3.RESTITUZIONE FOTOGRAMMETRICA 3.1Ricostruzione del modello di un oggetto da due fotogrammi stereoscopici Laricostruzionediunmodellosimileougualeadunoggettomedianteununicofotogramma possibilesolosesitrattadiunoggettopiano;inquestocasoindividuabileunacorrispondenza biunivocafrapuntiimmagineepuntidell'oggetto.Ilcasopicomuneriguardaoggetti,edin particolare per la tecnica topografica il terreno, a tre dimensioni ed in tal caso come ben visibile infigura3.1vieneamancareunacorrispondenzabiunivocafrapuntiimmagineepuntioggetto, potendo corrispondere alla stessa posizione dell'immagine due o pi punti dell' oggetto. Fig. 3.1:Mancanzadicorrispondenzabiunivocafrapuntioggettoepuntiimmagineperun fotogramma di un oggetto tridimensionale Laricostruzionedelmodello dell' oggettopuavvenireintalcasosesi hannoa disposizionedue fotogrammistereoscopici(fotogrammipresidaduepuntidiversi).Comesivededallafigura3.2, allattodellapresadeifotogrammisiformanodueprospettivediverseesivieneastabilireuna corrispondenza biunivoca fra ogni punto delloggetto e le due immagini sui fotogrammi; escluso intalcasoinfatticheduepuntidell'oggettopossanodareimmagininellestesseposizionisui fotogrammi. Fig. 3.2: Coppia stereoscopica di fotogrammi di un oggetto tridimensionale. Siconsiderialloraloperazioneinversadellapresa(fg. 3.3a),chebrevementechiamata restituzione, consistente nel proiettare le immagini dai due fotogrammi. Fig. 3.3 :a)Ricostruzione del modello del terreno alla scala 1:1. b)Ricostruzione del modello a scala l/n del terreno mediante la sola riduzione a l/n della base di presa Eevidentecheproiettandodueimmaginiomologhe,relativecioallostessopunto,sigenerano due raggi proiettanti omologhi che intersecandosi individuano nello spazio la posizione del punto a cuilacoppiadiimmaginisiriferisce;ovviochelaricostruzionedellaposizionedelpunto possibileeavvienenellacorrettaposizioneseifotogrammialmomentodellarestituzionesono orientati nella stessa maniera con cui erano orientati allistante della presa. Inaltreparole,effettuatalapresadeifotogrammieindividuatiiparametridiorientamento esterno di ciascuna camera (1'orientamento interno si suppone uguale per ambedue, specie se la coppia di fotogrammi stata presa successivamente mettendo la stessa camera nelle due diverse posizioni).Loperazionedirestituzionesiesegueripristinandoinunostrumento,provvistodi cameredaproiezioneechiamatorestitutore,lorientamentointernodellecameredapresae orientando le camere in modo da ripristinare per ciascuna i parametri dell' orientamento esterno. Siricostruiscecospuntoperpuntounasuperficieugualeaquelladell'oggetto,ovverosi ricostruisceunmodellochesipudefinirecomeil"luogodeipuntidiintersezionedeiraggi omologhi proiettanti". Una siffatta ricostruzione con 1' effettiva proiezione dei punti immagine dei fotogrammi si definisce analogica per la stretta analogia che ha con la presa dei fotogrammi. La ricostruzione analogica del modello dell' oggetto fotografato avviene in genere con dimensioni ridottedellabasedirestituzionerispettoallabasedipresa.Perottenereunmodelloascala1/n bastalasciareinvariatetutteledirezioniimplicatenellageometriadellapresa,come chiaramente mostrato nella figura 3.3b, e 1' unica dimensione che va ridotta quella relativa alla distanza C1C2 fra i due centri di presa. 3.2II restitutore analogico L' apparecchioincuisi ricostruisceilmodelloanalogicoinscala del terrenosichiamarestitutore, ed essenzialmente costituito (fg. 3.4) da: a)due camere, camere di restituzione, uguali alla camera da presa ovvero aventi la stessa distanza principalediquestaesulpianod'appoggiodelfotogrammadellemarchefiducialisucuisi centranolemarcheimpressionatesulfotogramma:cosfacendoilpuntoprincipalediogni fotogramma viene a cadere sulla normale abbassata dal punto nodale interno dell' obbiettivo di proiezione sul piano del fotogramma e viene ripristinato lorientamento interno. Ogni camera vincolataallastrutturaportanteinmododiavereseigradidilibertchepermettonodi ripristinare 1' orientamento esterno di ambedue; b)unsistemadiproiezione,realizzatoperognicamera,chepermettediproiettareipunti immagine difotogrammi;nellafigura3.4ilsistemadi proiezionecostituitodallobbiettivodi proiezionedimodocheilluminandoopportunamenteilfotogrammasipuottenerein corrispondenza di ogni punto immagine un fascetto luminoso il cui asse si trova nella direzione individuata dal punto immagine e dal punto nodale interno; c)unsistemachepermettedimaterializzareilpuntodiincontrodidueraggiomologhi; nellesempiotalesistemasemplicementecostituitodaunoschermomobilenelcuicentro vengonoaintersecarsiiduefascettiluminosiproiettati;perverificarechesulcentrodello schermo, individuato da un puntino luminoso, si intersecano effettivamente due raggi omologhi bastaconstatarecheleimmaginiproiettatesiriferisconoallostessopuntodelterreno;si prescindeinquestaprimadescrizionedalfattoche,essendoladistanzaprincipale dell'obbiettivodiproiezionepressochugualealladistanzafocale,limmaginenonsi formerebbe sul piano dello schermetto, ma all'infinito; possibile per ottenere un' immagine nitida; d)un sistema che permette di eseguire la proiezione ortogonale del punto d'incontro di due raggi omologhi su un piano di riferimento orizzontale, e di valutarne rispetto a questo la quota, che risultanaturalmenteinscala;nellesempioilsistemadiproiezionesulpianodiriferimento costituito da una matita il cui asse sulla verticale per il centro dello schermetto; la quota dello schermettorispettoalpianodiriferimentopuesserelettasullascalagraduata;questo sistema, in genere pi complesso, viene chiamato carrello restitutore. Fig. 3.4 : Schema di restitutore fotogrammetrico Da questi brevi cenni si pu comprendere come, una volta orientate le camere, si pu costruire la cartadelterrenofotografatodeterminandomediantespostamentodelloschermettoivaripunti delmodello(esplorazionedelmodello),eseguendonenelcontempolaproiezionesulpianodi riferimento e determinandone la quota. 