1

Università degli studi di Càgliàri

Dipàrtimento di Meccànicà, Chimicà e Màteriàli

Corso di: Sperimentazione sulle macchine Docente prof. Mandas Natalino & Ing. Cambuli

ESERCITAZIONE 2

CARATTERIZZAZIONE DINAMICA DI UN

TRASDUTTORE DI PRESSIONE

Anno accademico 2014/2015

Studente:

Stefano Manca, Matr.: 47131

2

Indice CARATTERIZZAZIONE DINAMICA DI UN TRASDUTTORE DI PRESSIONE...................................... 1

Abstract .................................................................................................................................... 3

Simbologia ................................................................................................................................ 3

1. INTRODUZIONE ........................................................................................................... 4

2. PARTE TEORICA .......................................................................................................... 4

2.1 Dinamica degli strumenti di misura .......................................................................... 4

2.2 Modello linea-cavità .................................................................................................. 6

3. DESCRIZIONE DELLE PROVE REALIZZATE IN LABORATORIO ................. 8

3.1 Descrizione generale della catena di misura ............................................................. 8

3.2 Descrizione del tipo di trasduttore e dello strumento primario adottato per la

generazione delle pressioni................................................................................................... 9

3.3 Caratteristiche degli altri strumenti utilizzati .......................................................... 10

3.4 Procedura sperimentale .......................................................................................... 11

4. RISULTATI DELLE PROVE SPERIMENTALI E ANALISI DEI RISULTATI . 11

4.1 Risultati nel dominio del tempo .............................................................................. 11

4.2 Risultati nel dominio della frequenza ..................................................................... 14

5. CONCLUSIONI ............................................................................................................ 17

Bibliografia .............................................................................Errore. Il segnalibro non è definito.

3

Abstract In questa relazione si effettua la caratterizzazione dinamica di uno strumento di

misura per le pressioni dinamiche. In particolare il trasduttore in esame viene

sottoposto a un segnale in ingresso di pressione e ne viene studiato il segnale di

uscita ai fini della determinazione dei parametri dinamici del sistema di misura. La

sperimentazione è stata svolta per cinque volte in cui è stata variata una lunghezza

appartenente alla catena di misura: i risultati ottenuti vengono poi posti a confronto e

studiati per la determinazione dell’ordine dello strumento.

Simbologia D diametro [mm]

l lunghezza [mm]

V tensione [V]

p pressione [mBar]

f frequenza [Hz]

t tempo [s]

M modulo [dB]

4

1. INTRODUZIONE

Uno strumento di misura sottoposto a condizioni di misura costanti, ma diverse da

quelle iniziali, non raggiunge istantaneamente le condizioni di equilibrio. Esso presenta

un ritardo nella risposta dovuto ai tempi caratteristici di propagazione delle differenti

forme di energia scambiate tra sensore e misurando (ambiente di misura).

Il solo tempo di risposta[1]

di uno strumento non è sufficiente a caratterizzare il

comportamento dinamico perché è caratteristico solo della variazione a gradino del

misurando. Per poter caratterizzare completamente il comportamento dinamico di uno

strumento è necessario in primo luogo sapere di che tipo sia, e in base a questo si

determinano i parametri dinamici che ne descrivono il comportamento[2]

.

Nella seguente relazione viene esposto il problema sperimentale della caratterizzazione

dinamica di un sistema di misura di pressione, in cui si acquisiscono, per ogni prova, i

valori del segnale di uscita nel dominio del tempo. Questi in un secondo momento sono

stati elaborati mediante il software Matlab nel calcolatore. Dopo l’analisi nel tempo, i

dati sono stati elaborati nel dominio delle frequenze ai fini di determinare la funzione di

trasferimento del trasduttore. In questo ultimo dominio sono maggiormente rilevabili i

fenomeni di disturbo che entrano in gioco nel sistema di misura.

2. PARTE TEORICA

2.1 Dinamica degli strumenti di misura

Tutti gli strumenti di misura sono caratterizzati da un modello matematico, una

relazione ricavata con ipotesi semplificative che rendono il modello semplice, ma

affidabile e accurato. Questo permette di comprendere come lo strumento si comporta

quando riceve un segnale in ingresso di tipo tempo-variante.

