Relazioni di

Laboratorio di Elettronica

Prof. Alberto Pullia

Lorenzo Tosetto

A.A. 2007-2008Universita degli Studi di Milano

Indice

1 Il Diodo a giunzione p-n 21.1 Caratteristica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Applicazione:

circuiti rettificatoripassivi e alimentatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Applicazione: rivelatori di picco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4 Applicazione: circuiti di clamping e clipping . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Il Transistore Bipolare 132.1 Caratteristiche di funzionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Amplificatore a singolo transistor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3 Configurazione ad emettitore comune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4 Configurazione a collettore comune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.5 Configurazione a base comune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.6 Applicazione: generatore di corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Teorema di Miller 253.1 Enunciato e verifica sperimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2 Effetto Miller nella configurazione CE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.3 Configurazione Cascode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4 Reti a molti transistori 354.1 Amplificatore differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.2 Specchio di corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.3 Amplificatore differenziale con carico a specchio . . . . . . . . . . . . . . . . 404.4 Amplificatore operazionale a transistor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.4.1 Amplificatore non invertente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.4.2 Trigger di Schmidtt non invertente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

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Capitolo 1

Il Diodo a giunzione p-n

1.1 Caratteristica

Relazione ID − VD Il diodo a giunzionee un dispositivo a semiconduttore (tipica-mente Silicio) che, idealmente, modellizza unautointerrutore: una polarizzazione direttafornisce un cammino ad impedenza nulla at-traverso il diodo; una inversa determina unaperto circuito tra i suoi capi.Nel caso reale il funzionamento del diodo egovernato dalla nota caratteristica ID − VD:

ID = IS(eVDαVth − 1) (1.1)

dove ID e la corrente che attraversa il di-spositivo e VD la tensione ai suoi capi. Vthe detto potenziale termico, dato da KT/q ecorrispondente a circa 26 mV a temperaturaambiente (298 K), mentre α e un parametrocostruttivo del diodo, generalmente compre-so tra 0,5 e 2.Si noti che quando VD e negativo l’esponen-ziale fornisce un contributo trascurabile ri-spetto a −1 e la corrente attraverso il diodo edata principalmente da −IS (contributo deiportatori minoritari in moto di deriva causa-to dal campo elettrico). Quando invece VDe positiva e sufficientemente elevata (circa0,7V per un diodo al Silicio) si puo trascura-re il termine −1 ed approssimare l’espressio-

ne al solo esponenziale (contributo dei porta-tori maggioritari in moto diffusivo attraversola zona di giunzione). 1

Stima del parametro α Per caratteriz-zare completamente il diodo in esame e ne-cessario conoscere tutti i parametri in gioconella suddetta relazione ID − VD: il poten-ziale termico e noto una volta nota la tempe-ratura (assumiamo ragionevolmente 20 C),mentre per la corrente inversa di saturazio-ne il costruttore fornisce sul datasheet valoritipici e massimi. In seguito e esposto un me-todo per la stima del rimanente parametroα e per la verifica del corretto valore di IS .A tal fine e conveniente riscrivere la rela-zione del diodo in modo da ricavarne un’e-spressione lineare, con α come coefficienteangolare:

VD = αVth lnIDIS

1Nelle trattazioni che seguiranno di circuiti a dio-di si utilizzera genericamente un modello quasi idea-le del dispositivo, che presenta una caduta di 0,7 Vin tutto il range di tensione diretta con cui si lavora.Questa semplificazione permette di cogliere maggior-mente il comportamento della rete, trascurando glieffetti di non-linearita conseguenti allo spostamentodel punto di lavoro.

2

che puo essere riscritta come:

VD = αVth ln ID − αVth ln IS (1.2)

Per giungere a questa relazione e sta-ta fatta l’ipotesi che il diodo rimanga inpolarizzazione diretta, cosı che:

IDIS 1 (1.3)

La misura viene effettuata come mostratoin Figura 1.1, in cui un voltmetro ed unamperometro (con impedenze di ingressoda assumere, rispettivamente e con buonaapprossimazione, infinita e nulla) misuranola differenza di tensione ai capi del diodoe la corrente che lo attraversa. Il disposi-tivo e pilotato attraverso un generatore ditensione con una resistenza in serie da 1 KΩ.

Figura 1.1: Circuito utilizzato per la rilevazio-ne della caratteristica del diodo. Un voltmetromisura la tensione ai capi del diodo, mentre unamperometro in serie ne rileva la corrente.

L’equazione che governa la maglia edunque:

VA − VR − VD = 0

Assumendo per la zona diretta VD ≈ 0, 7 siottiene la retta di carico:

I = ID ≈VA − 0, 7

R

Dal momento che si vuole tracciare gran par-te della caratteristica diretta, il punto di la-voro si muovera su tale curva al variare dellatensione di alimentazione VA. In Figura 1.2e riportata una retta di carico sovrappostaalla caratteristica del diodo.

Q3

Q2

Q1

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Tensione!V"

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

Corrente!A"

Figura 1.2: Esempio di caratteristica del diodocon rette di carico in diversi punti di lavoro. Sinoti come non varia la pendenza, determinatadalla resistenza in serie al diodo. In questo casoα = 1, T = 298K e IS = 15fA

In Figura 1.3 e visualizzata l’equazione 1.1in grafico semilogaritmico. Si noti il compor-tamento lineare dopo un regime transientedi ”accensione” della giunzione pn. Al finedi ricavare il parametro α verra considera-ta proprio questa zona per eseguire il fit deidati ottenuti: e infatti questa la zona in cuie valida l’approssimazione 1.3 per ottenerel’equazione 1.1.

Una volta selezionata solo la parte linearedei dati ottenuti (mostrati nelle Figure 1.4 e1.5), si esegue un fit.

Attraverso un fit realizzato con l’ambientedi calcolo Mathematica si ottiene un valoredi α di 1, 87 ± 0, 02 ed una corrente inversadi saturazione di 4, 3± 0, 6 nA.

3

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Tensione

10!17

10!13

10!9

10!5

0.1

Corrente!Log"

Figura 1.3: Caratteristica statica del diodo ingrafico semilogaritmico

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6TensioneDiodo!V"

1

2

3

4

5

6

CorrenteDiodo!mA"

Figura 1.4: Caratteristica del diodo in esameottenuta sperimentalmente

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6DiodoTensione

10!4

0.001

0.01

0.1

1

CorrenteDiodo!mA"

Figura 1.5: Grafico semilogaritmico dei datisperimentali.

1.2 Applicazione:circuiti rettificatoripassivi e alimentatori

La tensione della rete elettrica domestica efornita in alternata a 50 Hz con un valoreefficace di 220 V; con un trasformatore sisfrutta l’accoppiamento magnetico tra dueinduttanze per abbassare tale tensione di unfattore dipendente dal rapporto tra le spiredei due avvolgimenti. Per ottenere un livel-lo di continua e necessario posporre una reteche stabilizzi il valore di tensione su quel-lo di picco della sinusoide in entrata. Unruolo fondamentale deve quindi essere svol-to dai circuiti raddrizzatori, che, a secondadella loro struttura, permettono di sfruttareper meta o per intero l’energia del segnale al-ternato producendo in uscita solo semiondepositive.

Raddrizzatore passivo a semiondaQuesto circuito e la forma piu semplicedi raddrizzatore ed e riportato nello sche-matico di Figura 1.6. Considerando, persemplicita, un diodo ideale, si nota comesolo le semionde positive vengano trasferiteimmutate all’uscita, mentre quest’ultimae cortocircuitata a massa attraverso Rdurante i cicli negativi dell’ingresso.

Togliendo al diodo il carattere ideale, e fa-cile vedere come l’uscita sia una replica del-l’entrata a meno di una caduta di circa 0,7V ai capi del diodo. In Figura 1.7 e rappre-sentato l’andamento delle forme d’onda inentrata e in uscita dal circuito 2.

2In una situazione reale le discontinuita nonsaranno cosı accentuate a causa della zona diaccensione del diodo.

4

Figura 1.6: Circuito raddrizzatore passivo asemionda.

0.01 0.02 0.03 0.04

!1.0

!0.5

0.5

1.0

Figura 1.7: Grafico di una sinusoide in entratada 50 Hz con ampiezza 1 V e relativa uscita concaduta di 0,7 V.

E’ importante che il diodo non presentiuna zona Zener nella sua caratteristica,poiche questo introdurrebbe elementi nondesiderati nella caratteristica di trasfe-rimento del circuito: il diodo potrebbeentrare in conduzione inversa durante icicli negativi dell’ingresso. A tale propositoe bene controllare anche che la massimatensione inversa con cui il diodo si trova alavorare non ecceda quella massima che e ingrado di sostenere senza rottura.Il circuito, molto semplice, ha due fortiinconvenienti: funziona correttamente soloper segnali di ingresso di almeno circa 1 Ve soprattutto non utilizza la potenza fornitadurante i cicli negativi dell’entrata, pre-sentando dunque un rendimento piuttostobasso.

Raddrizzatore passivo ad onda interaa ponte di diodi Una versione miglioratadi raddrizzatore fa uso di quattro diodidisposti in una configurazione a ponte, comemostrato in Figura 1.8.

Figura 1.8: Raddrizzatore passivo a ponte didiodi ad onda intera.

Durante i cicli positivi all’avvolgimentosecondario la corrente scorre attraverso idiodi D2 e D3 passando per la resistenza

5

RL; D3 e D4 si trovano invece in pola-rizzazione inversa. La situazione oppostasi ha durante i cicli negativi: D2 e D3

sono interdetti mentre la corrente fluisceattraverso D1, RL e D4. Elemento comuneai due casi e che la corrente attraversala resistenza sempre nello stesso verso,producendo dunque una caduta di tensionedi uguale polarita. In Figura 1.9 e mostratol’andamento teorico nell’approssimazionedi diodo a caduta costante in diretta (0,7 V).

0.01 0.02 0.03 0.04t

!10

!5

5

10

V

Figura 1.9: Grafico di una sinusoide in entratada 50 Hz con ampiezza 10 V e relativa uscita concaduta di 1.4 V.

L’efficienza e maggiore rispetto al casoprecedente, poiche entrambe le semiondevengono utilizzate, a scapito pero di unamaggiore dissipazione di potenza. Unulteriore svantaggio e la caduta di tensionedi 1,4 V sull’uscita rispetto all’entrata acausa della presenza di due diodi in ciascunodei due percorsi.

Raddrizzatore attivo a semionda Permigliorare le caratteristiche dei raddrizzatori

visti in precedenza e possibile introdurre unoperazionale, come mostrato in Figura 1.10.

Figura 1.10: Raddrizzatore attivo a semionda.