3.3Orientamento relativo di due camere Nel caso che la camera da presa fosse montata su un elicottero e che questo si immobilizzasse al momento della presa di ogni fotogramma, non vi sono mezzi semplici che permettono di misurare con adeguata precisione i parametri di orientamento esterno; nella fotogrammetria aerea inoltre, leripresesieffettuanomontandolacamerasuunaereopercuidaescluderecheiparametri d'orientamento esterno siano noti e che si possano quindi ripristinare con una semplice manovra nel restitutore. In effetti, il corretto orientamento delle camere nel restitutore viene effettuato con una procedura moltodiversadaquellachepotrebbeconsisterenell imporredirettamenteiparametri d'orientamento mediante P ausilio di scale graduate. Laprocedurachevieneinpraticaeseguitarichieded'altrapartesololaconoscenzadelle coordinate plano-altimetriche di almeno due punti visibili nel modello ricostruito e la quota di un terzo. Laproceduraconsistenelleseguireprimal'orientamentorelativodelleduecamere,epoi l'orientamento assoluto. Poichlaricostruzionedelmodelloavvienemedianteintersezionedeiraggiomologhi,risulta evidentechenonnecessariochelecameresianonelleposizioniassolutecorretteperch lintersezione per le infinite coppie di raggi omologhi abbia luogo; a questo scopo sufficiente che le camere abbiano un corretto orientamento relativo, in altre parole posta una camera, e quindi la stelladidirezioniproiettantichequestaproduce,inunaposizionearbitrariasemprepossibile trovareunaposizionedellasecondacamerapercuil'intersezionedelleinfinitecoppiediraggi omologhi ha luogo; si pu anzi dimostrare che se si riesce, mediante una serie di manovre eseguite suunaoambeduelecamere,aprovocarel'intersezionedicinqueraggiomologhinon appartenentiallostessopianosiottienel'intersezionedituttelealtreinfinitecoppiediraggi omologhi. Eevidentepercheilmodelloottenutoponendounacamerainposizionearbitrariaedagendo contraslazionierotazionisullaltranoninscalaedorientatoarbitrariamenterispettoal riferimentostrumentaleSXsYsZs.Ineffettiilmodellononinscalaperch,nonconoscendola distanzaeffettivafraipuntidipresa,nonsipunellafasediorientamentorelativodisporrei centridiproiezioneadunadistanzachesia1/ndiquellaeffettiva,edinoltreilmodellononpu esserecorrettamenteorientatorispettoalriferimentoSXsYsZsperchessendounadelledue camereorientatainmanieraarbitrariarisultacheambeduelecamerehannounorientamento assoluto arbitrario. In conclusione si pu dire che agendo opportunamente su cinque dei dodici movimenti disponibili per ambedue le camere si pu raggiungere una situazione in cui tutte le coppie di raggi omologhi definitidalleduecameresiintersecano,unasituazionecioincuiilmodelloformato;inaltre parole introducendo nelle camere del restitutore due fotogrammi stereoscopici del terreno, si pu semprericostruirelaformadelterreno,ciounmodellodicuinonsiconoscelascalaenon orientato; questa operazione di costruzione del modello chiamata orientamento relativo. 3.4Orientamento assoluto di una coppia di camere Ottenutoilmodellodelterrenodiscalaincognitaenonorientato,sipugiungerealcorretto assettodellecamereeseguendo1'orientamentoassoluto.Perquestonecessarioconoscerele coordinateplano-altimetrichedialmenoduepuntielaquotadiunterzo;questipunti,chiamati puntifotograficid'appoggio,devonoesserebenvisibilinelmodello.Utilizzandolecoordinate plano-altimetrichenote,sipucalcolareladistanzaeffettivafraiduepuntisulterreno. Determinandoleproiezionisulpianodiriferimentodelrestitutoredeiduepunticorrispondenti nel modello e determinandone le quote si pu ricavare la distanza dm fra i due punti ricostruiti nel modello; il rapporto 1/n'= dm/d fornisce la scala a cui il modello stato formato. Normalmente la scala 1/n' non coincide con la scala 1/n con cui si desidera eseguire la restituzione, ma la scala pu esserevariataallontanando(lascalaaumenta)oavvicinando(lascaladiminuisce)icentridi proiezionesecondoladirezionedellacongiungenteicentridiproiezionestessi.Infatti,seinuna determinataposizionedellecamereiraggiomologhisiintersecano,leintersezionicontinuanoa verificarsi se le camere si muovono lungo la congiungente i punti di proiezione. Fig. 3.5 :Variazione di scala del modello conseguente una variazione della base. Infatti, ogni coppia di raggi omologhi che si interseca definisce un piano in cui sono contenuti i due puntidiproiezioneeilpuntodiintersezione:seunacamera(olecamere)simuovelungola direzionedellacongiungenteicentridiproiezione,rimanendoconorientamentoangolare invariato,evidentecheogniraggioomologotraslarimanendonellostessopianoesihacome conseguenzasolounavariazionedellaposizionedelpuntodiintersezionechesiavvicinaosi allontanadaicentridiproiezione;sihaquindiunavariazionedellascaladelmodellocomenella figura3.5.Lascalapuesserevariataconunaserieditentativilogicamentecondottifinch, sempre