Le funzioni ingresso x(t) ed uscita y(t) di uno strumento sono entrambe legate alla

variabile tempo, tramite equazioni differenziali di ordine n con coefficienti costanti, che

rappresentano il modello matematico che ne descrive la caratteristica dello strumento in

esame (2.1):

( )

( )

( )

( )

( )

( )

(2.1)

Questo modello è valido sotto le seguenti ipotesi:

Sistema dinamico;

Continuo;

Con linearità;

A parametri concentrati;

Stazionario (in riferimento ai coefficienti an, bn)

Causalità.

1 Si definisce prontezza o tempo di risposta (“response time”) di uno strumento il tempo impiegato a raggiungere le

condizioni di equilibrio. 2 Esempio: per uno strumento del primo ordine i parametri necessari e soddisfacenti ai fini della caratterizzazione

dinamica sono la costante di tempo (τ) e la sensibilità statica (k).

5

Nella maggior parte dei casi gli strumenti sono ben rappresentabili da equazioni

differenziali di I o II ordine. In particolare, le equazioni del II ordine hanno una forma

del tipo (2.2):

(2.2)

Dividendo entrambi i membri per a0, si ottiene (2.3):

(2.3)

Dove si evidenziano i parametri caratteristici del sistema:

, sensibilità statica;

√

, pulsazione naturale [rad/s];

√ , smorzamento.

Sostituendo detti parametri nell’equazione, e considerando l’operatore formale D=d/dt,

si ottiene la (2.4):

(

) ( ) ( )

(2.4)

La funzione del segnale di uscita y(t) è possibile determinarla, nel dominio del tempo,

mediante la convoluzione[3]

tra la funzione di trasferimento del sensore e la funzione del

segnale d’ingresso, come nella (2.5):

( ) ( ) ( ) ∫ ( ) ( )

(2.5)

Nel caso di segnali sinusoidali a frequenza costante, si passa dal dominio del tempo al

dominio di Laplace, dove tra l’altro di usano operazioni matematiche più semplici.

Inoltre, se si ipotizza il termine d’ingresso a ampiezza costante, è possibile passare

direttamente al dominio di Fourier, in cui l’ingresso viene espresso come X(jω), l’uscita

come Y(jω) e la funzione di trasferimento come W(jω). Queste tre grandezze sono

legate dalla relazione (2.6):

( ) ( )

( ) (2.6)

In particolare, per un sistema del II ordine, la funzione di trasferimento nel dominio di

Laplace è espressa come (2.7):

( )

(

)

(2.7)

3 In matematica la convoluzione è un'operazione tra due funzioni che genera una terza funzione che viene vista come

la versione modificata di una delle due funzioni iniziali.

6

2.2 Modello linea-cavità

Il sistema di misura di pressione può essere semplificato con soli due componenti: una

linea e una cavità. Questo modello denominato “linea-cavità” (Figura 2.1) è composto

da tre sezioni principali che delimitano due tratti:

Tratto 1-2: estremi della linea (rappresenta il tubo di connessione);

Tratto 2-3: estremi della cavità (rappresenta il volume interno del sensore).

Figura 2.1: Schema del modello linea-cavità.

La linea ha il compito di trasferire l’informazione sotto forma di pressione fornita in

ingresso nella sezione 1: il moto del fluido si considera come fosse un blocco unico in

movimento con pressione costante tra le due sezioni e con flusso incomprimibile.

