Rendite vitalizie - · PDF fileCos’è una rendita vitalizia Un individuo di...

1

Rendite vitalizie

Matematica finanziaria – seconda parte

Prof. Massimo Angrisani

a.a. 2012/2013

http://www.economia.uniroma1.it/base.php?DURL=/didattica/schedadettinsegnamento&iddocente=12&idcanale=0&IDMOD=&annoac=2010/2011&idass=15614&data=20-03-2012&ritorno=/didattica/schedadocente

Cos’è una rendita vitalizia

Un individuo di età x si “assicura”, a partire da tale età, il pagamento di un importo (rata) unitario alla fine di ciascun anno finché rimane in vita. L’assicuratore richiede un compenso, detto “premio”.

Struttura tradizionale: sono fissate le somme assicurate.

Prof. Massimo Angrisani – Matematica finanziaria – a.a. 2012/2013

2

Cos’è una rendita

Supponiamo che all’epoca 0 l’assicurato di età x (intera, esatta) paghi un premio unico U. Se con certezza, a partire da tale epoca, l’assicurato percepisce le prime n rate unitarie alla fine di ciascun anno, si deve tener conto solo dell’aspetto finanziario di tale operazione.

Sia i il tasso annuo effettivo di interesse considerato in regime di capitalizzazione composta.

Il valore attuale della prima rata unitaria di rendita calcolato all’inizio del primo anno (epoca 0) è


3

11

vi

=+

v è il fattore di sconto.

Rendita finanziaria


4

vv2

v3

vn

.

.

.

U 1 1 1 1…

0 1 2 3 n

Rendita finanziaria

In tale caso


5

1

1 0

1n n

h h

h h

U v v v−

= =

= ⋅ =∑ ∑

Somma di n-1 termini in progressione geometrica

1 11

n nv vU vv i

− −= =

−Operazione finanziaria certa. U (valore attuale) dipende da n e da i (tasso di attualizzazione).

Esempio

Valore attuale rendita certa posticipata i 0% 1% 2% 3% 4% 5%

n1 1 0,990099 0,980584 0,971431 0,962616 0,954122 2 1,970395 1,942317 1,915636 1,890237 1,866023 3 2,940985 2,885741 2,833873 2,785045 2,7389654 4 3,901966 3,811382 3,727328 3,649039 3,5758765 5 4,853431 4,719745 4,597112 4,484057 4,3793766 6 5,795476 5,61132 5,444274 5,291787 5,1518277 7 6,728195 6,486579 6,269799 6,073782 5,8953618 8 7,651678 7,345977 7,074617 6,83148 6,6119099 9 8,566018 8,189954 7,859607 7,566204 7,303227

10 10 9,471305 9,018936 8,625595 8,279184 7,970909… … … … … … …15 15 13,86505 12,95283 12,19645 11,55504 11,0016920 20 18,04555 16,56802 15,3934 14,42818 13,6158225 25 22,02316 19,90398 18,28066 16,98144 15,9096730 30 25,80771 22,99432 20,90827 19,27543 17,95045… … … … … … …40 40 32,83469 28,54899 25,53485 23,25686 21,45457

6

La base finanziaria


7

BASE DEMOGRAFICA -OSSERVAZIONI

Notazioni attuariali (1)


9

1t x t xp q= − Probabilità di sopravvivenza per t anni all’età x

t xq Probabilità di decesso entro t anni all’età x

Probabilità di decesso tra le età x+t e x+t+uvalutata all’età x ; risulta pari al prodotto della probabilità di sopravvivenza per t anni per la probabilità di decesso entro u anni all’età x +t

/t u x t x u x tq p q += ×

ω

0,1,2,...x ω=x variabile età generalmente si considerano solo le età intere con “età estrema” ω

Probabilità di decesso e di sopravvivenza (2)


10

In particolare, se t =1

/1 /t x t xq q=

xq Probabilità di decesso entro un anno all’età x (“tasso annuo di decesso”)

1x xp q= − Probabilità di sopravvivenza per un anno all’età x (“tasso annuo di sopravvivenza ”)

Risulta anche Probabilità differita di decesso tra l’età x+t ex+t+1 ; probabilità che la durata (residua troncata) di vita all’età x sia uguale a t, con xe t valori interi

Probabilità di decesso e di sopravvivenza (3)


11

In particolare, se x =0

/1 0t q Probabilità “differita” di decesso entro un anno all’età t (valutata alla nascita), con

1

/1 00

1tt

qω−

=

=∑

Curva dei decessi


12

0,000000

0,005000

0,010000

0,015000

0,020000

0,025000

0,030000

0,035000

0,040000

0,045000

0 20 40 60 80 100 120

Age

t/1q0 popolazione italiana maschi 2006 (fonte HMD)

Probabilità annua di decesso


13

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0 20 40 60 80 100 120Age

qx popolazione italiana maschi 2006 (fonte HMD)

Valori sintetici della durata di vita


14

1x h x

h

e p+∞

=

=∑Vita attesa incompleta

Vita attesa completa

12

ox xe e= +

Tavola di sopravvivenza (da HMD)


15

Age lx dx qx Age lx dx qx0 100000 386 0,00386 60 91271 757 0,00831 99614 27 0,00027 61 90514 817 0,009032 99587 13 0,00013 62 89697 903 0,010073 99574 13 0,00013 63 88794 989 0,011134 99561 13 0,00013 64 87805 1030 0,011735 99547 10 0,0001 65 86775 1143 0,01318… … … … … … … …50 95895 281 0,00293 70 80100 1685 0,0210351 95615 316 0,00331 71 78415 1815 0,0231552 95298 353 0,0037 72 76600 2097 0,0273853 94945 383 0,00403 73 74503 2172 0,0291554 94562 419 0,00443 74 72331 2313 0,0319855 94143 477 0,00507 75 70017 2578 0,03683… … … … … … … …57 93150 560 0,00601 108 10 5 0,504958 92590 634 0,00685 109 5 3 0,5192659 91956 684 0,00744 110+ 2 2 1,000

Life table - Italy 2006 - Males (period 1x1). Last modified: 06-Feb-2009, MPv5 (May07)

Tavola di sopravvivenza (mortalità)

E’ una rappresentazione tabulare della mortalità . La determinazione delle probabilità di morte esprimenti il rischio che una

persona di età x muoia prima del compimento del compleanno x+n, consente la determinazione delle ulteriori funzioni biometriche contenute nella tavola di mortalità.

l0 degli individui in vita all’età 0 (generalmente l0 =100000) – radice dellatavola

Numero (atteso) degli individui in vita all’età x : lx+1=lx*(1-qx)

Numero (atteso) dei decessi tra l’età x e x+1: dx=lx*qx=lx-lx+1

Numero (atteso) dei decessi tra l’età x e x+n:

ndx=lx-lx+n


16

lx popolazione italiana maschi 2006 (fonte HMD)


17

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000

90000

100000

0 20 40 60 80 100 120

Age

Size

ofpo

pula

tion

dx popolazione italiana maschi 2006 (fonte HMD)


18

-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

Age

Size

ofpo

pula

tion

Mortalità maschile e femminile


19

-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

dx popolazione italiana 2006 (fonte HMD)

maschi

femmine

Age

Size

ofpo

pula

tion

Probabilità di decesso e di sopravvivenza


20

1x nn x n x

x

lp ql+= = − Probabilità di sopravvivenza per n

anni all’età x

x x n n xn x

x x

l l dql l

+−= = Probabilità di decesso entro n anni

all’età x

xx

x

dql

= Probabilità di decesso entro un anno all’età x (“tasso annuo di decesso”)

11 xx x

x

lp ql+= − = Probabilità di sopravvivenza

per un anno all’età x (“tasso annuo di sopravvivenza ”)

Esempi


21

50 50 5150

50 50

281 0,00293028895895

d l lql l

−= = = =

599/1 50

50

684 0,00713280195895

dql

= = =

6515 50

50

86775 0,9048959895895

lpl

= = =

Tavola di mortalità di riferimento: Life table HMD - Italy 2006 - Males

0 6578,62 17,82o oe e= =

Evoluzione nel tempo


22

-20000

0

20000

40000

60000

80000

100000

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

Age

lx popolazione italiana maschi (fonte HMD)

2006

1996

1986

1966

1946

1926

1906

Size

ofpo

pula

tion

Evoluzione nel tempo


23

86; 4267

72; 2158

-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

dx popolazione italiana maschi (fonte HMD)

2006

1996

1986

1966

1946

1926

1906

Size

ofpo

pula

tion

Age


24

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

1906 1926 1946 1966 1986 2006

aspettativa di vita popolazione italiana maschi (fonte HMD)

età 0

età 60

Evoluzione nel tempoA

ge

Year

Mortalità dinamica

tempo … t-1 t t+1

età

0 … q0(t-1) q0(t) q0(t+1)

1 q1(t-1) q1(t-1) q1(t-1)

…. …. …. …. …. …. ….

x qx(t-1) qx(t-1) qx(t-1)

x+1 qx+1(t-1) qx+1(t-1) qx+1(t-1)… …. …. …. …. …. ….


