piane il calcolo della curvatura ultima di unap psezione semplicemente inflessa si calcola esattamente come per il I° e II° stadio. Occorreperò tener presente il campo di rottura della sezione:
N 0M (χy , My) (χu , Mu)
N=0
III° Stadio c
cuu y
εχ = Zone 1, 2
(χf , Mf)II° Stadio
III Stadio
c
suu yd −=
εχ Zona 3
I° Stadio
cy
χ
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