L’unico termine variabile è la velocità del fluido. Per cui si ha:

Mentre la cavità possiede un certo volume che permette il movimento della membrana e

un aumento della pressione: si considera il flusso comprimibile, con velocità nulla

(statico), con unica variabile la pressione. Allora si ha:

Affinché si possa caratterizzare un sistema di questo tipo, è utile sottoporlo a un

ingresso canonico, nel caso specifico a un gradino di pressione. L’ideale sarebbe l’invio

di un impulso di pressione, ma risulterebbe complicato da realizzarsi in fase

sperimentale. Il sistema lo si considera a parametri concentrati, per cui l’unica variabile

indipendente risulta essere il tempo t. Lo scopo è quello di trovare un parametro

costante nello spazio e variabile solo nel tempo, sia nella linea sia nella cavità:

v(t) = la velocità delle particelle lungo la linea sarà funzione solo del tempo;

p(t) = la pressione nella cavità sarà funzione solo del tempo.

Partendo dall’equazione di conservazione della quantità di moto (2.8), con il bilancio a

regime non stazionario, nella linea si determina un modello matematico distinto per il

flusso laminare e per quello turbolento.

( ) ( )

( ) (2.8)

Dove:

p1, p2 = pressioni nelle sezioni 1 e 2 [Pa];

A = sezione della linea (

) [mm

2];

ρ = densità della linea [kg/m3];

( )

( )

7

Ω = volume della linea (Ω =A l) [mm3];

( ( )) = forze di attrito presenti nel tubo [N];

D = diametro tubo [mm];

l = lunghezza tubo [mm].

Una volta applicate le seguenti semplificazioni:

- costante nel tempo;

- regime stazionario;

sono state determinate le equazioni per il flusso laminare (2.9), con coefficiente di

attrito

, e per il flusso turbolento (2.10), con :

( )

(2.9)

( )

( )

(2.10)

Le due equazioni differenziali del I ordine, appena illustrate, si differenziano per la

presenza di un termine lineare della velocità, presente solo per il flusso laminare.

Entrambe possiedono due incognite: la velocità v e la pressione p2, per cui non sono

risolvibili. Perciò si vuole determinare un’equazione differenziale anche per la cavità,

con lo scopo di individuare una delle due incognite della linea, la pressione p2=p(t).

Allora, per quanto riguarda la cavità, si parte con l’applicazione dell’equazione di

conservazione della massa (2.11):

( ) (2.11)

Dove ( ) rappresenta la portata massica uscente dalla linea ed entrante nella cavità.

Facendo le seguenti ipotesi:

- membrana cedevole: si hanno i termini e in funzione del tempo,

- sistema adiabatico: considerando che si hanno rapide compressioni;

- termini costanti nel tempo: la sezione A e (

);

si arriva a determinare l’equazione integro differenziale (2.12):

( )

(

) ∫

(2.12)

Dove:

v = velocità del fluido [m/s];

n = esponente della adiabatica (=1,4);

p0 = pressione ambiente [Pa].

Questa equazione ottenuta insieme a una delle eq. della linea, ponendole a sistema,

permettono di determinare la velocità e pressione del fluido lungo tutto il modello.

Ma lo scopo è quello di determinare un'unica equazione che rappresenti il completo

sistema di misura. Per cui, ponendo in relazione le due equazioni ottenute per la linea e

cavità, considerando il caso di flusso laminare, si ottiene un’equazione differenziale del

II ordine (2.13):

( )

( ( )

) (2.13)

8

Essendo, al tempo t=0, la pressione costante, il termine differenziale dp si annulla e si

ottiene così un’equazione omogenea (2.14):

( )

(2.14)

Con condizioni al contorno:

(

) (

)

Dove p1, espresso in termini relativi, è la pressione in ingresso nella linea.

La forma ottenuta risulta essere perciò quella classica di un sistema del II ordine, del

tipo (2.15):

(

) ( ) (2.15)

3. DESCRIZIONE DELLE PROVE REALIZZATE IN

LABORATORIO

3.1 Descrizione generale della catena di misura

La catena di misura messa in atto (Figura 3.1) è adattata per realizzare un gradino di

pressione da inviare come segnale d’ingresso al trasduttore. Questa pressione viene

creata per mezzo di un serbatoio contenente aria compressa (serbatoio di pressione),

inviata poi al sensore che a sua volta è connesso a un condizionatore del segnale (C.S.).