25

Tavola di sopravvivenza RG4826

Maschi Femmine Maschi Femminex lx lx x lx lx50 96406,3620 97475,6339 80 66765,14 85091,6551 96217,8875 97375,3314 81 63386,56 83157,9552 96019,0052 97272,6005 82 59729,47 80888,953 95807,8594 97167,157 83 55802,2 78231,754 95582,0402 97058,5241 84 51623,01 75132,3155 95338,8795 96946,5186 85 47221,22 71542,1256 95072,312 96830,4736 86 42633,68 67427,1657 94778,1583 96710,1133 87 37911,65 62773,7458 94455,0595 96584,4869 88 33139,79 57596,2959 94103,8756 96452,5524 89 28427,98 51947,0160 93728,6835 96313,7572 90 23902,95 45924,3861 93320,6825 96164,5672 91 19702,56 39747,7362 92873,0232 96003,5877 92 15853,72 33492,3663 92380,4247 95828,8612 93 12441,02 27444,9864 91836,2116 95637,8743 94 9510,935 21844,8865 91233,7661 95427,6622 95 7075,241 16867,7566 90565,7524 95194,9142 96 5115,683 12618,1567 89824,0189 94935,6984 97 3590,324 9131,32868 88998,5362 94647,4736 98 2442,598 6382,45169 88077,1343 94325,7669 99 1608,4 4301,48570 87046,3676 93964,2162 100 1023,499 2790,13771 85891,2623 93554,3443 101 628,2848 1738,33972 84595,335 93085,5435 102 373,4399 1042,51773 83139,8722 92545,6473 103 214,6906 600,91874 81504,5941 91919,6686 104 119,2435 332,368475 79668,1326 91189,6426 105 63,90734 176,085876 77603,7719 90334,2837 106 33,00559 89,1842777 75290,0155 89327,5081 107 16,40312 43,0913478 72715,0969 88139,9882 108 7,832488 19,8160779 69873,0274 86739,6201 109 3,587436 8,650746

110 1,573234 3,57486

Age –shifting


27

MASCHI FEMMINE

Anno di nascitaCorrezione

dell’etàAnno di nascita

Correzione

dell’età

Fino al 1941 +1 Fino al 1943 +1

Dal 1942 al 1951 0 Dal 1944 al 1950 0

Dal 1952 al 1965 -1 Dal 1951 al 1964 -1

Oltre il 1966 -2 Oltre il 1965 -2

lx popolazione italiana maschi (fonte HMD e RG48)


28

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000

90000

100000

40 50 60 70 80 90 100 110

Age

2006 1986 1966 RG48

Size

ofpo

pula

tion

RENDITE VITALIZIE

Cos’è una rendita vitalizia definizione del concetto di valore attuariale

Le rate unitarie sono percepite dall’assicurato finché questo è in vita (incertezza).


30

x x+1 x+2 x+3 x+n

.

.

.

P 1 1 1 1…

se in vitaaltrimenti 0

v

2se in vitaaltrimenti 0

v

3se in vitaaltrimenti 0

v


nv

…


Si tratta di un’operazione finanziaria aleatoria di cui sono note le determinazioni possibili degli importi.

Non è nota la durata di vita all’età x dell’assicurato, l’importo da erogare a ciascuna epoca è dipendente dall’evento “essere in vita” a tale epoca.

Problema: quantificare l’incertezza assegnare la probabilità alle determinazioni possibili dei

diversi importi Esempio: con quale probabilità l’assicurato di età 65

percepirà 1 euro di rendita all’età 75?


31


Consideriamo ogni singola rata a partire dalla prima.

Il valore attuale Y di un euro di rendita percepibile dopo un anno è aleatorio e risulta pari a


32

x x+1 x+2 x+3 x+n

1


v

U1

se l'assicurato è in vita all'età 10 altrimentiv x

Y+

=


Sia p la probabilità che l’assicurato di età x sia in vita all’età x+1.

Il valore atteso di Y (valore attuariale o valore attuale atteso) è

Il valore attuariale dipende dal tasso di attualizzazione i e dalla probabilità p.

(i,p) base della valutazione


33

( ) ( )0 1E Y v p p v p= + − =

Fattore di sconto demografico finanziario

Il valore attuariale di un euro di rendita percepibile dopo 1anno da un individuo di età x se in vita si indica con


34

1 1x xE v p=1 xp Probabilità di sopravvivenza per un anno per un individuo di

età x

Il valore attuariale di un euro di rendita percepibile dopo n anni da un individuo di età x se in vita si indica con

nn x n xE v p=

n xp Probabilità di sopravvivenza per n anni per un individuo di età x


Consideriamo tutte le ulteriori possibili rate


35

x x+2 x+3 x+h

1 1

hx h x h x

h h

a E v p+∞ +∞

= =

= =∑ ∑

.

.

.

U 1 1 1 1…

x+11 xv p

22 xv p

33 xv p

hh xv p

…


36

n 10i 3%

vn 0,7440939Tavola Italia Maschi 2006 HMD

età nEx30 0,73778240 0,73019050 0,70821460 0,65302170 0,51310080 0,243945

Esempi numerici


37

Rendita vitalizia posticipata – Tavola IT maschi 1992

i = 3%età ax età ax età ax età ax età ax

0 28,865 30 45,212 50 17,4214 60 13,295 70 9,206

1 29,000 31 44,292 51 17,0218 61 12,877 71 8,811

2 28,884 32 43,366 52 16,6200 62 12,462 72 8,408

3 28,761 33 42,433 53 16,2127 63 12,047 73 8,049

4 28,631 34 41,504 54 15,8026 64 11,629 74 7,635

5 28,496 35 40,571 55 15,3918 65 11,221 75 7,256… … … … … … … … … …

Esempi numerici


Per la valutazione attuariale di una rendita vitalizia due concetti fondamentali

1. Attualizzazione delle somme future – aspetto puramente finanziario

2. Quantificazione dell’incertezza - aspetto probabilistico


38

Il principio per il calcolo del premio

Sia Y il valore attuale aleatorio delle prestazioni fornite dall’assicuratore

ed U il premio unico (certo) richiesto dall’assicuratore.Per l’assicuratore la perdita è aleatoria pari a

L=Y-U .


39

Il principio per il calcolo del premio

Principio di equità


40

( ) ( ) 0E L E Y U= − =

Valore atteso della perdita dell’assicuratore

e quindi ( )U E Y=

Premio equo(unico puro)

Valore attuariale delle prestazioni

Calcolo del premio


41

x x+1

.

.

.

1

1 xv p

U

Pertanto il premio unico per un euro di capitale percepibile dopo un anno da un individuo di età x se in vita è pari a

1 1x xU E v p= =

Calcolo del premio


42

Il premio unico per la rendita vitalizia unitariaimmediata posticipata per un individuo di età x è pari a

xU a=

.

.

.

U 1 1 1 1…

x+11 xv p

22 xv p

33 xv p

nn xv p

x+2 x+3 x+nx

Osservazioni sulla probabilità di sopravvivenza e sul tasso tecnico


43

Il premio relativo alla generica n-sima rata unitaria di rendita è pari a

nn x n xU E v p= =

x x+n

.

.

.

1

nn xv p

U

Per tale valutazione sono stati fissati il tasso di interesse i ela probabilità di sopravvivenza n xp

Osservazioni sulla probabilità di sopravvivenza e sul tasso tecnico


44

Siano * *

* *

e tali che n x

n x n x

i p

i i e p p> <

Risulta( ) ( ) ( )* * *, , , n x n x n xU i p U i p U i p< <

Il premio risulta funzione decrescente del tasso di interesse e funzione crescente della probabilità di sopravvivenza .


45

Sia* * tale che .i i i>

n 10tasso 3% 5%età x 10Ex 10Ex

40 0,723384 0,59682750 0,689551 0,56891360 0,600773 0,49566770 0,439933 0,362966

Il premio calcolato con la base (3%,1992) è più favorevole all’assicuratore rispetto a quello calcolato con la base (5%,1992).

Si considera la tavola di sopravvivenza Italia Maschi 1992.

Esempi numerici


46

n 10i 3%

vn 0,7440939

Tavole Italia maschi HMD 1992 1995 2000 2002 2006

età nEx nEx nEx nEx nEx

30 0,732086 0,731148 0,735474 0,736145 0,73778240 0,723384 0,724987 0,727557 0,727977 0,73019050 0,689551 0,694283 0,700603 0,703295 0,70821460 0,600773 0,610678 0,632324 0,639885 0,65302170 0,439933 0,449614 0,473437 0,483657 0,51310080 0,183008 0,191969 0,213057 0,222448 0,243945

Esempi numerici

Esempi numerici


47

Siano(i*, p*)=(5%, IT maschi 1992) (i, p)=(3%, IT maschi 2006)

* * * * e tali che e i p i i p p> <

n 10tasso 5% 3% 3%tavola 1992 1992 2006

età 10Ex 10Ex 10Ex

40 0,596827 0,723384 0,73019050 0,568913 0,689551 0,70821460 0,495667 0,600773 0,65302170 0,362966 0,439933 0,513100

Il premio calcolato con la base (3%,2006) è più favorevole all’assicuratore rispetto a quello calcolato con la base (5%,1992)

Rendite vitalizie


48

Sapendo che per un individuo di età x una rendita unitaria immediata e posticipata (a rate di importo unitario) al tasso tecnico i ha un costo (premio unico) pari a

quanto costa una rendita di rata R?Si ha

1

1hx h x

h

U a v p+∞

=

= = ⋅∑

1 1

h hR h x h x x

h h

U v p R R v p R a+∞ +∞

= =

= ⋅ = =∑ ∑

Rendite vitalizie


49

Un individuo di età x ha disponibile un capitale (montante) M. Qual è la rata della rendita vitalizia immediata che può comprare con tale somma (premio unico) ? La risposta si ottiene risolvendo l’equazione che uguaglia la disponibilità economica M al costo della rendita di rata R, cioè da

xM R a=

si ottiene 1

x

R Ma

=

Coefficiente di conversione


50

Si definisce coefficiente di conversione e fornisce l’importo della rata di rendita vitalizia unitaria immediata posticipata che si acquisisce con un montante unitario, come risulta dalla relazione

1x

x

ca

=

1

x

R Ma

=

ponendo M=1.