sulla base della determinazione di dm, si verifica che si ottenuta la scala voluta. Perorientareilmodellonellamanieracorrettarispettoalpianodiriferimentodelrestitutore, occorre agire con traslazioni e rotazioni sul complesso delle due camere, dato che se una camera subissedeimovimentirelativamenteallaltrasiverrebbeadistruggereilmodello,ovverosi renderebberosghembiiraggiomologhi.Aquestoscoponelrestitutoresonopredispostidegli organiperimovimenticomunidellecamere;adesempiolastrutturasucuisonomontatele camerepuesserecollegataalrestodellostrumentomediantedellegrosseviti:manovrando questevitisiproduconodellerotazionidelleduecamere,solidalifradiloro,intornoallasseXs strumentale (rotazione ) ed intorno allasse Ys (rotazione ). Perdeterminarelecorretterotazionieddadarealmodello,occorreconoscerelequotedi almenotrepunti.S'immagina,adesempio,chenelmodellosiacompresounlago:restituendoi punti della superficie del lago si potr notare che questi non si trovano, come invece dovrebbero, allastessaquotarispettoalpianodiriferimentodelrestitutore;sipuquindideterminarela pendenza dellagonella direzioneXs,la pendenzanella direzioneYs,econoscerediconseguenza diquantoilmodellovaruotatonellerispettivedirezioniaffinchillagodiventiorizzontale.In mancanza del lago si utilizzano le quote di tre punti; si determinano le quote dei punti rispetto al piano di riferimento del restitutore, si confrontano, tenuto conto della scala, con le quote effettive edallediscrepanze,tenutocontodelleposizioniplanimetrichedeipunti,sideterminanole rotazioni ed . Perognicoppia difotogrammistereoscopici, dopoavereseguitolorientamentorelativo equello assoluto,con1esplorazionedelmodelloanalogicosidisegnalacosiddetta"minutadi restituzione". 3.5Punti fotografici di appoggio In pratica in ogni modello devono essere disponibili almeno quattro punti fotografici di appoggio e possibilmente un quinto punto, noto almeno in quota, al centro del modello; si ha cos il modo di controllareleoperazionidiorientamento,divalutarnelaprecisione,datochevisonoelementi sovrabbondanti,edeventualmentedimediareglierroriresidui.Ipuntifotograficivannoubicati nellezonedisovrapposizionedeimodelliinmododapoteressereutilizzatiperduemodelli consecutivi e in modo che la restituzione possa essere eseguita sempre entro il poligono dei punti di appoggio; per gli inevitabili piccoli errori che si commettono nelle operazioni di orientamento la precisione dei punti restituiti al di fuori dei poligoni dei punti di appoggio, e quindi estrapolati, pu diminuiresensibilmenterispettoallanorma;ancheconvenientedisporredipuntidiappoggio nellezonedisovrapposizionelateraledellestrisciate,mararo,acausadellamancanzadi allineamentodeimodellitrastrisciateadiacenti,chepuntibendispostiinunmodellocadanoin buona posizione anche per un modello della strisciata adiacente. Ipuntifotograficidiappoggiopossonoessererilevaticonleclassichetecnichetopografiche terrestri o mediante il metodo satellitare GNSS (Global Navigation Satellite System) con opportune modalitoperativedifferenzialiRTK(RealTimeKinematic);sipudirecheessicostituisconola rete trigonometrica di dettaglio del rilievo aerofotogrammetrico. Ipuntifotograficidiappoggiodeimodelli,specieperirilieviapiccolaemediascala,possono esseredeterminaticonsufficienteprecisioneemaggioreceleritedeconomicitmediantela Triangolazione Aerea. 3.6Fondamenti analitici 3.6.1Parametri per definire una direzione nello spazio Si consideri (fig. 3.6) una direzione uscente da un punto C dello spazio e passante per un punto P, orientata da C verso P e riferita ad un sistema di assi Cartesiani TXYZ, la differenza delle coordinate Zp-Zcsiadiversadazeroenegativa,ilpuntoPsitrovicioadunaquotaminorediquelladel punto C come accade per i punti del terreno nei confronti di una camera da presa in C con 1' asse rivolto verso il basso (camera per presa aerea). Fig. 3.6 :Parametri che definiscono una direzione nello spazio (tangenti di direzione Tx e Ty) LadirezioneorientataCPpuesseredefinitautilizzandodueparametrichiamatitangentidi direzione.LetangentididirezionedefinisconolegiacituredelleproiezioniCyPyeCxPxdellaCP rispettivamente sui due piani coordinati XZ e YZ : p cxp cX XTZ Z= p cyp cY YTZ Z= (3.1) Nel caso che il sistema TXYZ sia solidale al terreno (tema topografica), le Tx e Ty definite dalle (3.1) sono indicate come tangenti di direzione orientale. 3.6.2Stella di direzioni analitica definita da un fotogramma positivo Conriferimentoalfotogrammapositivosiassumeunaternadiriferimento(fig.3.7)avente 1'origineCnelpuntonodaleinterno,1'assezsecondo1'assedipresadellacameraedassix,y paralleliagliassidefiniti dallecoppie dimarchefiduciali;rispettoaquestosistema diriferimento intrinseco alla camera da presa e/o al fotogramma, le coordinate di un punto immagine I sono xI yI, -p per cui secondo le definizioni le tangenti di direzione di CI sono : 00I Ixx xtp p= = 00I Iyy ytp p= = (3.2) Le tangenti di direzione definite da un fotogramma sono quindi funzione delle coordinate lastra x, ydeipuntiedelladistanzaprincipale(deitreparametridiorientamentointernopercamerada presa non rettificata). Poich nelle (3.2) compaiono le coordinate lastra xI ,yI che vengono misurate nei restitutori analitici, le tx e ty sono indicate come tangenti di direzioni misurate. Fig. 3.7 :Stelladidirezionianaliticadefinitadaunfotogrammaaereo(tangentididirezionetxety ) 3.6.3Matrici di orientamento angolare SiconsiderinodueternediriferimentoOxyzeOXYZaventilastessaorigineegliassiorientati diversamente;sexpypzp eXp YpZpsonolecoordinatedellostessopuntoPrispettoaidue riferimenti. Fig. 3.8 : Terne Cartesiane tridimensionali con la stessa origine Le formule di trasformazione da un sistema allaltro sono: cos( ) cos( ) cos( )cos( ) cos( ) cos( )cos( ) cos( ) cos( )p p p pp p p pp p p pX x xX y yX z zXY x xY y yY z zYZ x xZ y yZ z zZ = + + = + + ` = + + )(3.3) PermatricediorientamentoangolaresiintendelamatricequadrataMformatadainovecoseni direttori che definiscono la trasformazione (3.3) e cio cos( ) cos( ) cos( )cos( ) cos( ) cos( )cos( ) cos( ) cos( )xX yX zXxY yY zYxZ yZ zZ| | | | |\ . (3.4) Ponendo Xp=[Xp Yp Zp]Texp=[xpypzp] (3.5) La trasformazione (3.3) in forma matriciale si scrive Xp=M xp (3.6) Per la trasformazione inversa si ha ovviamente cos( ) cos( ) cos( )cos( ) cos( ) cos( )cos( ) cos( ) cos( )p p p pp p p pp p p px X Xx Y Yx Z Zxy X Xy Y Yy Z Zyz X Xz Y Yz Z Zz = + + = + + ` = + + ) (3.7) E denotando con MTla trasposta della M xp = MT Xp (3.8) poich dalla (3.6) si ricava anche cosenidiun'altradeveessereugualeazero(inquantodefinisceilcosenodell'angolofradue direzioniortogonali).LamatriceMhaciolerighe(lecolonne)ortonormali;d'altrondequesta unaproprietgeneraledituttelematriciortogonali.Lecondizioniindipendentidiortonormalit sono sei, ne segue che gli elementi di M indipendenti sono tre. In altri termini i nove elementi di M sipossonoesprimereinfunzionedisolitreparametriangolariindipendenti.Assumendoi parametriangolaridiorientamentoesterno()diunacameradapresaaerea,sihannole matricidirotazionielementari(consecutivamenteattornoagliassiX, Y, Z)conlequalisipassa dallassetto nadirale del fotogramma all' assetto orientato durante la presa: la matrice Rx()di rotazione elementare attorno all'asse X e di intensit 1 0 0( ) 0 cos sin0 sin cosxR e e ee e| | |= | |\ . (3.11) La matrice Ry() di rotazione elementare attorno allasse Y e di intensit cos 0 sin( ) 0 1 0sin 0 cosxR | | |=| |\ . (3.12) La matrice Rz() di rotazione elementare attorno allasse Z e di intensit cos sin 0( ) sin cos 00 0 1zRk kk k k| | |= | |\ . (3.13) In definitiva, si ha per la matrice di orientamento angolare M: cos sin 0 cos 0 sin 1 0 0( ) ( ) ( ) sin cos 0 0 1 0 0 cos sin0 0 1 sin 0 cos 0 sin cosz Y XM R R Rk k k e k k e e e e| | | | | | |||= = ||| |||\ . \ . \ .=cos cos cos sin sin sin cos cos sin cos sin sinsin cos sin sin sin cos cos sin sin cos cos sinsin cos sin cos cosk k e k e k e k ek k e k e k e k e e e+ +| | | + + | |\ . (3.14) 3.6.4Relazionitraletangentididirezionemisurateelecorrispondentitangentididirezione orientate Indichiamo con MX , MY , MZ rispettivamente la prima, la seconda e la terza delle colonne di MT, le relazionitraletangentididirezionemisurateelecorrispondentitangentididirezioneorientate sono: , ,1, ,1x y XXx y Zt t MTt t M ( = ( , ,1, ,1x y YYx y Zt t MTt t M ( = ( (3.15) 3.6.5Formule fondamentali della fotogrammetria analitica Ledueformulefondamentalidellafotogrammetriaanaliticasiderivanoimmediatamentedalla condizionediallineamentochesussistefrailcentro di presaC(fg.3.9),coincidenteconil punto nodaleesternodell'obbiettivo,unqualsiasipuntoPdelterrenoelimmagineIdiquestosulla lastra. Fig. 3.9 : Equazioni fondamentali della fotogrammetria analitica Le tangenti di direzione misurate che definiscono la direzione CI rispetto alla terna Cxyz (intrinseca allacameradapresaealfotogramma),ilcuiorientamentorispettoalla ternatopograficaTXYZ definito dai valori dei parametri angolari d'orientamento esterno (,,), sono : ,Ix CIxtp= ,Iy CIytp= (3.16) Le corrispondenti tangenti di direzione orientate di CI rispetto alla terna topografica TXYZ, in virt delle (3.15), risultano pari a : , ,,, ,, ,1, ,1x CI y CI XXCIx CI y CI Zt t MTt t M ( = ( (3.17a) , ,,, ,, ,1, ,1x CI y CI YYCIx CI y CI Zt t MTt t M ( = ( (3.17b) Letangentidi direzione orientate diCPrispetto alla terna topograficaTXYZ, perdefinizione(3.1), sono : ,P CXCPP CX XTZ Z= ,P CYCPP CY YTZ Z=

(3.18) Uguagliando le tangenti di direzione orientate di CI e di CP, s'impone il parallelismo tra le direzioni diCIediCP;avendotalidirezioniilpuntoCincomune,neseguelallineamentotraC,IeP. Pertanto,dalle(3.17)e(3.18),ledueformulefondamentalidellafotogrammetriaanalitica risultano essere: Queste formule legano i parametri di orientamento interno e le coordinate lastra nella definizione delletangentididirezionemisuratetyety,iparametriangolarid'orientamentoesterno(,,) neivettoricolonnaMX,MY,MZ,iparametrilinearid'orientamentoesterno(XC,YC,ZC)ele coordinatetopografiche(Xp,Yp,Zp)delpuntodelterreno.Le(3.19)sonofondamentaliperchda questesiderivanotutteleequazionieleformulenecessarieperrisolvereivariproblemidella fotogrammetria analitica. 3.7Restituzione fotogrammetrica analitica 3.7.1Coordinate di un punto per intersezione di due direzioni omologhe Si consideri una coppia di fotogrammi stereoscopici del terreno ed un punto P le cui immagini I1 e I2suifotogrammiabbianocoordinatelastrarispettivamente(x1,y1)e(x2,y2);sianonoterispetto alla terna topografica di riferimento TXYZ le coordinate (Xc1 , Yc1 , Zc1 ) e (Xc2 , Yc2 , Zc2) dei centri di presa C1 e C2, nonch i parametri angolari di orientamento esterno (1, 1, 1) e (2, 2, 2)dei due fotogrammi.

