Moti nel piano

La traiettoria è un insieme di punti del piano o dello spazio corrispondenti alle

posizioni del baricentro di un corpo in moto in istanti di tempo successivi.

Traiettoria

Legge oraria

La legge oraria è una relazione matematica che lega tra loro il tempo t e la

posizione s occupata dal corpo in quell'istante di tempo.

Se il moto avviene in una sola dimensione, ad esempio lungo una retta, il

grafico della legge oraria è una linea in un piano cartesiano avente lo spazio s in

ordinata e il tempo t in ascissa.

Alla stessa traiettoria possono corrispondere leggi orarie diverse, a conferma

del fatto che traiettoria e legge oraria sono due concetti totalmente indipendenti.

Moto uniforme: è il moto di un corpo che compie spostamenti uguali

in intervalli di tempo uguali.

Moto rettilineo: è il moto di un corpo la cui traiettoria è una linea

retta.

Moto rettilineo uniforme: è il moto di un corpo che risulta

simultaneamente rettilineo ed uniforme.

Moto rettilineo uniforme

s (m) t (s) s totale (m) t totale (s) v = s/t (m/s)0,2 0,8 0,2 0,8 0,25

0,2 0,8 0,4 1,6 0,25

0,2 0,8 0,6 2,4 0,25

0,2 0,8 0,8 3,2 0,25

0,2 0,8 1 4 0,25

TABELLA DEI VALORI

00,20,40,60,8

0 1 2 3 4 5

tempo (s)

La velocità media è una grandezza vettoriale definita come

rapporto tra spazio percorso e tempo impiegato a

percorrerlo

Velocità media e istantanea

)1()2(

Nel S.I. l’unita di misura della velocità è m/s

Moto rettilineo vario

L’unità di misura è il m/s2

Ricorda che: spostamento, velocità ed accelerazione hanno nel moto rettilineo la stessa direzione

v Varia nel tempo

)1()2(

Accelerazione: grandezza vettoriale definita come variazione di velocità in un certo intervallo di tempo

x(t), v(t), a(t)?

x0 + v0·t

Moto uniformemente accelerato

Esempio: caduta di un grave

v (t)= gt

S (t)= ½ g t2

dtatdx )(

oxattx 2

x0 + v0·t+1/2 at2

v0+ at

Esempio Sia data la legge oraria di una particella in movimento:

x(t)= 3t2 + 6t - 2

Calcolare la velocità nell’istante t=2 e l'accelerazione in quello stesso istante.

Sapendo che la velocità istantanea è dx/dt…

v=x'(t)= 6t + 6

Quindi, la velocità nell'istante t=2 è

v(2)=x'(2)= 6.2 + 6 = 18

a(t)=x''(t) = 6

1/2 at2+ v0t+x0 a=6 v0=6 v(t)= v0+ at v(2)=6+6*2=18

Domande Che tipo di traiettoria segue il proiettile? Dopo quanto tempo toccherà il suolo? Con che velocità toccherà il suolo? A queste domande rispose Galileo Galilei nel 1638

4. Moti nel piano: moto parabolico

Principio di composizione dei movimenti: è possibile studiare

separatamente il moto del proiettile lungo la direzione x e la direzione y

perché i due movimenti sono indipendenti.

Lungo l’asse x:

Lungo l’asse y:

Si trascurano gli attriti

moto rettilineo uniforme

moto uniformemente accelerato

(accelerazione di gravità)

• Per semplicità noi studieremo un caso particolare: quello in cui il proiettile, considerato puntiforme ed in assenza di aria, viene sparato orizzontalmente da un altezza h con velocità orizzontale v0

Lungo l’asse x il moto è rettilineo uniforme e dunque la legge oraria è: s=s0+vt x = v0 t

y = ½ g t2

Lungo l’asse y il moto è uniformemente accelerato con accelerazione g. La legge oraria è: s=s0+ v0 t + ½ at2

• In definitiva avremo un sistema di due equazioni:

Sostituiamo questo valore nella seconda ottenendo:

y = ½ g t2

x = v0 t

TRAIETTORIA

• Il tempo di volo del proiettile non dipende dalla velocità di lancio ma solo dalla quota h e dal valore dell’accelerazione di gravità.

