Relazione Moti in Pressione

ESERCITAZIONE del CORSO DI COMPLEMENTI DI IDRAULICA A.A. 2013/2014!!!!!!!!!

UNIVERSIT DEGLI STUDI DI PADOVA Dipartimento di ICEA

Laurea Magistrale in Ingegneria Civile

!!!!!!!!!!!!

!!Moto Vario nelle Condotte

!Prof. Ing. Andrea Defina !!

Pascon Tommaso, 1079933 Trabacchin Giulia, 1084268

Zanchetta Stefano, 1081319 Zorzato Giacomo, 1084352

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

2

INDICE !

!!!!!!!!!!!!!!!

TESTO DEL PROBLEMA 4 INTRODUZIONE ALLANALISI NUMERICA 5

2.1. Premessa di teoria 5 2.2. Calcolo dati di Input 5 2.3. Calcolo condizioni a regime dopo il transitorio (t > ) 8 2.4. Impostazione del modello matematico (analisi elastica) 8 2.5. Impostazione del modello matematico (analisi anaelastica) 12

OUTPUT ELABORAZIONE NUMERICA E COMMENTI 16 3.1.Chiusura istantanea - TC = 0 s 16 3.2.Chiusura graduale - TC = /2 = 0,8 s 20 3.3.Chiusura graduale - TC = = 1,6 s 23 3.4.Chiusura graduale - TC = 2 = 3,2 s 26 3.5.Chiusura graduale - TC = 20 s 30 3.6.Chiusura graduale - TC = 40 s 31 3.7.Chiusura graduale - TC = 60 s 33

3

1. TESTO DEL PROBLEMA!

Le due condotte del sistema di figura sono caratterizzate dallo stesso diametro d=0.5 m. La condotta 1, tra il serbatoio A e il nodo N lunga L1=640 m, mentre la condotta 2 tra il nodo N e il serbatoio B lunga L2=800 m. Per entrambe le condotte si pu assumere un valore costante del coeciente di resistenza della formula di Darcy-Weisbach, f=0.025.

Le due condotte, inoltre, sono realizzate in materiali dierenti e tali per cui la celerit di propagazione di una perturbazione di pressione vale a1=800 m/s per la condotta 1 e a2=1000 m/s per la condotta 2.In corrispondenza del nodo N presente una diramazione attraverso la quale scaricata, al di fuori del sistema, la portata .

A partire da una condizione di moto permanente in cui la portata complessivamente scaricata vale Qf0=0.8 m3/s, si valutino gli andamenti nel tempo della quota piezometrica e delle velocit in alcune sezioni significative, a seguito della chiusura, in un tempo TC variabile tra 0 s e 60 s, della saracinesca che regola la portata Qf. La chiusura della saracinesca pu essere simulata assumendo una riduzione lineare nel tempo della portata Qf scaricata a partire da quella iniziale Qf0.

Si risolva poi lo stesso problema assumendo valide le ipotesi anelastiche e si confrontino i risultati con quelli precedentemente ottenuti lavorando in ipotesi elastiche.

!!!!!

s - ascissa curvilinea

4

2. INTRODUZIONE ALLANALISI NUMERICA!2.1. Premessa di teoria!

In idraulica i fenomeni di moto vario nelle condotte si possono suddividere in due grandi categorie:!

Oscillazioni di massa! Oscillazioni elastiche (la cui fase iniziale viene denominata colpo dariete)

Entrambe le tipologie sopracitate sono caratterizzate da una variazione continua delle caratteristiche che identificano lenergia della corrente (soprattutto la velocit e la pressione), andando a modificare quelle che sono le condizioni di moto permanente.

Per rendere pi semplice lo studio e la trattazione di questi fenomeni conveniente considerarli come dei transitori di una condizione che dopo un certo tempo, esaurito il fenomeno, tender a quella di moto permanente.

Le oscillazioni di massa sono una variazione periodica della colonna di liquido allinterno di un pozzo piezometrico fra due serbatoi a pelo libero collegati tra loro da due condotte.

Le oscillazioni elastiche invece sono delle onde di energia che si trasmettono nelle condotte provocando perturbazioni alla pressione e alla velocit. Sono inoltre caratterizzate da una elevata celerit (velocit di propagazione dellonda 1000 m/s) e si propagano a causa della comprimibilit del fluido e dellelasticit della condotta.

Quindi interessante arontare tali problematiche poich molto spesso nella realt necessario eseguire manovre di chiusura o apertura di valvole nelle condotte oppure anche eettuare operazioni di attacco o stacco di pompe e turbine. Infatti, nella seguente esercitazione si fa riferimento ad un manovra di chiusura della saracinesca al nodo N in un tempo TC variabile da 0 a 60 secondi; questo tipo di manovra provocher sicuramente oscillazioni elastiche le quali andranno a sollecitare notevolmente le condotte e gli eventuali dispositivi presenti nellimpianto.

