RELAZIONI E FUNZIONI - unipi.it · RELAZIONI E FUNZIONI Esprimendo la legge di Hardy -Weinberg,...

RELAZIONI E FUNZIONI

Esprimendo la legge di Hardy -Weinberg, abbiamoutilizzato la lettera p per esprimere la probabilità, in sensofrequentista, dell’allele A nella popolazione. Abbiamoquindi calcolato la probabilità del genotipo AA,ottenendo p2, del genotipo Aa ottenendo 2p(1-p) ed infinedel genotipo aa ottenendo (1-p)2 . Assegnando a p unqualunque valore compreso tra 0 ed 1, siamo in grado dicalcolare le frequenze dei tre genotipi. Possiamo quindidire che le frequenze genotipiche sono espresse infunzione di p e variano al variare di p.


Una funzione (o applicazione) fra due insiemi A e B èuna legge che associa a ciascun elemento di A uno edun solo elemento di B.L’insieme A è detto dominio, l’insieme B è dettocodominio.

f: A → B

Se la funzione f associa ad a∈A l’elemento b∈Bscriveremo f(a)=b, diremo anche che b è immagine di atramite f


Come variano al variare di p le frequenze genotipiche?Nel caso del genotipo AA, f(p)?f(p) = p2

Se ad esempio p=0.6, f(0.6) = 0.36Se p=0.4, f(0.4) = 0.16

Se f(a) = b, b è univocamente determinato da a, dipendeda a.a è chiamato argomento della funzione


L’insieme degli elementi di B che sono immagine tramitef di elementi di A è l’immagine di f, e viene indicatacome f(A) (oppure con Imf).

Alcuni esempi di funzione:-La frequenza del genotipo AA in una popolazione di H-W. è una funzione che ha per dominio l’intervallo [0,1],dove varia la frequenza dell’allele A, e con codominiol’insieme dei numeri reali.


-La concentrazione di glucosio nel sangue di un pazienteè una funzione, con dominio l’intervallo di tempo in cuiviene effettuata la misura e con codominio l’insieme deinumeri reali

- La legge che associa a ciascuna persona il propriogruppo sanguigno è una funzione che ha per dominiol’insieme A di tutti gli esseri umani e per codominiol’insieme {A, B, AB, 0} dei possibili gruppi sanguigni


Esempio di una “legge” che NON è una funzione:Se con A indichiamo l’insieme di tutti gli esseri umani disesso maschile viventi e con B l’insieme di tutti gli esseriumani viventi e se scrivendo f(a) = b intendiamo dire che“a è padre di b” non stiamo esprimendo una funzione, inquanto esisterà qualche a∈A che non è padre di alcunfiglio.Anche se da A escludessimo tutti i maschi che non sonoancora padre, non potremmo avere una funzione inquanto esisterà qualche a∈A che è padre di più di unfiglio e quindi b, in generale, non è univocamentedeterminato.


f: A →B Se A1 ⊆ A, l’immagine di A1 tramite f, f(A1) ⊆ B f(A1) = {b∈B| ∃a∈ A1 f(a)=b}

Se B1 ⊆ B, definiamo l’insieme f-1 (B1) ⊆ A f-1 (B1) = {a∈A| f(a)∈ B1}immagine inversa di B1 tramite f

Per ogni funzione f, f-1 (B)=A (perché?)


Useremo frequentemente funzioni definite su insieminumerici

ATTENZIONE! Non bisogna confondere il concetto difunzione con quello di equazione f(x) = b, corrisponde alla domandaesistono elementi a del dominio di f che abbianoimmagine b?Ad esempio: esiste una frequenza dell’allele A per cui, lafrequenza del genotipo AA è 0.9? Questa domandacorrisponde a cercare soluzioni positive dell’equazione p2 = 0.9


f: A → B

Diremo che la funzione f è surgettiva se f(A) = B

In termini di equazioni, dire che f è surgettiva equivale(perché?) a dire che per ogni b∈B l’equazione f(x)=b haalmeno una soluzione


f: A → BSe ogni elemento del codominio B è immagine di al piùun elemento del dominio A, vale a dire chese per ogni a1 ≠ a2 allora anche f(a1) ≠ f(a2),diremo che f è iniettiva

In termini di equazioni, dire che f è iniettiva equivale(perché?) a dire che per ogni b∈B l’equazione f(x)=b haal massimo una soluzione

Attenzione! Non confondere i concetti di funzione e difunzione iniettiva


f: A → B

Se f è sia iniettiva che surgettiva diremo che f è bigettivao biunivoca. In tal caso per ogni b∈B esiste un unico a∈ A tale che f(a) = b, questo ci permette di definire lafunzione inversa f-1

f-1 : B → A, ponendo f-1(b) = a, dove a ∈ A èquell’unico elemento tale che f(a)=b

Le funzioni bigettive sono dette anche invertibili


In termini di equazioni, dire che una funzione èinvertibile equivale (perché?) a dire che per ogni b ∈ Bl’equazione f(x)=b ha una ed una sola soluzione

Esempio1: f: R→R così definita f(x) = 3x -1 è iniettiva?Se 3a1 -1 = 3a2 -1 allora anche a1=a2 , quindi f èiniettivaf è surgettiva?Per ogni b ∈ R si ha f((b+1)/3)=b, vale a dire chel’elemento b del codominio è immagine dell’elemento(b+1)/3 ∈ R del dominio, quindi f è surgettiva


Quindi f: R→R così definita f(x) = 3x -1 è invertibile

Si ha f-1(x) = (x+1)/3

Esempio2: f: R→R così definita f(x) = x2 + 2f è iniettiva?No, ad esempio f(1)=f(-1)=3

Se il dominio fosse R+ = [0, +∞)?In questo caso la restrizione di f al dominio R+

risulterebbe iniettiva (perché?)