Durante le semionde positive la retroazio-ne si attiva attraverso R2 e D1, portandol’uscita a:

Vout = −R2

R1Vin

Quando invece l’entrata ha tensione negativaentra in conduzione il diodo D2, che portal’uscita a 0. La corrente non puo scorrerein R2, dato che D1 non conduce. L’uscita eallora:

Vout = V − = 0

In Figura 1.11 e mostrata una misurasperimentale dell’uscita del raddrizzatore.

Raddrizzatore attivo ad onda interaIl funzionamento di questo circuito (mo-strato in Figura 1.12) e molto semplice se siosserva che e un circuito di valore assoluto:il primo blocco e il raddrizzatore attivo asemionda visto prima, con l’unica differenzadi presentare un guadagno di -2 anziche di−R2/R1; il secondo blocco e un sommatorecon pesi eguali.

6

Figura 1.12: Raddrizzatore attivo ad onda intera.

Figura 1.11: Raddrizzatore attivo a semionda(dati sperimentali).

Rettificatore capacitivo Un primo pas-so per l’ottenimento di una tensione conti-nua a partire da una sinusoide raddrizzatae l’utilizzo di un semplice capacitore in pa-rallelo alla resistenza di carico dei preceden-ti circuiti (RL): supponendo di accendere ilgeneratore sinusoidale in ingresso (non con-sideriamo effetti di transitorio), durante ilfronte crescente della sinusoide vengono ac-cumulate cariche sulle armature del conden-satore. Nell’istante successivo al raggiungi-mento del picco, il diodo (ideale, per sem-plicita) entra in interdizione e la tensione iningresso non influenza piu l’uscita, che pre-senta una caduta esponenziale causata dallascarica della carica accumulata alle armatu-re del condensatore sulla resistenza di caricoRL. Maggiori saranno i valori di R e di C epiu lento sara il processo di scarica. Dettainfatti Vp la tensione di picco, durante il pe-riodo di interdizione del diodo l’uscita ha unandamento:

Vout = Vpe−t/RC

Dipendentemente dal tempo caratteristicoτ = RC, in un certo istante la tensione in in-

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gresso riaggancia quella ai capi del conden-satore, ripetendo cosı il processo di carica-scarica.Il livello dell’uscita dunque non e una perfet-ta continua, ma presenta dei ripple, la cui en-tita e dipendente dai parametri del circuitosecondo la relazione approssimata:

%ripple = ∆Vp/Vp =T

2RCIn questo caso si e supposto un tempo di sca-rica (ovvero un tempo in cui il diodo rima-ne spento) pari all’intero periodo dell’ondaraddrizzata, un’ipotesi ragionevole dato chela frazione di periodo in cui il diodo condu-ce e generalmente mantenuta molto piccolarispetto al periodo totale.Su resistenze dell’ordine della decina di kΩe lavorando con la tensione di rete (in en-trata al raddrizzatore) a 50 Hz, per otte-nere oscillazioni inferiori al 5% e necessariodimensionare:

C >T

2R · 0, 05=

12fR · 0, 05

=

=1

2 · 50 · 104 · 0.05= 20µF

Le capacita in gioco sono dunque piuttostoelevate, ragion per cui la scelta ricade suquelle elettrolitiche.Il circuito rettificatore puo essere visto equi-valentemente come un filtro passivo che tra-smette in uscita solo frequenze prossime allacontinua. Vedendo 1/τ = 1/RC come il po-lo della rete, la condizione τ T fa sı chele frequenze a partire da 1/T vengano suffi-cientemente smorzate. In altre parole, vie-ne dato peso unitario, nella serie di Fourierdell’onda raddrizzata, solamente alla compo-nente continua, smorzando progressivamen-te le armoniche multiple della fondamentalea 100 Hz.

Alimentatore stabilizzato Una im-portante questione legata ai sistemi dialimentazione e l’indipendenza da parametriesterni quali le tensioni di alimentazione ele variazioni nell’entita dei carichi. Spesso,nel trattare tali problemi, la scelta cir-cuitale ricade sull’utilizzo di diodi Zener,sfruttando la loro caratteristica inversa inzona di breakdown. In questa regione difunzionamento il diodo offre una resistenzadinamica molto bassa, in modo che unaumento della corrente inversa oltre il livelloZener non vari sensibilmente la caduta ditensione ai capi del diodo.Lo Zener puo essere posto in parallelo alcarico, come mostrato in Figura 1.13: sepolarizzato in una zona sufficientementeinoltrata della sua caratteristica Zener,una variazione di assorbimento di correntedel carico non da luogo ad una sensibilevariazione della tensione ai capi del diodo, equindi del carico stesso.

Figura 1.13: Semplice versione di un alimenta-tore stabilizzato attraverso un diodo Zener.

Se pero l’assorbimento di corrente da par-te del carico e ingente, il punto di lavoropotrebbe spostarsi fino ad uscire dalla zo-na stabile. E’ quindi bene deferire il com-pito di fornire potenza in uscita ad un buf-fer, che la prelevi dall’alimentazione, anzichedal diodo. Questa situazione e mostrata nel

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circuito di Figura 1.14: la tensione di usci-ta e riferita attraverso il buffer ad un livellostabile ottenuto partizionando la tensione aicapi dello Zener. Quest’ultimo e polarizzatoattraverso la corrente:

I =VC − VZ

R

Figura 1.14: Alimentatore stabilizzato attra-verso l’uso combinato di un diodo Zener e unamplificatore in configurazione di buffer noninvertente.

La corrente necessaria al carico non vie-ne piu presa direttamente dallo Zener, maprima, in modo da non influenzarne la po-larizzazione. Inoltre vengono eliminati i rip-ple, dato che la tensione oscillante ai capi delcondensatore viene usata per l’alimentazio-ne dell’Op-Amp e non piu come uscita, orariferita ai capi dello Zener.

1.3 Applicazione: rivelatoridi picco

In molte applicazioni sono richiesti circuitiin grado di riconoscere quando un segnaleraggiunge un picco, ad esempio nel campocommerciale delle batterie ricaricabili, oppu-re nell’elettronica nucleare per la rivelazionedi particelle.In seguito ne sono riportati due sempliciesempi, con e senza componenti attivi. Ilprincipio di funzionamento e essenzialmentequello gia visto per i rettificatori di tensione.

Rivelatore passivo Utilizzando solamen-te un diodo ed un capacitore (Figura 1.15)e possibile ottenere un semplice rivelatoredi picco: quando la forma d’onda in entratainverte il proprio andamento (ovvero laderivata) il diodo entra in interdizione eil capacitore mantiene il valore di tensionedel picco. La costante di scarica e legataalla resistenza del diodo in inversa: e quindiuna buona approssimazione ritenere che, supiccole scale e per valori piccoli di IS , τ siainfinita.La rete puo essere vista come un casoparticolare di un circuito di Sample andHold : la differenza fondamentale e lapresenza di un auto-interruttore, anziche diun interruttore comandato; e proprio questofatto a fissare l’uscita ad un valore in casodi raggiungimento del picco.

Rivelatore attivo La presenza del diodonel precedente circuito genera, come giavisto, una differenza di 0,7 V tra il segnaled’ingresso e quello di uscita: in alcune appli-cazioni il segnale entrante potrebbe essere

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Figura 1.15: Peak detector passivo.

inferiore, rendendo impossibile l’utilizzo delcircuito. Per ovviare a questo inconvenien-te si utilizza un operazionale configuratoa super-diodo, come mostrato in Figura 1.16.

Figura 1.16: Peak detector attivo.

Nel momento in cui Vin raggiunge lapiccola tensione di 0, 7/A (con A guadagnodi anello aperto dell’operazionale) il diodoentra in conduzione, creando un camminochiuso nell’anello di retroazione e portandoa contatto virtuale i due piedini di entratadell’operazionale:

Vout = Vin se Vin > 0

Dopo il raggiungimento di un picco il

condensatore non varia istantaneamenteil proprio valore, portando in inversa ildiodo e rompendo il cammino conduttivoin retroazione. L’uscita dell’operaziona-le si viene a trovare al livello basso disaturazione, creando una forte tensione in-versa sul diodo, che diminuisce il valore di τ .

1.4 Applicazione: circuiti diclamping e clipping

DC restorer Questo circuito, mostrato inFigura 1.17, e l’inverso del rivelatore di pic-co passivo di Figura 1.15. La presenza deldiodo fa sı che il livello di zero dell’uscitacorrisponda al picco piu negativo dell’entra-ta. Supponiamo infatti di eccitare la retecon un’onda quadra avente livelli −V e +V .Durante la semionda negativa il diodo entrain conduzione ed il condensatore si carica fi-no ad un valore di +V (il segno e dovutoalla scelta delle polarita); nel momento incui l’ingresso aumenta il suo valore il dio-do entra in interdizione e non c’e modo, peril condensatore, di scaricarsi. Dunque, daquesto punto in poi:

Vout = Vin + Vc = Vin + Vzero−level

Figura 1.17: Circuito di DC restorer.

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Elevatore di tensione (Cokroft-Walton) Questo circuito (Figura 1.18) euna combinazione (idealmente ampliabilea piacere) dei blocchi di dc-restorer erivelatore di picco: in breve, per ottenereuna traslazione arbitraria del livello dicontinua si costruisce una cascata di dcrestorer. Una volta portato il livello a massaattraverso il primo blocco, viene rilevatoe ”immagazzinato” il picco della formad’onda entrante ed usato come riferimentoper un dc-restorer successivo, e cosı via . . .

Figura 1.18: Circuito elevatore di tensione adue stadi.

Limitatore di tensione I limitatori ditensione prevengono il segnale in ingressodal propagarsi con tensione troppo elevataall’interno di una rete elettrica. Una tipicaapplicazione potrebbe essere quella di pro-tezione allo stadio di entrata di dispositivielettronici.In Figura 1.19 e mostrato un esempio dicircuito limitatore (o di clipping): finche Vinsi mantiene entro i limiti di clipping, l’uscita

e una replica esatta dell’entrata, in quanto idiodi non sono in conduzione. Il diodo D1e messo in conduzione nel momento in cuiVin > Val + 0, 7V , producendo cosı una ca-duta di tensione fissata all’uscita. Lo stessocomportamento e replicato per le tensioninegative. Ovviamente le due alimentazioninon necessitano di essere di uguale modulo,quindi e possibile programmare in mododiverso la caratteristica di trasferimento.Inoltre togliendo uno dei due diodi si riservail processo di limitazione alle sole tensionipositive o negative.

Figura 1.19: Circuito di clipping della tensionecon eguali soglie +V e -V.

In Figura 1.20 e riportata una misurasperimentale di un circuito di clippingcon le soglie impostate su valori differenti.All’inizio della zona di limitazione si notaun discostamento dall’idealita, dovutoprobabilmente a correnti di carica/scaricadella zona di carica spaziale nel diodo.In Figura 1.21 e mostrata invece la caratte-ristica di trasferimento relativa allo stessocircuito.