2.2. Calcolo dati di Input!

Si citano a questo punto i dati e le formule utilizzate per arontare il calcolo preliminare delle grandezze di stato necessarie, facendo inoltre riferimento al moto stazionario che avviene nelle condotte tra i due serbatoi a t < 0, quando la saracinesca relativa alla condotta di scarico posta nel nodo N completamente aperta. !

Diametro di entrambe le condotte:!!!5

d = 0,5m

Area delle condotte:!!!! Lunghezza condotta AN:!!! Lunghezza condotta NB:!!! Coeciente di resistenza di Darcy-Weisbach:!!! Legge di riduzione lineare della portata scaricata Qf:

!!!

!Si elencano di seguito le equazioni utilizzate per risolvere il problema di moto

stazionario a t < 0. ! Bilancio di energia AN:

!!!

6

A = d2

4 = 0,196m2

L1 = 640m

L2 = 800m

f = 0,025

Qf

Qf 0 = 0,8m3s

TC t

Qf = 1tTc

Qf 0

hA fdv12

2g L1 = hN

Bilancio di energia NB:!!!! Equazione di continuit nel nodo N:

!!!!Esplicitando lequazione di continuit al nodo N rispetto a v2, sostituendola quindi

nella seconda e in seguito risolvendo il sistema di due equazioni in due incognite, si ottenuta una equazione di 2 grado di questo tipo: dove:

!!

!!!!

Dalla risoluzione dellequazione di secondo grado abbiamo ottenuto due valori per la velocit v1 (un valore basso e uno alto); Si scelto di utilizzare il valore basso in quanto per ipotesi si assunta la coincidenza delle linee piezometriche e dellenergia (trascurando perci il termine cinetico allinterno della condotta).!

Velocit nella condotta AN:!!!! Velocit nella condotta NB (negativa poich va da B a N):!!!!!!

7

hB v22

2g L2 = hN

v1A+ v2A = Qf 0

v1A v2A

Qf 0

N

av12 bv1 + c = 0

b = fdL2gQf 0A = 16,6131s

c = hA hB +fd

L22g

Qf 0A

2

= 37,8440m

v1 = 2,4219ms

v2 = 1,6524ms

a = fd(L2 L1)

2g = 0,4078s2

m

Altezza piezometrica in N:!!2.3. Calcolo condizioni a regime dopo il transitorio (t > )!

A tempo infinito il sistema in condizioni di regime con un moto stazionario che va dal serbatoio A al serbatoio B. Lungo la condotta il liquido procede con una velocit di regime uguale per i due tratti (AN e NB).

Per risolvere questo problema di moto stazionario si fa un semplice bilancio di energia tra il serbatoio A e il serbatoio B:!!!!

!!!La velocit a tempo infinito sar anche usata in seguito per linearizzare le

dissipazioni di energia nella soluzione anaelastica.

2.4. Impostazione del modello matematico (analisi elastica)!

La risoluzione del problema di moto vario a partire dallistante t = 0 (inizio manovra di chiusura della saracinesca) stata eettuata secondo i modelli matematici dellanalisi elastica. necessario a questo punto esporre le ipotesi preliminare adottate:!

Vengono trascurate le perdite di energia localizzate! Si assumono le linee piezometriche coincidenti con quelle dellenergia.

Questo significa poter trascurare il termine cinetico allinterno della condotta; questa semplificazione ovviamente valida poich le velocit nella condotta sono basse!

Si assume inoltre lincomprimibilit del fluido e lelasticit della condotta!Vengono ora calcolate e riportate le grandezze di stato mancanti che serviranno

per lelaborazione numerica.! Celerit dellonda nella condotta AN:!!!

8

hN* = 4,4331m

hA fdv2

2g L1 + L2( ) = hB

v =hA hB( )2gdf L1 + L2( )

= 1,0440ms

hN* = 12,2223m

a1 = 800ms

Celerit dellonda nella condotta NB:!!!! Intervallo temporale assunto:!!! Intervallo spaziale calcolato della prima condotta:!!! Intervallo spaziale calcolato della seconda condotta:!!!Risulter, inoltre, agevole conoscere il valore del ritmo della condotta che

rappresenta il tempo necessario allonda di pressione per raggiungere il serbatoio ed essere riflessa.!

Calcolo del ritmo uguale per la prima e per la seconda condotta:!!!!Per la risoluzione, si sono realizzate due tabelle: una relativa alla la quota

piezometrica h* e laltra per la velocit v. Entrambe le tabelle a loro volta sono state divise in due tratti principali relativi alle due condotte (la prima condotta discretizzata secondo lintervallo spaziale x1 e la seconda con il x2).