Fig. 3.10 :Determinazionedellecoordinatediunpuntoperintersezionediduedirezioni omologhe. Daiparametriangolaridiorientamentoesterno(111)delprimofotogramma,applicandole formule (3.11) (3.14) si ricava la matrice M1 = [ MX1 MY1 MZ1] di orientamento angolare con i relativi vettoricolonna.Inoltre,conlecoordinatelastra(x1y1)diI1sipossonocalcolareletangentidi direzione misurate 11 xxtp= 11 yytp=

(3.20) Queste vengono trasformate, mediante le (3.15), nelle tangenti di direzione orientate 1 1 111 1 1, ,1, ,1x y XXx y Zt t MTt t M ( = ( 1 1 111 1 1, ,1, ,1x y YYx y Zt t MTt t M ( = ( (3.21) Cos i primi membri delle equazioni (3.19) fondamentali della fotogrammetria analitica applicate al primo fotogramma diventano noti. Pertanto si hanno le prime seguenti due equazioni 11 1 11 1 111111( )( )p CXp C p C X p Cp C p C Y p CYp CX XTZ Z X X T Z ZY Y Y Y T Z ZTZ Z = = ` ` = )= ) (3.22) Le(3.22)costituisconounsistemadidueequazionilinearinelletreincognite(XP,YP,ZP) coordinatetopografichedelpuntoPdelterreno.Sideduceche,conglielementiderivatidaun unicofotogramma,leequazioni(3.22)scrittenonsonoinnumerosufficienteperpoter determinare le tre incognite che contengono. Dal secondo fotogramma, si ha per analogamente 22 2 22 2 222222( )( )p CXp C p C X p Cp C p C Y p CYp CX XTZ Z X X T Z ZY Y Y Y T Z ZTZ Z = = ` ` = )= ) (3.23) Sihannocosquattroequazioninelletreincognite(Xp,Yp,Zp)chepermettonodiricavarele coordinate di P; utilizzando tre equazioni per ricavare le incognite, la quarta risulta soddisfatta se tutti gli elementi che intervengono nelle equazioni sono privi di errori. Risultacosmatematicamenteprovatocheperdeterminaremedianterestituzione fotogrammetricaleposizionispazialidipuntidelterrenosononecessariduefotogrammi stereoscopici. PerricavarelecoordinatediPbastadedurreZPeXputilizzandolaprimaequazione(3.22)ela prima (3.23), indi si ricava la Yp utilizzando la seconda (3.22) o la seconda (3.23); avendo cos : 2 1 2 1121 2( )C C X C CP CX XX X T Z ZZ ZT T = + (3.24) (3.25)

1 1 2 21 2( ) ( )p C X P C C X p CX X T Z Z X T Z Z = + = + 1 1 2 21 2( ) ( )p C Y P C C Y p CY Y T Z Z Y T Z Z = + = + 3.7.2 Parallasse daltezza fra direzioni omologhe sghembe Siconsiderinodue fotogrammistereoscopici nonorientati;ingeneraleseifotogramminonsono orientati vuol dire che le coordinate dei punti di presa e gli angoli che individuano 1' orientamento esternodeifotogrammihannovaloridiversi,deltuttooinparte,daquellichedefiniscono lorientamento esterno proprio dei fotogrammi al momento della presa. Lecoppiedidirezioniomologhe(riferitecioalledueimmaginideglistessipuntidelterreno) relativeaduefotogrammistereoscopicinonorientatisonoevidentementesghembe.Sichiama parallasse daltezza fra due direzioni omologhe sghembe la minima distanza V fra queste valutata nella direzionenormale allabasedipresaovvero,nell'ipotesichelabasesiapressoch parallela allasse X, la minima distanza valutata nella direzione dellasse Y. Fig. 3.11 : Parallasse daltezza fra due direzioni omologhe sghembe Siano (XC1 , YC1 , ZC1) e (XC2 , YC2 , ZC2) le coordinate dei centri di presa. In riferimento alla terna topografica TXYZ, s'indicano con (X1 Y1) e (X2 Y2)le cosiddette tangenti di direzione trasformate rispettivamentediC1I1eC2I2,definiteanaliticamentedaifotogrammiinserendoivalori disponibili dei parametri angolari d' orientamento esterno nelle formule (3.11)-(3.15). Pervalutarelaparallassed'altezzaV,siconsiderinoleproiezionidelledirezioniC1I1eC2I2 sui piani XZ e YZ; ci equivale a considerare le due eq. (3.22) e le eq. (3.23) in cui siano inseriti i valori(XC1,YC1,ZC1)e(XC2,YC2,ZC2)eletangentididirezionetrasformate.Lecoordinatedell' intersezionedelledueproiezionisulpianoXZ,sonosoluzionedell'analogaallaprimadelleeq. (3.22) e del1'analoga alla prima delle eq. (3.23); pertanto tali proiezioni si incontrano in un punto di coordinata Z* analoga alla (3.24) : 2 1 2 1 2 1 2 11' ' ' ' ' ' ' '2 1' '21 2 1 2( ) ( )*C C X C C C C X C CC CX X X XX X Z Z X X Z ZZ Z Zt tt t t t = + = + (3.27) EdincorrispondenzadiquestovalorediZ*siindividuanosulpianoYZduevaloridiY, corrispondenti alle analoghe soluzioni dellespressione (3.26): 1 1' '1 1( * )C Y CY Y Z Z t = + (3.28) 2 2' '2 2( * )C Y CY Y Z Z t = + (3.29) Secondo la definizione, la parallasse daltezza V V = Y2-Y1 Per cui, sostituendo le espressioni Y1 , Y2 e Z*, si ha 2 1 2 1 2 1' ' ' ' ' '2 1 2 1 1 21 2 1 2( ) ( ) ( )Y Y X Y X YC C C C C CX X X XV X X Y Y Z Zt t t t ttt t t t = + + (3.30) Se i punti di presa sono allineati su una parallela allasse X, se cio YC2=YC1 e ZC2=ZC1, la parallasse dellaltezza risulta pi semplicemente, posto XC2 XC1 = b , 2 11 2Y YX XV b t tt t=(3.31) Leduerelazioni(3.30)e(3.31)sonoimportantiperchsitraggonodaquestelecondizionida utilizzare per le soluzioni analitiche del problema dellorientamento relativo dei fotogrammi. 