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Figura 1.20: In questa misura sperimentale erappresentata in giallo la sinusoide entrante a14Vp−p, in arancione l’uscita limitata a circa 3Vin alto e a circa 2V in basso.

Figura 1.21: Caratteristica di trasferimentorelativa alla situazione di Figura 1.20.

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Capitolo 2

Il Transistore Bipolare

2.1 Caratteristiche di fun-zionamento

Il transistore bipolare (BJT) e un dispositivoa tre terminali (Base, Collettore, Emettito-re), rassimilabile a due giunzioni p-n oppo-ste, con una zona in comune. Utilizzo tipicodi un tale dispositivo e il pilotaggio di unodei tre terminali al fine di controllare il flus-so di segnale tra gli altri due.In buona parte delle applicazioni il BJT eutilizzato in zona attiva diretta, in cui e pos-sibile sfruttare la linearita locale del disposi-tivo per ottenere un’opportuna amplificazio-ne priva di distorsioni. Per fissare il punto dilavoro dinamico in questa regione la giunzio-ne B-E e polarizzata in diretta generando unmoto diffusivo di cariche tipico di un diodo,con caduta di tensione di circa 0,7V.In questo modo, a patto che la giunzioneC-B rimanga in polarizzazione inversa, vie-ne indotto un flusso di corrente anche traCollettore ed Emettitore 1:

1Il comportamento delle correnti nei transistori eottenuto dalle equazioni derivanti dal modello pro-posto da Ebers e Moll. Nell’uso pratico queste equa-zioni introducono alcune complicazioni di calcolo,motivo per cui se ne considera (anche durante que-sta trattazione) una versione approssimata, seppurassolutamente valida.

IC = IS

(eVbe/Vth − 1

)≈ ISeVbe/Vth (2.1)

dove l’approssimazione vale per un funziona-mento in zona attiva diretta.

Le correnti che attraversano il transistorsono legate tra loro da:

IB + IC = IE

IC = βIB

Il parametro β (adimensionale) e caratte-ristico del singolo dispositivo e puo variaresensibilmente anche tra uguali modellidi transistor 2. L’ordine di grandezza ecomunque dell’ordine di 1 o 2 centinaia:con una piccolissima corrente di base (unadecina di µA) si puo ottenere un flussodi corrente tra emettitore e collettore diqualche mA.L’effetto transistor e dunque un effetto ditransconduttanza: controllando con unabassa corrente la tensione Vbe si ottiene unelevato flusso di corrente tra gli altri dueterminali.

2Proprio a causa di questa indeterminazione ebene non progettare circuiti il cui funzionamentodipenda da tale parametro.

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Caratteristica corrente-tensione Lecaratteristiche statiche IC − Vce sono mo-strate in Figura 2.1: si noti l’indipendenza(quantomeno al primo ordine di approssi-mazione) di IC da Vce per Vce > Vcesat .

Figura 2.1: Caratteristiche Ic−Vce ottenute me-diante un tracciatore elettronico del transistoreBC107 della STMicroelectronics. Le curve sonostate tracciate con passi di corrente di base di20µA. La scala verticale e di 2mA/div

Una migliore approssimazione consideral’effetto Early, che spiega la derivata nonnulla delle curve in zona lineare attraverso ilconcetto di sovrasvuotamento della regioneinversa B-C.Esiste una zona in cui le curve collassano suun unico valore, detta regione di saturazio-ne. In questo regime il transistore presentauna resistenza minima tra collettore edemettitore e viene sfruttata negli utilizziin modalita di switch, per rassimilare uninterruttore chiuso ideale.Dal momento che non e generalmentedisponibile una stima corretta del valoredi beta, e disponibile uno strumento che,connesso ad un oscilloscopio in modalita

XY, fornisce graficamente le caratteristichedel transistor in esame, cui riferirsi per leoperazioni di polarizzazione.

Caratteristica di trasferimento di ten-sione Un semplice circuito come quellomostrato in Figura 2.2 permette di rilevarela caratteristica Vin − Vout, che evidenziale due modalita di funzionamento di untransistor: amplificatore ed interruttore.

Figura 2.2: Semplice circuito a singolotransistor per rilevarne la caratteristica ditrasferimento in tensione.

In questo caso la corrente di base edeterminata dalla legge:

Ib =Vin − VD

R≈ Vin − 0, 7

R(2.2)

dove VD e la tensione diretta del diodoB-E. Ovviamente l’approssimazione e validasolamente nella zona di caratteristica in cuiil diodo e acceso.L’uscita e presa al collettore del transistor,secondo la relazione (retta di carico delcircuito):

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Vout = Vcc − IcRc (2.3)

In Figura 2.3 e mostrata la caratteri-stica rilevata attraverso l’oscilloscopio inmodalita XY: la zona centrale, con fortependenza e dall’andamento lineare, checorrisponde alla zona a derivata nulla dellacaratteristica Ic − Vce; la zona Vout ≈ Vcc,rassimilabile ad un interruttore aperto incui la corrente di base non e sufficiente adaccendere la giunzione ed il transistor nonentra in conduzione; la zona Vout ≈ 0, in cuiil dispositivo entra in saturazione a causadi una grande corrente di collettore cheabbassa troppo la tensione Vc (questa zonae ricollegabile ad un interruttore aperto).

Figura 2.3: Caratteristica di trasferimento delcircuito a singolo transistor di Figura 2.2.

L’utilizzo del BJT come interruttore loha reso molto diffuso, nell’epoca seguente

alla nascita dell’elettronica a transistor,anche in applicazioni logiche; la scopertadel transistore ad effetto di campo ne hatuttavia soppiantato in larga parte l’utilizzoper circuiteria logica per molti motivi, nonultimi la facilita di integrazione e la bassadissipazione di potenza statica.

Uscita di potenza Uno dei motivi percui il BJT e tutt’ora molto usato e la suacapacita di erogare potenza in uscita, piu diquanto non ne sia in grado un operazionaleo un MOSFET.In Figura 2.4 e mostrato un buffer seguitoda uno stadio di potenza: all’operazionalee richiesta solamente la piccola correntedi base, mentre il grosso della correnteassorbita da un eventuale carico e fornitaattraverso la corrente di emettitore del BJT.L’esistenza di una retroazione assicura chela giunzione BE venga mantenuta a circa0,7 V; per sicurezza e pero meglio mettereuna piccola resistenza in modo da prevenirerotture dovute a sovratensioni all’uscitadell’op-amp.

Figura 2.4: Aggiunta di uno stadio di potenzaad un operazionale, attraverso un BJT.

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2.2 Amplificatore a singolotransistor

Utilizzando un transistore bipolare nellaconfigurazione mostrata in Figura 2.5, epossibile ottenere uno stadio di amplifi-cazione, seppur con alcuni svantaggi chelo rendono un circuito di difficile utilizzopratico come stadio stand-alone.

Figura 2.5: Amplificatore a singolo transi-stor per lo studio introduttivo dei BJT in zonalineare.

Iter tipico nell’esame di un dispositi-vo non-lineare come un transistore e lapolarizzazione seguita dallo studio dellasovrapposizione di un piccolo segnale.

Polarizzazione La polarizzazione e l’im-postazione di tensioni e correnti statiche nel-la rete che fissa un punto di lavoro sulla ca-ratteristica del transistore.Il procedimento per lavorare in zona attivadiretta e lo stesso gia illustrato attraverso leequazioni 2.2 e 2.3. Un aspetto che non e sta-to sottolineato e pero il fatto che la correntedi collettore della relazione 2.3 e ottenutaattraverso:

Ic = βIb

In questo modo la polarizzazione viene a di-pendere da β, un parametro a priori ignotose non come ordine di grandezza. Questorende, come detto all’inizio, il comporta-mento di questo circuito non completamentepredicibile e dunque sconsigliabile in molteapplicazioni.Bisogna fare attenzione, in questa fase,ad impostare correttamente il punto difunzionamento (statico) del transistore:lavorando come amplificatore, un segnalein ingresso in base viene amplificato al col-lettore di un certo fattore; bisogna dunqueprestare attenzione alla massima escursionedi tensione in uscita, per evitare di portareil transistor in saturazione (swing verso ilbasso) o di richiedere un livello di segnalesuperiore allo swing possibile tra il puntostatico e l’alimentazione.Nel caso in esame, supponendo β ≈ 100 sistima un livello di tensione al collettore di5,7 V, permettendo un’escursione di almeno4 V nelle due direzioni.

Piccolo segnale Introdurre nel circuitoun piccolo segnale significa sovrapporsi adun punto di lavoro variandone di poco la po-sizione.Lavorare con piccoli segnali corrisponde astudiare una rete in cui tutti gli elementi so-no sostituiti dal loro modello variazionale: igeneratori di tensione con un corto circui-to; i generatori di corrente con un apertocircuito; i transistori bipolari con il modelloπ, mostrato in Figura 2.6. In tale model-lo compaiono le grandezze gm, detta trans-conduttanza del BJT e la resistenza rπ, dateda:

gm =IcVth

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rπ =β

gm=VthIb

La gm compare nell’espressione della corren-te di collettore del generatore comandato:

ic = gmvπ = βvπrπ

Figura 2.6: Modello lineare π per piccoli segnalidel transistore bipolare

Tali valori dipendono strettamente dalpunto di polarizzazione: il modello variazio-nale e valido solo se rimane localizzato in unpiccolo intorno di tale punto.Per lavorare per piccoli segnali e necessarioaccoppiare il circuito in AC con il segna-le, attraverso un condensatore di dimensioneopportuna, per evitare che un livello di con-tinua si sovrapponga alla polarizzazione.Risolvendo per questa rete il modello equi-valente mostrato in Figura, si ottiene lafunzione di trasferimento per piccoli segnali:

Av =VoutVin

= − βRCrπ +RB

(2.4)

Da quest’equazione e possibile ottenereuna stima di β che, in questo caso, e risultataessere circa 130.

2.3 Configurazione ad emet-titore comune

Attraverso la configurazione ad emettitorecomune (con o senza resistenza RE , dettaresistenza di degenerazione di emettitore) siottiene uno stadio adatto non tanto per unblocco di uscita o di entrata di un sistema,quanto per una fase intermedia di guadagno.

Circuito con Re In Figura 2.7 e mostra-to il circuito in esame. Per polarizzarlo enecessario qualche accorgimento ulteriore ri-spetto alla procedura del paragrafo prece-dente, per la presenza del partitore in ingres-so. Supponiamo innanzitutto nulla la cor-rente di base (o, meglio, trascurabile rispet-to a quella che scorre nel partitore, ovveroIb Vcc/(R1 +R2)):

Vb = Vcc ·R2

R1 +R2

Figura 2.7: Configurazione ad emettitorecomune con resistenza di degenerazione diemettitore.