Questo invia l’informazione elettrica al sistema di acquisizione dati (D.A.Q. = “Data

Acquisition” system), rappresentato da una scheda PCI integrata al personal computer,

in cui viene digitalizzato il segnale e poi visualizzato sul software di calcolo.

Figura 3.1: Schema a blocchi della catena di misura utilizzata in laboratorio nelle prime 3 prove.

Nella seconda fase di acquisizione, nella catena è stato aggiunto un ulteriore

componente interposto fra l’uscita del serbatoio di pressione e il sensore: una sonda

aerodinamica (Figura 3.2). Con questa modalità sono state svolte le ultime due prove.

9

Figura 3.2: Sonda aggiunta nella catena di misura per le ultime 2 prove.

3.2 Descrizione del tipo di trasduttore e dello strumento primario adottato per la

generazione delle pressioni

Trasduttore di pressione

Il trasduttore utilizzato è uno STATHAM (SCANIVALVE – PDCR 23/D), di tipo

resistivo, costituito da una lamina e una resistenza. La lamina rappresenta fisicamente

una membrana in monocristallo di silicio, resistenza sulla quale è fotoinciso un

elemento resistivo: la lamina, e quindi la resistenza, sono deformati dalla differenza di

pressione vigente all’interno del sensore, e viene inviato un segnale elettrico in uscita al

C.S.

In riferimento al modello linea-cavità, la linea rappresenta un tubo in vipla nella quale

viene introdotta aria in pressione in ingresso al sensore, mentre la cavità rappresenta il

corpo cilindrico del trasduttore, in cui al suo interno è presente la membrana.

All’interno del trasduttore si ha un sistema comparabile a un ponte di Wheatstone, in cui

la resistenza installata nel monocristallo risulta essere l’elemento sensibile che

determina la variazione di tensione in uscita dal ponte (dell’ordine dei mV), misurata ai

morsetti. Il ponte viene alimentato dal condizionatore del segnale a 12V (Vcc = + 12V).

Possiede inoltre 2 ingressi di pressione, in cui uno legge pressioni positive (con ingresso

posto nella parete frontale) e l’altro pressioni negative, posto sul retro del sensore

(Figura 3.3). La denominazione D = “differential” deriva dal fatto che legge pressioni

differenziali, per cui fornisce in uscita dei Δp in termini di tensioni.

Figura 3.3: Immagine del trasduttore utilizzato, evidenziando gli ingressi di pressione.

L’incertezza fornita dal costruttore è pari a ±0,1% del f.s, mentre la risposta in

frequenza, con il minimo disturbo nella linea-cavità, è pari a 10kHz (per cui si hanno

10000 eventi ogni secondo).

10

Generatore di pressione

Come generatore di pressione si ha un piccolo serbatoio di 1,5 l, in acciaio Inox, con

ingresso collegato in attacco rapido alla rete di aria compressa del laboratorio. Si hanno

due sistemi di riduzione della pressione mediante delle valvole; questa pressione viene

letta grazie a due manometri con differente accuratezza: il primo possiede un fondo

scala di 6 Bar, con accuratezza di 1/10 di Bar; mentre il secondo possiede un fondo

scala di 1 grammes/cm2

(1 kg/cm2 = 0,98 Bar), con accuratezza pari a 1/100 di Bar

(quindi 10 volte più accurato rispetto al primo ma limitato a letture di pressioni 1Bar).

Il serbatoio viene riempito d’aria fino alla pressione desiderata, regolata mediante il

riduttore/regolatore di pressione. L’uscita del serbatoio viene connessa con un tubo in

vipla di 2 mm di diametro (che rappresenta la linea del modello) all’ingresso del

trasduttore (p +). La lunghezza di questo tubo viene fatta variare nelle diverse prove per

poter analizzare i differenti segnali di uscita.

Il serbatoio è costituito al suo interno da una valvola, comandata da una bobina elettrica,

che a sua volta è connessa a una centralina di controllo, la quale permette il passaggio

dell’aria dal serbatoio al tubo fino al sensore[4]

. Il tempo di apertura di questa valvola è

di circa 1 ms. Si comprende come il gradino di pressione generato potrà contenere

frequenze fino a 1000 Hz.