1

Teoria delle collettività



a.a. 2012/2013


Dispense Corso di Matematica finanziaria – seconda parte Prof. Angrisani – Anno Accademico 2012/2013

1

I) TEORIA DELLA COLLETTIVITA’

Consideriamo le seguenti funzioni della variabile temporale t appartenente all’intervallo ]T,0[ con

+∞≤T relative ad una assegnata popolazione o collettività:

=)t(P numero di individui della popolazione al tempo t ;

=)t(M numero di individui della popolazione morti tra 0 e t (con M(0)=0);

=)t(I numero di individui della popolazione divenuti invalidi tra 0 e t (con I(0)=0);

=)t(W numero di individui eliminati dalla popolazione per altre cause tra 0 e t (con W(0)=0);

=)t(N numero di individui “entrati” nella popolazione tra 0 e t (con N(0)=0).

Definiamo inoltre le intensità di variazione:

)t(n)t(N)t(w)t(W

)t(i)t(I)t(m)t(M

)t(p)t(P

=′=′

=′=′=′

e definiamo i seguenti tassi istantanei:

α(t)P(t)m(t)

= tasso istantaneo di mortalità,

β(t)P(t)i(t)

= tasso istantaneo di invalidità;

γ(t)P(t)w(t)

= tasso istantaneo di uscita della popolazione per altre cause;

(t)P(t)n(t) ν= tasso istantaneo di ingresso nella popolazione.


2

I.I) POPOLAZIONE SOGGETTA ALLA SOLA CAUSA DI ELIMINAZIONE PER MORTE

Consideriamo una popolazione soggetta alla sola causa di eliminazione per morte.

L’equazione di evoluzione della popolazione chiusa (non soggetta ad ingressi) è la seguente:

)0(P)r(P = − )r(M 0)0(M = , Tr0 ≤≤ .

Supposte derivabili le funzioni P(r) e M(r), nel generico istante r, risulta:

);r(M)r(P ′−=′

da cui:

α(r)P(r)

(r)MP(r)

(r)P−=

′−=

′.

Considerata quindi assegnata la funzione α(r) , 0≤r≤T, che fornisce il tasso istantaneo di mortalità,

funzione che supponiamo continua, possiamo considerare l’equazione differenziale lineare

omogenea del primo ordine:

α(r)P(r)

(r)P−=

′, 0 ≤ r ≤T , (1)

ovvero cercare una funzione P(r), il cui tasso istantaneo di variazione in ogni istante r, cioè )r(P)r(P′

,

sia pari (a meno del segno) a quello di mortalità.


3

Tale equazione differenziale, assegnata la condizione iniziale )0(P , ammette come soluzione la

seguente funzione della variabile temporale (che indichiamo con t):

∫−

⋅=

t

0α(r)dr

eP(0)P(t) . )2(

L’equazione differenziale lineare omogenea del primo ordine:

α(r)P(r)

(r)P−=

′

con assegnata la condizione iniziale )0(P , si risolve facilmente per integrazione:

[ ]

.

t

0α(r)dr

t

0

t

0

t0

t

0

t

0

eP(0)P(t)

drα(r)P(0)P(t)log

drα(r)logP(r)

α(r)drdrP(r)

(r)P

∫−

⋅=

−=

−=

−=′

∫

∫

∫∫

Osservazione importante

Se la funzione α(r) definita nell’intervallo 0 ≤ r ≤ T è ivi continua a tratti, cioè presenta al più un

numero finito di discontinuità di prima specie (salti) in ogni intervallo finito, allora la funzione α(t)

risulta comunque integrabile in ogni intervallo limitato e l’integrale ∫−t

0

α(r)dr è una funzione

continua dell’estremo superiore di integrazione t.


4

La funzione definita dalla (2) è derivabile negli intervalli di continuità della α(t) ed è ancora

soluzione della equazione differenziale (1) in tali intervalli mentre nei punti di discontinuità della

funzione α(r) la funzione espressa dalla (2) è continua ma non derivabile.

Sebbene supponiamo, per semplicità di trattazione, che i tassi istantanei siano funzioni definite e

continue nell’intervallo 0 ≤ r ≤ T, in effetti tutte le conclusioni che traiamo permangono valide

anche nella ipotesi che tali tassi siano forniti da funzioni definite e continue solo a tratti in tale

intervallo. In quest’ultimo caso le funzioni espresse mediante tali tassi risultano derivabili nei punti

in cui le relative funzioni che forniscono i tassi istantanei sono continue, mentre nei rimanenti punti

risultano funzioni solo continue.

Dalla )2( si ha, per il rapporto )0(P)t(P , la seguente espressione:

∫−

=

t

0α(r)dr

eP(0)P(t)

.

Dunque tale rapporto rappresenta la quota della popolazione iniziale )0(P che “sopravvive” al

tempo t . Possiamo pertanto interpretare tale rapporto come la probabilità che un individuo presente

nella popolazione iniziale al tempo 0 sopravviva al tempo t , cioè esplicitamente possiamo definire

la probabilità:

∫−

==

t

0α(r)dr

m eP(0)P(t)t)(0,p . )3(


5

Evidentemente a tale definizione di probabilità è implicitamente associata l’ipotesi che tutti gli

individui presenti nella popolazione al tempo 0, siano esposti nella stessa misura al rischio di

eliminazione per morte.

Dati due istanti u e v con vu ≤ dalla )2( segue:

∫−

=

v

uα(r)dr

eP(u)P(v)

.

Pertanto ragionando per gli istanti u e v in modo analogo a quanto già fatto per gli istanti 0 e t ,

possiamo definire:

∫−

=

v

uα(r)dr

m ev)(u,p (4)

e considerare )v,u(pm come la probabilità che un generico individuo presente nella popolazione

all’istante u sopravviva all’istante v .

Considerati gli istanti u, z, v con 0 ≤ u ≤ z ≤ v risulta:

∫−∫−∫−∫−∫−

⋅===

v

zα(r)dr

z

uα(r)dr

v

zα(r)dr

z

uα(r)dr

v

uα(r)dr

m eeeev)(u,p

da cui la proprietà moltiplicativa per la probabilità di sopravvivenza rispetto alla decomposizione

temporale:

)v,z(p)z,u(p)v,u(p mmm ⋅= . (5)


6

Esempio n. 1

Consideriamo una popolazione esposta al tasso istantaneo annuo di eliminazione costante del

2%.

La probabilità che un individuo presente al tempo iniziale 0 sopravviva dopo 3 anni è pari a:

0,942eee(0,3)p 0,0630,02m

3

00,02dr

==== −×−− ∫

.

Si osservi che tale probabilità è superiore al 94%.

La probabilità che un individuo presente nella popolazione dopo 5 anni, sopravviva al decimo

anno è:

0,905ee(5,10)p 0,1

10

50,02dr

m === −∫−

.


7

Esempio n. 2

Sia 000.100)0(P = individui. Supponiamo che dopo 2 anni 000.94)2(P = e supponiamo che gli

individui siano “usciti” dalla popolazione per la sola causa di eliminazione per morte e che tale

causa abbia agito con un tasso istantaneo annuo costante. Si vuole calcolare tale tasso.

∫−

⋅=

2

0αdr

eP(0)P(2)

da cui:

3,09%.0,030910094log

21α

10094log2α

e100.00094.000

eP(0)P(2)

2α

2α

≅=−=

=−

=

⋅=

−

−


8

Si supponga ora che il tasso sia stato costante nel primo anno e che nel secondo anno tale tasso

sia stato altresì costante ma superiore del 10% rispetto a quello dell'anno precedente.

Si vogliano calcolare tali tassi.

%.95,20,029510094log

2110α

10094log,12

eP(0)P(r)

eP(0)P(r)

eeP(0)P(r)

eP(0)P(r)

1α,2

1α,2

1α,1α

2

1dr1,1

1

0αdr

≅=−=

α−

=

⋅=

⋅⋅=

⋅=

−

−

−

−

−

∫ α+∫

Il tasso nel primo anno è stato del 2,95% e nel secondo del 3,24%.


9

Esempio n. 3

Con )t(P indichiamo la numerosità di una popolazione al variare del tempo t. Sia

000.100)0(P = individui e dopo 10 anni 000.62)10(P = . Supponiamo che abbia agito un tasso

istantaneo di eliminazione per morte α(r) , costante in ciascun anno e che tale tasso risulti

crescente del 10 % ogni anno.

Si vuole calcolare tale tasso:

α 0≤r<1

αγ ⋅ 1≤r<2

α(t) = …………………..

…………………..

αγ9 ⋅ 9≤r≤10

dove 1,1γ = è il fattore di crescita annuale del tasso istantaneo di eliminazione.

Si ha:

∫−

⋅=

t

0α(r)dr

eP(0)P(t)

e quindi:


10

∫ ∫ ∫ ⋅++⋅+−

⋅=

1

0

2

1

10

9αdr9γ........αdrγαdr

eP(0)P(10)

da cui:

⋅++⋅+⋅+−

⋅=9γα.............2γαγαα

eP(0)P(10)

( )9γ...........2γγ1αeP(0)P(10) ++++−⋅=

1γ110γα

eP(0)P(10) −−

⋅−

⋅= .

Pertanto:

1γ110γα

eP(0)P(10) −

−⋅−

=

1γ1γα

P(0)P(10)log

10

−−

⋅−=

1γ1γ

P(0)P(10)log

α 10

−−

−=


11

3%15,93740,4780α ≅= .

Da cui si ricava immediatamente il valore della funzione α(r) per 10r0 ≤≤ .