• Se il proiettile viene sparato dalla quota h, sostituendo y=h nella seconda equazione si ottiene:

• E con la formula inversa si ricava

• Ciò significa che il tempo di caduta di un proiettile è lo stesso di un corpo lasciato libero di cadere verticalmente.

22 tg2

• Nella prima equazione sostituiamo al posto di t il tempo

di volo:

• Otteniamo così la gittata, cioè la massima distanza

orizzontale percorsa

• A parità di altezza, la gittata è direttamente proporzionale

alla velocità iniziale (velocità di lancio).

2h vt vx 00

2h vx 0g

Velocità media e istantanea

)1()2( vt

• Mentre il proiettile cade al suolo la sua velocità aumenta.

• Ad ogni istante la velocità è rappresentata da un vettore tangente alla traiettoria parabolica che può essere scomposto lungo le due direzioni x e y

• Poiché la componente orizzontale è costante e pari a v0 mentre la componente verticale aumenta seguendo la legge del moto uniformemente accelerato in ogni istante la velocità totale è pari a :

• Un proiettile viene sparato dall’alto di una torre di 25 m

con la velocità di 200 m/s in direzione orizzontale.

Calcolare la gittata e la velocità con cui tocca il suolo.

• Svolgimento

• h = 25 m v0= 200 m/s g= 9.81 m/s2

• Xg= ? v= ?

m 452 s 2,26200m/stvg

2h vx 00g

smsmsm /22,201)/17,22()/200(vvv 222

17.2226.2/81.9v 2

y ssmgt

v0y v0x

1gttvyy

Supponiamo che l’origine sia il punto nel quale il proiettile inizia a muoversi con velocità v0 e

con un angolo di inclinazione θ

L’equazione della traiettoria si ottiene eliminando il tempo t. Si ha

così :

che ha la forma: y =ax-bx2, ed è l'equazione di una parabola passante per l'origine e

con concavità rivolta verso il basso; e questo prova che la TRAIETTORIA di un

proiettile è una parabola.

Nel caso in cui un proiettile venga lanciato da un'altezza h, y ha anche un termine

noto, che significa chela parabola descritta non passa per (0, 0).

• Ottenere la traiettoria in funzione di θ

v0x = v0 cos θ

v0y = v0 sin θ

Gittata = v02 sin 2θ /g

Qual è l’altezza massima del proiettile in funzione di v0 e θ ?

ymax= -(tang θ) 2 /[-2g/ (v0 2cos2 θ)]= (v0

2sin2 θ )/2g

si ottiene

x = (v0 cos θ) t

y = (v0 sin θ) t - 1/2 g t2

La funzione che si ottiene eliminando t è

y = (tang θ) x -[ g/(2 v0 2cos2 θ )] x2

30° 15°

Esercizio • Un’auto viaggia con velocità costante di 70 km/h, valore

oltre il limite di velocità. Dietro un cartellone pubblicitario

c’è appostata una moto dei vigili urbani, che, dopo un

secondo dal passaggio dell’auto, parte all’inseguimento.

La moto ha un’accelerazione di 3 m/s2.

• Quando la moto raggiunge l’auto?