Per rispettare la diseguaglianza per Ib tra-scurabile sembra opportuno non scegliere va-

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lori troppo elevati per R1 e R2; bisogna sta-re attenti comunque a non abbassare trop-po la resistenza di ingresso e a non dissipareinutilmente potenza statica: un valore otti-male e R1 + R2 ≈ 100KΩ, come mostratonel circuito. In questo modo si ottiene, conVcc = 13V :

Vb ≈ 2, 3V

E’ ragionevole supporre che il transistore siaora acceso, ovvero che Vbe ≈ 0, 7V . Risol-vendo l’equazione alla maglia tra base edemettitore:

IRe =Vb − 0, 7V

Re= Ie

dove, con una Re di circa , 5kΩ si ottieneIe ≈ 1mA. Infine, considerando l’equazioneal collettore:

Vout = Vcc − IcRc ≈ Vcc − IeRc

dato che Ic ≈ Ie.Notiamo come, avendo aggiunto il partito-re in base, la polarizzazione e svincolata dalfattore β, rendendo piu prevedibile il com-portamento del circuito.Come stadio stand-alone e importante con-trollare la dinamica d’uscita, per evitare di-storsioni. Nell’utilizzo come stadio di ampli-ficazione di un operazionale questo non e piuvero: difficilmente si lavora ad anello apertocon piccoli segnali ed e piu importante avereun’amplificazione molto grande (piu stadi incascata) in modo da creare i presupposti perun utilizzo reazionato.Nel lavorare con piccoli segnali e importan-te sapere come viene vista la rete in ingres-so e in uscita, anche per poterla utilizzarecorrettamente in combinazione con altri sta-di. Studiando il circuito equivalente attra-verso il Modello π si ottiene la resistenza di

ingresso del transistore RBin = Vtest/itest.Sapendo infatti che:

vtest = vπ + vRe = ibrπ + ieRe

ib = itest

ie = (β + 1)ib ≈ βitestsi ottiene:

RBin = rπ + βRe

Dunque in ingresso il segnale vede una resi-stenza piuttosto elevata grazie alla presenzadella resistenza di degenerazione di emetti-tore che viene riportata moltiplicata del fat-tore β. Tale resistenza e pero diminuita dalpartitore R1//R2 ottenendo, in totale:

Rintot = Rin + (R1//R2)//(rπ + βRe)

anche se spesso Rin e trascurabile, in modoche vin = vb.Il guadagno in tensione del circuito e:

voutvin

= − Rc1/gm +Re

≈ RcRe

dove l’approssimazione vale per valori diRe molto maggiori di gm−1, generalmentevalida dato il piccolo valore di quest’ultima.Riportiamo in Figura 2.8 una misura speri-mentale: una sinusoide a 10kHz con 100mVpicco-picco in ingresso viene amplificata diun fattore 4 in uscita (400mV picco picco)senza modificazioni alla frequenza (teoremadella risposta in frequenza). Da notareinfine l’inversione di fase dovuta al segnonegativo nell’espressione del guadagno. Idati sono stati ottenuti con Rc = 6, 8kΩ eRe = 1, 8kΩ.In Figura 2.9 e rappresentata la caratte-ristica di trasferimento, dalla quale si puo

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Figura 2.8: Ingresso: 10kHz, 100mV p-p.Uscita: 10kHz, 400mV p-p, sfasamento di 180.

Figura 2.9: Rappresentazione come caratteri-stica di trasferimento delle sinusoidi di Figura2.8.

notare la pendenza (negativa) di modulo 4.

Un ultimo appunto riguarda la capacitadi disaccoppiamento in entrata: la magliaRC che viene a crearsi (Figura 2.10) hauno zero a frequenza ωz = 0 e un polo aωp = 1/2πRxCB, dove Rx e la resistenza to-tale vista in ingresso dal segnale. Accoppiarein alternata il segnale, dunque, impone unafrequenza minima oltre la quale il segnalenon viene attenuato 3

Figura 2.10: Circuito equivalente visto iningresso allo stadio CE.

Circuito senza Re In Figura 2.11 emostrata un’alternativa al circuito CEappena discusso: in apparenza e statosolamente aggiunto un secondo condensa-tore Cb2 in emettitore; in realta si osservache la resistenza Re viene vista solamentedalla polarizzazione, mentre il segnale (adun’opportuno regime di frequenze) vede uncorto circuito verso massa.

In questo modo e possibile massimizzareil guadagno dello stadio:

Av = − Rc1/gm +Re

= −gmRc

3E’ chiaro come questa semplice analisi trascu-ri completamente tutti gli altri elementi capacitivipresenti nella rete e nel transistore stesso.

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Figura 2.11: Configurazione ad emettitorecomune senza resistenza di degenerazione diemettitore.

Uno svantaggio di cui e importante tenereconto e l’abbassamento della resistenza diingresso:

Rintot = (R1//R2)//rπ

2.4 Configurazione a collet-tore comune

In Figura 2.12 e mostrata la configurazionein esame, in cui il collettore e visto, dalpiccolo segnale, come riferimento comune amassa.

Figura 2.12: Configurazione a collettorecomune.

Per polarizzare la rete si segue lo stes-so procedimento gia illustrato: si imponela tensione di base per mezzo del partito-re R1−R2 e, considerando la giunzione B-Eaccesa, si impone la corrente di emettitore,approssimativamente uguale a quella di col-lettore per valori sufficientemente elevati diβ.E’ invece interessante studiare il comporta-mento per piccoli segnali, attraverso il cir-cuito equivalente 4 di Figura 2.13.Combinando le due equazioni:

ic = ie = gmvbe = gm(vb − vout)4E’ fondamentale sottolineare che il simbolo del

transistore bipolare che appare nei circuiti equivalen-ti per piccoli segnali non e in realta il vero e proprioBJT, ma il suo modello equivalente.

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vout = ve = ieRe

si ottiene:

vout =gmRe

1 + gmRevb

gmRe−−−−−→ vb

Figura 2.13: Circuito equivalente per piccolisegnali della rete di Figura 2.12.

Tanto piu la resistenza Re e elevata (com-patibilmente con gli effetti che questo ha sulpunto di polarizzazione di uscita) tanto piue buona l’approssimazione di guadagno uni-tario.E’ fondamentale pero ricordare che il risulta-to e valido solamente per il piccolo segnale: enecessario che il transistore funzioni in zonaattiva diretta, ovvero che, per la polarizza-zione, Vout = Vb − 0, 7V .Il circuito, dal punto di vista del trasferimen-to di segnale, sembrerebbe comportarsi comeun buffer di tensione; bisogna pero studiarele impedenze viste in ingresso e in uscita.Dal punto di vista dell’ingresso la situazionee analoga a quella vista per il caso CE:

Rintot = (R1//R2)//(rπ + βRe)

Per ottenere la resistenza vista in uscita dal-la rete si forza con un generatore di test spe-gnendo l’ingresso. Ricordando il verso con-venzionale della corrente di emettitore ed in-dicando con Rb la resistenza vista guardando

fuori dalla base:

ie = (Ve − Vb)gm =(Ve −

ieβRb

)

Rout =Veie

=1gm

+Rbβ

Con una resistenza di ingresso particolar-mente elevata ed una di uscita molto bas-sa il circuito presenta le caratteristiche didisaccoppiatore di tensione (buffer), con losvantaggio di avere un range di tensioni difunzionamento limitato a quelle positive.In Figura 2.14 e riportato un diagrammadi trasferimento di tensione relativo ad unaconfigurazione a collettore comune. Si noticome la pendenza e positiva e come il seg-mento approssimi la bisettrice del primo eterzo quadrante.

Figura 2.14: Diagramma XY di trasferimentodi una configurazione emitter-follower.

21

2.5 Configurazione a basecomune

La terza (ed ultima) topologia base per ilbipolare e quella, mostrata in Figura 2.15,a base comune.

Figura 2.15: Configurazione a base comune deltransistore bipolare. Si noti in questo caso lapresenza di alimentazioni di entrambe le polarita.

Per la polarizzazione il discorso e analogoa quello gia visto finora: fissata la tensionedi base (zero, in questo caso) in zona attivadiretta l’emettitore si trova a circa 0,7 V al disotto. Attraverso la resistenza di emettitoresi imposta la corrente desiderata, che vieneriproposta al collettore.Come si nota dal modello approssimato perpiccole variazioni di Figura 2.16, la correntedi segnale e

i =Vin

Rin +R+ 1/gmproducendo un’uscita al collettore di:

Vout = iRc =VinRc

Rin +R+ 1/gm

Figura 2.16: Modello approssimato per picco-li segnali della configurazione a base comune.L’approssimazione effettuata e la seguente: il se-gnale vede, in ingresso, la serie tra R, Rin e il pa-rallelo 1/gm//Re; dato che Re e molto maggioredi 1/gm, possiamo considerare solo quest’ultima,nella quale fluira la maggior parte della corrente.

Si nota subito un notevole svantaggio: ilguadagno finale dipende dalle caratteristichedel generatore di tensione. Questo rende ilcircuito utilizzabile solo come stadio inter-medio di guadagno, e non come entrata diun sistema.In Figura 2.17 sono riportate l’entrata e l’u-scita della configurazione in esame, aven-do utilizzato Rc = 4, 7KΩ, Re = 10kΩ,R = 470Ω.

Osservando l’espressione finale del guada-gno, si potrebbe procedere a ritroso per ot-tenere una stima dell’ordine di grandezza diRin, la resistenza interna del generatore disegnale:

Rin =Rc −Av

(R+ 1

gm

)Av

≈ 30Ω

Il risultato e stato ottenuto inserendo i valo-ri nominali (e non effettivamente misurati)

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Figura 2.17: Configurazione a base comune. Ingiallo: sinusoide di entrata a 70Hz con Vp−p =192mV . In azzurro: sinusoide di uscita a 70Hzcon Vp−p = 1, 72V

delle resistenze utilizzate; in realta il valoreatteso e di circa 50Ω e, considerando le tol-leranze dei resistori, il risultato e in accordocon le aspettative.

2.6 Applicazione: generato-re di corrente

Il piu banale modello di generatore dicorrente e un generatore di tensione conuna resistenza in serie. Sono subito evidentipero problemi di impedenza di uscita che lorendono di fatto inutilizzabile in molti casi.Di seguito e riportato un esempio di con-figurazione che riesce a sopperire questiproblemi, facendo uso di op-amp retroazio-nati e transistori BJT.

Generatore di corrente Utilizzando untransistore pnp come mostrato in Figura2.18 e possibile ottenere un generatoredi corrente con una elevata impedenza diuscita.