Dalla )2( , indicata con s la variabile indipendente al posto di t e derivando si ottiene l’espressione:

( )( )sαeP(0)(s)Ps

0α(r)dr

−⋅⋅=′∫−

.

Integrando tra 0 e t si ottiene:

ds)s(e)0(Pds)s(P)0(P)t(Pt

0

s

0dr)r(t

0

α⋅⋅−=′=− ∫∫∫α−

. (6)


12

Quindi dalla equazione di evoluzione della popolazione, cioè )t(M)0(P)t(P −= , con M(0)=0,

nell’intervallo Tt0 ≤≤ , segue per il numero )t(M di individui eliminati dalla popolazione

nell’intervallo [ ]t,0 , la seguente espressione:

α(s)dseP(0)M(t)t

0

s

0α(r)dr

⋅⋅= ∫∫−

. (7)1

Considerando ancora l’equazione di evoluzione della popolazione, e dalla (2) si ha altresì che:

−⋅=

∫−t

0α(r)dr

e1P(0)M(t) . ( )7′

Con riferimento all’osservazione a pag. 4, si ha che nell’ipotesi che la funzione α(r) sia definita e

continua solo a tratti nell’intervallo [0, T], la funzione M(t), definita dalla (7), risulta continua

nell’intervallo [0,T] e derivabile nei punti in cui la α(r) è continua.

1 Si osservi inoltre che l’integrale (7) può essere approssimato dalla sommatoria ottenuta dividendo l’intervallo [0,t] in

n sottointervalli uguali di ampiezza nts =∆ , ,00 =s ,1 ss ∆= ,2 2 ss ∆= , ,tsnsn =∆= cioè

[ ]sin 1 n 1 n 1 n 1α(r)dr0

i i i i 1 i 1 ii 0 i 0 i 0 i 0

P(0) e α(s )Δs P(s ) α(s )Δs ΔM(s ) M(s ) M(s ) M(t) M(0) M(t).− − − −− ∫

+ += = = =

⋅ ⋅ = ⋅ ≅ = − = − =∑ ∑ ∑ ∑


13

Si osservi che, in base alla )2( , il prodotto ∫−

⋅

s

0α(r)dr

eP(0) all’interno dell’integrale nella (7)

rappresenta la numerosità della popolazione sopravvissuta all’istante s a cui si applica il tasso

istantaneo di mortalità α(s) .

Dalla (2), derivando sempre rispetto al tempo ed integrando tra due istanti u e v, 0 ≤ u ≤v,

otteniamo:

α(s)dseP(u)P(v)P(u)v

u

s

uα(r)dr

⋅⋅=− ∫∫−

(8)

relazione che utilizziamo per definire la probabilità di eliminazione per morte tra gli istanti u e v:

( ) α(s)dseP(u)

P(v)P(u)vu,qv

u

s

uα(r)dr

m ⋅=−

= ∫∫−

. (9)

Risulta ovviamente, in base alle definizioni:

)v,u(p1)u(P)v(P1

)u(P)v(P)u(P)v,u(q mm −=−=

−= .

Dalla (4) e dalla (9) si ha dunque la relazione tra gli integrali, che può essere altresì verificata

direttamente:

∫−∫−

−=⋅∫v

uα(r)dr

s

uα(r)dr

e1α(s)dsev

u. )10(


14

Si osservi che considerati gli istanti 0 ≤ u ≤ z ≤ v risulta:

v).(z,qz)(u,pz)(u,q

α(s)dsez)(u,pz)(u,qα(s)dsez)(u,q

α(s)dseα(s)dseα(s)dsev)(u,q

mmm

s

zα(r)dr

zmm

z

s

zα(r)dr

z

uα(r)dr

m

z

s

uα(r)dr

u

s

uα(r)dr

u

s

uα(r)dr

m

vv

vzv

⋅+=

=⋅⋅+=⋅+=

=⋅+⋅=⋅=

∫−∫−∫−

∫−∫−∫−

∫∫

∫∫∫

Cioè la decomposizione temporale della probabilità di morte:

)v,z(q)z,u(p)z,u(q)v,u(q mmmm ⋅+= . (11)


15

Esempio n. 4

Sia data una popolazione su cui agisce la sola causa di eliminazione per morte con tasso

istantaneo annuo costante α . Si calcoli la probabilità di eliminazione nell’intervallo temporale

[u, v].

( )( )

( )αuvαus

αuss

uαdr

e1α

eααdseαdsev)(u,qv

u

v

u

v

um

−−−

−∫−−=

−=⋅=⋅=

−−∫∫ .

P.e. se:

u = anno 1, v = anno 6, =α 0,01

0,0487e1e1(1,6)q 0,050,015m =−=−= −⋅− .

Si osservi che, in base alla (11), posto =z anno 4, risulta:

)6,4(q)4,1(p)4,1(q)6,1(q mmmm ⋅+= ,

ovvero:

)e1(ee1e1 02,003,003,005,0 −−−− −⋅+−=− .


16

I.II) POPOLAZIONE SOGGETTA A DUE CAUSE DI ELIMINAZIONE: MORTE ED

INVALIDITA’

L’equazione di evoluzione della popolazione nell’ipotesi che agiscano due cause indipendenti di

eliminazione, morte ed invalidità, è la seguente:

[ ])r(I)r(M)0(P)r(P +−= con M(0)=I(0)=0.

Da cui, se le funzioni P(r), M(r) e I(r) sono derivabili, la relazione nel generico istante r tra le

derivate:

[ ])r(I)r(M)r(P ′+′−=′ .

E quindi la relazione tra la funzione P(r) ed i tassi istantanei di mortalità ed invalidità:

[ ] [ ]β(r)α(r)P(r)

(r)I(r)MP(r)

(r)P+−=

′+′−=

′. )12(


17

Assegnate le funzioni α(r) e β(r) che supponiamo definite e continue per 0≤r≤T, la (12) è una

equazione differenziale dello stesso tipo della (1), cioè lineare ed omogenea del primo ordine, la cui

soluzione è:

[ ]∫ +−

⋅=t

0drβ(r)α(r)

eP(0)P(t) . )13(

Abbiamo quindi, al variare del tempo t, la numerosità della popolazione esposta alle due cause di

eliminazione, morte ed invalidità, in funzione dei corrispondenti tassi istantanei.

Se le funzioni α(r) e β(r) sono definite in [0, T] e ivi continue solo a tratti valgono le

considerazioni già svolte per il caso di una sola causa di eliminazione.

Analogamente al caso in cui si abbia una sola causa di eliminazione possiamo definire la probabilità

di sopravvivenza alle due cause di eliminazione morte ed invalidità tra l’istante 0 e l’istante t:

[ ]∫ +−

=

t

0drβ(r)α(r)

im, et)(0,p ,

cioè la probabilità che un individuo presente nella popolazione all’istante 0 , sopravvivendo alle due

cause di eliminazione, sia ancora presente nella popolazione all’istante t .


18

Più in generale, dati due istanti u e v , con vu0 ≤≤ , dalla (13) segue:

[ ] ( ) ( )

∫ ∫ +++−∫ +−

⋅=⋅=u

0

v

udrβ(r)α(r)drβ(r)α(r)

v

0drβ(r)α(r)

eP(0)eP(0)P(v)

cioè:

( )∫ +−⋅=

v

udrβ(r)α(r)

eP(u)P(v) . (14)

Possiamo quindi definire la probabilità:

[ ]∫ +−=

v

udrβ(r)α(r)

im, ev)(u,p (15)

che un individuo presente nella popolazione all’istante u , sopravvivendo alle due cause di

eliminazione morte ed invalidità, sia ancora presente nella popolazione all’istante v .


19

Per la probabilità di non eliminazione )v,u(p i,m , dalla (15) segue, per le note proprietà

dell’integrale e della funzione esponenziale, che:

[ ]v)(u,pv)(u,peeev)(u,p im

v

uβ(r)dr

v

uα(r)dr

v

udrβ(r)α(r)

im, ⋅=⋅==∫−∫−∫ +−

con

∫−

∫−

=

=

v

uβ(r)dr

i

v

uα(r)dr

m

ev)(u,p

ev)(u,p

dove )v,u(pm rappresenta la probabilità assoluta di non eliminazione dalla collettività per morte

nell’intervallo [ ]v,u , cioè la probabilità di non eliminazione per la causa morte in presenza di

questa sola causa di eliminazione nella collettività e )v,u(pi rappresenta la probabilità assoluta di

non eliminazione dalla collettività per la causa invalidità nell’intervallo [ ]v,u .

La relazione

)v,u(p)v,u(p)v,u(p imi,m ⋅=

è nota come secondo teorema di Karup.


20

Dalla )13( , indicata con s al posto di t la variabile temporale e derivando, si ottiene la relazione:

( )[ ]β(s)α(s)eP(0)(s)P

s

0drβ(r)α(r)

+⋅⋅−=′∫ +−

.

Integrando quest’ultima relazione tra u e v, con 0 ≤ u ≤ v, si ottiene:

( )[ ]dsβ(s)α(s)eP(0)(s)dsP

v v

u u

s

0drβ(r)α(r)

+⋅⋅−=′∫ ∫∫ +−

e quindi:

[ ] [ ][ ]dsβ(s)α(s)eP(0)P(v)P(u)

v

u

u

0

s

udrβ(r)α(r)drβ(r)α(r)

+⋅⋅=− ∫∫ ∫ +−+−

,

da cui:

[ ][ ]dsβ(s)α(s)eP(u)P(v)P(u)

v s

udrβ(r)α(r)

u

+⋅⋅=− ∫∫ +−

. (16)


21

La (16) fornisce dunque il numero di individui che sono stati eliminati dalla popolazione per morte

o per invalidità nell’intervallo [ ]v,u .