0 10 200

a,0a vv

tva,0 2

mm,0m,0m ta2

Moto rettilineo uniforme

= 70 km/h

tvss a,00a

tavv mm,0m )t(tavv 0mm,0m

0m0m,0m,0m )t(ta2

1)t(tvss

0mm )t(ta2

m )1(t32

t44.19sa

= 70*1000/3600 m/s = 19.44 m/s

Definiamo come t=0 l’istante in cui la macchina passa davanti al cartellone

0 10 200

t44.19sa 2

m )1(t32

ma ss 2)1(t32

1t44.19

t44.191.5t3t5.1 2 01.5t44,22t5.1 2

5,15,1444,2244,22t

23,2244,22

=0,067 s

=14,89 s

0.067<1 Precedente alla partenza della moto

Da scartare

Sicurezza stradale e cinematica

Tempo di reazione e distanze di sicurezza- Il tempo di reazione è l’intervallo di

tempo che passa tra il momento in cui si percepisce un pericolo e il momento in cui si

inizia ad agire per evitarlo. In condizioni normali il tempo di reazione è circa 0.75-1 s .

Se il conducente è sotto l’effetto di alcol, il tempo di reazione aumenta

esponenzialmente col tasso alcolico.

Per esempio, in stato di euforia debole (alcolemia=0.4 g/l), il tempo di reazione è 1.5 s.

0 50 100 150 2000

v(km/h)

Da quando vede un ostacolo, il conducente di un veicolo impiega circa 1 s prima di

iniziare a frenare e percorre uno spazio di reazione Δsr = v (1 s) che dipende dalla

velocità v a cui procede. Se l’ostacolo dista meno di Δsr metri dall’auto,

l’automobilista non ha neppure il tempo per iniziare a frenare e urta contro l’ostacolo

con la velocità v.

Lo spazio di frenata è la distanza che un veicolo percorre fra l’inizio della decelerazione e

l’arresto.

v (km/h) Δsf (m)

130 110

a=-6 m/s2

Gli spazi di frenata aumentano in modo considerevole in caso di pioggia o ghiaccio e quando

le gomme sono sgonfie o comsumate.

Lo spazio di frenata dipende dalle condizioni del veicolo e dal fondo stradale, che determinano

il valore della decelerazione. Lo spazio di frenata cresce con il quadrato della velocità.

Per un’automobile in buone condizioni, su una strada con aderenza media, gli spazi di frenata

sono molto vicini a:

Nell’ipotesi che la decelerazione prodotta dai freni sia costante, il moto del veicolo è

uniformemente decelerato.

La velocità iniziale v0 , lo spazio di frenata , quella finale v = 0 m/s, l’accelerazione (<0) e lo

Δsf sono legati dalla relazione :

La distanza di sicurezza è la distanza che un veicolo deve mantenere da

quello che lo precede per potersi arrestare senza urtarlo.

La distanza di sicurezza Δss è la somma dello spazio di reazione e dello

spazio di frenata:

Δss = Δsr + Δsf

0 20 40 60 80 100 120 1400

v(km/h)

Δss A 50 km/h, ss= 35 m

A 100 km/h, ss= 110 m

Esercizio Una persona, su un grattacielo alto 100

m, lancia una palla verso l’alto con una

velocità di 20 m/s. Denominando i punti

del moto come in figura, calcolare: A

1. Tempo di arrivo e posizione in B

2. Tempo d’arrivo e velocità in C

3. Se passa da D dopo 6 secondi,

posizione e velocità in D

4. Tempo di arrivo e velocità in E

5. Velocità media del moto.

zA=100m, posizione iniziale

vA=20 m/s, velocità iniziale.

v=vA-gt

z=zA+vAt-1/2 gt2

0 2 4 6 8-80

v(m/s)

0 2 4 6 80

zA=100m, posizione iniziale

vA=20 m/s, velocità iniziale.

Chiamo tB il tempo di arrivo in B.

Tempo di arrivo e posizione in B

Dato che il corpo in B si ferma e torna indietro,

in quel punto la sua velocità è nulla, vB=0.

v=vA-gt

vB=vA-gtB=0 tB=vA/g

zA=100m

vA=20 m/s. Questa è la velocità iniziale.

