Relazione_sismica_finita

UNIVERSITÀ DELLA CALABRIA

FACOLTÀ DI INGEGNERIA

Corso di laurea in Ingegneria Civile

Specialistica in Strutture

Dipartimento di Modellistica per l’Ingegneria

Corso di Costruzioni in Zona Sismica

Progetto di:Analisi sismiche di un telaio spaziale

Docente: Studenti:

prof. ing. Alfonso VULCANO Marco LANZA

Paolo TALARICO

Esercitatore: Giuseppe TOMAINO

ing. Fabio MAZZA

Anno Accademico 2008/2009

Indice

INDICE

1. PREDIMENSIONAMENTO.......................................................................................1

1.1. Introduzione..........................................................................................................1

1.2. Dati geometrici.....................................................................................................1

1.3. Caratteristiche dei materiali..................................................................................3

1.4. Azioni sulla costruzione.......................................................................................3

1.5. Analisi dei carichi.................................................................................................4

1.6. Combinazione dei carichi.....................................................................................5

1.7. Predimensionamento pilastri................................................................................6

1.8. Predimensionamento travi....................................................................................9

2. ANALISI STATICA (SHEAR-TYPE).......................................................................22

2.1. Introduzione........................................................................................................22

2.2. Calcolo baricentri delle masse e delle rigidezze................................................22

2.3. Ripartizione taglianti di piano............................................................................24

2.4. Ripartizione taglianti di piano con eccentricità accidentale...............................27

2.5. Commenti...........................................................................................................31

3. ANALISI STATICA (CONDENSAZIONE STATICA)............................................33

3.1. Introduzione........................................................................................................33

3.2. Condensazione statica........................................................................................33


3.4. Commenti...........................................................................................................38

4. ANALISI DINAMICA (PSEUDO-DINAMICA)......................................................40

4.1. Introduzione........................................................................................................40

4.2. Analisi modale....................................................................................................40


4.4. Commenti...........................................................................................................48

i

Capitolo 1 - Predimensionamento

1. PREDIMENSIONAMENTO

1.1. Introduzione

Il presente progetto riguarda lo sviluppo di una serie di analisi sismiche utilizzabili

nell'ambito della progettazione strutturale.

Sono tutte concepite dalla attuale normativa presa come riferimento, il D.M. 14-01-08.

Ognuna di esse si basa su ipotesi che, se soddisfatte, definiscono elevati gradi di accuratezza

comunque in dipendenza dal caso.

Il lavoro, nonostante comprenda il predimensionamento degli elementi strutturali, non consta

in una vera e propria progettazione di un telaio, bensì nella valutazione degli effetti sismici

che si sviluppano su esso e nella ripartizione dei taglianti.

1.2. Dati geometrici

Tutte le grandezze geometriche del problema sono riassunte in tab. 1.1 e fanno riferimento

alle schematizzazioni riportate in fig. 1.1.

a 5.00 m

b 6.00 m

c 4.00 m

d 5.00 m

h1 4.00 m

h2 3.30 m

h3 3.30 m

Tab. 1.1 – Dati geometrici struttura

1


Fig. 1.1 – Prospetto e pianta struttura

Per quanto riguarda il solaio è stato utilizzato come criterio per il predimensionamento il

seguente:

HS≥125

{c ,d }

Ottenendo:

HS 20.0 cm

s 4.0 cm

hL 16.0 cm

sI 1.5 cm

sM 3.0 cm

b0 10.0 cm

i 50.0 cm

bL 40.0 cm

Tab. 1.2 – Dati geometrici solaio

Fig. 1.2 – Sezione solaio

2


Le dimensioni di partenza assunte per ogni elemento strutturale sono le seguenti:

Pilastri Travi Travi a spessore

Liv. 3 30 x 30 Liv. 3 30 x 50 Liv. 3 50 x HS

Liv. 2 40 x 40 Liv. 2 30 x 55 Liv. 2 55 x HS

Liv. 1 50 x 50 Liv. 1 30 x 60 Liv. 1 60 x HS

Tab 1.3 – Dimensioni di partenza elementi [cm]

1.3. Caratteristiche dei materiali

I materiali utilizzati per il progetto sono:

- Conglomerato C25/30;

- Acciaio B450C.

Le relative resistenze di calcolo risultano:

- f c, d=0.850.83⋅RCK

1.5=14.11 [N /mm2] ;

- f s ,d=f sk

1.15=391.30 [N /mm2

] .

1.4. Azioni sulla costruzione

• Pesi propri dei materiali strutturali

25.00 kN/m3 cemento armato

8.00 kN/m3 laterizi

• Carichi permanenti non strutturali

15.00 kN/m3 massetto

15.00 kN/m3 intonaco

0.40 kN/m3 pavimenti

1.20 kN/m2 incidenza tramezzi

2.70 kN/m2 incidenza tamponatura

0.30 kN/m2 impermeabilizzazione

3


• Carichi variabili

2.00 kN/m2 carico di esercizio

neve zona III, aS=200 m

VN=50anni

CU=1

VR=VN⋅CU=50 anni

1.5. Analisi dei carichi

In base a quanto visto finora è stata svolta l'analisi dei carichi, che determina l'influenza che

hanno pesi e azioni relativamente ad un metro lineare.

• Carichi permanenti strutturali

gS=25⋅s⋅1m soletta

gN=25⋅b0⋅hL⋅2 nervature

gL=8⋅bL⋅hL⋅2 laterizi

• Carichi permanenti non strutturali

gM=15⋅sM⋅1m massetto

g I=15⋅sI⋅1m intonaco

gP=0.4⋅1m pavimento

gTRAM=1.2⋅1m tramezzi

gTAMP=2.7⋅h i tamponature

g IMP=0.3⋅1m impermeabilizzazione

• Carichi variabili

QK1=i⋅qSK⋅cE⋅cT neve

QK2=2.0⋅1m manutenzione

I valori ottenuti sono riportati nella tab. 1.4.

4


gS 1.00 kN/m

gN 1.00 kN/m

gL 1.02 kN/m

gM 0.45 kN/m

gI 0.23 kN/m

gP 0.40 kN/m

gTRAM 1.20 kN/m

gTAMP,3 8.91 kN/m2

gTAMP,2 8.91 kN/m2

gIMP 0.30 kN/m

QK1 0.48 kN/m2

QK2 2.00 kN/m2

Tab 1.4 – Riepilogo analisi dei carichi

1.6. Combinazione dei carichi

Facendo riferimento alla sola combinazione per stati limite ultimi (SLU), come prescritto da

normativa si è fatto riferimento alle seguenti tre combinazioni di carichi:

• Combinazione 1 – Soli carichi verticali

Fd1=G1⋅G1G2⋅G2Q1⋅QK1∑i=1

n

Qi⋅0i⋅QKi

• Combinazione 2/3 – Soli carichi verticali in presenza di sisma nelle due direzioni

Fd2,3=±EG1G2∑i=1

n

2i⋅QKi

dove i simboli riportati sono:

G1=gSgNgL peso permanente strutturale

G2=gMgIgP{g IMP , gTRAM} peso permanente non strutturale

G1=1.3 coefficiente parziale del peso proprio della struttura

G2=1.5 coefficiente parziale dei pesi propri non strutturali

Qi=1.5 coefficiente parziale delle azioni variabili

Le precedenti espressioni permettono di ricavare per ogni piano e per ogni combinazione di

5


carico i seguenti valori:

Combinazione 1 Combinazione 2 Combinazione 3

Fd3 8.31 Fd3 3.60 Fd3 3.60

Fd2 9.30 Fd2 5.10 Fd2 5.10

Fd1 9.30 Fd1 5.10 Fd1 5.10

Tab 1.5 – Riepilogo combinazione dei carichi [kN/m]

1.7. Predimensionamento pilastri

Il predimensionamento dei pilastri si esegue determinando la sezione del pilastro attraverso

sforzo normale, considerando la presenza dei soli carichi verticali ottenuti dalla combinazione

1 (v. par. 1.6).

L'aliquota di carico ripartito gravante su ciascun pilastro è stata valutata attraverso il metodo

delle aree di influenza.

Fig. 1.3 – Aree di influenza pilastri

Questo metodo ripartisce per ogni impalcato il peso del solaio, il peso delle travi trasversali e

il peso della tamponatura secondo delle aree d'influenza proprie per ognuno dei 9 pilastri.