Per quanto riguarda la tabella relativa alla quota piezometrica, le condizioni al contorno impongono nella sezione 1 (sezione di inizio della condotta AN) h*A = 14 m per ogni istante t 0 s, mentre nella sezione 17 (sezione finale della condotta NB) h*B = 10 m per ogni t 0 s, poich si ipotizza che i serbatoi siano infinitamente estesi e quindi il livello degli stessi non influenzato dalla portata che esce o entra.

Per t = 0 s, tramite un bilancio di energia tra il punto A ed il punto N in cui posto lo scarico, possibile ricavare i valori della quota piezometrica per le varie sezioni nella condotta AN; le stesse operazioni posso essere fatte anche per il tratto NB (per semplicit si indica con C un generico punto relativo alla condotta AN e con D un generica sezione relativa alla condotta NB).

Quanto appena descritto pu essere fatto perch conosciamo le velocit a t = 0 s per entrambe le condotte (velocit che sono costanti per tutte le sezioni da A a N e da N a B solo a t = 0 s).

9

a2 = 1000ms

t = 0,1s

s1 = a1t = 80m

s2 = a2t = 100m

1 =2L1a1

= 2 =2L2a2

= = 1,6s

Bilancio di energia AU:!!!! Bilancio di energia ND:!!!!A tempo t = 0 s siamo gi a conoscenza dei valori delle velocit per ogni sezione

relativa a entrambe le condotte. Infatti a t = 0 tutti i tratti della condotta AN sono caratterizzati da una velocit v1 = 2,4219 m/s, mentre tutti i tratti relativi alla condotta NB hanno una velocit di v2 = -1,6524 m/s.

Inoltre, per determinare le pressioni e le velocit nelle sezioni interne alle condotte,si sono sfruttate le equazioni per le caratteristiche positiva e negativa, rispettivamente, come segue: !!!!!!

Dove:! sk la coordinata spaziale nella sezione considerata;! t0 la coordinata temporale nella sezione considerata;! sk-1 e sk+1 sono le coordinate spaziali nelle sezioni precedente e successiva a

quella considerata;! t0+t la coordinata temporale nella sezione successiva a quella considerata;!Sommando le due precedenti relazioni si ottiene:

la quale consente di determinare la quota piezometrica nella posizione sk allistante t0+t note le caratteristiche del moto allistante precedente, t0. Un punto che pu risultare problematico il nodo N nel quale avviene la sottrazione di portata e la chiusura nel tempo dello scarico. Per risolvere il problema della quota piezometrica nel nodo N si dovuto preliminarmente trovare le velocit nelle condotte al tempo t0+t.

10

hA fdv12

2g LC = hC*

hN* fd

v2 v22g LD = hD

*

C+ h* (sk ,t0 + t ) h* (sk1,t0 ) =

ag v(sk ,t0 + t ) v(sk1,t0 )

fdv(sk1,t0 ) v(sk1,t0 )

2g s

C h* (sk ,t0 + t ) h* (sk+1,t0 ) =

ag v(sk ,t0 + t ) v(sk+1,t0 ) +

fdv(sk+1,t0 ) v(sk+1,t0 )

2g s

h* (sk ,t0 + t ) =12 h

* (sk1,t0 )+ h* (sk+1,t0 ) +

a2g v(sk1,t0 ) v(sk+1,t0 )

fs4gd v(sk1,t0 ) v(sk1,t0 ) v(sk+1,t0 ) v(sk+1,t0 )

Per quanto riguarda le sezioni interne alle due condotte, per trovare le velocit bastato sottrarre le due relazioni relative alle caratteristiche positiva e negativa, ottenendo:

Per determinare le velocit al tempo t0+t nelle sezioni iniziali delle condotte (sezione 1 e 17) si dovuto combinare rispettivamente lequazione C- con le condizioni al contorno al tempo t0 nella sezione 2, e lequazione C+ con le condizioni al contorno al tempo t0 relative alla sezione 16.

!

!!!!

Arriviamo ora a trovare le altezze piezometriche e le velocit nel nodo N (nodo 9). Si esplicitano ora le 4 equazioni che, se messe a sistema, permettono di determinare prima le velocit v9b e v9a e poi le altezze piezometriche h*9:

!

Altezze piezometriche in N:

!

! Equazione di continuit nel nodo N:!