3.3 Caratteristiche degli altri strumenti utilizzati

Sonda aerodinamica

La sonda aerodinamica aggiunta nelle ultime due prove è la VKI 2D, costituita da

doppio sensore, uno che valuta la direzione del flusso rispetto alla sonda e la pressione

totale, e l’altro serve per valutare la pressione statica del flusso. Questa risulta essere

adatta per flussi bidimensionali, avendo i sensori sfalsati. Il collegamento è stato fatto

fra l’uscita del serbatoio e il beccuccio inferiore, ingresso che permette le letture di

pressioni statiche; mentre l’uscita della sonda è stata connessa al tubo in vipla, fino al

sensore di pressione.

Condizionatore del segnale

Il condizionatore del segnale è un SCANIVALVE, modello SCSG2. Questo fornisce

l’alimentazione di 12 V al trasduttore e riceve il segnale elettrico di uscita dallo stesso,

il tutto grazie ad un connettore a 5 pin (GND, 2 uscite di alimentazione e 2 ingressi del

segnale). È costituito da un filtro interno, che permette l’elaborazione del segnale di

ingresso, e un amplificatore che fornisce in uscita un segnale a ±5V, collegato alla

scheda di acquisizione PCI. Nel pannello frontale è presente uno switch del range di

pressione che permette di regolare il guadagno (va da 1 a 15psi).

Possiede un errore di linearità pari a ±0,001% del f.s.

Scheda di acquisizione e software

La scheda di acquisizione utilizzata è della National Instrument PCI (E Series

Multifunction DAQ) integrata al pc nell’unità di sistema. Essa comprende una

morsettiera con 16 canali d’ingresso analogici (8 in differenziale) e 12 bit di risoluzione.

Il canale utilizzato è quello “0”, ricevendo in ingresso il segnale inviato dal

condizionatore del segnale (C.S), mentre in uscita invia il segnale digitalizzato al pc,

4 In uscita del serbatoio è presenta una valvola “vent” che permette di eliminare gli errori di misura causati dai

trafilamenti presenti nella valvola interna, portando a pressione atmosferica (patm) la linea e il sensore.

11

che permette l’acquisizione e l’elaborazione dei dati ottenuti per mezzo del software

Maltab.

3.4 Procedura sperimentale

Acquisizione dati

Il sensore invia il segnale di pressione sotto forma di tensione alla scheda di

acquisizione (al canale 0), trasformando poi il segnale analogico in digitale. I valori

sono acquisiti dalla scheda con frequenza di 10000 Hz e con campo di tensione 0 1 V

leggendo il segnale di uscita y(t), compreso di fase transitoria e valore a regime. Sono

state eseguite in tutto 5 prove, riportate in Tabella 4.1, in cui:

1) Nella prova 1, 2 e 3 viene fatto variare la lunghezza della linea, senza la sonda,

partendo da 20 mm fino a raggiungere i 1200 mm;

2) nelle ultime 2 prove è stata aggiunta la sonda aerodinamica incrementando perciò la

lunghezza sommata alla linea.

Si suppone, nelle ultime 2 prove, che sia la sonda a subire il gradino di pressione (come

nella realtà), valore poi trasferito al trasduttore.

Il tempo di acquisizione risulta essere di 0,2 s per le prime 4 prove, e di 0,8 s per

l’ultima (avendo un transitorio più lungo). La modalità utilizzata viene chiamata “buffer

circolare”: questo metodo permette la registrazione in memoria delle tensioni vigenti

nella linea-cavità prima che venga inviato il gradino di pressione; una volta colmata la

totale memoria, la registrazione riprende da capo sovrascrivendo i dati precedenti,

determinando così un andamento “circolare” di memorizzazione. Quando viene fatto

partire il gradino grazie all’apertura della valvola, inizia la memorizzazione una volta

superato il valore del trigger di tensione preimpostato: da qui inizia lo zero di

acquisizione e si riesce ad ottenere perciò una memorizzazione completa del segnale,

con la completa fase di salita a regime e stabilizzazione del segnale (grazie alla scelta

del numero di campioni del post trigger).

