Relazione: Il Pendolo semplice

Relazione di laboratorio 07/03/2007 e 28/03/2007

del corso di Fisica generale Iprof. Gerbaldo

IL PENDOLO SEMPLICE

1. Relazione di Camillo Stefanucci. Corso di laurea in Ingegneria Fisica

OBIETTIVI DELL’ESPERIENZA IN LABORATORIO

MATERIALE UTILLIZZATO- Pendolo semplice: costituito da un filo di nylon legato a un supporto stabile con

altezza regolabile alla cui estremità è collegata una sferetta metallica.

- Cronometro digitale: timer utilizzato per la determinazione del periodo del pendolo,

elettronico e maneggevole con diversi tasti e con la precisione di 0,001 s.

- Calibro: strumento per misurare le piccole misure di lunghezza con una precisione

di 0,02 mm (come indicato dalla casa produttrice)

- Metro a nastro: comunissimo metro usato per misurare lunghezze varie che presenta

una precisione di 1 mm.

DESCRIZIONE DELL’ESPERIENZAL’esperienza di laboratorio consisteva in varie fasi nel prendere delle misure con gli

strumenti a disposizione e rielaborarle attraverso un’analisi sia fisica che statistica.

1) Misurazione della lunghezza del pendolo

La prime misure prese in laboratorio sono state effettuate sulla massa sferica presente

all’estremità del filo (che consideriamo rigido e inestensibile per rispettare gli

standard della meccanica classica) per determinarne le dimensioni e di conseguenza

la lunghezza totale l del pendolo. Attraverso il calibro si è data una stima del diametro

d della massa cercando di essere i più precisi possibile nel centrare l’estremità dello


Le due esperienze di laboratorio si proponevano di studiare il moto del pendolo semplice

secondo la meccanica classica per raggiungere sostanzialmente due diverse conclusioni

ben distinte:

- La verifica della legge teorica per angoli di oscillazione piccoli per ricavare un valore

approssimativamente esatto dell’accelerazione di gravità.

- La verifica della proporzionalità tra periodo e lunghezza in modo da ricavare da

un’esperienza una legge fisica.

- L’analisi statistica dei dati attraverso diagrammi e valutazione degli errori.

strumento a metà della sfera. Ripetendo questa delicata operazione due-tre volte si è

giunti a una misura che è stata riportata in tabella a pag(7) con il relativo errore che

rappresenta in questo caso l’incertezza dello strumento usato. Oltre al diametro è

necessario però conoscere anche la lunghezza h del filo di nylon utilizzato. Essendo

in questo caso un oggetto considerabile unidimensionale si è ricorso al metro a nastro.

Poggiando un’estremità del metro sulla parte inferiore del supporto a cui era collegato

il filo (punto vincolante del pendolo semplice così considerato) e l’altra estremità

sulla parte superiore della massa (li dove finiva il filo) si è ricavata una lunghezza con

la relativa incertezza (maggiore della prima a causa di uno strumento meno sensibile)

dopo diverse misurazioni (3-4) cercando di tenere il metro il più aderente possibile al

filo teso. Purtroppo la lunghezza totale del sistema fisico sperimentale non è

determinabile solo attraverso la somma di queste due misurazioni ossia raggio+filo

perché ci si è accorti che il filo non è legato esattamente alla sfera ma a un pernetto la

cui dimensione non può essere trascurata. Per questo si è dovuto calcolarla ricorrendo

nuovamente al calibro e considerando questa volta la distanza verticale sfera+perno

che indichiamo con p. Quest’ultima misurazione ci permette di trovare la lunghezza l

della legge fisica presa in considerazione considerando la lunghezza del filo, quella

del pernetto e quella del raggio della massa come segue:

Una piccola nota che verrà approfondita in seguito riguarda la scelta di considerare

come l la distanza dal punto vincolante fino al centro della massa; questo non è un

caso perché meccanicamente il pendolo semplice dovrebbe avere alla sua estremità

un punto materiale e non una corpo fisico.