!11

v(sk ,t0 + t ) =12 v(sk1,t0 )+ v(sk+1,t0 ) +

g2a h

* (sk1,t0 ) h* (sk+1,t0 )

fs4ad v(sk1,t0 ) v(sk1,t0 ) + v(sk+1,t0 ) v(sk+1,t0 )

1 2 16 17s

t

t = t0

t = t0 + t C C+

v(s1,t0 + t ) =ga1

h* (s1,t0 + t ) h* (s2,t0 )

fdv(s2,t0 ) v(s2,t0 )

2g x1

+ v(s2,t0 )

v(s17,t0 + t ) =ga2

h* (s16,t0 ) h* (s17,t0 + t )

fdv(s16,t0 ) v(s16,t0 )

2g x2

+ v(s16,t0 )

h9a* = h9b

*

h9a* = h8

* a1g v9a v8

'( ) J(v8' )h9b* = h10

* +a2g v9b v10

'( ) J(v10' ) 9a

C+

8 10

C

9b

v9a = v9b +Qf (t )A

Dove si utilizzata una notazione compatta per limitare la lunghezza delle equazioni: i termini apostrofati sono quelli relativi al tempo precedente e con J si indicano le dissipazioni continue di energia.

Si ottiene quindi: !

!!!!

Una volta determinate le velocit si pu calcolare anche di conseguenza le altezze piezometriche h*9a e h*9b che ovviamente dovranno coincidere.

Ricavate dunque tutte le equazioni necessarie alla risoluzione del problema, si proceduto ad inserirle nelle tabelle per determinare le grandezze nei vari punti del sistema.

2.5. Impostazione del modello matematico (analisi anaelastica)!

La soluzione dei problemi in ipotesi anaelastiche molto pi semplice rispetto alla trattazione in ipotesi elastiche. In ipotesi anaelastiche si assume la densit costante nel tempo e nello spazio e larea della generica sezione trasversale della condotta anch'essa costante nel tempo.

Con queste ipotesi preliminari si integrata lequazione del moto vario tra A e N e tra N e B: !!!!!!

Dove |v1| e |v2| sono entrambe pari a vM = v = 1,0440 m/s.

A queste due equazioni deve essere aggiunta lequazione di continuit al nodo N.

Per t < Tc si ha:

!!!!!!

12

v9b =g

a1 + a2

h8* h10

* J(v8' )+ J(v10

' ) a1gQf (t )A v8

'

+a2g v10

'

v9a = v9b +Qf (t )A

hN* hA

* = L1gdv1dt

fdv1 v12g L1

hB* hN

* = L2gdv2dt

fdv2 v22g L2

v1 = v2 +Qf (t )A

v1 v2 = 1tTc

Qf 0A

dv1dt

dv2dt =

Qf 0TCA

Dividendo per L1 la prima equazione del moto vario e la seconda per L2, sottraendole e sostituendo v1-v2 con lequazione appena trovata si ottiene :

!!!

Per avere una notazione pi compatta di h*N si eettua la seguente sostituzione:!!!con: !

!!!!!Per determinare la velocit nella condotta si utilizzata lequazione del moto vario

tra A e N, esplicitandola rispetto alla v1.!!!!!

!!Si tratta di unequazione dierenziale lineare del primo ordine, non omogenea, la cui

soluzione :

!!

in cui v1p un integrale particolare e C1 la costante di integrazione il cui valore viene determinato imponendo la condizione al contorno (per t=0, v1=v10). Lintegrale particolare avr una struttura del tutto analoga alla soluzione per h*N (t). Si pu quindi scrivere:

!

!!13

dv1dt +

f2v1vMd =

gL1

hA* hN

*( )dv1dt + kv1 =

gL1

hA* hN

*( )con k = f2

vMd = 0,0261

1s

v1 = C1ekt + v1p

hN* (t ) =

Qf 0gTCA

fdvM2g 1

tTC

Qf 0A +

hA*

L1+hB*

L21L1

+ 1L2

v1p =1k

2k2

+2k t

dv1pdt =

2k

hN* (t ) = a+ bt

a = Qf 0gTCA fd

vM2g

Qf 0A +

hAL1

+hBL2

L1L2L1 + L2

= 12,0597m

b = fdvM2g

Qf 0TCA

L1L2L1 + L2

= 0,09636 ms

Le costanti 1 e 2 vanno determinate imponendo che la v1p sia eettivamente soluzione dellequazione del moto vario tra A e N precedentemente determinata:!!

!!!!!!Per determinare invece la costante di integrazione C1 si impongono le condizioni al

contorno a t = 0 s. !!!!!!!Per quanto riguarda la soluzione del problema in ipotesi anaelastiche per t > TC, si

esegue lo stesso procedimento fatto per t < TC, considerando per che la portata scaricata sar pari a Qf(t) = 0 costante nel tempo. Lequazione di continuit al nodo N infatti diventa: !!!