Figura 2.18: Generatore di corrente adeguato airequisiti di impedenza di uscita/entrata generica-mente richiesti in una rete. Sono indicati anchei valori utilizzati nell’esperienza.

La presenza di una retroazione attraversola giunzione BE del BJT permette il contattovirtuale tra i piedini di entrata dell’op-amp,

23

cosı che Vin = Ve. Fissando la tensione diemettitore si imposta la corrente generataattraverso:

Ic ≈ Ie =Vc − Vout

R

A condizione di mantenere presente un cam-mino in continua per evitare la saturazionedel transistor, la corrente di uscita e resaindipendente dal carico.In questo caso e da notare l’utilizzo diun transistor pnp anziche un npn, sceltaobbligata dalla topologia di generatore dicorrente, ovvero di dispositivo in grado difornire corrente costante ad un carico.L’impedenza di entrata e molto piccola, es-sendo quella vista in emettitore, e quella diuscita sara invece elevata: questo rispondeal requisito richiesto di disaccoppiamentodella corrente.

Assorbitore di corrente In Figura2.19 e rappresentato il circuito duale alprecedente, impropriamente chiamato gene-ratore anch’esso, anche se l’effetto e quello diassorbire una corrente costante da un carico.

Il funzionamento e assolutamente identicoa quello gia illustrato, con ovvi cambiamentidi polarita di tensioni e del transistore (npn).

Figura 2.19: Assorbitore di corrente (duale delcircuito di Figura 2.18).

24

Capitolo 3

Teorema di Miller

3.1 Enunciato e verifica spe-rimentale

Enunciato Il teorema di Miller riguardail trasporto di impedenze all’ingresso di unarete di guadagno: le grandezze Z vengonoviste all’ingresso con valori diversi da quel-li nominali, dipendentemente dal fattore diguadagno.Il teorema e applicabile in una situazione incui tra due tensioni legate da Vb = KVa (do-ve K e generalmente, ma non necessariamen-te, un guadagno maggiore di 1) e presenteun’impedenza a ponte, come mostrato in Fi-gura 3.1.Con riferimento alla Figura 3.1, calcolandol’impedenza Zin = Vtest

itestvista in ingresso alla

rete attraverso le relazioni:

Vout = −KVtest

itest =Vtest − Vout

1/sCM +RM=

Vtest(K + 1)1/sCM +RM

si ottiene:

Zin =1

sCeq+Req (3.1)

dove:Ceq = CM (K + 1)

Req = RM/(K + 1)

Figura 3.1: Schema generale della struttura cuiapplicare il teorema di Miller.

Nonostante la resistenza Req sia spessomolto piccola e trascurabile, un contributosignificativo alle frequenze critiche della retee dato dall’elevata capacita Ceq. Questopuo creare effetti indesiderati, ma puoanche essere un effetto voluto, ad esempionell’integrazione di capacitori di elevatovalore.

La considerazione fondamentale riguar-da comunque le conseguenze che questoeffetto ha sulla banda passante della rete.Prendendo per esempio il circuito di Figura3.2, possiamo ricavarne l’equivalente di Mil-ler riportato in Figura 3.3. E’ innanzituttofondamentale sottolineare che il circuito in

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Figura 3.3 e assolutamente equivalente aquello di Figura 3.2: la rete era e rimane asingolo polo.Con lo stesso ragionamento visto poco soprae possibile calcolare l’impedenza Z1, cherisulta essere:

Z1 = sC(K + 1)

Considerando che la corrente fornita in usci-ta deve essere la stessa in entrambi i circuiti,e possibile anche dimostrare che:

Z2 =1/sC

1 + 1/K

Supponendo un guadagno K indipendentedalla frequenza si puo facilmente ricavare lafunzione di trasferimento totale:

VoutVin

=VoutVi

ViVin

= −K · 1/sCeq1/sCeq +Rin

=

=−K

1 + sCeqRin

dove Ceq = C(K + 1).

Figura 3.2: Blocco di guadagno con accoppia-mento capacitivo tra entrata ed uscita.

Dunque la rete e un filtro passa bassocon frequenza a 3dB in corrispondenza della

Figura 3.3: Circuito equivalente di Miller dellarete di Figura 3.2.

frequenza:

f3dB =1

2πCeqRin

Il risultato e quindi che la presenza di unacapacita a ponte tra uno stadio di guadagno(ovvero tra entrata ed uscita) impone unpolo a frequenza tanto piu bassa quanto piue elevato il fattore di guadagno.Questo fenomeno e denominato effettoMiller.E’ importante osservare come sia l’impeden-za ”di accoppiamento” Rin ad instaurareun tempo caratteristico nella rete: l’effettoMiller non si verifica infatti per l’entratadell’amplificatore Vi, ma per Vin.

Verifica Un metodo per verificare ilteorema e per misurare effettivamente leimpedenze equivalenti e ricostruire unasituazione simile a quella mostrata nellaFigura 3.1. Il blocco di guadagno puo venirecostruito con degli operazionali, magari sud-dividendo in due stadi il guadagno in mododa ottenere una maggiore larghezza di ban-da, anziche utilizzare un buffer invertenteseguito da uno stadio di amplificazione noninvertente (vogliamo evitare di introdurreulteriori distorsioni dovute agli operazionali

26

nell’utilizzo di un’onda quadra, che contienealte frequenze).Il circuito di Figura 3.4 e quello utilizzatonell’esperienza: Rin e una resistenza postain serie a quella del generatore di formed’onda e Vout e presa all’ingresso dello stadiodi guadagno. Rappresentiamo in Figura 3.5anche il circuito equivalente di Miller vistoall’ingresso del blocco −K.

Figura 3.4: Circuito di guadagno per lo studiodel teorema di Miller.

Figura 3.5: Stadio di ingresso equivalente diMiller del circuito di Figura 3.4.

Calcolando la funzione di trasferimentodella rete di Figura 3.5 (e un partitore di

impedenze):

VoutVin

=1

sCeq+Req

Rin +Req + 1sCeq

=

=1 + sCeqReq

1 + sCeq(Rin +Req)=

=1 + sτz1 + sτp

dove τz e τp sono gli inversi delle frequenzedi polo e zero:

τz = ReqCeq

τp = Ceq(Rin +Req)

Per vedere come una funzione a gradino diampiezza V (la cui rappresentazione nel do-minio di Laplace e V/s) viene trasferita inuscita utilizziamo il teorema del limite:

Vout(0+) = lims→∞

sV

s

1 + sτz1 + sτp

= VReq

Rin +Req

Vout(∞) = lims→0

sV

s

1 + sτz1 + sτp

= V

Osserviamo come i due risultati analitici sia-no in accordo con un’analisi intuitiva: altempo 0+ in entrata vi e idealmente una de-rivata infinita, quindi il condensatore si com-porta da corto circuito e la rete e un sempli-ce partitore resistivo; in situazione di regi-me invece la tensione in entrata e costante,dunque il condensatore e un aperto circuitoe l’uscita raggiunge il livello in entrata.E’ comunque possibile ottenere l’espres-sione vera e propria della risposta (neltempo) ad un gradino ideale eseguendol’antitrasformata di Laplace di:

Y (s) = H(s) ·X(s) =1s· 1 + sτz

1 + sτp

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Il calcolo non e particolarmente difficile sesi espande la funzione in fratti semplici eli si antitrasforma singolarmente, da cui siottiene:

y(t) = 1(t)− RinReq +Rin

e− tCeq(Rin+Req) · 1(t)

Una semplice verifica della correttezza delcalcolo la si puo avere effettuando il limitee confrontandolo con i risultati gia ottenuti.Si noti inoltre come la costante di tempodella rete sia effettivamente τp.

In Tabella 3.1 sono riportati i valoriutilizzati nell’esperienza, da cui si ricavache:

Req = 1, 45kΩ

Ceq = 170nF

e:τz = 1, 64ms

τp = 3, 35ms

Tabella 3.1: Valori utilizzati nell’esperienza.

K 4,16RM 7, 5kΩCM 220nFRin 1, 5kΩ

Scegliendo un tempo caratteristico suffi-cientemente elevato per poter osservare ledue situazioni (iniziale e a regime) e un’op-portuna frequenza fondamentale (60Hz inquesto caso) per l’onda quadra in entrata(in modo da approssimare sufficientementeun gradino) si ottiene la situazione mostratain Figura 3.6.Si nota dal grafico che, a fronte di un valore

a t = 0+ atteso di circa 1, 5V , si estrapolaun valore compreso tra 1, 4V e 1, 6V . Unamisura piu attendibile e stata comunqueeffettuata utilizzando i cursori dell’oscillo-scopio, ottenendo comunque 1, 6V . Bisognatenere comunque conto che il valore realeporta con se le imprecisioni nei valori esattidi resistenze e guadagno.Si nota inoltre come, dopo una crescitaesponenziale, la tensione si stabilizzi su 3V ,verificando anche il valore a regime atteso.

Una piu precisa analisi e stata effet-tuata attraverso fit della parte esponenzialedella forma d’onda utilizzando il softwareOriginPro. Utilizzando una funzione deltipo:

y(t) = y0 +A1et/τ

si sono ricavati i seguenti valori per iparametri:

y0 = 3, 05V

A1 = −1, 63V

τ = 3, 61ms

Di nuovo, considerando anche solo le inde-terminazioni al 5 − 10% sui valori delle re-sistenze i parametri ottenuti sono in buonaccordo con i valori attesi teoricamente.

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Figura 3.6: Campionamento sperimentale diVout su sollecitazione di onda quadra di 3V diampiezza. Il software di acquisizione non e statoin grado di rilevare la totalita dei punti, ma dal-la zona crescente si possono comunque otteneresufficienti informazioni, come indicato nel testo.

3.2 Effetto Miller nella con-figurazione CE

Spesso, nel progetto di reti di amplifi-cazione, il teorema di Miller puo esseresfruttato per l’inserimento, nella funzionedi trasferimento, di un polo dominante abassa frequenza. La necessita e dettatadall’utilizzo dell’op-amp in configurazionereazionata, che, per opportune frequenze,potrebbe entrare in regime di instabilita:portando il guadagno, a tali frequenze, alivelli inferiori all’unita si evita l’effettorigenerativo tipico delle situazioni instabili.

La configurazione studiata e quella mo-strata in Figura 3.7, ovvero un CE senzaresistenza di degenerazione, che, nell’intentodi studiarne l’effetto Miller, e rassimilabileal circuito di Figura 3.8: il BJT puo esserevisto infatti come uno stadio di guadagno,

Figura 3.7: Transistore bipolare in configurazio-ne CE con capacita di miller CM .