2)Misurazione del periodo di oscillazione

Il passo successivo consisteva nel misurare il periodo di oscillazione del pendolo. Per

questo ci siamo serviti del cronometro digitale a nostra disposizione e abbiamo

segnato i relativi tempi misurati che sono riportati in tabella a pag (5). Questi tempi,

tuttavia, non sono relativi a ogni singola oscillazione ma per diminuire gli errori sono

stati campionati sul minimo consigliato ossia ogni 5 oscillazioni. Per fare tali

misurazioni si è allontanata la massa dalla posizione di equilibrio di una distanza x


tenuta costante da un supporto metallico su cui veniva poggiata. Lasciandola libera

essa iniziava le sue oscillazioni i cui tempi sono stati cronometrati però non a partire

dalla prima ma dalla terza o quarta in quanto le prime oscillazioni erano di

assestamento ossia necessarie alla massa per stabilizzarsi senza ulteriori oscillazioni o

rotazioni attorno al proprio asse che possono contribuire all’errore sperimentale. Altra

accortezza è stata quella di far si che il moto oscillatorio si svolgesse rigorosamente

su un piano e non su un’ellisse. Le oscillazioni sono state cronometrate 120 volte

questo per due ragioni: 1) diminuire in modo considerevole l’errore commesso sulla

misurazione e 2) per avere una quantità sufficiente di dati da manipolare per

dimostrare statisticamente che hanno una distribuzione normale. Eliminando tutti gli

errori sistematici possibili sulla misurazione hanno inciso soprattutto errori casuali

dovuti soprattutto dal ritardo di riflessi nel segnare le serie di oscillazioni concluse. In

queste misurazioni le uniche misure scartate sono state quelle di errori di conteggio o

di riflessi altamente evidenti, mentre le altre sono state iterate e considerate

nell’analisi statistica (che verrà approfondita in seguito).

3)Calcolo dell’accelerazione di gravità

Dalla teoria si è presa in considerazione la funzione f(l,T) che ci permetteva di

calcolare l’accelerazione di gravità nel laboratorio in cui è stato effettuato

l’esperimento (Torino). Avendo tutti i dati a disposizione (lunghezza del pendolo e

periodo medio) si è proceduti alla valutazione di tale costante. Ovviamente per vedere

se il valore ottenuto era corretto sperimentalmente bisognava calcolarne in relativo

errore e confrontarlo con il valore corretto di g. Questo è stato fatto dopo l’analisi

statistica e ci ha permesso di trarre una conclusione concreta dell’esperimento.

4)Misurazione di periodi a diverse lunghezze

La seconda e ultima esperienza di laboratorio prevedeva di calcolare invece la

costante gravitazionale g attraverso un metodo diverso. Per questo si è preso un altro

pendolo e sono state fatte le stesse misurazioni di cui al punto 1 per determinare la

lunghezza del sistema sferetta+perno. Considerato questo valore costante si è

calcolato il periodo di oscillazione del pendolo variando 6-7 volte la lunghezza del

filo. Dapprima si son considerate lunghezze molto piccole che prevedevano un valore


elevato del periodo e su cui si sono commessi errori soprattutto dovuti ai tempi di

reazione degli sperimentatori. Scartate queste misure, inaccettabili, si è proceduto con

l’esperienza del punto 2 (calcolare il periodo di 5 oscillazioni una decina di volte) per

5 diverse lunghezze h del filo e di conseguenza del pendolo. Tutte le misurazioni

effettuate sono riportate nelle pagine 7-8. Abbiamo successivamente riportato le

misurazioni su un grafico T , l e attraverso il metodo dei minimi quadrati abbiamo

interpolato i dati raccolti ricavando una proporzionalità diretta tra le due misure

(verificando la legge teorica) e quindi la costante di proporzionalità che ci ha

permesso di calcolare l’accelerazione di gravità g.