Laltezza piezometrica in N dunque sar semplicemente pari a:!!!!Lintegrale particolare in questo caso :!!!!quindi: !!!!!

14

2k + k

1k

2k2

+2k t

= gL1

hA* a bt( )

2 = gL1b = 0,02974ms3

1 = gL1a+ gL1

hA* = 0,00148ms2

v1(t = 0) = C1 + v1p (t = 0) = v10

C1 +1k

2k2

= v10 = 2,4219

C1 = 2,4219 1k

2k2

= 0,88564 ms

v1 = v2

hN* =

hA*

L1+hB*

L2

L1L2L1 + L2

= 12,2223 m

v2p = 3k

3 =gL1

hA* hN

*( ) = 0,02725 ms2

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!15

v1 = C2ekt +

3k

C2 =vTC

3k

ekTC= 0,88564 ms

3. OUTPUT ELABORAZIONE NUMERICA E COMMENTI!I casi osservati risultano in totale 7:! il primo tratta la chiusura istantanea dello scarico;!

Tc = 0 s! i successivi trattano la chiusura graduale dellotturatore:

Tc = /2 = 0,8 s

Tc = = 1,6 s

Tc = 2 = 3,2 s

Tc = 20 s

Tc = 40 s

Tc = 60 s

3.1.Chiusura istantanea - TC = 0 s!

Il modello numerico non permette di utilizzare un tempo di chiusura eettivamente pari a 0, in quanto il processo di discretizzazione numerica consente al massimo lo studio di una manovra eettuata in un tempo molto piccolo ma comunque finito: Tc = t = 0,1s.

Vengono ora presentati i grafici delle altezze piezometriche in funzione del tempo:

16

manovra lenta :TC >

manovra rapida :TC <

Altezza piezometrica nel nodo N

Alte

zza

piezo

met

rica

h*(m

)

-200,00

-150,00

-100,00

-50,00

0,00

50,00

100,00

150,00

200,00

Tempo t (s)0,00 20,00 40,00 60,00 80,00 100,00 120,00

x = 640 m

!17

Altezze piezometriche condotta AN

Alte

zza

piezo

met

rica

h*(m

)

-200,00

-150,00

-100,00

-50,00

0,00

50,00

100,00

150,00

200,00

Tempo t (s)0,00 4,00 8,00 12,00 16,00 20,00 24,00

x = 640 m x = 320 m x = 0 m

Altezze piezometriche condotta NB

Alte

zza

piezo

met

rica

h*(m

)

-200,00

-150,00

-100,00

-50,00

0,00

50,00

100,00

150,00

200,00

Tempo t (s)0,00 4,00 8,00 12,00 16,00 20,00 24,00

x = 640 m x = 1040 m x = 1440 m

!Osservazioni: ! Con Tc = 0 s non ha neanche senso fare dei confronti con la teoria anaelastica

poich si ottengono valori di pressione che tendono ad infinito. Si pu aermare che per chiusure istantanee la teoria anaelastica non da dei risultati comparabili a quella elastica;!

Si osserva che la quota piezometrica al nodo N tende a raggiungere il valore finale di 12,2223 m;!

Si pu notare una dierenza tra le varie sezioni: in quella iniziale e finale non si risente della manovra di chiusura (la quota piezometrica rimane costante), mentre allontanandosi progressivamente dalle sezioni estreme si raggiungo valori di sovrapressione e depressione notevoli gi a partire dalle sezioni poste a circa 200 m da queste. Per le sezioni in mezzeria delle condotte si riduce lintervallo di tempo delle sovrapressioni e si nota inoltre come londa di pressione raggiunge le sezioni dopo un tempo pari a /4 rispetto allistante iniziale;!

Si pu notare inoltre che il valore massimo di sovrapressione si riscontra nella sezione N al tempo t = 1,6 s, cio a t = . Allo stesso modo il valore massimo di depressione si ha sempre in N a t = 2. In definitiva si pu aermare che i valori

18

Altezze piezometriche nelle varie sezioni

Alte

zza

piezo

met

rica

h*(m

)

-200,00

-150,00

-100,00

-50,00

0,00

50,00

100,00

150,00

200,00

Posizione x della sezione in condotta (m)0,00 288,00 576,00 864,00 1152,00 1440,00

t = 0 s t = 0,8 s t= 1,6 s t = 2,4 s t = 3,2 s

massimi e mini di pressione si avranno a tempi t = k, nella sezione N; queste pressioni andranno via via diminuendo con il tempo a causa delle dissipazioni di energia;!