Figura 3.8: Visualizzazione lineare per piccolisegnali della rete di Figura 3.7. La resistenza in-dicata con R in BJT corrisponde alla resistenzad’entrata dello stadio CE, ovvero rπ + βRE.

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caratterizzato da una resistenza di ingresso,un guadagno (negativo) ed una resistenza diuscita pari, rispettivamente, a:

RinBJT = rπ + βRe

K = − Rc1/gm +Re

RoutBJT = Rc

Poiche l’emettitore e il terminale comune,il capacitore di Miller va inserito tra base ecollettore, come mostrato.Dal circuito di Figura 3.8 e semplice estrarre(similmente a quanto fatto nel paragrafoprecedente) il circuito equivalente di Millerdi Figura 3.9.

Figura 3.9: Circuito equivalente di Miller dellarete di Figura 3.8.

Per trovare la frequenza del polo (o il suotempo caratteristico τp) possiamo risolverela rete di Figura 3.9 (di cui non vengonoriportati i conti), ottenendo:

τp = Ceq

[Req(RinBJT +Rin +RinBJTRin)

RinBJT +Rin

]=

= Ceq

[Req +

RinBJTRinRinBJT +Rin

]=

= Ceq(Req +RinBJT //Rin) ≈ Ceq(Req +Rin)

dove l’approssimazione e valida conside-rando che nel partitore tra RinBJT e Rin e

Figura 3.10: Circuito equivalente per piccolisegnali della rete di Figura 3.8.

predominante quest’ultima.

Alternativamente si puo ricavare la co-stante di tempo del circuito di Figura3.10:

τp = Ceq[Rin//RinBJT +Req] =

= CM (1+K)[Rin//(rπ+βRe)+Rc/(1+K)]

Dato che nel primo termine domina Rin:

τp ≈ CM (1 +K)(Rin +Req)

In questo caso stiamo considerando unacapacita CM discreta, ovvero inserita nelcircuito con un valore prestabilito per otte-nere gli effetti di cui sopra. L’effetto Millersi verificherebbe anche usando solamente lacapacita intrinseca di giunzione del BJT,seppur di valore estremamente inferiore.Anche la giunzione BE presenta pero unacapacita: essa viene trascurata a frequenzenon elevate poiche, in una situazione diemitter-follower, si tratterebbe di un con-densatore con entrambi i capi alla medesimatensione.

Per caratterizzare completamente la fun-zione di trasferimento, oltre al polo e neces-sario specificare la posizione dello zero.Si puo osservare dal circuito equivalente per

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piccoli segnali di Figura 3.11 che Vout = 0quando la corrente di collettore e data in-teramente da quella che fluisce nel ramo diCM , ovvero:

I1 =Vb

1/sCM= VbsCM

I2 = Vbgm

1 + gmRe

Eguagliandole si ottiene la posizione dellozero a:

s =gm

CM (1 + gmRe)

Figura 3.11: Circuito equivalente per piccolisegnali dell’intera rete.

Possiamo allora scrivere la funzione ditrasferimento della rete come:

VoutVin

= G1 + sτz1 + sτp

=

= − Rc1/gm +Re

·1− sCM (1+gmRe)

gm

1 + s(Rin +Req)CM(

1 + Rc1/gm+Re

)Per avere evidenza sperimentale di questo

effetto e possibile utilizzare il generatore difunzioni con un’onda quadra di ampiezza Ve di periodo sufficientemente elevato affinche

la rete la ”veda” localmente come un’eccita-zione a gradino.Applicando il teorema del limite:

Vout(t = 0+) = lims→∞

V ·H(s) =

=V Rc(1 + gmRe)

(Rin +Req)[1 + gm(Rc +Re)]

Vout(∞) = lims→0

V ·H(s) = − V Rc1/gm +Re

Una parte dello scalino viene riportato inuscita (trasferimento diretto), per poi subireun decadimento esponenziale con tempo ca-ratteristico τp che si stabilizza su Vout(∞).Per effettuare la prova sperimentale, sonostati utilizzati i valori di resistenze e capacitariportati in Tabella 3.2, con cui si ottengonoi seguenti valori:

K = − Rc1/gm +Re

= −3, 05

Ceq = CM (1 +K) = 4, 05nF

Req = Rc/(1 +K) = 1, 7kΩ

Tabella 3.2: Valori utilizzati nell’esperienza.

Rin 50ΩRc 6, 8kΩCM 1nFRe 2, 2kΩ

31

Come si puo osservare dalla Figura 3.12 idati riportati di seguito sono in accordo conla verifica sperimentale:

V (0+) = 24mV

V (∞) = 152mV

Non avendo questa volta a disposizione i va-lori numerici del grafico non e stato esegui-to un fit per poter dare una stima di τp, iltempo caratteristico di decadimento, attesocomunque di un valore di 7, 1µs.

Figura 3.12: Forma d’onda di uscita della retestudiata. Seppur sia stata rilevata su larga scalatemporale e possibile notare comunque i compor-tamenti in transiente e a regime. Le scale, nonriportate, sono di 50mV/div per quella verticalee di 25µs/div per quella orizzontale.

3.3 Configurazione Cascode

Come illustrato nel paragrafo precedente,l’effetto Miller puo essere sfruttato perottenere capacitori apparentemente mag-giori rispetto ai valori nominali inseriti nelcircuito. Tuttavia la presenza di capacita in-trinseche nei transistori puo far sorgere taleeffetto in maniera indesiderata, abbassandola banda passante della rete. Generalmentenegli op-amp i problemi di capacita parassitevengono bypassati attraverso il polo domi-nante che taglia a frequenze estremamentebasse. Non in tutti i casi e pero questa lastrada richiesta: per evitare l’effetto Millersono possibili varie soluzioni circuitali.In questa sezione viene illustrata la confi-gurazione cascode 1 riportata in Figura 3.13.

Figura 3.13: Schema della configurazione ca-scode a BJT. Si noti la presenza della capacitaintrinseca del transistore Cbc.

Il transistore T1 e lo stadio con guadagno

1Il nome deriva dall’epoca dei tubi a vuoto ed euna versione contratta di cascaded cathode.

32

K tra il segnale entrante in base ed uscentein collettore. Tra questi e posta la capacitaCbc1 intrinseca, relativa alla zona di caricaspaziale tra base e collettore. Conseguenzadel teorema di Miller (in una configurazioneCE, non cascode) e lo spostamento del poloa bassa frequenza:

τp = RinCbc1(K + 1)

dove si e trascurata la resistenza di MillerRL/(K + 1) (RL e la resistenza vista dall’e-mettitore di T2, che nella sezione precedenteera Rc).La presenza del transistore T2 deve averedue effetti contemporanei: contrastare l’ef-fetto Miller e mantenere il piu possibile in-variato il guadagno K della rete.Limitatamente a T1 l’effetto Miller viene de-magnificato con l’abbassamento di K: la re-sistenza di carico ora non e piu Rc (del-l’ordine dei kΩ) ma, grazie alla presenza diun common-base npn, e la resistenza vistaall’interno del suo emettitore:

RinT2 ≈ 1/gm2

e quindi:

K =RL

1/gm1 +Re=

1/gm2

1/gm1 +Re

Poiche Re 1/gm il guadagno K risultamolto minore dell’unita, cosı che la capacitadi Miller sia:

Ceq = Cbc(1 +K) ≈ Cbc

ed il relativo polo venga mantenuto sulle al-te frequenze.D’altra parte il transistore T2 agisce, perβ2 sufficientemente elevato, da disaccoppia-tore di corrente, riproponendo in collettore

la stessa corrente di emettitore. Infatti, perpiccoli segnali, valgono:

vout = −RCio

io = ic2 ≈ ie2 = ic1 = β1ib1

ib1 =Vin

Rin + rπ1 + β1Re

Unendo queste tre relazioni si ottiene il gua-dagno totale, che risulta essere proprio quel-lo di un amplificatore CE con resistenza didegenerazione di emettitore:

voutvin

= − Rc1/gm1 +Re

Attraverso T2 viene dunque ripristinato ilguadagno originario K.La larghezza di banda effettiva e ora dettata(approssimativamente) da τT2 = Cbc2Rc:uno svantaggio di questa rete e che tanto piugrande e Rc (e quindi tanto piu grande e ilguadagno) tanto piu sara a bassa frequenzail polo.

Per quanto riguarda la verifica speri-mentale della configurazione in esame,sono riportati in Tabella 3.3 i componentiutilizzati, indicati anche in Figura 3.13.

Tabella 3.3: Valori utilizzati nell’esperienza.

Rin 50ΩRe 1, 2kΩCbc intrinseca, dell’ordine dei fFRc 6, 8kΩ

Per verificare il corretto funzionamen-to della rete si procede ancora imponendoun’eccitazione a gradino ed osservando che:

33

• la banda non e ristretta dall’effettoMiller, e quindi il gradino non vienedistorto nella zona di alta frequenza;

• il guadagno in tensione e quello attesoper un common-emitter.

In Figura 3.14 sono riportate le formed’onda ottenute. Il guadagno atteso e:

Av =Rc

1/gm +Re= 5, 5

in perfetto accordo con la misura sperimen-tale, come si puo notare direttamente dalleforme d’onda riportate.

Figura 3.14: In azzurro: onda quadra in entra-ta. In giallo: onda quadra amplificata in uscita.La scala verticale, non riportata, e di 50mV/div.Si noti la presenza di alcuni picchi di tensio-ne in corrispondenza delle commutazioni, dovutiprobabilmente a risonanze di alcuni elementi delcircuito.

34

Capitolo 4

Reti a molti transistori

In un’ottica di progettazione di un am-plificatore operazionale non e ovviamentesufficiente una rete a singolo transistore;i motivi sono molteplici: dalla necessitadi un’entrata differenziale anziche single-ended a quella di un guadagno di granlunga superiore a quello ottenibile con unsingolo stadio, dalla corretta impostazionedella banda passante ad anello aperto allanecessita di avere buone caratteristiche diingresso e uscita in termini di impedenze,o di eliminare i condensatori di bypass perpoter lavorare anche con livelli di continua.Tutte queste considerazioni, insieme allaregolazione di altri parametri (slew-rate,offset, etc. . . ) portano alla progettazionedi reti contenenti molti transistori, a primavista piuttosto complesse. Molti dei bloc-chi principali sono tuttavia standard e siripropongono -opportunamente modificati edimensionati- in quasi tutti gli amplificatori.Di seguito viene discusso il progetto di unsemplice operazionale partendo proprio daisingoli blocchi, alcuni dei quali (quelli asingolo transistore) sono gia stati illustratiin precedenza.