3.7.3Orientamento relativo analitico di due fotogrammi Sianostatemisuratelecoordinatelastrax1i,y1i-x2i,y2i(i=1,2,,5)dicinquepuntiomologhi convenientemente disposti (fig. 3.12) su due fotogrammi stereoscopici. I corrispondenti punti del terrenodevonoesserenoncomplanari,dacuisegueilnecessariononallineamentodeipunti omologhisuciascunfotogrammaelanoncomplanaritdiciascunadelleduestelledicinque direzioni. SiassumechelecoordinateXC1,YC1,ZC1delpuntodipresasinistrosianonulle,comepurele coordinateYC2,ZC2delpuntodipresadestro,mentreindicandoconblabasedirestituzione,si pone XC2 = b con b costante arbitraria. Sivoglionocalcolareivalori11222deiparticolarivalorideiparametriangolaridei fotogrammichedeterminanolaformazionedelmodello,ovverol'intersezionedeicinqueraggi omologhi. Fig. 3.12 :Orientamento relativo di due fotogrammi tenendo fissi i due punti di presa Non preso in considerazione il parametro angolare 1 perch evidente che, una volta formato, ilmodellopuruotareintornoallabasesenzaalcunavariazionenellegiaciturerelativedeiraggi omologhi. In altre parole la formazione del modello indipendente del valore, in particolare nullo, che si attribuisce alla rotazione primaria 1. DatocheipuntidipresasonoallineatisecondounaparallelaallasseXm,lacondizioneper lorientamentorelativodelleduestellediraggiomologhi,chedeveesprimere1'annullamento delleparallassid'altezza,siputrarredalla(3.31);risultapertantocheadorientamentorelativo effettuato, le tangenti di direzione orientate devono soddisfare le equazioni TY2i TY1i = 0(i=1,2,.5)(3.32) Conlecoordinatelastrax1i,y1i-x2i,y2i(i=1,2,5)diI1ieI2ivengonocalcolateletangentidi direzione misurate dei cinque raggi omologhi in ambedue i fotogrammi 11ixixtp= 11iyiytp=

(3.33) 22ix ixtp= 22iy iytp= (3.34) Esprimendoletangentididirezioneorientatedelle(3.32)infunzionedelletangentididirezione misuratetX1i,tY1i,tX2i,tY2i(3.33)-(3.34),deivettoricolonnaMY1eMZ1dellamatrice d'orientamento angolare M1 relativa al fotogramma n. 1 (eq. (3.11)-(3.14)) M1 = RZ(1) RY(1) RX(0) = [MX1 MY1 MZ1](3.35) DeivettoricolonnaMY2eMZ2dellamatricedorientamentoangolareM2relativaalfotogramma n. 2 M2 = RZ(2) RY(2) RX(2) = [MX2 MY2 MZ2](3.36) Si ha: (3.37) ove,comesievincedalle(3.35)e(3.36),glielementideivettoricolonnaMY1MZ1MY2MZ2sono funzioni delle incognite angolari1 1 2 2 2. In definitiva, le (3.37) sono cinque equazioni indipendenti nelle cinque incognite angolari. L'indipendenza di queste equazioni deriva dalla sopraimposta condizione di non complanarit dei cinque punti del terreno. 3.7.4Orientamento assoluto di un modello analitico IImodelloanalogico(ottico)statodefinitocomeilluogodeipuntid'intersezionedeiraggi omologhi,luogootticocheeffettivamentevieneindividuatonellospaziointernodelrestitutore fotogrammetrico. IlmodelloanaliticoinveceunaserieditriplettedicoordinateXm, Ym, Zmchedefiniscela posizione spaziale di un numero finito di punti del modello formato. Formatounmodelloanalogicoalrestitutoresipuquindiavereunmodelloanaliticosesi collimano stereoscopicamente dei punti e se ne registrano le coordinate strumentali. Con un restitutore analitico, noti i parametri di orientamento interno, misurando coordinate lastra e mediante il procedimento descritto nel precedente paragrafo (3.7.3) si effettua 1' orientamento relativoanaliticamentedeiduefotogrammi.Quindi,diunqualsiasipuntoPdelterreno:si misuranolecoordinatelastradelleimmaginidelpuntosuiduefotogrammistereoscopicie mediante il procedimento descritto nel paragrafo (3.7.1) vengono calcolate le coordinate modello di P come intersezione di due raggi omologhi. Si ha cos, anche nel caso di un modello formato per via analitica, una serie di triplette di coordinate modello che definiscono la posizione spaziale di un numero finito di punti. Orientareassolutamenteunmodelloanaliticovuoldireeffettuareuncalcolochepermettedi trasformare le coordinate modello Xm, Ym, Zm corrispondenti coordinate topografiche XT, YT, ZT . Perlasimilitudineesistentefraunmodello,ingeneralenonorientatoenoninscala,edil corrispondenteterreno,leformuleditrasformazionedevonoequivaleregeometricamenteadun movimentorigidodelcomplessodipuntiedaunavariazionediscala,ovveronondevono implicarevariazionidegliangolifraledirezionichecongiungonoipunti,edevonoimplicare variazioni proporzionali di tutte le distanze. Le formule di trasformazione di derivano quindi dalle formule di trasformazione delle coordinate con linserimento di un fattore di scala , ovvero (3.38) Queste formule di trasformazione dipendono da sette parametri, di cui