Dalla (16) si ottiene:

[ ][ ]dsβ(s)α(s)e

P(u)P(v)P(u) v

u

s

udrβ(r)α(r)

+⋅=−

∫∫ +−

(17)

espressione che fornisce il rapporto tra il numero di individui che sono stati eliminati nell’intervallo

[ ]v,u per una delle due cause, morte o invalidità, e la popolazione al tempo u. Espressione che

possiamo interpretare come la probabilità che un individuo presente nella popolazione al tempo u

ne sia stato eliminato, per una delle due predette cause, entro il tempo v .

Possiamo cioè definire:

[ ][ ]dsβ(s)α(s)ev)(u,q

v

u

s

udrβ(r)α(r)

im, +⋅= ∫∫ +−

. (18)


22

Tenendo presente che per l’equazione di evoluzione della popolazione risulta:

[ ] [ ])u(I)v(I)u(M)v(M)v(P)u(P −+−=− ,

dalla relazione (16) segue, per la proprietà di linearità dell’integrale:

[ ] [ ][ ] [ ]

β(s)ds;eP(u)α(s)dseP(u)

I(u)I(v)M(u)M(v)P(v)P(u)vv

u

s

udrβ(r)α(r)

u

s

udrβ(r)α(r)

⋅⋅+⋅⋅=

=−+−=−

∫∫∫ +−∫ +−

e quindi possiamo distinguere gli eliminati dalla popolazione in base alla causa di eliminazione,

morte o invalidità. Si ha infatti:

[ ]α(s)dseP(u)M(u)M(v)

v

u

s

udrβ(r)α(r)⋅⋅=− ∫

∫ +−

(19a)

[ ]β(s)dseP(u)I(u)I(v)

v

u

s

udrβ(r)α(r)⋅⋅=− ∫

∫ +−

, (19b)

da cui ricaviamo sia la quota di popolazione rispetto a quella presente all’istante u, che è stata

eliminata entro l’istante v per morte, sia la quota di popolazione rispetto a quella presente all’istante

u, che è stata eliminata entro l’istante v per invalidità, cioè:

[ ]α(s)dse

P(u)M(u)M(v) v

u

s

udrβ(r)α(r)⋅=

−∫

∫ +−

(20a)

[ ] β(s)dse

P(u)I(u)I(v) v

u

s

udrβ(r)α(r)⋅=

−∫

∫ +−

. (20b)


23

La (20a) ci fornisce la quota della popolazione presente al tempo u che è stata eliminata per morte,

in presenza anche dell’azione dell’altra causa di eliminazione, l’invalidità, nell’intervallo temporale

[ ]vu, .

Si osservi che nella (19a), dalla quale deduciamo la (20a), il prodotto:

[ ]∫ +−⋅

s

udrβ(r)α(r)

eP(u)

rappresenta, per la (14), la popolazione residua rispetto a quella presente all’istante u ovvero non

eliminata per alcuna delle due cause dall’istante u sino all’istante s, popolazione sulla quale agisce il

tasso istantaneo di eliminazione per morte α(s) .

Possiamo quindi considerare l’espressione fornita dalla (20a) come la probabilità che un individuo

presente nella popolazione al tempo u sia eliminato per morte entro il tempo v in presenza anche

dell’altra causa di eliminazione: l’invalidità. Poniamo quindi:

[ ]α(s)dsev)(u,q

v

u

s

udrβ(r)α(r)

im ⋅= ∫

∫ +−

(21)

e definiamo )v,u(qim come la probabilità relativa (dipendente o parziale) di eliminazione per

morte nell’intervallo [ ]v,u in quanto nella sua determinazione si è tenuto anche conto della

presenza dell’altra causa di eliminazione: l’invalidità.


24

Analogamente possiamo definire dalla (20b):

[ ]β(s)dsev)(u,q

v

u

s

udrβ(r)α(r)

mi ⋅= ∫

∫ +−

(22)

come la probabilità relativa di eliminazione per invalidità nell’intervallo [ ]v,u in quanto nella sua

determinazione si tiene conto che sulla popolazione agisce anche la causa di eliminazione per

morte.

Dalla (18), (21) e (22) segue, per la proprietà di linearità dell’integrale, la relazione:

)v,u(q)v,u(q)v,u(q mi

imi,m +=

che indica la proprietà additiva delle probabilità relative di eliminazione, nota come primo

teorema di Karup.


25

I.III) POPOLAZIONE SOGGETTA A DUE CAUSE DI ELIMINAZIONE E IN PRESENZA DI

TASSI ISTANTANEI COSTANTI

Consideriamo ora il caso di una popolazione su cui agiscono due cause indipendenti di

eliminazione, morte ed invalidità, con tassi istantanei di eliminazione costanti α e β . Calcoliamo,

in tale situazione, le probabilità relative di eliminazione nell’intervallo temporale [ ]v,u . Risulta:

( ) ( )( )

( )( ) ( )( )( ).e1βα

αeβα

α

αdseαdsev)(u,q

βαuvβαus

u

βαus

u

s

udrβα

im

v

u

vv

+−−+−−

+−−∫ +−

−⋅+

=

⋅

+−=

=⋅=⋅= ∫∫

Analogamente risulta:

( )( )( )βαuve1βα

βv)(u,qmi

+−−−⋅+

=

Si osservi che:

( )( )βαuvim,

mi

im e1v)(u,qv)(u,qv)(u,q +−−−==+ .


26

Dalla (21) e dalla (22), tenuto conto della (20a) e della (20b), seguono le relazioni:

( )( )( )

( )( )( ) .P(u)

I(u)I(v)e1βα

β

P(u)M(u)M(v)e1

βαα

βαuv

βαuv

−=−⋅

+

−=−⋅

+

+−−

+−−

(*)

Dalle (*) sommando membro a membro segue la relazione:

( )

P(u)P(v)P(u)e1 βαu)(v −

=− +−− (**)

da cui:

P(u)P(v)logβ)u)(α(v

P(u)P(v)e β)u)(α(v

=+−−

=+−−

e quindi:

P(u)P(v)log

uv1β)(α ⋅−

−=+ . (***)


27

Dalla prima delle (*), tenuto conto di (**), segue:

P(u)M(u)M(v)

P(u)P(v)P(u)

βαα)e(1

βαα β)u)(α(v −

=−

⋅+

=−⋅+

+−−.

Dalla seconda uguaglianza, tenendo conto di (***), segue, per il tasso istantaneo di mortalità,

l’espressione:

P(u)P(v)log

uv1

P(v)P(u)M(u)M(v)β)(α

P(v)P(u)M(u)M(v)α ⋅

−⋅

−−

−=+⋅−−

=

ed analogamente si ottiene l’espressione per il tasso istantaneo di invalidità β, cioè

P(u)P(v)log

uv1

P(v)P(u)I(u)I(v)β ⋅

−⋅

−−

−= .

Queste relazioni, nell’ipotesi che sulla popolazione agiscano le due cause di eliminazione, morte ed

invalidità, con tassi di eliminazione costanti, esprimono tali tassi in funzione del numero degli

individui che sono morti o diventati invalidi nell’intervallo temporale [u, v] e della numerosità della

popolazione agli estremi di tale intervallo.


28

II) RELAZIONE TRA PROBABILITA’ ASSOLUTE E RELATIVE DI ELIMINAZIONE

Consideriamo una popolazione la cui numerosità sia espressa dalla funzione P(t). Supponiamo che

su tale popolazione agisca solo la causa di eliminazione per morte con tasso istantaneo di

eliminazione fornito dalla funzione α(t) .

Nell’intervallo di tempo [ ]v,u risulta che il numero degli eliminati per morte si ottiene

moltiplicando P(u) per la probabilità assoluta di eliminazione per morte, ossia P(u) )v,u(q m⋅ .

Se su tale popolazione supponiamo che agisca anche la causa di eliminazione per invalidità, in tal

caso il numero degli eliminati per morte si ottiene moltiplicando P(u) per la probabilità relativa

(relativa all’altra causa di eliminazione invalidità) di eliminazione per morte e risulta pari a:

)v,u(q)u(P im⋅ .

La relazione che intercorre tra il numero degli eliminati per morte nei due casi in oggetto è la

seguente:

∫ ⋅⋅+⋅=⋅v

um

imm v)ds(s,qβ(s)P(s)v)(u,qP(u)v)(u,qP(u) (23)

ovvero:

∫ ⋅⋅+=v

umim,

imm v)ds(s,qβ(s)s)(u,pv)(u,qv)(u,q . (23′)


29

La (23) risulta interpretabile nel seguente modo: consideriamo il numero degli eliminati per morte

nell’ipotesi che agisca solo tale causa di eliminazione. Tale numero, nell’ipotesi che sulla

popolazione agisca anche la causa di eliminazione per invalidità, è ottenibile dalla somma di due

addendi. Il primo )v,u(q)u(P im⋅ è dato dal numero degli eliminati per morte in presenza anche

della causa di eliminazione per invalidità ed è pari, per quanto già visto, al prodotto della

numerosità della popolazione al tempo u, P(u), per la probabilità relativa di eliminazione per morte.

Per capire il senso della (23) è opportuno osservare che l’integrale ∫ ⋅⋅v

um v)ds(s,qβ(s)P(s) può

essere approssimato tanto quanto si vuole al crescere di n (n ∞→ ), nell’ipotesi di continuità, anche

solo a tratti, della funzione integranda, dalla seguente sommatoria:

( ) ( ) ( )n

uvv,uvnkuquv

nkuβuv

nkuP m

1

0k

n −⋅

−+⋅

−+⋅

−+∑

−

=

.