Nel programma utilizzato su Matlab sono stati scelti valori di default della frequenza di

acquisizione, del trigger (in termini di tensione), del pre trigger e post trigger (in termini

di numero di campioni da acquisire), che permettono di visualizzare graficamente, una

volta conclusa l’acquisizione, l’intero andamento del segnale. Il valore del pre trigger

consente di rappresentare i valori registrati nel buffer prima del raggiungimento del

trigger.

La frequenza di acquisizione è stata scelta in modo tale da non superare la frequenza

associata al tempo di apertura della valvola interna del serbatoio, dell’ordine del

millesimo di secondo, per evitare di visualizzare una rampa di pressione in ingresso,

non più un gradino.

4. RISULTATI DELLE PROVE SPERIMENTALI E ANALISI DEI

RISULTATI

4.1 Risultati nel dominio del tempo

I valori numerici ottenuti sono stati riportati in un foglio Excel per permettere una

visualizzazione grafica dei risultati. Le prive 3 prove senza la sonda sono state inserite

12

nello stesso grafico (Figura 4.1), mentre le prove 4 e 5 con la sonda, vengono

visualizzate in un grafico a parte (Figura 4.2).

Figura 4.1: Segnale di uscita delle prime 3 prove nel dominio del tempo, senza sonda.

Figura 4.2: Segnale di uscita delle ultime 2 prove nel dominio del tempo, con sonda.

Una volta fatto questo, si è voluto effettuare un’adimensionalizzazione della tensione

dei 5 segnali di uscita, affinché si abbia una corretta comparabilità dei grafici. Sono

state eseguite principalmente due operazioni:

1) Correzione dello zero di tensione:

Inizialmente non si ha un valore di tensione nullo, per cui si riporta a zero la tensione

iniziale, sottraendo la media dei valori iniziali di tensione su tutta la curva. Inoltre è

stato traslato l’asse dei tempi, facendo coincidere a t=0 l’inizio della curva del segnale

(non appena è stato avvistato un aumento di tensione).

2) Correzione al valore finale:

Il valore a regime di tutte le curve è stato riportato al valore unitario: per fare questo è

stato preso il valore a regime del segnale (yreg), calcolato come media dei valori ottenuti

in un certo Δt finale, e si è fatto il rapporto con i singoli valori di y variabili nel tempo

(ovvero ( )

).

Sono stati ottenuti in questo modo i seguenti grafici (Figure 4.3, 4.4, 4.5), riducendo il

valore massimo dell’asse dei tempi per permettere una buona visualizzazione della fase

transitoria di ogni risposta:

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

-0,05 -0,025 0 0,025 0,05 0,075 0,1 0,125 0,15 0,175 0,2

Ten

sio

ne

[V

]

Tempo t [s]

Prova 1

Prova 2

Prova 3

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

-0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

Ten

sio

ne

[V

]

Tempo [s]

Prova 5

Prova 4

13

Figura 4.3: Segnale di ingresso a gradino adimensionalizzato.

Figura 4.4: Segnale di uscita delle prime 3 prove adimensionalizzate, senza sonda.

Figura 4.5: Segnale di uscita delle ultime 2 prove adimensionalizzate, con sonda.

Per le prime 4 prove i punti del pre trigger scelti sono 500, mentre quelli del post trigger

2000. Nella prova 5 è stato variato il numero di campioni del post trigger per permettere

un’acquisizione completa del segnale a regime, con un valore pari a 8000. Il livello di

trigger per tutte le prove è 0,2 V.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

0 0,2 0,4 0,6 0,8

Mo

du

lo [

V/V

]

Tempo [s]

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 0,035 0,04

Mo

du

lo [

V/V

]

Tempo [s]

Prova 1

Prova 2

Prova 3

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45

Mo

du

lo [

V/V

]

Tempo [s]

Prova 5

Prova 4

14

Per ogni prova eseguita, al variare della lunghezza l, si esegue un’analisi del segnale nel

dominio del tempo, in cui vengono determinati per via numerica i seguenti parametri

(Tabella 4.1):

Δp = gradino di pressione in termini relativi;

f = frequenza di acquisizione;

tm = “tempo morto”, ovvero tempo misurato al 5% del valore a regime del segnale

(yreg);

t95% = tempo misurato al 95% del valore a regime;

ts = “tempo di salita”, calcolato come differenza tra il t95% e il tm;

ta = “tempo di assestamento”, calcolato al 105% del valore massimo a regime.