Ogni pilastro regge mezza luce.

Tali aree non rappresentano la reale ripartizione e ipotizzano trave schematizzata come

6


appoggio-appoggio, quindi nella valutazione si tengono conto di coefficienti correttivi da

applicare ad ogni colonna.

Fig. 1.4 – Tipi di pilastri

kpil, Angolo=1.0 kpil, Laterali=1.2 kpil, Centro=1.4

Infine lo sforzo normale al piede di ogni pilastro è stato valutato considerando anche il peso

proprio del pilastro stesso. La schematizzazione è la seguente:

Fig. 1.5 – Schematizzazione pesi per ogni tipo di pilastro

In seguito vengono tabellati i risultati ottenuti finora facendo riferimento alla fig. 1.6.

7


Fig. 1.6 – Numerazione pilastri

Pilastro N1 N2 N3 N4 N5 N6 N7 N8 N9

Liv. 3 73.16 190.70 83.91 188.21 98.82 166.19 85.99 162.84 365.97

Liv. 2 197.17 467.09 226.19 450.58 260.81 415.10 228.99 396.87 780.58

Liv. 1 327.71 754.50 373.64 723.97 429.81 675.31 378.76 641.63 1217.35

Tab 1.6 – Sforzo normale alla base dei pilastri [kN]

Il predimensionamento si è effettuato attraverso una relazione semplificata:

Ateo ,c=N

c0, rid

dove:

c0, rid=0,3⋅f c ,d

0,4⋅f c,d

0,5⋅f c ,d

per pilastro d ' angoloper pilastro lateraleper pilastro centrale

Pilastro N1 N2 N3 N4 N5 N6 N7 N8 N9

Liv. 3 0.02 0.03 0.02 0.03 0.02 0.03 0.02 0.03 0.05

Liv. 2 0.05 0.08 0.05 0.08 0.06 0.07 0.05 0.07 0.11

Liv. 1 0.08 0.13 0.09 0.13 0.10 0.12 0.09 0.11 0.17

Tab 1.7 – Aree teoriche pilastri [m2]

Si sono tenute in considerazione, in questa fase, alcune accortezze:

- dimensioni della sezione dei pilastri non inferiori a 30.0 cm per lato;

8


- risega pari a 5.0 cm o 10.0 cm, per avere una graduale ripartizione delle rigidezze e

una migliore risposta sismica;

- sforzo normale adimensionalizzato n=N

bPIL⋅hPIL⋅f c ,d

≤0.5 .

Per quanto precedentemente detto si è ottenuto:

Pilastro A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9

Liv. 3 0.09 0.09 0.09 0.09 0.09 0.09 0.09 0.09 0.09

Liv. 2 0.11 0.12 0.11 0.12 0.11 0.12 0.11 0.12 0.16

Liv. 1 0.12 0.15 0.12 0.15 0.12 0.15 0.12 0.15 0.25

Tab 1.8 – Aree effettive pilastri [m2]

Pilastro n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9

Liv. 3 0.06 0.15 0.07 0.15 0.08 0.13 0.07 0.13 0.29

Liv. 2 0.13 0.28 0.15 0.27 0.18 0.25 0.15 0.23 0.35

Liv. 1 0.19 0.36 0.22 0.34 0.25 0.32 0.22 0.30 0.35

Tab 1.9 – Sforzo normale adimensionalizzato

1.8. Predimensionamento travi

Il predimensionamento delle travi si esegue determinando la sezione delle travi attraverso

momento flettente, analizzando separatamente la presenza dei soli carichi verticali, ottenuti

dalle tre combinazioni di carico (v. par. 1.6), e la presenza dei soli carichi orizzontali.

Il predimensionamento lo si esegue non su tutti e 6 i telai ma solo considerando i 2 telai

esterni più sollecitati (direzione x e y) e i 2 telai interni (direzione x e y).

Per quanto riguarda i carichi verticali, l'aliquota di carico ripartito gravante su ciascuna trave è

stata valutata attraverso il metodo delle aree di influenza.

Questo metodo ripartisce per ogni impalcato il peso del solaio, il peso proprio del traverso

considerato e il peso della tamponatura secondo delle aree d'influenza, schematizzate in fig.

1.7 e proprie per ognuna delle 18 travi.

L'orditura del solaio è ovunque orientata lungo x, ne consegue che le travi orientate lungo x

reggono mezza luce, le travi orientate lungo y reggono un'area pari alla loro impronta (0.30

m) più 0.50 m da entrambi i lati.

9


Fig. 1.7 – Aree di influenza travi

Tali aree non rappresentano la reale ripartizione e ipotizzano trave schematizzata come

semplicemente appoggiata, quindi nella valutazione si tengono conto di coefficienti correttivi

da applicare ad ogni traverso.

k tra, Esterna=1.00 k tra , Interna=1.25

Sono stati ottenuti i carichi ripartiti linearmente sulle varie travi per ogni condizione di carico,

riportati in allegato 1.

In tab. 1.10 è riportato un sommario di tali carichi ripartiti.

Condizione 1 Condizione 2 Condizione 3

Dir. x Dir. y Dir. x Dir. y Dir. x Dir. y

Liv. 3esterno 25.66 9.03 13.87 6.67 13.87 6.67

interno 51.64 7.41 25.12 5.05 25.12 5.05

Liv. 2esterno 41.99 23.38 31.48 21.28 31.48 21.28

interno 57.70 8.23 34.04 6.12 34.04 6.12

Liv. 1esterno 42.47 23.87 31.96 21.76 31.96 21.76

interno 58.18 8.55 34.53 6.45 34.53 6.45

Tab. 1.10 – Carichi ripartiti sui traversi [kN/m]

Per quanto riguarda i carichi orizzontali l'aliquota di forza concentrata in corrispondenza di

ogni impalcato è stata valutata attraverso i contributi sismici.

Si ipotizza che l'intera massa della struttura si trovi concentrata unicamente nei 3 impalcati,

10


permettendo di valutare in maniera semplificata il peso sismico (W) strutturale.

W=G 1G2⋅ab cd 0.7⋅gTAMP⋅h⋅2 abcd ∑i=1

6

c⋅A tra, i∑i=1

9

c⋅A pil, i∑i=1

n

2i⋅QKi⋅ab cd

In seguito è stato possibile valutare la pseudo-accelerazione spettrale. A tal fine è stato

utilizzato il software Spettri NTC ver. 1.0.3 fornito dal Consiglio Superiore dei Lavori

Pubblici.

Questa la si determina in corrispondenza del periodo di vibrazione della struttura, valutato in

maniera empirica come:

T1=0.075⋅h1h2h33/4

Le caratteristiche che stanno alla base del calcolo della pseudo-accelerazione spettrale sono:

• struttura ubicata nel comune di Cosenza;

• vita nominale della costruzione VN=50anni ;

• coefficiente d'uso della costruzione cU=1 ;

• condizioni di stato limite di salvaguardia SLV;

• categoria B di sottosuolo;

• categoria topografica T1;

• fattore di struttura q=5.85 .

Dai presenti dati si è ottenuto il seguente spettro di risposta.

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

7,00

8,00

elasticoinelastico

To [s]

Sa [m/s2]

Fig. 1.8 – Spettro di risposta

11


Successivamente si è calcolata la forzante sismica che interamente investe la struttura in

condizioni di stato limite di salvaguardia (SLV) attraverso la relazione:

Fh=

∑i=1

nP

W i

g⋅Sa T1

dove:

- Wi è il peso sismico di ogni impalcato;

- g è l'accelerazione di gravità;

- =0.85 se nP≥3 e T1≤2 TC ;

- Sa è la pseudo accelerazione spettrale.

Infine è stata ripartita questa forzante sismica totale, applicata in modo statico, ai vari piani in

maniera pesata.

Fhi=Fh

Wi⋅z i

∑j=1

n P

W j⋅z j

I risultati ottenuti fino ad ora sono riassunti nella seguente tabella:

W3 674.11 kN

W2 1078.92 kN

W1 1134.51 kN

T1 0.44 s

Sa 1.26 m/s2

Fh 314,61 kN

Fh3 114.93 kN

Fh2 126.68 kN

Fh1 72.99 kN

Tab 1.11 – Riepilogo risultati

Le forze sismiche di impalcato sono state ripartite su tutti i telai del piano considerato

mediante aliquote ottenute per esperienza, come rappresentato in figura.