Viene ora presentato il grafico delle velocit in funzione del tempo:

!Osservazioni: Poich Tc = 0 istantaneamente, la velocit passa dai valori v10 e v20 ad un valore

positivo ed uguale per entrambe le condotte, per poi tendere al valore v con il tempo;! I valori delle velocit della soluzione elastica e della soluzione anaelastica sono

pressoch coincidenti;!!!!!!!!!!!!19

Velocit nel nodo N

Veloc

it v

(m/s)

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

Tempo t (s)0 20 40 60 80 100 120

v1 (elastica) v2 (elastica) v1 (anaelastica) v2 (anaelastica)

3.2.Chiusura graduale - TC = /2 = 0,8 s!

Si analizzano ora i risultati numerici relativi a una chiusura rapida con Tc = 0,8 s. Vengono presentati i grafici delle altezze piezometriche in funzione del tempo:

20


Alte

zza

piezo

met

rica

h*(m

)

-200,00

-150,00

-100,00

-50,00

0,00

50,00

100,00

150,00

200,00

Tempo t (s)0,00 20,00 40,00 60,00 80,00 100,00 120,00

h*N (elastica) hN* (anaelastica)


Alte

zza

piezo

met

rica

h*(m

)

-200,00

-150,00

-100,00

-50,00

0,00

50,00

100,00

150,00

200,00

Tempo t (s)0,00 4,00 8,00 12,00 16,00 20,00 24,00

x = 640 x = 320 m x = 0 m

Osservazioni: ! Nel caso di una manovra rapida come Tc = 0.8 s, si pu notare che, a dierenza

del caso precedente, i punti di massimo e minimo non presentano pi una conformazione completamente piatta a causa della manovra avente un tempo determinato e non pi istantanea;

21


Alte

zza

piezo

met

rica

h*(m

)

-200,00

-150,00

-100,00

-50,00

0,00

50,00

100,00

150,00

200,00

Tempo t (s)0,00 4,00 8,00 12,00 16,00 20,00 24,00

x = 640 x = 1040 m x = 1440 mAltezze piezometriche nei vari tratti

Alte

zza

piezo

met

rica

h*(m

)

-200,00

-150,00

-100,00

-50,00

0,00

50,00

100,00

150,00

200,00

Posizione x della sezione in condotta (m)0,00 240,00 480,00 720,00 960,00 1200,00 1440,00

t = 0 s t = 0,8 s t= 1,6 s t = 2,4 s t = 3,2 s

Il valore massimo della pressione anche in questo caso si ritrova nel nodo N. A dierenza del caso con chiusura istantanea queste sovrapressioni e depressioni non si estendono fino alle sezioni terminali ma diminuisco pressoch linearmente;!

Si hanno ancora per sovrapressioni e depressioni massime molto elevate, anche se leggermente inferiori al caso di manovra istantanea;!

Per questo valore di Tc possibile fare un confronto tra la soluzione elastica e quella anaelastica. Si pu vedere come la soluzione anaelastica approssima abbastanza bene il valore della sovrapressione massima al nodo N, anche se dopo t = Tc si presenta come una linea di tendenza centrale e non si nota landamento oscillatorio caratteristico della soluzione elastica;!


!Osservazioni: In questo caso si pu notare che le velocit passano ai rispettivi valori a t = Tc

gradualmente e non istantaneamente come prima. Anche in questo caso le velocit della soluzione elastica sono ben approssimate dalla teoria anaelastica, anche se non possibile notare landamento oscillatorio che si presenta per t > Tc;!

22

Velocit nel nodo N

Veloc

it v(

m/s)

-2,25

-1,50

-0,75

0,00

0,75

1,50

2,25

3,00

Tempo t (s)0,00 20,00 40,00 60,00 80,00 100,00 120,00


3.3.Chiusura graduale - TC = = 1,6 s!

Si analizzano ora i risultati numerici relativi a una chiusura con Tc = 1,6 s pari al ritmo della condotta.


23


Alte

zza

piezo

met

rica

h*(m

)

-200,00

-150,00

-100,00

-50,00

0,00

50,00

100,00

150,00

200,00

Tempo t (s)0,00 20,00 40,00 60,00 80,00 100,00 120,00



Alte

zza

piezo

met

rica

h*(m

)

-200,00

-150,00

-100,00

-50,00

0,00

50,00

100,00

150,00

200,00

Tempo t (s)0,00 4,00 8,00 12,00 16,00 20,00 24,00

x = 640 m x = 320 m x = 0 m

!!!24


Alte

zza

piezo

met

rica

h*(m

)

-200,00

-150,00

-100,00

-50,00

0,00

50,00

100,00

150,00

200,00

Tempo t (s)0,00 4,00 8,00 12,00 16,00 20,00 24,00

x = 640 m x = 1040 m x = 1440 m

Altezze piezometriche nei vari tratti

Alte

zza

piezo

met

rica

h*(m

)

-200,00

-150,00

-100,00

-50,00

0,00

50,00

100,00

150,00

200,00


t = 0 s t = 0,8 s t = 1,6 s t = 2,4 s t = 3,2 s

Osservazioni: ! Per Tc = valgono pressoch le medesime considerazioni del caso precedente,

tranne per quanto riguarda il confronto tra soluzione elastica ed anaelastica: per Tc = 1,6 s il valore della massima sovrapressione della soluzione anaelastica h*N = 100,66 m, mentre quello della soluzione elastica pari a h*N = 193,61 m;!