1) Tempo di arrivo e posizione in B

0 2 4 6 8-80

v(m/s)

0 2 4 6 80

120s(m)

tB=vA/g tB=20/9.8 s = 2.04s

z=zA+vAt-1/2 gt2 zB=zA+vAtB-1/2 gtB2

zB=100+vAtB-1/2 gtB2

zB=100+20tB-1/2 9.8tB2 zB=100+20x2.04-1/2 9.8x2.042 zB=120.4 m

2) Tempo di arrivo e velocità in C

0 2 4 6 8-80

v(m/s)

0 2 4 6 80

z=zA+vAt-1/2 gt2

0=20tC-1/2 9.8tC2

zC=zA+vAtC-1/2 gtC2

In C si ha che zC=zA

tC(20-1/2 9.8tC)=0

0 2 4 6 8-80

v(m/s)

0 2 4 6 80

120s(m)

0=20tC-1/2 9.8tC2

tC(20-1/2 9.8tC)=0

(20-1/2 9.8tC)=0

1/2 9.8tC=20 tC=20x2/9.8 =4.08 s

0 2 4 6 8-80

v(m/s)

0 2 4 6 80

120s(m)

tC=4.08 s

vC=vA-gtC =20-9.8x4.08

v=vA-gt

=20-40 =-20 m/s

0 2 4 6 80

120s(m)

3) Posizione e velocità in D

0 2 4 6 8-80

v(m/s)

tD=6 s

vD=vA-gtD =20-9.8x6

v=vA-gt

=20-58.8 =-38.8 m/s

z=zA+vAt-1/2 gt2 zD=zA+vAtD-1/2 gtD2

zD=100+20x6-1/2 9.8x62 =100+120-176.4 =43.6m

0 2 4 6 80

120s(m)

4) Tempo d’arrivo e velocità in E

0 2 4 6 8-80

v(m/s)

zE=0 v=vA-gt z=zA+vAt-1/2 gt2

zE=zA+vAtE-1/2 gtE2 0=100+20tE-1/2 9.8xtE

4.9xtE2-20tE-100=0

9.4*100*440020 Et

58.4820 s99.6

58.4820

0 2 4 6 80

120s(m)

4) Tempo d’arrivo e velocità in E

0 2 4 6 8-80

v(m/s)

zE=0 v=vA-gt stE 99.6

vE=vA-gtE vE=20-9.8x6.99 =20-68.5

=-48.5 m/s

5) Velocità media

0 2 4 6 8-80

v(m/s)

vE=-48.5 m/s

vmedia=(vE+vA)/2 =(-48.5+20)/2 =-28.5/2

=-14.25 = -100/7

vscalare media=140.8/7

=20.11

vA=20 m/s

Un oggetto si muove di moto circolare uniforme quando:

La sua traiettoria è una circonferenza

4. Moti nel piano: moto circolare uniforme

V1 COST. =

Il modulo della velocità

tangenziale è costante

V1 COST. =

V1 V2 =

La direzione del vettore velocità varia nel tempo – esiste un’accelerazione.

V1 V2 =

Calcoliamo

a = v/t

V1 V2 =

a = V2

R Accelerazione centripeta

Alcune grandezze utili:

PERIODO: tempo T impiegato dal corpo a percorrere

un’intera circonferenza

T 4. Moti nel piano: moto circolare uniforme

T = 35 s

FREQUENZA: numero di giri f fatti dal corpo nell’unità

di tempo (di solito 1 sec)

il corpo ha percorso

più di un giro

(per es. 1,85 giri)

f = 1,85 Hz

FREQUENZA: numero di giri f fatti dal corpo nell’unità

di tempo(di solito 1 sec)

VELOCITA’ ANGOLARE: w rapporto tra l’angolo

«spazzato» in un dato intervallo di tempo e l’intervallo

stesso

MOTO CIRCOLARE UNIFORME

Velocità Tangenziale

Velocità Angolare

Accelerazione Centripeta

;;44 222

si scompone in due vettori: accelerazione tangenziale at ed accelerazione

normale an

La componente tangenziale at dipende dalla variazione del modulo del vettore

velocità, quella normale an cresce all’aumentare della variazione in direzione del

vettore velocità istantanea (o della curvatura della traiettoria).