È stato riportato in allegato 3 una schematizzazione.

12


Fig. 1.9 – Ripartizione forzante sismica di piano

In tabella è riportato un sommario delle forze concentrate in relazione al piano e al telaio.

Sisma in x Sisma in y

Liv. 3esterno 38.31 45.97

interno 38.31 22.99


interno 42.23 25.34


interno 24.33 14.60

Tab 1.12 – Forze concentrate sui telai [kN]

Le due modalità di carico sui telai sono state risolte separatamente per la determinazione del

momento flettente sulle travi. La prima, carichi verticali, è stata risolta ipotizzando trave

continua appoggiata; la seconda, carichi orizzontali, è stata risolta ipotizzando telaio con

schema shear-type.

Si sono ottenuti gli andamenti riportati in allegato 2 e 3.

Si riorganizzano i risultati di momento flettente massimo nella seguente tabella in base

all'impalcato, telaio, condizione di carico e direzione del sisma.

13



MV MH MMAX MV MH MMAX MV MH MMAX

Liv. 3esterno 98.56 0.00 98.56 56.04 0.62 56.66 56.04 20.46 76.50

interno 198.35 0.00 198.35 102.71 4.28 106.99 102.71 16.79 119.50

Liv. 2esterno 161.29 0.00 161.29 123.68 34.14 157.82 123.68 48.40 172.08

interno 221.63 0.00 221.63 136.97 41.77 178.74 136.97 51.38 188.35

Liv. 1esterno 163.13 0.00 163.13 125.53 92.31 217.84 125.53 85.67 211.20

interno 223.47 0.00 223.47 138.86 110.52 249.38 138.86 108.02 246.88

Tab 1.13 – Momenti flettenti per sisma in direzione x [kNm]


MV MH MMAX MV MH MMAX MV MH MMAX

Liv. 3esterno 23.39 0.00 23.39 17.28 17.40 34.68 17.28 7.88 25.16

interno 19.20 0.00 19.20 13.08 11.85 24.93 13.08 0.79 13.87

Liv. 2esterno 60.57 0.00 60.57 55.13 55.56 110.69 55.13 43.48 98.61

interno 21.32 0.00 21.32 15.86 33.01 48.87 15.86 22.89 38.75

Liv. 1esterno 61.84 0.00 61.84 56.37 114.11 170.48 56.37 99.46 155.83

interno 22.15 0.00 22.15 16.71 66.50 83.21 16.71 64.64 81.35

Tab. 1.14 – Momenti flettenti per sisma in direzione y [kNm]

Il predimensionamento è stato effettuato attraverso la relazione di equilibrio per rottura critica

proveniente dalla metodologia stress-block, scegliendo, per ogni impalcato e telaio, la

sollecitazione massima tra le tre condizioni.

Si è andato a dimensionare per le travi emergenti l'altezza e per le travi in spessore la base

attraverso le seguenti relazioni:

- h= Mb⋅ 1

f cd⋅0.8⋅0.259⋅1−0.4⋅0.259

- b=M

h2⋅

1f cd⋅0.8⋅0.259⋅1−0.4⋅0.259


14


Telaio in x Telaio in y


interno 0.43 0.17


interno 0.53 0.32


interno 0.59 0.55

Tab. 1.15 – Dimensioni teoriche travi [m]

Si sono tenute in considerazione, in questa fase, alcune accortezze per quanto riguardano le

travi in spessore:

- b≤bPILHTRA ;

- b≤2⋅bPIL .

Telaio in x Telaio in y


interno 0.50 0.50


interno 0.55 0.55


interno 0.60 0.60

Tab. 1.16 – Dimensioni effettive travi [m]

Viene riportata di seguito la carpenteria delle travi e dei pilastri in scala 1:100.

15


Fig. 1.10 – Carpenteria pilastri 3° livello

16



17



18


Fig. 1.13 – Carpenteria travi 3° livello

19



20



21

Capitolo 2 – Analisi statica (shear-type)

2. ANALISI STATICA (SHEAR-TYPE)

2.1. Introduzione

In questo capitolo verrà affrontata una tipologia di analisi sismica che assume forzante

sismica applicata in modo statico sulla struttura. Tale analisi è molto semplificata e ipotizza,

su ogni telaio, un solo grado di libertà per ogni piano. È una forte semplificazione quella di

considerare il numero minimo di cinematismi della struttura che, per alcune tipologie di

strutture, come la presente, non effettua errori grossolani.

Questa analisi permette di ripartire attraverso le rigidezze dei telai la forzante sismica su ogni

telaio e livello.

2.2. Calcolo baricentri delle masse e delle rigidezze

Per lo sviluppo di questa analisi sismica e delle successive, bisogna determinare la posizione

del baricentro delle masse (G) e del baricentro delle rigidezze (C) per ogni impalcato.

In G si ipotizza concentrata l'intera massa dell'impalcato e quindi la relativa forza sismica.

Vista la difficile determinazione si schematizza coincidente con il baricentro geometrico

dell'impalcato, valutabile come:

xG=ab

2yG=

cd2

In C si ipotizza concentrata l'intera rigidezza dell'impalcato e quindi intorno a questo punto

esso ruoterà.

22


xC=

∑i=1

nTEL

kyi⋅x i

∑i=1

nTEL

k yi

yC=

∑j=1

nTEL

kxj⋅y j

∑j=1

n TEL

kxj

dove:

- xj è yi sono le distanze dei singoli telai dal baricentro G;

- kxj e kyi sono le rigidezze laterali dei singoli telai.

kyi=12∑n=1

9 E⋅IXn

h n3 kxj=12∑

n=1

9 E⋅IYn

hn3

Si ottiene allora che G coincide per ogni piano, mentre C tende a spostarsi ad ogni piano verso

i telai più rigidi.

In fig. 2.1 viene riportato il caso in esame con le grandezze introdotte finora.

Fig. 2.1 – Posizione baricentri e distanze telai


Baricentro G Baricentro C Eccentricità C-G

X Y X Y X Y

Liv. 3 5.50 4.50 5.33 4.67 -0.17 -0.17

Liv. 2 5.50 4.50 5.32 4.68 -0.18 -0.18

Liv. 1 5.50 4.50 5.30 4.70 -0.20 -0.20

Tab 2.1 – Posizione baricentri [m]

23


Rispetto G

x1 x2 x3 y1 y2 y3

-5.50 -0.50 5.50 -4.50 0.50 4.50

Rispetto C

x1' x2' x3' y1' y2' y3'

Liv. 3 -5.33 -0.33 5.67 -4.67 0.33 4.33

Liv. 2 -5.32 -0.32 5.68 -4.68 0.32 4.32

Liv. 1 -5.30 -0.30 5.70 -4.70 0.30 4.30

Tab 2.2 – Posizione telai rispetto i baricentri [m]

2.3. Ripartizione taglianti di piano

Per il cemento armato è possibile fare l'ipotesi di telaio che lavora secondo il modello shear-

type. Questo ipotizza:

- inestensibilità per tutti gli elementi ( EA∞ );

- infinita rigidezza flessionale per le travi ( EJTRA∞ );

- infinita rigidezza tagliante per tutti gli elementi ( GA∞ ).

Ne consegue che esso potrà solo subire una traslazione orizzontale in corrispondenza dei

traversi.

Trasportando le stesse ipotesi sulla struttura 3D e quindi sull'impalcato, ne consegue che esso

è inestensibile e infinitamente rigido flessionalmente e potrà solo subire due traslazioni nel

proprio piano e una rotazione secondo l'asse verticale.

Si conclude che ogni struttura 3D, sotto queste ipotesi, ha 3 gradi di libertà per impalcato.

La cinematica viene schematizzata nella seguente figura.