tre angolari; si denotano i parametri angolari con le lettere K. LetretraslazioniA,B,Crappresentano ovviamentelecoordinatetopografichedelpuntoche nel modellohacoordinatenulleXm=Ym=Zm=0ecio, comesi evince dallafig. (3.12)ilcentro di presa delprimofotogramma.Percalcolareisetteparametridorientamentoassolutonecessario pertanto definire in base alle (3.38) un sistema di sette equazioni nelle sette incognite (, , K, A, B,C,)utilizzandoivalorinotidellecoordinatedipuntidelmodelloedellecorrispondenti coordinatetopografiche.Diconseguenzasidevonoconoscerecomeminimolecoordinate topograficheplano-altimetrichediduepuntielaquotaZdiunterzopunto,questisonoicosid-dettipuntifotogrammid'appoggio.Comunementeilcalcolodeiparametrivieneeffettuatosulla basedialmenoquattroocinquepuntifotograficidiappoggioconvenientementedispostinel modello e si esegue quindi un calcolo con compensazione minimi-quadrati. Unavoltacheilcalcolodiorientamentoassolutostatoeseguito,deglialtripuntidelmodello analiticovengonotrasformatedirettamentelecoordinatemodelloXm, Ym, Zmnellecoordinate topograficheterrenoXT, YT, ZTutilizzandoleformuleditrasformazione(3.38);ottenendocosi "filesdirestituzione"checostituisconoilrisultatonumericodellafasedimemorizzazionedel modello. Glielementinaturaliedartificialidamemorizzaresonoquellivisibilinellostrumentodi restituzioneanalitico,inquantitequalitcompatibiliconlascaladeifotogrammiecongli ingrandimenti del sistema di osservazione. Plottandoifilesdirestituzione,sihannocomeelaboratididisegnoicosiddetti"originalidi restituzione". 3.8Restitutore Analitico Un restitutore analitico composto dalle seguenti parti: a)uno stereo comparatore, b)un tavolo coordinatografo; e)un calcolatore elettronico digitale, con i relativi organi di input ed output; d)un' interfaccia,ovverouncomplessodicircuitielettronicichepermetteloscambiodi informazionimetrichefracalcolatoreestereocomparatore,el'inviodiinformazionimetriche dal calcolatore elettronico al tavolo coordinatografo; e)undisplayovverouncomplessoelettronicochepermettelavisualizzazionedidaticontenuti nella memoria del calcolatore; f)un pannello con pulsanti vari che, quando vengono azionati, determinano specifiche operazioni di calcolo nel calcolatore. Eopportunoprecisaresubitocheinrelazionealfattochenelcalcolatoreidatinumericiche vengonoelaboratisonodigitalizzati,ovverosonorappresentatidacomplessidiimpulsi, necessariocheleinformazionimetrichescambiatefraivariorganidelrestitutoreanaliticosiano configuratesottoformadisequenzediimpulsi;legrandezzeacuisiriferisconoleinformazioni metriche scambiate sono essenzialmente: a)coordinatestrumentaliocoordinatelastradipuntiimmaginesuifotogrammipostinello stereocomparatore; b)coordinatemodelloocoordinatetopografichedipunticollimatistereoscopicamenteallo stereocomparatore (in genere queste informazioni possono essere visualizzate nel display); e)differenze di coordinate strumentali o di coordinate lastra di punti immagine sui fotogrammi; d)differenzedicoordinatedipuntidelterreno(questedifferenzesonoingenereinviate,tenuto conto della scala del disegno, al tavolo coordinatografo). Unorganofondamentalechepermettediottenereinformazionimetrichedigitalizzaterelativea coordinatelastradipuntiilgeneratorediimpulsi,dicuiuntiposempliceemoltousatolo shaftencoder. Lo shaftencoder essenzialmente costituito da un disco di vetro recante una serie di tratti opachi allaperiferia:ilpassaggiodiuntrattoopacosottounatestinadilettura,formatadaunacellula fotoelettrica, determina la creazione di un impulso; le cose sono disposte in modo che gli impulsi emessi abbiano un segno a seconda del senso di rotazione del disco; il tutto racchiuso entro un cilindretto, dotato di morsetti per la raccolta degli impulsi, da cui emerge un piccolo albero. Si consideri la vite di trascinamento e misura del carrello di uno stereocomparatore avente il passo diunmillimetroeunoshaftencodercalettatosullavite:ognigirodellaviteprovocalo spostamentodiunmillimetrodelcarrelloelagenerazione,adesempio,di1000impulsiallo shaftencoder; cos ogni impulso l'equivalente di un micron;gli impulsi emessi dallo shaftencoder vengonoaccumulati,positivamenteonegativamenteasecondadelsensodirotazione,inun contatore elettrico e da qui, attraverso l' interfaccia possono raggiungere una cella della memoria del calcolatore; si comprende cos come le coordinate strumentali di un punto immagine possano essere trasmesse al calcolatore. Unorganochecompieuna funzioneesattamentecontraria,macheall' aspettosipresentacome lo shaftencoder il motore passo-passo o stepmotor, lo stepmotor un motore elettrico costruito inmodoparticolare:quandoaimorsettisipresentaunimpulso,l'assedelmotorecompiel/ndi