Osservazioni: ! Anche in questo caso la soluzione anaelastica approssima ecacemente quella

elastica, quindi valgono le medesime considerazioni fatte per il caso precedente;!!!!!!!!!!!25

Velocit nel nodo N

Veloc

it v(

m/s)

-2,25

-1,50

-0,75

0,00

0,75

1,50

2,25

3,00

Tempo t (s)0,00 20,00 40,00 60,00 80,00 100,00 120,00


3.4.Chiusura graduale - TC = 2 = 3,2 s!

Si analizzano ora i risultati numerici relativi a una chiusura con Tc = 3,2 s, il doppio del ritmo della condotta.


26


Alte

zza

piezo

met

rica

h*(m

)

0,00

25,00

50,00

75,00

100,00

Tempo t (s)0,00 20,00 40,00 60,00 80,00 100,00 120,00



Alte

zza

piezo

met

rica

h*(m

)

0,00

25,00

50,00

75,00

100,00

Tempo t (s)0,00 4,00 8,00 12,00 16,00 20,00 24,00

x = 640 m x = 320 m x = 0 m

!

27


Alte

zza

piezo

met

rica

h*(m

)

0,00

25,00

50,00

75,00

100,00

Tempo t (s)0,00 4,00 8,00 12,00 16,00 20,00 24,00

x = 640 m x = 1040 m x = 1440 m


Alte

zza

piezo

met

rica

h*(m

)

0,00

25,00

50,00

75,00

100,00


t = 0 s t = 0,8 s t = 1,6 s t = 2,4 s t = 3,2 s

Osservazioni: ! Anche in questo caso valgono pi o meno le stesse considerazioni, anche se gi

con Tc = 2 si pu notare una diminuzione della massima sovrapressione h*N = 99,52 m; !

Anche in questo caso non c una coincidenza tra soluzione elastica e anaelastica per quanto riguarda il valore della massima sovrapressione;!

Con questo valore di Tc si hanno solo sovrapressioni e mai depressioni in condotta. Inoltre dopo un tempo pari a Tc, una volta chiuso lo scarico, le oscillazioni di pressione sono molto pi contenute;!


! Osservazioni: ! Valgono le medesime considerazioni fatte fino ad ora per le velocit;!!!!!

28

Velocit nel nodo N

Veloc

it v(

m/s)

-2,25

-1,50

-0,75

0,00

0,75

1,50

2,25

3,00

Tempo t (s)0,00 20,00 40,00 60,00 80,00 100,00 120,00


Osservazioni generali dei casi trattati finora: ! La massima sovrapressione al nodo N rimane pressoch invariata per tempi di

chiusura Tc inferiori al ritmo della condotta. Questo si deduce dal fatto che londa riflessa dai serbatoi verso lo scarico in N non riesce a raggiungere lotturatore stesso prima che la manovra sia terminata; !

Per tempi di chiusura superiori al ritmo, londa di depressione riflessa si somma a quella di sovrapressione prima che la manovra sia conclusa, impedendo in questo modo di avere in N le pressioni massime;!

Per i valori fin qui rappresentati del tempo di chiusura, il calcolo elastico non rappresenta con suciente approssimazione i valori di massima sovrapressione; Solo quindi tramite unanalisi elastica possibile determinare i valori corretti della massima sovrapressione allotturatore, valore molto importante soprattutto in fase di dimensionamento delle condotte;!

Per quanto riguarda la velocit lanalisi anaelastica approssima in maniera pressoch corretta i valori delle velocit nella condotta, non rappresentando per le oscillazioni che si hanno a partire da t = Tc in entrambe le condotte; tuttavia, queste vanno ad annullarsi quando la manovra di chiusura pari a Tc = 2 = 3,2 s. Ovviamente in tutti i casi incontrati fin ora le velocit v1 e v2 si incontrano a t = Tc, in modo tale da verificare per ogni istante lequazione di continuit nel nodo N;

29

Altezza piezometrica al nodo N al variare di Tc

Alte

zza

piezo

met

rica

h*(m

)

-200,00

-150,00

-100,00

-50,00

0,00

50,00

100,00

150,00

200,00

Tempo t (s)0,00 0,80 1,60 2,40 3,20 4,00 4,80

hN* (Tc = 0 s) hN* (Tc = 0,8 s) hN* (Tc = 1,6) s h*N (Tc = 3,2 s)

Si analizzano ora i risultati numerici relativi a chiusure lenta con Tc = 20 / 40 / 60 s. Verranno rappresentati in successione i risultati relativi alle quote piezometriche e alle velocit, per poi fare delle osservazioni generali valide per tutti e tre i casi finali analizzati.