24


Fig. 2.2 – Cinematica impalcato

Scrivendo le equazioni di equilibrio per ogni piano è stato possibile determinare le tre

incognite cinematiche u, v e φ dell'impalcato per sisma orientato lungo x e lungo y.

u∑j=1

n TEL

kxj∑j=1

n TEL

kxj⋅y j=Fh

v∑i=1

nTEL

k yi−∑i=1

nTEL

kyi⋅x i=0

u∑j=1

n TEL

kxj⋅y jv∑i=1

nTEL

kyi⋅x i∑i=1

nTEL

k xj⋅y j2∑

i=1

n TEL

kyi⋅x i2=0

Le precedenti equazioni di equilibrio sono state scritte rispetto il baricentro delle masse G. È

possibile semplificare considerevolmente l'intero sistema scrivendolo rispetto il baricentro

delle rigidezze C, annullando così tutti i momenti statici. Si ottiene:

u '∑j=1

nTEL

k xj=Fh

v '∑i=1

nTEL

kyi=0

'∑i=1

n TEL

kxj⋅y ' j2∑

i=1

nTEL

kyi⋅x 'i2=Fh⋅eCG

La ripartizione della forzante sismica è stata fatta, per sisma in direzione x e y, come:

Fxj=k xju⋅y j Fyi=kyi v−⋅xi

In ultimo i taglianti alla base dei pilastri sono stati valutati come la sommatoria delle forzanti

25


sismiche superiori alla base considerata.


Sisma lungo x Sisma lungo y

u' v' φ' u' v' φ'

Liv. 3 0.0018 0.0000 -0.0000090 0.0000 0.0018 -0.0000090

Liv. 2 0.0011 0.0000 -0.0000063 0.0000 0.0011 -0.0000063

Liv. 1 0.0007 0.0000 -0.0000044 0.0000 0.0007 -0.0000044

Tab. 2.3 – Spostamenti impalcati [m, radianti]

Sisma lungo x

X1 X2 X3 Y1 Y2 Y3

Liv. 3 39.19 38.25 37.49 -1.01 -0.06 1.07

Liv. 2 41.44 45.83 39.41 -1.20 -0.08 1.29

Liv. 1 22.62 29.04 21.33 -0.76 -0.06 0.82

Sisma lungo y

X1 X2 X3 Y1 Y2 Y3

Liv. 3 0.88 -0.06 -0.82 37.30 38.25 39.38

Liv. 2 1.06 -0.08 -0.98 39.18 45.83 41.67

Liv. 1 0.67 -0.06 -0.62 21.19 29.04 22.76

Tab. 2.4 – Forzante sismica [kN]

Sisma lungo x

X1 X2 X3 Y1 Y2 Y3

Liv. 3 39.19 38.25 37.49 -1.01 -0.06 1.07

Liv. 2 80.64 84.08 76.90 -2.21 -0.15 2.36

Liv. 1 103.26 113.13 98.23 -2.97 -0.20 3.18

Sisma lungo y

X1 X2 X3 Y1 Y2 Y3

Liv. 3 0.88 -0.06 -0.82 37.30 38.25 39.38

Liv. 2 1.94 -0.15 -1.80 76.48 84.08 81.05

Liv. 1 2.62 -0.20 -2.41 97.67 113.13 103.82

Tab. 2.5 – Taglianti alla base [kN]

In allegato 4 sono riportati i taglianti sopra valutati.

26


2.4. Ripartizione taglianti di piano con eccentricità accidentale

Considerato che nella precedente analisi eseguita la posizione del baricentro G è approssimata

(v. par. 2.2), la normativa si cautela a riguardo introducendo un'ulteriore ipotesi. Pone un

range di variazione al baricentro G (eccentricità accidentale) in dipendenza della direzione del

sisma e della geometria dell'impalcato.

L'eccentricità accidentale da considerare è pari al ±5% della dimensione dell'edificio valutata

ortogonalmente alla direzione del sisma. È riportata in fig. 2.3 la rappresentazione.

Fig. 2.3 – Eccentricità accidentali per sisma nelle due direzioni

Ne consegue che bisogna ripetere identicamente l'analisi del par. 2.3 ulteriori 4 volte

spostando il baricentro G, contemporaneamente su tutto l'edificio, dell'eccentricità

accidentale.

Per sisma lungo x si è ottenuto:

27



X Y X Y X Y

Liv. 3 5.50 4.95 5.33 4.67 -0.17 -0.28

Liv. 2 5.50 4.95 5.32 4.68 -0.18 -0.27

Liv. 1 5.50 4.95 5.30 4.70 -0.20 -0.25

Tab 2.6 – Posizione baricentri +5% [m]


X Y X Y X Y

Liv. 3 5.50 4.05 5.33 4.67 -0.17 0.62

Liv. 2 5.50 4.05 5.32 4.68 -0.18 0.63

Liv. 1 5.50 4.05 5.30 4.70 -0.20 0.65

Tab 2.7 – Posizione baricentri -5% [m]


u' v' φ' u' v' φ'

Liv. 3 0.0018 0.0000 0.0000152 0.0000 0.0018 -0.0000090

Liv. 2 0.0011 0.0000 0.0000093 0.0000 0.0011 -0.0000063

Liv. 1 0.0007 0.0000 0.0000055 0.0000 0.0007 -0.0000044

Tab. 2.8 – Spostamenti impalcati +5% [m, radianti]


u' v' φ' u' v' φ'

Liv. 3 0.0018 0.0000 -0.0000331 0.0000 0.0018 -0.0000090

Liv. 2 0.0011 0.0000 -0.0000219 0.0000 0.0011 -0.0000063

Liv. 1 0.0007 0.0000 -0.0000142 0.0000 0.0007 -0.0000044

Tab. 2.9 – Spostamenti impalcati -5% [m, radianti]

X1 X2 X3 Y1 Y2 Y3

Liv. 3 36.81 38.42 39.70 1.71 0.11 -1.82

Liv. 2 38.81 46.04 41.83 1.79 0.12 -1.91

Liv. 1 21.10 29.17 22.72 0.96 0.07 -1.03

Tab. 2.10 – Forzante sismica +5% [kN]

28


X1 X2 X3 Y1 Y2 Y3

Liv. 3 41.58 38.08 35.28 -3.73 -0.23 3.96

Liv. 2 44.08 45.63 36.98 -4.20 -0.29 4.48

Liv. 1 24.14 28.91 19.94 -2.48 -0.19 2.66

Tab. 2.11 – Forzante sismica -5% [kN]

X1 X2 X3 Y1 Y2 Y3

Liv. 3 36.81 38.42 39.70 1.71 0.11 -1.82

Liv. 2 75.62 84.46 81.54 3.50 0.23 -3.73

Liv. 1 96.72 113.63 104.26 4.46 0.30 -4.76

Tab. 2.12 – Taglianti alla base +5% [kN]

X1 X2 X3 Y1 Y2 Y3

Liv. 3 41.58 38.08 35.28 -3.73 -0.23 3.96

Liv. 2 85.65 83.71 72.26 -7.93 -0.52 8.45

Liv. 1 109.80 112.62 92.19 -10.40 -0.71 11.11

Tab. 2.13 – Taglianti alla base -5% [kN]

Per sisma lungo y si è ottenuto:


X Y X Y X Y

Liv. 3 6.05 4.50 5.33 4.67 -0.72 0.17

Liv. 2 6.05 4.50 5.32 4.68 -0.73 0.18

Liv. 1 6.05 4.50 5.30 4.70 -0.75 0.20

Tab 2.14 – Posizione baricentri +5% [m]


X Y X Y X Y

Liv. 3 4.95 4.50 5.33 4.67 0.38 0.17

Liv. 2 4.95 4.50 5.32 4.68 0.37 0.18

Liv. 1 4.95 4.50 5.30 4.70 0.35 0.20

Tab. 2.15 – Posizione baricentri -5% [m]

29



u' v' φ' u' v' φ'

Liv. 3 0.0018 0.0000 -0.0000090 0.0000 0.0018 -0.0000385

Liv. 2 0.0011 0.0000 -0.0000063 0.0000 0.0011 -0.0000253

Liv. 1 0.0007 0.0000 -0.0000044 0.0000 0.0007 -0.0000164

Tab. 2.16 – Spostamenti impalcati +5% [m, radianti]


u' v' φ' u' v' φ'

Liv. 3 0.0018 0.0000 -0.0000090 0.0000 0.0018 0.0000206

Liv. 2 0.0011 0.0000 -0.0000063 0.0000 0.0011 0.0000128

Liv. 1 0.0007 0.0000 -0.0000044 0.0000 0.0007 0.0000077

Tab. 2.17 – Spostamenti impalcati -5% [m, radianti]

X1 X2 X3 Y1 Y2 Y3

Liv. 3 3.79 -0.27 -3.52 33.98 38.04 42.92

Liv. 2 4.28 -0.33 -3.95 35.52 45.59 45.58

Liv. 1 2.53 -0.22 -2.32 19.09 28.88 25.02

Tab. 2.18 – Forzante sismica +5% [kN]