giroesiferma;larotazioneavvieneinunsensoonell'altroasecondadelsegnodiimpulso;si suppongacheinunacelladellamemoriadelcalcolatoresiacontenutoundatonumerosotto formadicomplessodiimpulsiecheattraversol'interfacciatalenumerosiatrasferitoadun contatore; quando il contenuto del contatore diverso da zero si mette inmoto un generatore di impulsicheinviacontemporaneamenteimpulsialcontatoreedallostepmotor;gliimpulsisi sottraggonoalgebricamentealcontatoreecontemporaneamentedeterminanolarotazionedel motore; i circuiti logici sono tali per cui la generazione degli impulsi cessa quando il contatore a zero;lostepmotorhacosricevutounnumerototalediimpulsiaprialcontenutoinizialedel contatore ed il suo albero ha compiuto un corrispondente numero di ennesimi di giro; se all'albero dello stepmotor calettata la vite di trascinamento di un carrello si determina uno spostamento di questo proporzionale, secondo il passo della vite, al numero inizialmente contenuto nella cella del calcolatore. Lefunzionidelloshaftencoderodellostepmotorpossonoessereassolteanchedadispositividi tipo diverso, che non vengono descrittiperch quanto esposto sufficiente per la comprensione del funzionamento dei restitutori analitici. Inunrestitutoreanaliticol'orientamentointerno,l'orientamentorelativoedassolutodiuna coppiadifotogrammisieseguonoconprogrammidicalcolocontenutinellamemoriadel calcolatoreedattivatidaipulsantidelpannello;mentreinunostereocomparatorenormalele coordinate rilevate allo stereocomparatore vengonoperforate su schede e successivamente lette edintrodottenellamemoriadelcalcolatoreperl'esecuzionedeicalcoli,nelrestitutoreanalitico talicoordinatesonotrasmessedirettamentemediantemanovradiunpulsante;cosadesempio quandonellamemoriasonodisponibililecoordinatestrumentalidelle4marchefiduciali,un programmadicalcolo,attivatodaunpulsante,determinalecoordinatestrumentalidelpunto principale,inmodochesipossonootteneresuccessivamentelecoordinatelastra;analogamente quandosonodisponibilialmeno5coppiedicoordinatelastradipuntiomologhisideterminanoi parametri dell'orientamento relativo e cos via. Ma il programma fondamentale che determina il funzionamento del complesso come restitutore ilcosiddettoprogrammaintemporealeoinrealtime(RT).Percomprenderelefunzionidel programmaRT,checiclicoevieneeseguitoincontinuazioneparecchiedecinedivolteinun secondo,occorretenerepresentecomeavvienel'esplorazionediunmodelloinunrestitutore analogico;quandolecamerediunrestitutoreanalogicosonoorientate,l'operatore,muovendo nelle direzioni X e Y il carrello restitutore, pu esplorare con la marca stereoscopica le diverse zone del modello e, mediante il movimento Z, pu collimare stereoscopicamente qualsiasi punto senza che,essendolecamereorientate,appaionodelleparallassid'altezza;ancheinunrestitutore analiticolecosedebbonopresentarsiallostessomodo:muovendounvolantinosivedechela marcastereoscopicasispostanelsensoX,muovendounsecondovolantino,lamarcaappare spostarsinelsensoY,edinfinemuovendounapedalierasiproduceuninnalzamentoo abbassamentodellamarcastereoscopicarispettoall'immaginestereoscopicadelterreno;da notareper,chequalsiasistereocomparatoredotatodiquattrovolantinicorrispondentiai quattro movimenti di cui i carrelli sono dotati, e che l'operatore non pu esplorare i fotogrammi, mantenendolavisionestereoscopicaesentedaparallassed'altezza,agendosolosutrediessi; necessario pertanto che il calcolatore provveda mediante il programma RT a mantenere la stereo-scopiaconassenzadiparallassed'altezza,inmododasimulareperfettamenteilfunzionamento del restitutore analogico; inoltre,come nel restitutore analogico la quota del punto collimato e le coordinateX,Ypossonoesserefacilmentelette,ilprogrammaRTdeveprovvedereacalcolarele coordinate topografiche dei punti collimati e da visualizzarle nel display. Facili considerazioni circa lavelocitconcuisimuovonoicarrellidellostereocomparatorepermettonodidedurrechei calcolieiconseguenticomandiaimotorichemuovonoicarrelli,prodottidalprogrammaRT, devonoessereripetutialmenoalcunedecinedivoltealsecondosesivuoleevitareche,in corrispondenza di movimenti troppo rapidi, appaiono delle parallassi d'altezza temporanee. xp = M-1 Xp (3.9) si pu notare che la trasposta di una matrice dorientamento angolare coincide con linversa della matrice stessa: MT=M-1 (3.10) e quindi la matrice d' orientamento angolare M ortogonale. InovecosenidirettoridellamatriceMnonsonoindipendentiinquantosiriferisconoatre direzioniortogonali;pertantolasommadeiquadratideicosenidirettoridiogniriga(che definiscono la giacitura di uno degli assi x, y o z rispetto allaOXYZ) deve essere uguale a uno, e la somma dei prodotti dei coseni di una riga per i