I tempi tm, t95% e ta sono stati ricavati interpolando linearmente nell’intorno del valore

richiesto.

Tabella 4.1: Valori impostati e rilevati per le singole prove, nel dominio del tempo.

l

[mm]

Δp

[mBar]

f

[Hz]

tm

[s]

t95%

[s]

ts

[s]

ta

[s]

Prova 1 20 300 10000 0,8·10-4

9,8·10-4

9·10-4

2,54·10-3

Prova 2 200 300 10000 1,4·10-4

1,27·10-3

1,13·10-3

6,92·10-3

Prova 3 1200 300 10000 2,2·10-4

6,36·10-3

6,14·10-3

1,28·10-2

Prova 4 200 + lsonda 300 10000 9,8·10-4

7,31·10-2

7,21·10-2

7,31·10-2

Prova 5 1200 + lsonda 300 10000 7,35·10-3

2,78·10-1

2,71·10-1

2,79·10-1

È possibile notare come il segnale ottenuto nella prova 2 sia quello con andamento più

correlabile a un sistema del II ordine, presentandosi una sovraelongazione piuttosto

pronunciata, con successivo smorzamento delle oscillazioni a regime. Mentre il segnale

1 possiede un breve tempo di salita e raggiunge il regime piuttosto velocemente, ma

presenta una lieve sovraelongazione non simmetrica: si ha una curva di risposta distorta,

con andamento simile, in prima approssimazione, a una rampa. Ciò è dovuto a un

problema fisico, dato che il sistema con linea di 20 mm riesce a percepire la non

istantanea apertura della valvola, grazie alla sua rapidità di risposta.

Il segnale 3, invece, ha uno strano andamento transitorio, essendo caratterizzato quasi

da una spezzata, e la sovraelongazione è meno evidente rispetto alla prova 2. Anche

l’andamento dei segnali 4 e 5 è particolare, ma ciò può essere spiegato come tipico dei

sistemi del secondo ordine fortemente smorzati.

Non riuscendo a trovare una spiegazione nel dominio del tempo, soprattutto nella prova

3, per capire al meglio il motivo di questi andamenti è utile effettuare un’analisi nel

dominio delle frequenze, studiandone l’andamento del modulo della funzione di

trasferimento del trasduttore in funzione della frequenza.

4.2 Risultati nel dominio della frequenza

Una volta determinate le trasformate di Fourier dei singoli segnali di ingresso ( ( )) e

di uscita ( ( )), è stata determinata la funzione di trasferimento H per la singola prova

(nel campo complesso) come (4.1):

( ) ( )

( ) (4.1)

L’andamento del modulo di H (MH in decibel) in funzione della frequenza f, o meglio il

diagramma di Bode, è riportato in Figura 4.6 per le diverse prove.

15

Figura 4.6: Andamento del modulo della FdT della prova 1 (a), prova 2 (b), prova 3 (c), prova 4 (d) e

prova 5 (e).

a)

b)

c)

d)

e)

16

Per il singolo grafico è stata determinata la banda passante[5]

(BP), intercettando il

valore del modulo che si scosta di ±3dB dal valore “centrale” (zero), evidenziato con le

linee blu nella Figura 4.6, e determinando la frequenza corrispondente, che rappresenta

la frequenza di taglio (fc). I valori sono riportati nella Tabella 4.2.

Tabella 4.2: Valori determinati delle frequenze di taglio per le singole prove.