X1 X2 X3 Y1 Y2 Y3

Liv. 3 -2.03 0.14 1.88 40.63 38.46 35.85

Liv. 2 -2.16 0.17 1.99 42.84 46.08 37.77

Liv. 1 -1.19 0.10 1.09 23.28 29.20 20.51

Tab. 2.19 – Forzante sismica -5% [kN]

X1 X2 X3 Y1 Y2 Y3

Liv. 3 3.79 -0.27 -3.52 33.98 38.04 42.92

Liv. 2 8.07 -0.60 -7.47 69.50 83.63 88.49

Liv. 1 10.61 -0.82 -9.79 88.59 112.51 113.51

Tab. 2.20 – Taglianti alla base +5% [kN]

30


X1 X2 X3 Y1 Y2 Y3

Liv. 3 -2.03 0.14 1.88 40.63 38.46 35.85

Liv. 2 -4.19 0.31 3.87 83.47 84.54 73.61

Liv. 1 -5.37 0.41 4.96 106.75 113.74 94.12

Tab. 2.21 – Taglianti alla base -5% [kN]


2.5. Commenti

La precedente analisi è stata sviluppata determinando la posizione del baricentro delle masse,

supposto per semplicità di calcolo coincidente con il baricentro geometrico di ogni impalcato,

e il baricentro delle rigidezze, variabile su ogni impalcato. Da notare che questi due punti non

coincidendo tra loro creano effetti torcenti sulla struttura.

In seguito si è imposto l'equilibrio statico ai vari impalcati per ogni grado di libertà

permettendo di determinare, attraverso il contributo delle rigidezze di telaio, l'aliquota di forza

sismica che compete ai vari telai.

Infine la valutazione dei taglianti è stata eseguita sommando sui vari piani il contributo

sismico corrispondente.

Le procedure descritte nel presente capitolo riguardano la più semplice analisi sismica

concepita dal D.M. 14-01-08. Essa è caratterizzata da forti semplificazioni di base:

a) comportamento della struttura shear-type;

b) posizione baricentri approssimata;

c) analisi di tipo statico;

d) periodo di vibrazione della struttura valutato in maniera empirica;

e) modo di vibrazione lineare;

f) massa eccitata 85%.

L'ipotesi a) è utilizzabile generalmente in fase di predimensionamento, per strutture basse e

con rigidezza flessionale delle travi almeno 10 volte quella dei pilastri. Questa condizione in

generale si realizza maggiormente ai piani alti delle strutture. Tale ipotesi semplifica

enormemente la cinematica della struttura e quindi la risoluzione del problema.

L'ipotesi b) consiste nel distribuire uniformemente la massa dell'impalcato e fare affidamento

31


unicamente alle rigidezze dei pilastri. La prima consegue dal difficile calcolo legato alla

situazione reale, la seconda consegue dal comportamento shear-type attribuito al telaio.

L'ipotesi b) è anch'essa semplificatoria e consiste nell'applicare il valore massimo di progetto

della forzante sismica (che ha natura dinamica) in maniera statica. Tale ipotesi è lecito farla,

soprattutto in fase iniziale di progetto, poiché non è conveniente avviare un'analisi dinamica

vista la scarsa definizione delle caratteristiche della struttura.

L'ipotesi c) consiste nella valutazione del più basso periodo proprio di vibrazione della

struttura. Tale ipotesi è bene usarla per strutture semplici, il più regolari possibili. È una

relazione di prima approssimazione da utilizzare nelle fasi iniziali di progetto.

Le ipotesi d) ed e) sono congiunte. Si usano per strutture semplici e il più regolari possibili.

La struttura vibra con una deformata di tipo lineare, prossima a quella del primo modo di

vibrare, sulla quale viene eccitato il minimo normativo di massa.

Le precedenti considerazioni portano a risultati che si avvicinano a quelli veri ma che tali non

possono essere considerati, poiché sottostimano nettamente i reali taglianti agenti alla base dei

pilastri dei telai.

Inoltre vista la forte approssimazione che riguarda la posizione del baricentro delle masse, la

normativa si cautela attraverso l'eccentricità accidentale.

Paragonando i taglianti alla base delle due precedenti analisi si nota che questi hanno valori

notevolmente differenti tra i vari casi.

32

Capitolo 3 – Analisi statica (condensazione statica)

3. ANALISI STATICA (CONDENSAZIONE STATICA)

3.1. Introduzione

In questo capitolo verrà affrontata una tipologia di analisi sismica che assume forzante

sismica applicata in modo statico sulla struttura. Tale analisi è semplificata e ipotizza, su ogni

telaio, un solo grado di libertà alla traslazione per ogni piano e tutti i gradi di libertà

rotazionali. È una semplificazione quella di non considerare la totalità dei cinematismi della

struttura che, per alcune tipologie di strutture, come la presente, effettua errori di modesta

entità.

Questa analisi permette di ripartire attraverso le rigidezze dei telai la forzante sismica su ogni

telaio e livello.

3.2. Condensazione statica

È possibile eseguire un'analisi semplificata che non fa lavorare il telaio secondo il modello

shear-type ma che analizza la struttura nel suo insieme. Questa ipotizza:

- inestensibilità per tutti gli elementi ( EA∞ );

- infinita rigidezza tagliante per tutti gli elementi ( GA∞ ).

Ne consegue che ogni telaio potrà solo subire una traslazione orizzontale in corrispondenza

dei traversi e una rotazione in corrispondenza ogni nodo. I gradi di libertà vengono

schematizzati nella seguente fig. 3.1.

Trasportando queste ipotesi direttamente sulla struttura 3D si va verso una risoluzione

complicata del problema vista la grande quantità di incognite. Perciò si preferisce semplificare

il tutto lavorando sulla matrice di rigidezza condensata.

33


Fig. 3.1 – Gradi di libertà telaio

Vengono eliminati sui telai tutti i gradi di libertà sui quali forze e coppie non fanno lavoro.

Nel nostro caso tutti i contributi dovuti alle rotazioni vengono inglobati nei contributi dovuti

alle traslazioni.

Algebricamente il problema si scrive come:

dove:

- ktt è la matrice di rigidezza che lega forze a spostamenti del singolo telaio;

- ktφ è la matrice di rigidezza che lega forze a rotazioni del singolo telaio;

- kφt è la matrice di rigidezza che lega momenti a spostamenti del singolo telaio;

- kφφ è la matrice di rigidezza che lega momenti a rotazioni del singolo telaio;

- ut è il vettore delle traslazioni del singolo telaio;

- uφ è il vettore delle rotazioni del singolo telaio;

- Ft è l'aliquota di forzante sismica sul singolo telaio.

Sviluppando il sistema di equazioni si arriva alla scrittura della matrice condensata (kt).

Si ottengono tante matrici delle rigidezze condensate quanti sono i telai, nel nostro problema

si ottiene ktx1, ktx2, ktx3, kty1, kty2, kty3.

34



Come fatto nelle precedenti analisi, trasportando le stesse ipotesi dei telai sulla struttura 3D e

quindi sull'impalcato, ne consegue che esso è infinitamente rigido e potrà solo subire due

traslazioni e una rotazione secondo l'asse verticale.

Si conclude che ogni struttura 3D, sotto queste ipotesi, ha 3 gradi di libertà per impalcato.