Esempio2: f: R→R così definita f(x) = x2 + 2f è surgettiva?No, ad esempio x2 + 2 = 0 non ha soluzione

L’immagine di f è la semiretta [2, +∞) (perché?)La funzione f1: R→ [2, +∞) risulta surgettiva

La funzione f2: [0, +∞) → [2, +∞) dove f2 (x) = x2 + 2risulta invertibile


Attenzione! Non confondere i concetti di funzioneinversa e di immagine inversa. La funzione inversa f-1

associa ad ogni elemento del codominio di f un unicoelemento del dominio di f ed esiste solo se f è biunivoca.L’immagine inversa, invece, associa a un sottoinsiemedel codominio un sottoinsieme del dominio (per cui NONè una funzione definita sul codominio) ed esiste sempre,anche quando f non è biunivoca.


Supponiamo di avere due funzioni f: A→ B, g: B → C,dove il codominio di f coincide con il dominio di gdefiniamo una nuova funzione la funzione composta g ο f : A → C , così definitaper ogni a∈A g ο f (a) = g(f(a))

Esempio: Sia f la funzione che associa ad ogni cittadinoitaliano la propria città di residenza, sia g la funzione cheassocia ad ogni città italiana il C.A.P., g ο f è, dunque, lafunzione che associa ad ogni cittadino italiano il C.A.P.,della città dove risiede


In generale f: A→ B, g: C → D, la funzione composta g ο f : A → D, è ben definita definitaquando l’immagine di f è contenuta nel dominio di g f(A) ⊆ CEsempio: f: R → R tale che f(x) = x2 , sia g : R → R taleche g(x) = 3x - 1, essendo f(R ) = [0, +∞) ⊆ Rg ο f è ben definita, g ο f : R → R , si hag ο f(x) = g(f(x)) = 3x2 - 1


Esempio: f: R → R tale che f(x) = x2 , sia g : R → R taleche g(x) = 3x - 1, è possibile, in questo caso, definireanche f ο g f ο g : R → R , si haf ο g(x) =f(g(x)) = (3x-1)

Esempio: f: R → R tale che f(x) = x2 + 1, siag : R/{0} → R tale che g(x) =1/x, essendo f(R) =[1, +∞) ⊆ R /{0} è possibile definire g ο f: R → R g(f(x))=1/(x2 + 1)E’ possibile definire f ο g ?


Ad ogni funzione f : A → B possiamo associare unsottoinsieme del prodotto cartesiano AxB, chechiameremo grafico di f

Gf = {(a,b)∈AxB| b=f(a)} = {(a,f(a))| a ∈A} ⊆ AxB

Esempio: il grafico della funzione che associa ad ognicittadino italiano la città di residenza è l’insieme dellecoppie ordinate (i,c), dove c è la città di residenza dellapersona di cittadinanza italiana i


Attenzione! Non ogni sottoinsieme del prodottocartesiano AxB è il grafico di una funzione.

Un sottoinsieme G ⊆ AxB è grafico di una funzione f se esolo se (perché?) per ogni a∈A esiste un unico elementob ∈ B tale che (a,b) ∈G in tal caso b=f(a).


ESEMPIO: Supponiamo di indicare con S={a,b,c,d,e,f}l’insieme di alcuni neuroni indicati con le letterea,b,c,d,e,f. Un neurone può trasmettere o no un impulsodirettamente ad un altro neurone, l’impulso va in una soladirezione, indichiamo con (a,b) il fatto che il neurone atrasmette un impulso al neurone b, consideriamo ilseguente insieme

G ={(a,b),(a,d), (c,a), (b,d), (b,c), (c,d), (d,e), (c,f), (d,f),(f,e)} ⊆ SxS

Si può ritenere G grafico di una funzione f: S →S?


G ={(a,b),(a,d), (c,a), (b,d), (b,c), (c,d), (d,e), (c,f), (d,f),(f,e)} ⊆ SxSSi può ritenere G grafico di una funzione f: S →S?

La relazione fra i neuroni, descritta da G, non è unafunzione perchè ad es. il neurone a invia un impulso sia ab che a d , quindi a non è univocamente connesso.

Più in generale diremo che un sottoinsieme qualsiasiD⊆AxB rappresenta una relazione fra gli elementi di A egli elementi di B, nel senso che a∈A è in relazione con b∈ B se e solo se (a,b) ∈ D

RELAZIONI E FUNZIONI - unipi.it · RELAZIONI E FUNZIONI Esprimendo la legge di Hardy -Weinberg,...

Documents

Transcript of RELAZIONI E FUNZIONI - unipi.it · RELAZIONI E FUNZIONI Esprimendo la legge di Hardy -Weinberg,...