4.1 Amplificatoredifferenziale

L’amplificatore differenziale e lo stadio di en-trata di un operazionale: la differenza di ten-sione tra le due entrate viene riportata inuscita mentre viene (idealmente) rigettato illivello di modo comune tra di esse, dove perqueste quantita si intendono:

Vd = V2 − V1 (4.1)

Vcm =V1 + V2

2(4.2)

Per indicare quanto effettivamente la pri-ma quantita, in uscita, prevalga sulla secon-da, viene fornito sui data-sheet un parame-tro di bonta detto Common Mode RejectionRatio, espresso in dB:

CMRR(dB) = 20 log10

(AdAcm

)I motivi della scelta di un’entrata diffe-

renziale anziche single-ended sono principal-mente due:

• i circuiti differenziali sono molto piuimmuni alle interferenze: un segnale di-sturbante accoppiato (capacitivamente

35

o induttivamente) a due fili che portanoil segnale differenziale influenzera ineguale misura entrambi i conduttori,se sono sufficientemente vicini; dalmomento che solo la differenza vienerilevata, il rumore non inficia il segnaleutile;

• la configurazione differenziale non ne-cessita di condensatori di bypass per se-parare polarizzazione e segnale: si diceche e dc-coupled.

Un grosso impulso all’utilizzo dei circuitidifferenziali e stato dato dal perfeziona-mento delle tecniche di integrazione: einfatti necessaria una grande precisionenella realizzazione dei componenti, datoche il corretto funzionamento di una coppiadifferenziale dipende criticamente dal mat-ching dei due lati del circuito.Lo stadio differenziale non fornisce di per seun elevato guadagno e del resto non e ne-cessario uno swing in uscita particolarmenteampio: sono gli stadi successivi a fornirel’amplificazione vera e propria. Piuttosto,l’obiettivo e quello di massimizzare il CMRRfacendo sı che il segnale che viene amplificatosia effettivamente la differenza tra le entrate.

Polarizzazione Per descrivere il com-portamento del circuito e piu immediatofare considerazioni di simmetria1, lavorandocosı solo su una delle due parti ottenute. Il

1Sia ora che in seguito, ogniqualvolta vengano ef-fettuate considerazioni di simmetria, deve risultarechiaro che puo venire fatta anche una piu rigorosaanalisi matematica; lavorare con le simmetrie ed inmaniera qualitativa permette pero di ottenere unamaggiore evidenza del funzionamento del circuito.

circuito (mostrato in Figura 4.1) e costituitodalla vera e propria coppia differenzialecon i transistori T1 e T2 e da una coda,che e in pratica un generatore che impostala corrente richiesta per la polarizzazione.Supponendo identici i due dispositivi T1e T2 non c’e motivo per cui una diversaquantita di corrente debba fluire in un latodel circuito piuttosto che nell’altro. Pos-siamo, a seguito di questa considerazione,visualizzare la resistenza di coda RT comeil parallelo tra due resistenze di valore 2RT ,in ciascuna delle quali scorre una correnteidentica.

Figura 4.1: Schema della coppia differenziale:la parte superiore, costituita dai due transistoricon relative resistenze di polarizzazione, e la verae propria coppia differenziale; la parte inferiore,che imposta la corrente I assorbita e detta coda.

Utilizzando il solito partitore per impo-stare una tensione di base Vb, si ricava lacorrente in uno dei due rami della coppia:

I =Vb − 0, 7 + VeeRe + 2RT

36

Per motivi che verranno illustrati tra poco,si deve scegliere una Re piuttosto piccola(4 o 5 volte gm

−1) ed RT di conseguenzagrande (nell’ordine dei kΩ).

Realizzando il circuito in versione di-screta si va incontro a tutte le imperfezionie disegualita tipiche dei componenti nonintegrati; a causa di questo il circuitocostruito sperimentalmente non risultasimmetrico: le tensioni di polarizzazione aicollettori dei due transistori differiscono diqualche volt l’una dall’altra. La corrente dipolarizzazione risulta comunque in entrambii casi dell’ordine di 1mA, come richiesto.Un’asimmetria nei punti di polarizzazionenon e necessariamente critica nel funzio-namento della coppia differenziale: sonogli stadi successivi a dover fornire il grossodell’amplificazione. Su un’uscita di qualchevolt ed un guadagno magari di 106 l’entratacorrispondente e estremamente piccola edil contributo di amplificazione della coppiadifferenziale non e tale da rendere questosegnale particolarmente elevato.

Guadagni DM-CM Ogni coppia di se-gnali che venga applicata ai due terminalidi entrata puo essere scomposta in due com-ponenti: modo comune e modo differenziale,come definito nelle equazioni 4.1 e 4.2.Applicare un segnale differenziale significaazzerare il modo comune, ovvero V1+V2 = 0,ovvero:

V1 = −V2

Applicando quindi due piccoli segnali ugualied opposti (v1 = −vd, v2 = vd), sempre perconsiderazioni simmetriche non c’e motivoper cui il punto di coda Vp debba cambiare la

propria tensione: se la corrente I viene for-nita maggiormente dal lato di destra quelladel lato di sinistra diminuisce corrisponden-temente e Vp viene mantenuta, e viceversa;dal punto di vista variazionale Vp = 0. Allo-ra ciascun transistore puo venire visto comeun CE con resistenza Re di degenerazione e:

ADM =voutv2

= − Rc1/gm +Re

= −voutv1

dove si e assunto che gm1 = gm2 = gm.Dunque un aumento di v2 provoca unadiminuzione dell’uscita in vout2 .Si noti l’assenza, nell’espressione del guada-gno, della resistenza di coda RT .

Con simili considerazioni si puo studiare ilmodo comune, applicando due segnali ugua-li ad entrambi i terminali. In questo casola tensione del punto p si spostera di conse-guenza alla variazione della tensione di ba-se. Di nuovo, ciascun ramo della coppia eun CE, ma questa volta con resistenza didegenerazione Re + 2RT :

ACM =voutv2

=voutv1

= − Rc1/gm +Re + 2RT

Calcolando il CMRR e possibile ricavare conquali rapporti vadano scelte le resistenze delcirucito:

CMRR =∣∣∣∣ADMACM

∣∣∣∣ =1/gm2 +Re + 2RT

1/gm2 +Re=

= 1 +2RT

1/gm2 +Re

Dalle ultime espressioni ricavate si eviden-ziano due cose:

• non e possibile scegliere Re = 0 poicheil guadagno differenziale dipenderebbedal parametro gm, non perfettamentecontrollabile e riproducibile;

37

• per ottenere un CMRR molto elevatoe necessario che RT Re: e possibileutilizzare un generatore di corrente nel-la coda, in modo da avere una resistenzaRT di uscita (idealmente) infinita.

Nelle Figure 4.3 e 4.2 sono riportatedue misure sperimentali, rispettivamente dimodo differenziale e comune.

Figura 4.2: In azzurro: entrata sinusoidale dimodo comune. In giallo: uscita invertente.

Da queste misure si ottiene:

CMRR = 20 log(ADM/ACM ) =

= 20 log(62, 32, 12

) = 29, 36dB

Generatore di corrente Un sempliceschema di generatore di corrente e riportatoin Figura 4.4. Seguendo l’usuale metodo dipolarizzazione visto piu volte si ottiene:

IT =Vb − 0, 7− VEE

RE

Questa configurazione e un buon generato-re di corrente, poiche la resistenza vista nel

Figura 4.3: In giallo: entrata sinusoidale dimodo differenziale. In giallo: uscita.

collettore e molto alta.La capacita C, di elevate dimensioni (qual-che µF ) ha scopi di filtraggio.

Figura 4.4: Generatore di corrente.

38

4.2 Specchio di corrente

Nei circuiti integrati la polarizzazione egeneralmente basata sull’uso di sorgenti dicorrente costante: una corrente di riferi-mento viene generata in un certo punto delcircuito e replicata ove necessario attraversoquelli che vengono chiamati specchi dicorrente. In questo modo e sufficiente unsolo riferimento stabile, solitamente creatoutilizzando una resistenza di elevatissimaprecisione, mentre negli altri punti questacorrente viene facilmente replicata. Inoltrele varie correnti di polarizzazione, in questomodo, non vengono a differire in caso dicambiamenti di alimentazione o di tempera-tura.

Il generatore di corrente a specchio2,mostrato in Figura 4.5, e uno stadio coman-dato in corrente e con uscita in corrente(Rin bassa ed Rout elevata) con guadagno ilpiu possibile unitario.

Analogamente a quanto fatto per la cop-pia differenziale, possiamo osservare che ilcircuito, dal punto P in giu, e assolutamentesimmetrico (supponiamo perfetto matchingtra i due transistori Q1 e Q2); quindi:

Ie1 = Ie2

Ib1 = Ib2

etc...

Supponiamo tuttavia che β non sia infinito.Se ora denominiamo I la corrente che fluisce

2In realta lo stadio mostrato e un assorbitore dicorrente. Utilizzando dei transistori pnp di crea ilcircuito duale che genera corrente. Il funzionamentoe assolutamente identico.

Figura 4.5: Specchio di corrente con funzionedi assorbitore. Il generatore di corrente Iref puoessere un qualunque generatore, sufficientementepreciso a seconda dell’esigenza del circuito.

nel cortocircuito tra collettore e base di Q1,possiamo affermare che:

I = 2Ib

e che, quindi (se Ic e la corrente di collettoredi Q1):

Iref = Ic + 2Icβ

= Ic

(1 +

2β

)≈ Ic = Iout

dove l’approssimazione e valida per valorisufficientemente grandi di β.

Finora si e fatta pero l’assunzione che idue transistori siano identici. Togliamo que-sta idealita e sostituiamo anche Re con Re1ed Re2 . Si puo scrivere:

Vp = IinRe1 + Vbe1 = IoutRe2 + Vbe2

In zona attiva Vbe = Vth ln(Ic/Is):

IinRe1+Vth ln(Iin/Is1) = IoutRe2+Vth ln(Iout/Is2)

Considerando dominanti i termini linearirispetto a quelli logaritmici:

IinRe1 = IoutRe2

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IinIout

=Re2Re1

Questa approssimazione e tanto piu validaquanto piu le resistenze Re sono grandi, edil guadagno e unitario tanto piu le resistenzesono uguali.Se vogliamo analizzare il comportamentoper piccoli segnali possiamo calcolare ildifferenziale dell’espressione:

iinRe1+VthIs1Iin

1Is1

iin = ioutRe2+VthIs2Iout

1Is2

iout

iinRe1 +1gm1

iin = ioutRe2 +1gm2

iout

da cui si ottiene il fattore di specchiamento:

ioutiin

=Re1 + 1/gm1

Re2 + 1/gm2

Se i transistori sono in perfetto matchinge le resistenze di emettitore sono uguali ilfattore di specchiamento e unitario: questocorrisponde al caso ideale.