La matrice di rigidezza dell'intera struttura si scrive come:

dove:

- ;

- ;

- ;

- ;

- ;

- ;

- ;

- ;

- ;

Nelle seguenti tabelle vengono riportati le matrici trattate finora:

ktx1 ktx2 ktx3

64013 -34446 2457 76847 -39035 2563 63891 -34412 2481

-34446 49998 -19094 -39035 53363 -19202 -34412 49906 -19116

2457 -19094 16787 2563 -19202 16792 2481 -19116 16795

Tab. 3.1 – Matrici delle rigidezze condensate telai in x [kN/m]

35


kty1 kty2 kty3

64731 -34686 2140 62819 -34090 6202 64593 -34646 2170

-34686 51011 -19388 -34090 37554 -14278 -34646 50900 -19416

2140 -19388 17358 6202 -14278 9269 2170 -19416 17367

Tab. 3.2 – Matrici delle rigidezze condensate telai in y [kN/m]

K

204751 -107893 7502 0.00 0.00 0.00 37874 -19363 1389

-107893 153267 -57414 0.00 0.00 0.00 -19363 26266 -9701

7502 -57414 50376 0.00 0.00 0.00 1389 -9701 8432

0.00 0.00 0.00 192144 -103423 10513 32165 -17262 2936

0.00 0.00 0.00 -103423 139466 -53083 -17262 19386 -6986

0.00 0.00 0.00 10513 -53083 43996 2936 -6986 4586

37874 -19363 1389 32165 -17262 2936 6537064 -3509996 232593

-19363 26266 -9701 -17262 19386 -6986 -3509996 5128635 -1955992

1389 -9701 8432 2936 -6986 4586 232593 -1955992 1737054

Tab. 3.3 – Matrice spaziale delle rigidezze [kN/m, kN, kNm]

Scrivendo l'equazione globale di equilibrio è stato possibile determinare il vettore U

contenente le incognite cinematiche u, v e φ di ogni livello per sisma orientato lungo x e

lungo y.

in cui:

-

36


-

Dagli spostamenti degli impalcati si sono ottenuti i contributi di spostamento relativi ad ogni

telaio.

La ripartizione della forzante sismica è stata fatta, per sisma in direzione x e y, come:

In ultimo i taglianti alla base dei pilastri sono stati valutati come la sommatoria delle forzanti

sismiche superiori alla base considerata.



u' v' φ' u' v' φ'

Liv. 3 0.0100 0.0000 -0.0000504 0.0000 0.0124 -0.0000286

Liv. 2 0.0072 0.0000 -0.0000375 0.0000 0.0090 -0.0000236

Liv. 1 0.0038 0.0000 -0.0000211 0.0000 0.0045 -0.0000158

Tab. 3.4 – Spostamenti impalcati [m, radianti]

Sisma lungo x

ηX1 ηX2 ηX3 ηY1 ηY2 ηY3

Liv. 3 0.0102 0.0099 0.0097 -0.0003 0.0000 0.0003

Liv. 2 0.0074 0.0072 0.0071 -0.0002 0.0000 0.0002

Liv. 1 0.0039 0.0038 0.0037 -0.0001 0.0000 0.0001

Sisma lungo y


Liv. 3 0.0001 0.0000 -0.0001 0.0122 0.0123 0.0125

Liv. 2 0.0001 0.0000 -0.0001 0.0088 0.0090 0.0091

Liv. 1 0.0001 0.0000 -0.0001 0.0044 0.0045 0.0046

Tab. 3.4 – Spostamenti telai ai vari livelli [m]

37


Sisma lungo x

X1 X2 X3 Y1 Y2 Y3

Liv. 3 39.27 38.03 37.64 -1.05 -0.03 1.07

Liv. 2 41.41 46.28 38.99 -1.11 0.00 1.11

Liv. 1 19.62 35.36 18.01 -0.89 -0.11 1.00

Sisma lungo y

X1 X2 X3 Y1 Y2 Y3

Liv. 3 0.32 -0.02 -0.30 49.81 14.52 50.61

Liv. 2 0.40 -0.03 -0.37 60.38 6.02 60.29

Liv. 1 1.27 -0.11 -1.16 7.26 55.43 10.30

Tab. 3.5 – Forzante sismica [kN]

Sisma lungo x

X1 X2 X3 Y1 Y2 Y3

Liv. 3 39.27 38.03 37.64 -1.05 -0.03 1.07

Liv. 2 80.68 84.31 76.63 -2.16 -0.03 2.19

Liv. 1 100.30 119.67 94.64 -3.05 -0.13 3.19

Sisma lungo y

X1 X2 X3 Y1 Y2 Y3

Liv. 3 0.32 -0.02 -0.30 49.81 14.52 50.61

Liv. 2 0.73 -0.06 -0.67 110.18 20.54 110.90

Liv. 1 2.00 -0.17 -1.83 117.44 75.97 121.20



3.4. Commenti

La precedente analisi è stata sviluppata attraverso la metodologia di condensazione statica,

che elimina per tutti i telai i gradi di libertà sui quali forze e coppie non fanno lavoro. Questa

semplifica notevolmente il problema poiché riduce nettamente i cinematismi della struttura.

In seguito, costruita la matrice di rigidezza della struttura spaziale, si è imposto l'equilibrio

statico ai vari impalcati per ogni grado di libertà permettendo di determinare, attraverso le

38


rigidezze condensate dei telai, l'aliquota di forza sismica che gli compete.


sismico corrispondente.

La procedura descritta nel presente capitolo riguarda una semplice e anche accurata analisi

sismica concepita dal D.M. 14-01-08. Essa è caratterizzata da alcune semplificazioni di base:

a) condensazione statica della matrice di rigidezza;

b) analisi di tipo statico;

c) periodo di vibrazione della struttura valutato in maniera empirica;

d) modo di vibrazione lineare;

e) massa eccitata 85%.

L'ipotesi a) è utilizzabile generalmente in fase di predimensionamento, per strutture che hanno

un notevole numero di gradi di libertà. Tale ipotesi semplifica nettamente la cinematica della

struttura e quindi la risoluzione del problema.

L'ipotesi b) è anch'essa semplificatoria e consiste nell'applicare il valore massimo di progetto

della forzante sismica (che ha natura dinamica) in maniera statica. Tale ipotesi è lecito farla,

soprattutto in fase iniziale di progetto, poiché non è conveniente avviare un'analisi dinamica

vista la scarsa definizione delle caratteristiche della struttura.

L'ipotesi c) consiste nella valutazione del più basso periodo proprio di vibrazione della

struttura. Tale ipotesi è bene usarla per strutture semplici, il più regolari possibili. È una

relazione di prima approssimazione da utilizzare nelle fasi iniziali di progetto.

Le ipotesi d) ed e) sono congiunte. Si usano per strutture semplici e il più regolari possibili.

La struttura vibra con una deformata di tipo lineare, prossima a quella del primo modo di

vibrare, sulla quale viene eccitato il minimo normativo di massa.

Le precedenti considerazioni portano a risultati che si avvicinano a quelli veri ma che tali non

possono essere considerati, poiché sottostimano i reali taglianti agenti alla base dei pilastri dei

telai.

Paragonando i taglianti alla base delle due precedenti analisi si nota che questi hanno valori

differenti tra loro. È semplice concludere che l'analisi per condensazione statica ha un grado

di accuratezza maggiore rispetto all'analisi statica con shear-type vista la minore

approssimazione del problema.

39

Capitolo 4 – Analisi dinamica (pseudo-dinamica)

4. ANALISI DINAMICA (PSEUDO-DINAMICA)

4.1. Introduzione

In questo capitolo verrà affrontato un tipo di analisi che determina la massima forzante

sismica attraverso l'analisi dinamica e l'assume applicata in modo statico sulla struttura. È una

metodologia più accurata delle precedenti, che però non tiene in conto della alternata

applicazione dei versi della forzante sismica e conseguentemente dei cicli a fatica.

Tutte le grandezze statiche che questa analisi utilizza sono le medesime riportate nel capitolo

precedente.

4.2. Analisi modale

Inizialmente si sono analizzati i modi di vibrare della struttura. Per far ciò si sono studiate le

vibrazioni libere non smorzate, cioè con forzante nulla applicata e assenza di dissipazione.

L'equazione alla base di questo problema dinamico è:

dove:

- M è la matrice delle masse della struttura spaziale;

- K è la matrice di rigidezza della struttura spaziale;

- u è il vettore spostamento della struttura spaziale.

È stato necessario costruire la matrice M. Per convenienza si è scelto di costruirla non

ponendo il sistema di riferimento di ogni impalcato nel baricentro delle rigidezze C, come

fatto precedentemente. Se valutata rispetto al baricentro delle masse G, la matrice delle masse

risulta diagonale poiché si azzerano i termini di momento statico rispetto G. I termini non

40


nulli sono riferiti alle masse degli impalcati per le accelerazioni u e v e alle inerzie

rotazionali per le accelerazioni .

Ipotizzando una soluzione per u(t) ne uscirebbe un problema singolare, risolvibile solo

attraverso un problema agli autovalori.

Ponendo nullo il determinante della matrice tra parentesi si ottiene la soluzione non banale

dell'autovettore Φ e dell'autovalore ω.

Il primo è una matrice quadrata di dimensioni pari ai gradi di libertà della struttura. Essa

rappresenta i modi di vibrare della struttura, una forma adimensionalizzata della deformata.