Si osservi altresì che n è il numero di sottointervalli di uguale ampiezza n

uv − , individuati dai punti

( )uvuku −+ , k=0,1, ..., n, in cui suddividiamo l’intervallo [ ]v,u .


30

Ciascun addendo della sommatoria che approssima l’integrale è individuato da un particolare valore

di k ed è il prodotto di quattro fattori, dei quali possiamo raggrupparne tre:

( ) ( )n

uvuvnkuβuv

nkuP −

⋅

−+⋅

−+ ;

questo prodotto fornisce una approssimazione del “pacchetto” di individui che vengono eliminati

dalla popolazione per invalidità nell’intervallo temporale di ampiezza n

uv − , successivo all’istante

)uv(nku −+ . Moltiplicando tale prodotto per ( )

−+ v,uv

nkuq m , probabilità assoluta di

eliminazione per morte nell’intervallo

−+ v),uv(

nku , otteniamo il numero degli individui di tale

“pacchetto” che sarebbero usciti per morte nell’intervallo di tempo considerato se non fossero usciti

per invalidità.

Deduciamo ora formalmente la (23).

Dalla (12), segue:

β(s)P(s)α(s)P(s)(s)P ⋅−=⋅+′

e quindi moltiplicando per )sv,(qm e sommando e sottraendo α(s)P(s) ⋅ , si ottiene:

( ) s)(v,qβ(s)P(s)α(s)P(s)α(s)P(s)s)(v,qα(s)P(s)(s)P mm ⋅⋅−=⋅+⋅−⋅⋅+′ .


31

Si osservi che risulta:

( ) s)(v,qP(s)dsdα(s)P(s)s)(v,qα(s)P(s)(s)P mm ⋅=⋅−⋅⋅+′

Infatti se si tiene presente che:

∫−−=

s

vα(r)dr

m e1s)(v,q

e quindi che:

α(s)s)(v,qα(s)α(s)α(s)α(s)eα(s)es)(v,qdsd

m

s

vα(r)dr

s

vα(r)dr

m −⋅=−+⋅−=⋅−=∫−∫−

si ottiene:

( )

[ ]. α(s)s)(v,qα(s)P(s)s)(v,q(s)P

s)(v,qdsdP(s)s)(v,q(s)Ps)(v,qP(s)

dsd

mm

mmm

−⋅⋅+⋅′=

=⋅+⋅′=⋅


32

Risulta pertanto:

( ) s)(v,qβ(s)P(s)α(s)P(s)s)(v,qP(s)dsd

mm ⋅⋅−=⋅+⋅ .

Se integriamo tale relazione rispetto ad s tra gli istanti u e v si ottiene:

( )∫ ∫∫ ⋅⋅−=⋅+⋅v vv

u um

um s)ds(v,qβ(s)P(s)α(s)dsP(s)dss)(v,qP(s)

dsd

e quindi dalla (21) e dalla (14):

∫ ⋅⋅−=⋅+⋅−⋅v

um

immm s)ds(v,qβ(s)P(s)v)(u,qP(u)v)(u,qP(u)v)(v,qP(v)

da cui la (23):

∫ ⋅⋅+⋅=⋅v

us)ds(v,qβ(s)P(s)v)(u,qP(u)v)(u,qP(u) m

imm (23)

Analoga relazione vale, ovviamente, tra la probabilità assoluta e relativa di invalidità:

∫ ⋅⋅+⋅=⋅v

ui

mii s)ds(v,qα(s)P(s)v)(u,qP(u)v)(u,qP(u) . (24)

Relazione quest’ultima che ha valore formale.


33

III) PROBABILITA’ DI ELIMINAZIONE PER COLLETTIVITA’ APERTE

Consideriamo una popolazione soggetta oltre alle due cause di eliminazione già considerate, morte

ed invalidità, ad una ulteriore causa di eliminazione che raggruppa tutte le altre possibili cause di

eliminazione differenti da quelle considerate.

Consideriamo pertanto le tre funzioni α(r), β(r), γ(r) , non negative, che forniscono i relativi tassi

istantanei al variare del tempo r, r∈[0, T].

Supponiamo inoltre che in tale popolazione possano entrare “nuovi” individui. Equipariamo tale

possibilità ad una causa di eliminazione a tasso istantaneo negativo (r)ν− , 0(r) ≥ν . Si parla in tal

caso di collettività aperta.

L’equazione di evoluzione di tale popolazione è dunque:

[ ] )r(N)r(W)r(I)r(M)0(P)r(P +++−= 0 ≤ r ≤ T con M(0)=I(0)=W(0)=N(0)=0

dove W(r) e N(r) rappresentano rispettivamente il numero di individui eliminati dalla popolazione

per cause diverse da mortalità ed invalidità e quello degli individui entrati a far parte della

popolazione tra gli istanti 0 ed r.

Derivando e dividendo per P(r):

)r(P)r(N

)r(P)r(W

)r(P)r(I

)r(P)r(M

)r(P)r(P ′

+′

−′

−′

−=′

cioè:

(r)γ(r)β(r)α(r)P(r)

(r)P ν+−−−=′

. (25)


34

Supposto che le funzioni α(r), ,β(r) γ(r) e (r)ν siano definite e continue in [0, T], la precedente

relazione è una equazione differenziale lineare omogenea del primo ordine, la cui soluzione è:

[ ]∫ ν−++−

⋅=t

0dr(r)γ(r)β(r)α(r)

eP(0)P(t) . (26)

Possiamo anche scrivere la funzione P(t) utilizzando le probabilità assolute di sopravvivenza, cioè:

∫⋅⋅⋅⋅=

t

0(r)dr

et)(0,pt)(0,pt)(0,pP(0)P(t) wim

ν

.

Dati due istanti u e v, con 0≤u≤v, risulta:

[ ]∫ −++−⋅=

v

udr(r)γ(r)β(r)α(r)

eP(u)P(v)ν

(27)

da cui:

∫⋅⋅=

v

u(r)dr

ev)(u,pP(u)P(v) wm,i,ν

.

v)(u,p wi,m, è la probabilità di sopravvivenza alle tre cause di eliminazione tra gli istanti u e v. Si

osservi che tale probabilità è pari al prodotto delle probabilità assolute di eliminazione relative allo

stesso intervallo temporale, cioè:

v)(u,pv)(u,pv)(u,pv)(u,p wimwi,m, ⋅⋅= .


35

Possiamo altresì scrivere:

[ ]∫ −++⋅−=v

u

ds(s)γ(s)β(s)α(s)P(s)P(u)P(v) ν (28)

da cui, ricavando P(s) dalla (27), risulta:

[ ][ ]ds(s)γ(s)β(s)α(s)eP(u)P(u)P(v)

v

u

s

udr(r)γ(r)β(r)α(r)

νν

−++⋅⋅−= ∫∫ −++−

. (29)

Quindi per la linearità dell’integrale e tenuto conto dell’equazione di evoluzione della popolazione,

[ ] [ ] [ ] [ ])u(N)v(N)u(W)v(W)u(I)v(I)u(M)v(M)v(P)u(P −−−+−+−=− , si ottiene:

[ ]α(s)dseP(u)M(u)M(v)

v

u

s

udr(r)γ(r)β(r)α(r)⋅⋅=− ∫

∫ −++− ν

(29.1)

[ ]β(s)dseP(u)I(u)I(v)

v

u

s


∫ −++− ν

(29.2)

[ ]γ(s)dseP(u)W(u)W(v)

v

u

drs

u(r)γ(r)β(r)α(r)

⋅⋅=− ∫∫ −++− ν

(29.3)

[ ]ν(s)ds.eP(u)N(u)N(v)

v

u

s


∫ −++− ν

(29.4)

Le prime tre relazioni forniscono il numero di individui eliminati dalla popolazione nell’intervallo

temporale [u, v] per le cause di morte, invalidità, o di altro tipo e l’ultima il numero dei nuovi

entrati nella popolazione nello stesso intervallo.


36

III.I) PROBABILITA’ DI ELIMINAZIONE PER COLLETTIVITA’ APERTE IN PRESENZA DI

TASSI ISTANTANEI COSTANTI

Supponiamo costanti nell’intervallo temporale [ ]v,u le funzioni che definiscono i tassi istantanei,

α,α(r) = β,β(r) = γγ(r) = , .(r) νν =

Consideriamo dapprima il caso 0γβα ≠−++ ν (in cui risulta quindi P(u)≠P(v)).