3.5.Chiusura graduale - TC = 20 s!

30


Alte

zza

piezo

met

rica

h*(m

)

0,00

6,00

12,00

18,00

24,00

Tempo t (s)0,00 20,00 40,00 60,00 80,00 100,00 120,00

h*N (elastica) hN* (anaelastica)Altezze piezometriche nei vari tratti

Alte

zza

piezo

met

rica

h*(m

)

0,00

5,00

10,00

15,00

20,00


t = 0 s t = 0,8 s t= 1,6 s t = 2,4 s t = 3,2 s


!31


Alte

zza

piezo

met

rica

h*(m

)

0,00

4,50

9,00

13,50

18,00

Tempo t (s)0,00 20,00 40,00 60,00 80,00 100,00 120,00


Velocit nel nodo N

Veloc

it v(

m/s)

-2,25

-1,50

-0,75

0,00

0,75

1,50

2,25

3,00

Tempo t (s)0,00 20,00 40,00 60,00 80,00 100,00 120,00


!32


Alte

zza

piezo

met

rica

h*(m

)

0,00

3,50

7,00

10,50

14,00


t = 0 s t = 0,8 s t = 1,6 s t = 2,4 s t = 3,2 s

Velocit nel nodo N

Veloc

it v(

m/s)

-2,25

-1,50

-0,75

0,00

0,75

1,50

2,25

3,00

Tempo t (s)0,00 20,00 40,00 60,00 80,00 100,00 120,00



33

Altezza piezometrica nel nodo N Al

tezz

a pie

zom

etric

a h*

(m)

0,00

4,00

8,00

12,00

16,00

Tempo t (s)0,00 20,00 40,00 60,00 80,00 100,00 120,00



Alte

zza

piezo

met

rica

h*(m

)

0,00

3,50

7,00

10,50

14,00


t = 0 s t = 0,8 s t = 1,6 s t = 2,4 s t = 3,2 s

!!!!34

Velocit nel nodo N

Veloc

it v(

m/s)

-2,25

-1,50

-0,75

0,00

0,75

1,50

2,25

3,00

Tempo t (s)0,00 20,00 40,00 60,00 80,00 100,00 120,00


Altezze piezometriche massime e minime al variare di Tc

Atez

za p

iezom

etric

a h*

(m)

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

Tempo Tc (s)0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60

h*N max h*N min

Osservazioni generali: ! Per tempi di chiusura superiori al ritmo, la massima sovrapressione si riduce

gradualmente allaumentare di Tc. Inoltre si pu notare come le massime depressioni si riducono pi velocemente rispetto alle massime sovrapressioni: infatti gi per tempi di chiusura pari circa a 4 secondi, si nota che le pressioni non assumono pi valori negativi e i valori di minimo dellaltezza piezometrica si assestano intorno a valori 10 < h*N < 20 m. !

Si nota che la soluzione anaelastica approssima discretamente la soluzione elastica, in questo caso sia per quanto riguarda le altezze piezometriche e ovviamente ancora per le velocit. Infatti la trattazione anaelastica valida solo per tempi di chiusura molto pi grandi rispetto al ritmo, come si visto anche in questa esercitazione. !

Nel grafico delle altezze piezometriche al nodo N si nota la presenza di un punto di discontinuit al termine della manovra di chiusura (sia per la soluzione elastica, che per quella anaelastica).!

Conclusioni ! In conclusione si pu aermare che una manovra istantanea produce

sovrapressioni molto elevate che, nella realt, sollecitano troppo condotte e dispositivi connessi che portano quindi ad un sovradimensionamento di questi ed una progettazione troppo onerosa. Chiudendo lo scarico in maniera graduale le sovrapressioni si riducono e limpianto risulta nel complesso meno sollecitato.!

A dierenza della trattazione in ipotesi elastiche le velocit e le quote piezometriche non presentano oscillazioni. Questo dovuto al fatto che la trattazione anelastica si basa sulle ipotesi di indeformabilit della condotta e incomprimibilit del fluido.

!!

!!!!

35

Relazione Moti in Pressione

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