Il secondo è un vettore di dimensioni pari ai gradi di libertà della struttura. Esso rappresenta la

frequenza circolare dei rispettivi modi di vibrare. Da questo è possibile ricavare il periodo di

vibrazione modale come:

T i=2i

Nelle seguenti tabelle vengono riportati i termini trattati finora:

M

115.65 0 0 0 0 0 0 0 0

0 109.98 0 0 0 0 0 0 0

0 0 68.72 0 0 0 0 0 0

0 0 0 115.65 0 0 0 0 0

0 0 0 0 109.98 0 0 0 0

0 0 0 0 0 68.72 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1946.75 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1851.36 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1156.73

Tab. 4.1 – Matrice spaziale delle masse [kN·s2/m]

41


Φ

0.0001 0.0319 0.0012 0.0004 -0.0570 -0.0017 -0.0019 0.0660 0.0031

0.0003 0.0608 0.0026 0.0002 -0.0384 -0.0023 0.0017 -0.0625 -0.0028

0.0003 0.0831 0.0037 -0.0005 0.0818 0.0038 -0.0008 0.0304 0.0014

0.0307 -0.0001 0.0001 0.0568 0.0004 0.0002 -0.0668 -0.0020 0.0025

0.0610 -0.0003 0.0010 0.0395 0.0003 -0.0023 0.0616 0.0018 -0.0022

0.0836 -0.0004 0.0018 -0.0813 -0.0006 0.0024 -0.0306 -0.0009 0.0011

-0.0002 -0.0004 0.0081 -0.0003 0.0006 -0.0143 0.0002 -0.0005 0.0156

-0.0003 -0.0006 0.0149 -0.0001 0.0003 -0.0087 -0.0008 0.0008 -0.0156

-0.0003 -0.0008 0.0200 0.0005 -0.0009 0.0200 0.0007 -0.0006 0.0079

Tab.4.2 – Autovettori analisi modale

ω

132.87 163.80 324.53 908.51 1047.25 2094.31 2524.35 2678.75 5222.40

Tab. 4.3 – Autovalori analisi modale [rad/s]

Ti

0.545 0.491 0.349 0.208 0.194 0.137 0.125 0.121 0.087

Tab. 4.4 – Periodo di vibrazione modale [s]

Siccome non tutti i modi sono fondamentali ad un'analisi dinamica, attraverso la valutazione

delle masse efficaci nelle due direzioni, è possibile studiare i modi che eccitano

maggiormente la struttura.

dove i è il vettore di trascinamento nelle due direzioni:

42


Si sono tenute in considerazione, nella scelta, alcune accortezze:

- bisogna scegliere tutti i modi di vibrare più importanti, che da normativa devono

rappresentare non meno dell’85% della massa totale;

- bisogna in ogni caso privilegiare i modi di vibrare che rappresentano non meno del 5%

della massa totale.

Si è ottenuto:

mEX

0.005 258.689 0.458 0.001 26.993 0.037 0.007 8.138 0.019

0.00 % 87.89 % 0.16 % 0.00 % 9.17 % 0.01 % 0.00 % 2.76 % 0.01 %

mEY

256.462 0.006 0.064 28.449 0.002 0.004 9.335 0.008 0.015

87.13 % 0.00 % 0.02 % 9.76 % 0.00 % 0.00 % 3.17 % 0.00 % 0.01 %

Tab. 4.5 – Masse efficaci modali [kN·s2/m]

Ne consegue che i modi scelti sono il 2° e il 5° per sisma in direzione x e il 1° e il 4° per

sisma in direzione y.


In seguito sono state analizzate le forzanti sismiche associate ai modi di vibrare della struttura.

Per far ciò si sono studiate le vibrazioni forzate, cioè con forzante non nulla applicata.

L'equazione alla base di questo problema dinamico è:

dove:

- ug t è l'accelerazione al suolo del sisma;

- i è il vettore di trascinamento nelle due direzioni.

La soluzione di questa equazione del moto è:

dove:

- Sdi è lo pseudo-spostamento spettrale modale, determinabile come Sdi=Sai

i2 ;

43


- gi è il coefficiente di partecipazione nelle due direzioni, pari a .

La procedura consiste nel determinare il coefficiente di partecipazione modale nelle due

direzioni, in seguito la pseudo-accelerazione spettrale modale attraverso gli spettri di risposta

e Ti, valutare lo pseudo-spostamento spettrale modale e infine determinare il vettore di

spostamento massimo modale nelle due direzioni.

Viene riportato di seguito lo spettro di progetto per la determinazione di Sa.

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

7,00

8,00

elasticoinelastico

To [s]

Sa [m/s2]

Fig. 4.1 – Spettro di progetto

Nelle seguenti tabelle vengono riportati i termini trattati finora:

Sisma lungo x

0.069 16.084 0.677 0.034 -5.195 -0.193 -0.082 2.853 0.136

Sisma lungo y

16.014 -0.079 0.254 5.334 0.040 -0.065 -3.055 -0.090 0.124

Tab. 4.6 – Coefficiente di partecipazione modale

44


Sa

1.1498 1.2560 1.2560 1.2560 1.2560 1.5610 1.6911 1.7299 2.0961

Sd

0.0087 0.0077 0.0039 0.0014 0.0012 0.0007 0.0007 0.0006 0.0004

Tab. 4.7 – Pseudo-accelerazione e spostamento spettrale modale [m/s2, m]

1 2 3 4 5 6 7 8 9

8.45E-08 0.0039 3.21E-06 1.81E-08 0.0004 2.43E-07 1.02E-07 0.0001 1.67E-07

1.54E-07 0.0075 6.74E-06 1.15E-08 0.0002 3.37E-07 -9.33E-08 -0.0001 -1.56E-07

2.06E-07 0.0102 9.62E-06 -2.49E-08 -0.0005 -5.45E-07 4.33E-08 0.0001 7.55E-08

1.83E-05 -1.71E-05 3.88E-07 2.71E-06 -2.50E-06 -3.40E-08 3.66E-06 -3.63E-06 1.37E-07

3.63E-05 -3.74E-05 2.62E-06 1.88E-06 -1.98E-06 3.32E-07 -3.38E-06 3.35E-06 -1.18E-07

4.97E-05 -5.31E-05 4.84E-06 -3.88E-06 3.75E-06 -3.38E-07 1.68E-06 -1.67E-06 5.76E-08

-1.00E-07 -4.32E-05 2.11E-05 -1.38E-08 -3.71E-06 2.05E-06 -1.36E-08 -1.01E-06 8.54E-07

-1.62E-07 -7.82E-05 3.90E-05 -4.68E-09 -2.09E-06 1.24E-06 4.44E-08 1.47E-06 -8.50E-07

-2.03E-07 -1.05E-04 5.24E-05 2.53E-08 5.47E-06 -2.87E-06 -3.94E-08 -1.03E-06 4.33E-07

Tab. 4.8 – Spostamento modale impalcato per sisma in x [m]

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1.97E-05 -1.93E-05 1.20E-06 2.80E-06 -2.74E-06 8.17E-08 3.80E-06 -3.86E-06 1.52E-07

3.58E-05 -3.68E-05 2.53E-06 1.77E-06 -1.84E-06 1.13E-07 -3.48E-06 3.65E-06 -1.41E-07

4.80E-05 -5.03E-05 3.61E-06 -3.85E-06 3.92E-06 -1.83E-07 1.62E-06 -1.78E-06 6.85E-08

0.0043 8.39E-08 1.46E-07 0.0004 1.93E-08 -1.14E-08 0.0001 1.15E-07 1.24E-07

0.0085 1.83E-07 9.82E-07 0.0003 1.52E-08 1.12E-07 -0.0001 -1.06E-07 -1.07E-07

0.0116 2.61E-07 1.82E-06 -0.0006 -2.89E-08 -1.14E-07 0.0001 5.31E-08 5.23E-08

-2.33E-05 2.12E-07 7.92E-06 -2.14E-06 2.86E-08 6.90E-07 -5.09E-07 3.19E-08 7.75E-07

-3.77E-05 3.84E-07 1.46E-05 -7.23E-07 1.61E-08 4.19E-07 1.66E-06 -4.67E-08 -7.71E-07

-4.74E-05 5.14E-07 1.96E-05 3.91E-06 -4.21E-08 -9.66E-07 -1.47E-06 3.25E-08 3.93E-07

Tab. 4.9 – Spostamento modale impalcato per sisma in y [m]

Come fatto nel par. 2.5 è conveniente calcolare i contributi di spostamento modali relativi ad

ogni telaio.