In tale caso dalle (29.1)-(29.4) risulta che:

[ ]

[ ]

[ ]

[ ])γβu)(α(v

)γβu)(α(v

)γβu)(α(v

γβu)(α(v

e1γβα

νP(u)

N(u)N(v)

e1γβα

γP(u)

W(u)W(v)

e1γβα

βP(u)

I(u)I(v)

e1γβα

αP(u)

M(u)M(v) )

ν

ν

ν

ν

ν

ν

ν

ν

−++−

−++−−

−++−

−++−

−

−

−

−⋅−++

=−

−⋅−++

=−

−⋅−++

=−

−⋅−++

=−

(30)

Sommando le prime tre uguaglianze del sistema (30) membro a membro e sottraendo l’ultima si

ottiene:

)γβu)(α(ve1P(u)

P(v)P(u) ν−++−−−=−

. (◊)


37

Da cui si ricava per la somma delle intensità istantanee l’espressione:

P(u)P(v)log

uv1γβα ⋅−

−=−++ ν . (◊◊)

Dalle relazioni (30), utilizzando (◊) e (◊◊), possiamo ricavare i quattro tassi istantanei α, β, γ e ν:

⋅

−−⋅

−−

=P(u)P(v)log

uv1

P(v)P(u)M(u)M(v)α

⋅

−−⋅

−−

=P(u)P(v)log

uv1

P(v)P(u)I(u)I(v)β

(31)

⋅

−−⋅

−−

=P(u)P(v)log

uv1

P(v)P(u)W(u)W(v)γ

⋅

−−⋅

−−

=P(u)P(v)log

uv1

P(v)P(u)N(u)N(v)ν


38

Sempre nell’ipotesi di tassi istantanei costanti, nel caso in cui però si ha 0γβα =−++ ν e risulta

quindi P(v)=P(u), il valore di tali tassi si ottiene direttamente dalle (29.1) - (29.4) ed è pari a:

uv1

P(u)M(u)M(v)α

−⋅

−=

uv1

P(u)I(u)I(v)β

−⋅

−=

(32)

uv1

P(u)W(u)W(v)γ

−⋅

−=

uv1

P(u)N(u)N(v)

−⋅

−=ν


39

Esempio n. 5

Consideriamo una collettività aperta. Nell’intervallo temporale [u, v], con v−u=1 anno, supponiamo

che abbiano agito tre cause di eliminazione, ed una di ingresso, con i seguenti tassi istantanei annui

costanti:

α=0,3%; β=0,2%; γ=0,1%; ν =0,2%.

Supponiamo inoltre che risulti:

P(u)=100.000.

In base alle relazioni (30) (si osservi che 0γβα ≠−++ ν ) il numero degli eliminati per singola causa

e degli “ingressi” nell’intervallo temporale [u, v] è pari a:

( )( )[ ]

( )( )[ ]

( )( )[ ]

( )( )[ ] 199,60e1γβα

P(u)N(u)N(v)

99,80e1γβα

γP(u)W(u)W(v)

199,60e1γβαβP(u)I(u)I(v)

299,40e1γβα

αP(u)M(u)M(v)

γβαuv

γβαuv

γβαuv

γβαuv

=−⋅−++

⋅=−

=−⋅−++

⋅=−

=−⋅ν−++

⋅=−

=−⋅−++

⋅=−

−++−−

−++−

−++−

−++−

−

−

−

ν

ν

ν

ν

νν

ν

ν

ν

ed inoltre al tempo v, cioè dopo un anno a partire dal tempo u, la popolazione P(v) è pari a:

[ ] [ ] [ ] [ ] 99.600,8399,2100.000N(u)N(v)W(u)W(v)I(u)I(v)M(u)M(v)P(u)P(v) ≅−=−+−−−−−−=


40

Esempio n. 6

Sia data una collettività aperta di individui esposta alle cause di eliminazione per morte, invalidità e

“varie”.

Supponiamo siano stati rilevati i seguenti “movimenti” nell’intervallo temporale [u, v] con v-u=2 anni.

50.N(u)N(v)

40W(u)W(v)

30I(u)I(v)

20M(u)M(v)

960P(v)

1.000P(u)

=−

=−

=−

=−

=

=

Supposti costanti i tassi istantanei annui di eliminazione α, β, γ, ed il tasso istantaneo annuo di

ingresso ν, si calcolino tali tassi in base ai dati rilevati. Per la (31) (si osservi che )v(P)u(P ≠ )

risulta:

α= 0102,0000.1

960log21

4020

=

−⋅

β= 0153,0000.1

960log21

4030

=

−⋅

γ= 0204,0000.1

960log21

4040

=

−⋅

ν = 0255,0000.1

960log21

4050

=

−⋅ .


41

Le precedenti formule (31) e (32) consentono di stimare, a partire dall’analisi di una “popolazione

storica”, i tassi istantanei di eliminazione e il tasso istantaneo di entrata nell’ipotesi che,

nell’intervallo temporale in considerazione, tali tassi risultino costanti. I tassi così stimati si possono

utilizzare per l’analisi previsionale di una popolazione similare.

Supponiamo quindi di avere a disposizione una popolazione storica.

Tracciamo in un sistema di riferimento cartesiano ortogonale monometrico, le “storie” o traiettorie

dei singoli individui della popolazione.

In tale sistema di riferimento riportiamo in ascissa il tempo “assoluto” o di calendario riferito al

Periodo di Osservazione, P.O., ed in ordinate l’età degli individui (vedi “Figura 1”).

La storia di ogni individuo della popolazione è rappresentata quindi da un segmento, inclinato di

45°, il cui punto iniziale ha coordinate che corrispondono al tempo (di calendario) di entrata e

all’età di entrata dell’individuo nella popolazione storica ed il cui punto terminale ha coordinate che

corrispondono al tempo e all’età di uscita dell’individuo dalla “popolazione storica”.

Si osservi che parliamo di punto iniziale e di punto terminale del segmento in quanto lo

consideriamo orientato secondo il verso di crescita delle coordinate dei punti (tempo di calendario,

età dell’individuo).

Definiamo come “pareti temporali” le rette perpendicolari all’asse temporale negli istanti IT e FT ,

istanti che delimitano il periodo o finestra di osservazione.

Consideriamo come traiettorie entranti nel P.O. quelle relative a segmenti che “entrano” nella

finestra di osservazione in corrispondenza della “parete temporale” IT (tagliano cioè la relativa retta

perpendicolare nell’istante IT ) e come traiettorie uscenti dal P.O. quelle relative a segmenti che

“escono” dalla finestra di osservazione in corrispondenza della “parete temporale” FT (tagliano

cioè la relativa retta perpendicolare all’asse temporale nell’istante FT ).


42

Con riferimento alla Figura 1 il segmento r corrisponde ad un individuo che “entra” nella

popolazione storica al tempo 1T con una età di poco inferiore a 34 anni e ne esce ad un tempo

compreso tra 5T e 6T con una età di poco inferiore a 39 anni per una delle possibili cause di

eliminazione.

Il segmento s corrisponde ad un individuo che “entra” nel P.O. con una età di poco superiore ai 35

anni, mentre il segmento t corrisponde ad un individuo che esce dal P.O. con una età compresa tra

36 e 37 anni.

Definiamo come “piani temporali” le rette orizzontali corrispondenti a valori interi dell’età degli

individui.

Applichiamo il principio delle “pareti e dei piani temporali sottili”. Supponiamo cioè che una

traiettoria non possa avere né punto iniziale né punto finale in corrispondenza delle “pareti

temporali” o dei “piani temporali” o “attraversamenti” in corrispondenza delle intersezioni tra pareti

e piani.

Studiamo la numerosità della popolazione ottenuta dalla popolazione storica “schiacciando” l’asse

temporale: indichiamo cioè con )u(P∗ , dove u è l’età dell’individuo, il numero di individui della

popolazione storica che nel P.O. hanno raggiunto l’età u. Da un punto di vista grafico si tratta di

“contare” tutte le traiettorie che intercettano la quota di età u durante il Periodo di Osservazione.

Possiamo quindi studiare la numerosità )u(P∗ di individui al variare della variabile temporale età

u, che è la variabile in funzione della quale verranno valutati i successivi tassi istantanei di entrata e

di uscita per le varie cause. In effetti è come se avessimo creato una popolazione fittizia di individui

coetanei, “contata” da )u(P∗ , per i quali quindi l’evolversi del tempo coincide con l’evolversi della

età uguale per tutti.


43

Si osservi che alle naturali cause di ingresso e di uscita (morte, invalidità, altre) dalla popolazione

storica, per la popolazione "contata" da )u(P∗ , sono altresì da aggiungere la causa di ingresso

relativa alle traiettorie entranti nel P.O. e la causa di uscita relativa alle traiettorie uscenti dal P.O.

Studiamo quindi al variare della variabile temporale età la numerosità della popolazione “contata”

da )u(P∗ considerando in aggiunta alle naturali cause di ingresso e di uscita dalla popolazione

queste altre due cause fittizie.

49

Figura 1

Età u

39 38 r 37 s

36

t P*(35) = 3 35 34 T = tempo T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 TI TF


50

Indichiamo con ,mu ,ui uw , un , rispettivamente il numero di eliminati per morte, invalidità ed

altre cause e gli ingressi nell'intervallo temporale di età (u, u+1), con u età intera. Vale la seguente

relazione (per valori interi dell'età u):

uuuuuu esn)wi(m(u)P1)(uP −++++−=+ ∗∗,

dove con us ed ue si indicano rispettivamente gli ingressi e le uscite dal P.O., cioè gli individui che

rispettivamente all’inizio ed alla fine del Periodo di Osservazione hanno età nella classe u, cioè

compresa tra u e u+1.

Per ricorsività si ha inoltre:

( ) ( )∑∑−

=

−

=

∗∗ +++−++=1u

axxxxx

1u

axxx ewimsn)(P)u(P a

essendo a la "soglia" di età assunta come iniziale per gli individui della popolazione storica.

Se supponiamo che, nell’intervallo di età (u, u+1), tutte le cause di ingresso e di uscita dalla

popolazione contata da )u(P∗ agiscono con intensità costante, comprese le due di ingresso e di

uscita dal P.O., allora possiamo applicare a tale popolazione le formule (31) o (32).


51

I) Se )u(P)1u(P ∗∗ ≠+ , si ha per i tassi istantanei:

(u)P1)(uPlog

1)(uP(u)Ps

σ

(u)P1)(uPlog

1)(uP(u)Pn

(u)P1)(uPlog

1)(uP(u)Pe

ε

(u)P1)(uPlog

1)(uP(u)Pw

γ

(u)P1)(uPlog

1)(uP(u)Pi

β

(u)P1)(uPlog

1)(uP(u)Pm

α

uu

uu

uu

uu

uu

uu

∗

∗

∗∗

∗

∗

∗∗

∗

∗

∗∗

∗

∗

∗∗

∗

∗

∗∗

∗

∗

∗∗

+⋅

+−−=

+⋅

+−−=

+⋅

+−−=

+⋅

+−−=

+⋅

+−−=

+⋅

+−−=

ν

dove uε e uσ indicano i tassi istantanei rispettivamente di ingresso e di uscita dal Periodo di

Osservazione.