Prova 1 Prova 2 Prova 3 Prova 4 Prova 5

f di taglio [Hz] 533 192,5 58,8 5,8 1,7

Si noti come la frequenza di taglio si riduca sensibilmente nelle prime 3 prove, al

diminuire della lunghezza della linea. Lo stesso avviene nelle prove 4 e 5 (comprese di

sonda), ma con valori decisamente inferiori di frequenza.

La riduzione molto marcata del modulo nelle ultime 2 prove è dovuta presumibilmente

da perdite di carico e dall’aumento dei volumi, introdotte dall’aggiunta della sonda

aerodinamica. Inoltre si notano dei picchi del modulo alla frequenza di 50 Hz,

probabilmente per disturbi dovuti alla rete elettrica del laboratorio. Altro fenomeno

visualizzabile, soprattutto nella prova 3, è il fenomeno d’onda generato dalle onde di

pressione che si formano nel condotto indirizzato al trasduttore, andandosi a sommare ai

fenomeni inerziali della linea. Esso è rappresentato nel diagramma di Bode dal secondo

picco a frequenza di circa 150 Hz, con un valore di circa -4 dB e quindi ancora elevato.

Questo viene visualizzato graficamente dagli andamenti ondulatori del modulo a

frequenza maggiore di quella di taglio. È possibile determinare la frequenza d’onda

osservando che le onde ripetono il loro percorso due volte nella linea prima di colpire il

trasduttore, muovendosi alla velocità del suono, come in (4.2):

√

(4.2)

Una volta misurata la temperatura vigente in laboratorio (T=20°C), e considerando i

valori standard della costante dei gas R e del coefficiente k (riferiti all’aria considerato

come gas biatomico), per la prova 3 è stato ottenuta la (4.3):

√

√ ( )

(4.3)

Con la lunghezza della linea nella prova 3.

Il valore, a meno di inevitabili differenze dovute al non perfetto calcolo della lunghezza

della linea e alla semplificazione della 4.2, presenta un corretto accordo col valore di

150 Hz evidenziato dal secondo picco della prova 3.

5 Intervallo di frequenze che un dato segnale contiene, o che un dato apparecchio è in grado di trattare.

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5. CONCLUSIONI

Si è notato come la lunghezza della linea abbia inciso notevolmente sul segnale di uscita

del trasduttore. Nel caso in cui la lunghezza del tubo era massima (1200 mm) senza la

sonda, è entrato in gioco il fenomeno d’onda, oltre quello inerziale, peggiorando

ulteriormente la risposta del sistema creando delle ondulazioni anomale alle alte

frequenze. Lo stesso fenomeno viene riscontrato anche nelle due prove con sonda, ma

risulta di entità inferiore dovuto al fatto che l’effetto inerziale, ma soprattutto lo

smorzamento, è preponderante, creando una risposta simile a quella di un sistema del

primo ordine.

La prova che maggiormente soddisfa un andamento tipico del sistema del II ordine è

sicuramente la seconda, mostrando una risposta al gradino nel dominio del tempo con la

tipica sovraelongazione e successivo andamento periodico del segnale, che via via si

smorza andando a regime (Figura 4.4); mentre nel dominio delle frequenze (Figura 4.6

b) si ha un picco del modulo che poi man mano decresce fino a valori molto bassi (<0)

alle alte frequenze.

Riassumendo:

per sistemi con linea ridotta il sistema di generazione del gradino è insufficiente;

l’incremento della lunghezza della linea provoca un aumento di importanza dei

fenomeni d’onda;

l’inserimento della sonda ha causato un forte smorzamento che, unito all’incremento

dei volumi della linea, determina un andamento fortemente smorzato, con aumento

del tempo di assestamento a circa .

Si può affermare l’utilità dello studio della funzione di trasferimento nel dominio della

frequenza: ciò ha permesso di porre in evidenza fenomeni che nel dominio del tempo

non erano ben chiari o facili da interpretare. Un esempio concreto è l’andamento a

spezzata che si è riscontrato nella fase transitoria del segnale di uscita della prova 3 nel

dominio del tempo, evento dovuto alla presenza dei fenomeni d’onda notati nel dominio

delle frequenze (con frequenza di circa 144 Hz).