La ripartizione della forzante sismica modale è stata fatta, per sisma in direzione x e y, come:

45


In ultimo i taglianti modali alla base dei pilastri sono stati valutati come la sommatoria delle

forzanti sismiche superiori alla base considerata.

I taglianti totali da considerare sono stati ottenuti come composizione di quelli modali

principali, secondo la relazione:

Txj=Txj2 2

Txj52 Tyi

i=Tyi

12Tyi

42


Modo 2°


Liv. 3 0.0107 0.0102 0.0098 -0.0006 -0.0001 0.0005

Liv. 2 0.0078 0.0075 0.0071 -0.0005 -0.0001 0.0004

Liv. 1 0.0041 0.0039 0.0037 -0.0003 0.0000 0.0002

Modo 5°


Liv. 3 -0.0005 -0.0005 -0.0005 0.0000 0.0000 0.0000

Liv. 2 0.0002 0.0002 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000

Liv. 1 0.0004 0.0004 0.0003 0.0000 0.0000 0.0000

Tab. 4.10 - Spostamenti modali telai ai vari livelli per sisma in x [m]

Modo 1°


Liv. 3 0.0003 0.0000 -0.0002 0.0113 0.0116 0.0119

Liv. 2 0.0002 0.0000 -0.0001 0.0082 0.0084 0.0087

Liv. 1 0.0001 0.0000 -0.0001 0.0041 0.0042 0.0044

Modo 4°


Liv. 3 0.0000 0.0000 0.0000 -0.0006 -0.0006 -0.0006

Liv. 2 0.0000 0.0000 0.0000 0.0003 0.0003 0.0003

Liv. 1 0.0000 0.0000 0.0000 0.0004 0.0004 0.0004

Tab. 4.11 – Spostamenti modali telai ai vari livelli per sisma in y [m]

46


Modo 2°

X1 X2 X3 Y1 Y2 Y3

Liv. 3 40.28 38.09 36.95 -2.40 -0.13 1.93

Liv. 2 45.22 49.10 40.66 -2.83 -0.05 2.21

Liv. 1 20.67 36.18 17.75 -1.60 -0.48 1.76

Modo 5°

X1 X2 X3 Y1 Y2 Y3

Liv. 3 -12.80 -12.18 -11.70 0.80 0.08 -0.60

Liv. 2 9.82 8.64 9.09 -0.55 -0.06 0.37

Liv. 1 13.94 16.57 12.53 -0.94 -0.13 0.77

Tab. 4.12 – Forzante sismica modale per sisma in x [kN]

Modo 1°

X1 X2 X3 Y1 Y2 Y3

Liv. 3 0.77 0.10 -0.43 45.60 13.10 47.14

Liv. 2 0.99 0.13 -0.59 57.83 6.90 58.86

Liv. 1 1.55 0.02 -1.26 5.53 50.96 8.97

Modo 4°

X1 X2 X3 Y1 Y2 Y3

Liv. 3 -0.43 -0.05 0.24 -14.73 -7.10 -15.59

Liv. 2 0.23 0.04 -0.10 11.74 5.21 12.17

Liv. 1 0.57 0.07 -0.35 15.16 12.63 16.25

Tab. 4.13 – Forzante sismica modale per sisma in y [kN]

Modo 2°

X1 X2 X3 Y1 Y2 Y3

Liv. 3 40.28 38.09 36.95 -2.40 -0.13 1.93

Liv. 2 85.50 87.19 77.61 -5.23 -0.17 4.14

Liv. 1 106.17 123.37 95.36 -6.83 -0.65 5.90

Modo 5°

X1 X2 X3 Y1 Y2 Y3

Liv. 3 -12.80 -12.18 -11.70 0.80 0.08 -0.60

Liv. 2 -2.99 -3.54 -2.61 0.25 0.02 -0.23

Liv. 1 10.95 13.03 9.91 -0.69 -0.11 0.54

Tab. 4.14 – Taglianti modali alla base per sisma in x [kN]

47


Modo 1°

X1 X2 X3 Y1 Y2 Y3

Liv. 3 0.77 0.10 -0.43 45.60 13.10 47.14

Liv. 2 1.76 0.23 -1.01 103.42 19.99 106.00

Liv. 1 3.30 0.24 -2.27 108.95 70.95 114.97

Modo 4°

X1 X2 X3 Y1 Y2 Y3

Liv. 3 -0.43 -0.05 0.24 -14.73 -7.10 -15.59

Liv. 2 -0.19 -0.01 0.14 -2.99 -1.89 -3.42

Liv. 1 0.38 0.06 -0.21 12.16 10.74 12.83

Tab. 4.15 – Taglianti modali alla base per sisma in y [kN]

Sisma lungo x

X1 X2 X3 Y1 Y2 Y3

Liv. 3 42.27 39.99 38.76 2.53 0.15 2.03

Liv. 2 85.55 87.26 77.65 5.23 0.17 4.15

Liv. 1 106.73 124.06 95.88 6.86 0.66 5.92

Sisma lungo y

X1 X2 X3 Y1 Y2 Y3

Liv. 3 0.88 0.12 0.49 47.92 14.90 49.65

Liv. 2 1.77 0.23 1.02 103.46 20.08 106.06

Liv. 1 3.33 0.25 2.28 109.63 71.76 115.68



In ultimo in allegato 8 vi è riportato un confronto tra i taglianti ottenuti con le principali

analisi svolte, analisi statica con ipotesi di telaio shear-type, analisi statica senza ipotesi di

telaio shear-type e analisi pseudo-dinamica.

4.4. Commenti

La precedente analisi è stata sviluppata attraverso la metodologia dell'analisi modale, che

studia dal punto dinamico il problema separando la parte spaziale da quella temporale.

48


Consiste nel determinare il modo di vibrare della struttura (deformata normalizzata

indipendente dal tempo) e la pulsazione legata ad ogni modo.

Attraverso la valutazione delle masse efficaci è stato possibile scrivere un metro di

valutazione, indipendente dalla normalizzazione utilizzata, per stabilire quali modi eccitano

più massa sulla struttura e quindi sono più influenti sul moto e sulla statica.

In seguito, attraverso il periodo modale, il coefficiente di partecipazione modale della massa e

gli spettri di progetto, è stato possibile ricavare la pseudo-accelerazione spettrale modale e

conseguentemente lo pseudo-spostamento spettrale modale e lo spostamento modale

dell'impalcato.

In seguito si è potuto determinare, attraverso le rigidezze condensate dei telai, l'aliquota di

forza sismica modale che compete ad ogni telaio.


sismico corrispondente e operando su questi una opportuna combinazione degli effetti.

La procedura descritta nel presente capitolo riguarda una tra le più accurate analisi sismiche

concepite dal D.M. 14-01-08. Essa è caratterizzata da una semplificazione di base:

a) analisi dinamica del problema;

b) applicazione della forzante sismica in maniera statica;

L'ipotesi a) permette un'analisi molto accurata. Consiste nel determinare attraverso un'analisi

dinamica gli spostamenti massimi che competono ad ogni telaio.

L'ipotesi b) è semplificatoria e consiste nell'applicare il valore massimo di progetto della

forzante sismica (che ha natura dinamica) in maniera statica.

Le precedenti considerazioni portano a risultati abbastanza prossimi a quelli veri poiché non si

è tenuto conto della natura dinamica della forza sismica.

Paragonando i taglianti alla base delle tre precedenti analisi si nota che questi hanno valori

differenti tra loro. È semplice concludere che l'analisi pseudo-dinamica è più accurata rispetto

alle due precedenti poiché non è vittima di tutte le approssimazioni viste nei capitoli

precedenti.

Infine è da notare che l'analisi statica ha determinato il primo periodo di vibrazione nel tratto

costante dello spettro di risposta, mentre l'analisi dinamica ha determinato il primo periodo di

vibrazione per sisma in x nel tratto costante e per sisma in y nel terzo tratto (discendente).

Si può concludere che la prima analisi attribuisce uguali rigidezze nelle due direzioni, mentre

la seconda rispecchia maggiormente la situazione reale.

49

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