• Caso Re1 = Re2 = 0: e il caso tipico deicircuiti integrati, in cui e possibile fa-re affidamento sui parametri costruttividei transistori:

ioutiin

=1/gm1

1/gm2

=I2I1

=

=Is2e

Vbe/Vth

Is1eVbe/Vth

=Is2Is1

=W2

W1

dove W1 e W2 sono le aree dellegiunzioni B-E dei due transistori.

• Caso Re1 6= 0 e Re2 6= 0: in una si-tuazione discreta non si puo basare lapolarizzazione sui parametri dei tran-sistori: e necessario scegliere le dueresistenze di emettitore in modo che

siamo molto maggiori delle rispettivetransconduttanze, in modo che:

ioutiin≈ Re1Re2

D’altro canto si deve stare attenti,tuttavia, a non scegliere resistenzetalmente elevate da limitare troppola dinamica d’uscita del circuito, ri-schiando di mandare in saturazione itransistori.

4.3 Amplificatore diffe-renziale con carico aspecchio

Il generatore di corrente a specchio puo es-sere efficacemente utilizzato per polarizzareuna coppia differenziale, proprio grazie alcarattere simmetrico dei due stadi.Il circuito e mostrato in Figura 4.6: comecarico a specchio e stato utilizzato il circuitoduale rispetto a quello visto prima. Attra-verso la coda dell’amplificatore differenzialeviene impostata la corrente I che fluisce nelcircuito, suddividendosi idealmente in partiuguali nei due lati. Dunque nel lato sinistrodella coppia differenziale scorrera una cor-rente Iin = I/2, che viene riproposta sul latodestro con guadagno 1: Iout = Iin = I/2.Nel nodo Vout2 entra ed esce un’ugualecorrente (I/2): nel carico non scorre quindicorrente.Tutte queste considerazioni sono pero valideper un’eccitazione di modo comune, qualee la polarizzazione: un modo comune viene(quasi) completamente rigettato dalla strut-tura stessa della rete: non e piu necessarioavere una grossa resistenza alla coda per

40

aumentare il CMRR.

Figura 4.6: Coppia differenziale con carico atti-vo. Nella parte sinistra del circuito scorre la cor-rente Iin di riferimento, riproposta nella partedestra come Iout.

Consideriamo ora un’eccitazione diffe-renziale Vd/2, come mostrato nel circuitodi Figura 4.7. Analogamente a quanto giavisto, il punto P rimane, per il segnaledifferenziale, a massa.

Nel transistore Q2 passa una corrente dicollettore:

I =Vd2

11/gm1 +Re

che si somma a quella generata dallospecchio di corrente:

Vd2

(1

1/gm1 +Re+

11/gm2 +Re

)≈

Figura 4.7: Circuito equivalente visto daun’eccitazione sinusoidale di piccolo segnale.

≈ Vd2

(2

1/gm +Re

)dove l’approssimazione e valida per gm1 ≈gm2 .Possiamo quindi trovare l’uscita:

Vout = IL ·RL = VdRL

1/gm +Re

ovvero:

ADM =VoutVin

=RL

1/gm +Re

In Figura 4.8 e riportata la misura speri-mentale di come un’eccitazione sinusoidaledi modo comune applicata in entrata vienecompletamente rigettata in uscita.

Per quanto riguarda invece il guadagnodifferenziale, la situazione e riportata in Fi-gura 4.9, mentre un grafico di trasferimentodi tensione e riportato in Figura 4.10.

Sperimentalmente, il guadagno in decibeldi modo differenziale e:

ADM = 20 log(

5, 360, 102

)= 34, 4dB

41

Figura 4.8: In azzurro: ingresso sinusoida-le di frequenza 1kHz e di ampiezza picco pic-co 100mV . In giallo: la tensione riportata inuscita, pari a 0.

Figura 4.9: In azzurro: ingresso sinusoida-le di frequenza 1kHz e di ampiezza picco picco102mV . In giallo: sinusoide riportata in uscita,di ampiezza 5,36V (picco-picco).

Figura 4.10: Caratteristica di trasferimento ditensione relativa alla Figura 4.9. Dalla diffe-renza tra le scale dei due assi si puo gia no-tare l’elevato guadagno di modo differenzialeottenuto.

4.4 Amplificatore operazio-nale a transistor

Unendo alcuni degli stadi visti fino ad ora epossibile costruire un semplice amplificatoreoperazionale, la cui struttura e mostrata inFigura 4.11.

Questo circuito e equivalente al classicooperazionale con entrata differenziale eduscita single-ended. Per trovare quale deidue morsetti della coppia differenziale el’invertente e quale il non-invertente met-tiamo Vin2 a massa e perturbiamo con unatensione positiva Vin1 : il collettore di Q1scende, mentre quello di Q2 (il transistoreconnesso con il resto del circuito) sale intensione. La tensione base-emettitore di Q5scende, cosı come l’uscita: Vin1 e l’entratainvertente.

Come tutti gli operazionali non e uti-

42

Figura 4.11: Amplificatore operazionale a transistor a tre stadi: entrata differenziale, guadagno,uscita.

lizzabile ad anello aperto: retroazioniamolodunque in modalita di amplificatore inver-tente. In questo modo la polarizzazionestessa fissa il punto di polarizzazione, facen-do in modo che ad entrate nulle corrispondauna uscita nulla.

Polarizzazione Per polarizzare la rete econveniente partire dall’uscita, con Vout = 0.Impostiamo, ad un valore di circa 4 − 5mAla corrente che scorre nel transistore Q6:

I6 =VeeRB

Dato che Vb6 = Vout + 0, 7V = 0, 7V :

I5 =Vee + 0, 7V

RA

Non essendo uno stadio di uscita non e ne-cessaria una potenza elevata: e sufficienteuna corrente di circa 1mA.Ora notiamo che Vb5 = Vcc − 0, 7V : pur es-sendo molto vicino a Vcc questo non crea

particolari problemi, dato che il guadagno etutto nello stadio successivo, e quindi questolivello non varia di molto rispetto al puntodi polarizzazione. Inoltre 0, 7V sono anchesufficienti a mantenere il transistore Q4 inzona attiva, senza farlo saturare.Passando allo stadio di ingresso, dato cheVb1 = Vb2 = 0

IRc +I

2Re + 0, 7V = Vee

I =Vee − 0, 7VRc + Re

2

≈ 2mA

Guadagno E’ importante ora fare alcuneconsiderazioni sulle resistenze viste (nell’ap-prossimazione di piccolo segnale) come ca-rico dai transistori Q5 e Q6. Se infatti os-serviamo l’espressione del guadagno di unostadio CE notiamo che vi compare la resi-stenza totale di collettore che, in questo caso,risulta essere il parallelo tra RA e Rin6

RL5 = RA//Rin6 =

43

= RA//

[β6

gm6

+ β6(RB//(R1 +R2))]≈

≈ RA//[β6

gm6

+ β6RB

]dove R1 ed R2 sono le resistenze di retroazio-ne esterne. Tipicamente Rin6 RA, dun-que la presenza dello stadio di uscita nonvaria di molto la resistenza di carico per Q5:

RL5 ≈ RA

E’ dunque molto facile ottenere un guadagnoelevato in questo stadio, essendo:

G2 ≈ −gm6RA = −RA/26Ω

La resistenza vista invece in ingresso a Q5 e:

Rin5 =β5

gm5

Quindi:

G1DM =β5/gm5

1/gm1 +Re

G1CM ≈ 0

Quindi, dato che G3 ≈ 1 essendo un emitter-follower, si ottiene il guadagno totale come:

Gtot = G1G2G3 ≈ G1DMG2 = − β5RA1/gm1 +Re

Nonostante l’espressione finale dipenda daβ, che e un parametro indesiderato, si riescecomunque ad ottenere un elevato guadagno,al di la dell’entita precisa.E’ anche possibile aggiungere un capacitoredi Miller sullo stadio CE per inserire nellafunzione di trasferimento un polo dominan-te che tagli a bassa frequenza in modo daevitare problemi di instabilita.

4.4.1 Amplificatore non invertente

Per testare il corretto funzionamento dell’o-perazionale appena discusso e possibile con-figurarlo secondo alcune semplici topologiecircuitali. In Figura 4.12 e mostrato il com-portamento di un amplificatore non inver-tente con un’eccitazione triangolare con fre-quenza fondamentale a 40Hz. In Figura4.13 e riportata anche la caratteristica ditrasferimento.

Figura 4.12: In azzurro: eccitazione triangola-re in entrata di ampiezza 2, 04V picco-picco; ingiallo: uscita triangolare a 11, 2V .

Metodo dell’ellisse E’ possibile studia-re qualitativamente lo sfasamento introdottodagli elementi capacitivi del circuito (in pri-mo luogo dal capacitore di polo dominante)osservando l’ellissoide che si forma nel dia-gramma XY.Esprimiamo infatti due segnali sinusoidali(entrata e uscita) come:

Vin = x = a sin(ωt)

Vout = y = b sin(ωt+ φ)

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Figura 4.13: Caratteristica di trasferimento re-lativa alla situazione ingresso-uscita di Figura4.12.

Combinando opportunamente le due equa-zioni (si sviluppa la seconda e si sostituiscela prima) si ottiene l’equazione dell’ellisse:

y2

b2+x2

a2− 2xy

abcosφ = sin 2φ

Se i segnali hanno la stessa ampiezza (a = b)l’ellisse diventa una circonferenza ed i duesegnali sono sfasati di π/2 o di 3π/2. Se losfasamento e 0 o π si ottiene invece un seg-mento.Se chiamiamo CD la massima estensione ver-ticale dell’ellisse e AB la sua ampiezza perx = 0 definiamo l’angolo di fase come:

sinφ =CD

AB

Nel caso di buffer non invertente, ricor-dando che il prodotto gain-bandwidth perun operazionale con retroazione puramenteresistiva e costante, si riesce ad ottenere, ascapito del guadagno, una massimizzazionedella banda passante. Nella Figura 4.14 e

mostrato il diagramma di trasferimento a100kHz, frequenza alla quale lo sfasamentoe ancora basso. In Figura 4.15 invece sinota come le due sinusoidi inizino gia apresentare un sensibile sfasamento l’unadall’altra.

Figura 4.14: Diagramma XY a 100kHz.

Figura 4.15: Diagramma XY a 200kHz.

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4.4.2 Trigger di Schmidtt noninvertente

Una topologia a feedback positivo moltosemplice e il trigger di Schmidtt, il cui com-portamento, per opportune soglie, e mostra-to in Figura 4.16, con il relativo diagrammaXY in Figura 4.17.

Figura 4.16: In azzurro: ingresso triangolare;in giallo: onda quadra in uscita, conseguenza delcomportamento bistabile del trigger.

Figura 4.17: Ciclo di isteresi caratteristico delcircuito a trigger di Schmidtt.

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