52

II) Se ),u(P)1u(P ∗∗ =+ si ha per i tassi istantanei:

(u)Ps

σ

(u)Pn

(u)Pe

ε

(u)Pw

γ

(u)Pi

β

(u)Pm

α

uu

uu

uu

uu

uu

uu

∗

∗

∗

∗

∗

∗

=

=

=

=

=

=

ν

.


53

Esempio

Consideriamo una “popolazione storica” per la quale in un Periodo di Osservazione siano stati

accertati i valori di ,mu ui , uw , ue , un ed us forniti, al variare di u, dalla seguente matrice:

u 18 19 20 21 22 23 24

um 10 11 12 12 ….. ….. …..

ui 5 4 3 3 ….. ….. …..

uw 2 1 1 0 ….. ….. …..

ue 5 6 4 5 ….. ….. …..

un 11 12 12 9 ….. ….. …..

us 10 9 10 11 ….. ….. …..

S(u) -1 -1 +2 0 ….. ….. …..

)u(P∗ 1000 999 998 1000 ….. ….. …..

)1u(P +∗ 999 998 1000 1000 ….. ….. …..

( ) )u(P1uP)u(S ∗∗ −+=


54

Supposto che in ciascuna classe di età le cause di “ingresso” e di “uscita” agiscano con intensità

costante si hanno, per ciascuna classe di età, i seguenti tassi istantanei corrispondenti alle singole

cause di “entrata” e di “uscita” dalla popolazione:

18 19 20 21 22 23

uα 1% 1,1% 1,2% 1,2% ….. …..

uβ 0,5% 0,4% 0,3% 0,3% ….. …..

uγ 0,2% 0,1% 0,1% 0,0% ….. …..

uε 0,5% 0,6% 0,4% 0,5% ….. …..

uν 1,1% 1,2% 1,2% 0,9% ….. …..

uσ 1,0% 0,9% 1% 1,1% ….. …..


55

TAVOLE DI MORTALITA’ SULLA POPOLAZIONE ITALIANA PRODOTTE DALL’ISTAT.

Facendo riferimento a quanto precedentemente detto si considera un Periodo di Osservazione di un

anno, l’anno t. Indichiamo con )u(P*t gli individui della popolazione italiana che hanno raggiunto

l’età u nel corso dell’anno t (dal 1° gennaio al 31 dicembre), con )t(um gli individui morti nel corso

dell’anno t e con )t(ue gli individui che al 1° gennaio dell’anno t hanno età compresa nella classe u.

Il tasso grezzo di mortalità è fornito dal rapporto:

( ))u(Pe21

m

t)t(

u

u)t(u

∗+⋅=Π

Tale tasso si ottiene come rapporto tra il numero di decessi di individui di classe di età u, cioè età

compresa nell’intervallo (u,u+1), verificatisi nell’anno t ed il numero di individui esposti al rischio

di eliminazione per morte.

Vediamo come si determina il “denominatore” del rapporto cioè il numero di individui esposti al

rischio di eliminazione per morte.

Si suppone l’equidistribuzione nell’anno t degli “ingressi” nella classe di età u e l’equidistribuzione

degli individui nella classe di età u al 1° gennaio dell’anno t.

In tale caso ciascuno degli individui esposti al rischio di eliminazione per morte, sia se “entra” nella

classe di età u nel corso dell’anno t e quindi viene “contata” da )u(P*t , sia se appartiene alla classe

u all’inizio dell’anno t, e quindi viene contata da )t(ue , permane mediamente esposto al rischio di

eliminazione per morte per “mezzo anno”.

Infatti il tempo medio di esposizione al rischio di morte di un individuo appartenente alla prima

categoria di individui e cioè quelli contati da )u(P*t è fornito da:

( )21

211τ

21τdττ11

1

0

1

0

2 =−=

−=−⋅∫

dove la funzione 1 è la densità costante della distribuzione di individui entranti nella classe di età u

nel corso dell’anno t e 1- τ rappresenta il tempo residuo di permanenza nella classe di età nel

Periodo di Osservazione di un individuo entrato al tempo di calendario t+ τ .


56

In termini discreti, avendo diviso l’anno in n intervalli di tempo uguali ( )1n,.....,0k,nk

−==τ ,

l’integrale è approssimato dalla seguente sommatoria:

21

n21

21

n21

211

21

n1n1

2)1n(n

n11k

n11

n1

nk11 n

1n

0k22

1n

0k →+=+−=⋅

−−=

−⋅−=−=⋅

−⋅ ∞→

−

=

−

=∑∑

Pertanto ciascun individuo è esposto al rischio di eliminazione per morte per 21 anno.

Allora anziché considerare )u(Pt∗ individui esposti al rischio di eliminazione ciascuno mediamente

per 21 anno, si considerano in modo equivalente, )u(P

21

t∗ individui esposti al rischio di

eliminazione per 1 anno.

Analogamente si ragiona sugli individui che all’inizio dell’anno t già appartengono alla classe di età

u, cioè quelli “contati” da )t(ue .

Per la classe di età 0 si considera come tasso grezzo il rapporto )0(P

m

t

)t(0

∗ .

A tali tassi grezzi di mortalità si applica una doppia perequazione. La prima perequazione è fornita

dalla formula:

( ))()1()2()( 3261 t

ut

ut

ut

uΠ+Π+Π⋅=Π −− .

Per la seconda perequazione(per le classi di età tra 5 e 86 anni) si adotta la formula:

21)(2)(3)(67 332211 +−+−+−

Π+Π⋅−Π+Π⋅+Π+Π⋅+Π⋅= uuuuuuu

uq

La prima perequazione “regolarizza” il valore del tasso rispetto alla stessa classe di età u per periodi

di osservazione “vicini” a quello in considerazione t, mentre la seconda perequazione “regolarizza”

il valore del tasso rispetto a classi di età vicine ad u.

1

Sistema pensionistico



a.a. 2012/2013



Prof. Massimo Angrisani – Matematica finanziaria – seconda parte – a.a. 2012/2013 2

Definizione

Un sistema pensionistico percepisce contributi dall’iscritto durante la fase di

attività ed eroga pensioni nella fase di quiescenza.

Si stabilisce un “patto” tra l’Ente e il singolo iscritto in relazione alla contribuzione

e alla pensione.


3

Sistema pensionisticoCiclo vitale dell’iscritto

Maturazione della pensione

Principi a tutela dell’iscritto

Attivo Pensionato

Pagamento della pensione

Tutela dei diritti acquisiti

Non modificabilità delle pensioni

t

Anno di pensionamento

Prof. Massimo Angrisani – Matematica finanziaria – seconda parte – a.a. 2012/2013


4

Tasso di sostituzione

Rappresenta il rapporto tra la prima rata annua di pensione e l’ultima retribuzione(reddito), al momento della cessazione dell’attività lavorativa.Fornisce una misura del mantenimento del tenore di vita raggiunto nell’ultima fasedella vita lavorativa, nel periodo successivo del pensionamento .Più esattamente, una misura del livello di adeguatezza delle prestazioni:

Prima rata annua di pensioneUltima retribuzione (reddito)



5

Classificazione

I sistemi pensionistici si distinguono, sulla base delle modalità di gestionefinanziaria, in sistemi a ripartizione e sistemi a capitalizzazione, ai qualipossono essere associati criteri diversi di determinazione delle prestazioni(metodo retributivo e metodo contributivo).

Modalità di gestione

finanziaria

Modalità di calcolo della

pensione



6

65Parziale Capitalizzazione

ContributiCorrenti+Accumulo risorse: Riserva differenziale

43Ripartizione

21

RetributivaContributivaGestione finanziaria

Modalità di calcolo della pensione

Accumulando risorse Capitalizzazione

Contributi correnti



7

Gestione finanziaria a ripartizione

Si tratta di una modalità di gestione basata sul pagamento delle prestazionipensionistiche correnti mediante i contributi correnti.

Gestione finanziaria a capitalizzazione

Si tratta di una modalità di gestione basata sul pagamento delle prestazionipensionistiche correnti mediante l’accumulo di risorse.



8

Metodo di calcolo retributivo

La pensione annuale è pari a una fissata percentuale (coefficiente di rendimento,in termini della retribuzione pensionabile, di un anno di contribuzione) dellaretribuzione pensionabile moltiplicata per il numero di anni di contribuzione .

La retribuzione pensionabile può essere pari a:

Ultima retribuzione:

Media delle retribuzioni degli ultimi M anni, rivalutate all’inflazione:

inflazione costante:

inflazione non costante:

con:

= retribuzione dell’anno L-j ;

= tasso d’inflazione;

= tasso d’inflazione dell’anno L-k ;

per , la produttoria è sostituita dal valore 1.



9

Metodo di calcolo contributivo

La pensione annuale è pari al prodotto del montante contributivo individuale per ilcoefficiente di trasformazione relativo all’età di pensionamento:

Il montante contributivo individuale, data l’aliquota contributiva costante α, siottiene rivalutando i contributi versati nel regime della capitalizzazione composta:

tasso di rivalutazione costante:

tasso di rivalutazione non costante:kr

rcontributi computati posticipati

contributi computati posticipati,

per , la produttoria è sostituita dal valore 1


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