4. Moti nel piano: moto circolare vario

4. Moti nel piano: moto armonico

Si definisce MOTO ARMONICO il moto oscillatorio compiuto dalla proiezione di

un punto che si muove lungo una circonferenza a velocità costante, cioè di

moto circolare uniforme, sul diametro della circonferenza.

VELOCITA’

Le grandezze caratteristiche del moto armonico corrispondono alla

proiezione sull’asse delle analoghe grandezze del moto circolare

uniforme

VELOCITA’

uniforme

VELOCITA’

uniforme

VELOCITA’

uniforme

VELOCITA’

uniforme

VELOCITA’

uniforme

VELOCITA’

uniforme

VELOCITA’

uniforme

VELOCITA’

uniforme

VELOCITA’

uniforme

VELOCITA’

uniforme

VELOCITA’

uniforme

VELOCITA’

uniforme

VELOCITA’

uniforme

VELOCITA’

uniforme

VELOCITA’

uniforme

VELOCITA’

uniforme

VELOCITA’

uniforme

V VELOCITA’

uniforme

ACCELERAZIONE

uniforme

ACCELERAZIONE

uniforme

ACCELERAZIONE

uniforme

ACCELERAZIONE

uniforme

ACCELERAZIONE

uniforme

ACCELERAZIONE

uniforme

ACCELERAZIONE

uniforme

ACCELERAZIONE

uniforme

ACCELERAZIONE

uniforme

ACCELERAZIONE

uniforme

ACCELERAZIONE

uniforme

ACCELERAZIONE

uniforme

ACCELERAZIONE

uniforme

ACCELERAZIONE

uniforme

ACCELERAZIONE

uniforme

ACCELERAZIONE

uniforme

ACCELERAZIONE

uniforme

ACCELERAZIONE

uniforme

V a MAX

ACCELERAZIONE

uniforme

SPOSTAMENTO

uniforme

SPOSTAMENTO

uniforme

SPOSTAMENTO

uniforme

SPOSTAMENTO

uniforme

SPOSTAMENTO

uniforme

SPOSTAMENTO

uniforme

SPOSTAMENTO

uniforme

SPOSTAMENTO

uniforme

SPOSTAMENTO

uniforme

SPOSTAMENTO

uniforme

SPOSTAMENTO

uniforme

SPOSTAMENTO

uniforme

SPOSTAMENTO

uniforme

SPOSTAMENTO

uniforme

SPOSTAMENTO

uniforme

SPOSTAMENTO

uniforme

SPOSTAMENTO

uniforme

SPOSTAMENTO

uniforme

V a MAX

SPOSTAMENTO

uniforme

V a MAX

a = - K x

Si definisce PERIODO (T) del moto armonico la durata di

un'oscillazione completa. Tale durata è uguale al periodo T

del moto circolare uniforme.

Si definisce FREQUENZA (f) del moto armonico il numero di

oscillazioni complete compiute nell’unità di tempo.

Si definisce PULSAZIONE (w) del moto armonico la velocità

angolare del moto circolare uniforme.

22 stra

r cos wt

L'accelerazione è direttamente proporzionale al quadrato della

pulsazione, ed è sempre diretta in verso opposto allo spostamento s

dalla posizione centrale (se lo spostamento è positivo l'accelerazione è

negativa e viceversa).

L'accelerazione è massima quando lo spostamento s è massimo, e quindi

agli estremi; è nulla quando il corpo si trova al centro.

Generalizzando:

x( t ) = A cos (wt + f)

A - ampiezza.

f - è l'argomento del coseno al tempo t=0; quindi cambiare la fase è

equivalente a ridefinire l'origine dei tempi.

)cos()(

)sin()(

)cos()(

)()( 2 txta w

In natura ci sono molti esempi di moti oscillatori armonici: ad esempio il

moto di un corpo appeso a una molla, il moto di un'altalena e quello di un

pendolo.

Moti nel piano - UniFI

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