RACCOLTA E RIELABORAZIONE DEI DATINella tabella seguente è riportato l’elenco dei tempi misurati ogni 5 oscillazioni che ci

ha permesso dividendo per 5 di ottenere il periodo di ogni singola oscillazione

approssimato a 0,001 s (l’incertezza dello strumento). Il valore medio risultante da tali

misurazioni corrisponde in effetti alla media aritmetica di questi e quindi:

A ogni periodo poi è possibile associare uno scarto che è importante nell’analisi

statistica e nella determinazione dell’errore commesso sulla misura, dato da:

(Curiosità: la somma degli scarti di tutte le misure effettuate è sempre nulla!)

Tempo Periodo Scarto Tempo Periodo Scarto7,5457,5477,5627,5707,5727,5767,5787,5887,5887,5907,596

1,5091,5091,5121,5141,5141,5151,5161,5181,5181,5181,519

0,0230,0220,0190,0180,0170,0160,0160,0140,0140,0140,012

7,6617,6627,6627,6647,6647,6647,6647,6657,6657,6657,667

1,5321,5321,5321,5331,5331,5331,5331,5331,5331,5331,533

-0,001-0,001-0,001-0,001-0,001-0,001-0,001-0,001-0,001-0,001-0,002


Tempo Periodo Scarto Tempo Periodo Scarto7,5997,6027,6097,6127,6147,6167,6187,6207,6207,6217,6227,6257,6257,6267,6267,6277,6277,6307,6357,6377,6377,6387,6387,6387,6387,6387,6407,6427,6437,6447,6447,6447,6457,6467,6467,6477,6487,6487,6497,6497,6497,6517,651

1,5201,5201,5221,5221,5231,5231,5241,5241,5241,5241,5241,5251,5251,5251,5251,5251,5251,5261,5271,5271,5271,5281,5281,5281,5281,5281,5281,5281,5291,5291,5291,5291,5291,5291,5291,5291,5301,5301,5301,5301,5301,5301,530

0,0120,0110,0100,0090,0090,0080,0080,0080,0080,0070,0070,0070,0070,0060,0060,0060,0060,0060,0050,0040,0040,0040,0040,0040,0040,0040,0040,0030,0030,0030,0030,0030,0030,0020,0020,0020,0020,0020,0020,0020,0020,0010,001

7,6697,6707,6707,6717,6717,6727,6757,6757,6757,6767,6767,6767,6777,6807,6807,6817,6817,6837,6847,6857,6857,6867,6887,6887,6897,6907,6937,6977,6977,6987,7007,7017,7017,7097,7107,7137,7137,7157,7157,7177,7197,7197,720

1,5341,5341,5341,5341,5341,5341,5351,5351,5351,5351,5351,5351,5351,5361,5361,5361,5361,5371,5371,5371,5371,5371,5381,5381,5381,5381,5391,5391,5391,5401,5401,5401,5401,5421,5421,5431,5431,5431,5431,5431,5441,5441,544

-0,002-0,002-0,002-0,003-0,003-0,003-0,003-0,003-0,003-0,004-0,004-0,004-0,004-0,004-0,004-0,005-0,005-0,005-0,005-0,005-0,005-0,006-0,006-0,006-0,006-0,006-0,007-0,008-0,008-0,008-0,008-0,009-0,009-0,010-0,010-0,011-0,011-0,011-0,011-0,012-0,012-0,012-0,012


Tempo Periodo Scarto Tempo Periodo Scarto7,6527,6537,6537,6547,6557,658

1,5301,5311,5311,5311,5311,532

0,0010,0010,0010,0010,0010,000

7,7297,7377,7457,7597,7657,767

1,5461,5471,5491,5521,5531,553

-0,014-0,016-0,017-0,020-0,021-0,022

Nella prossima tabella sono invece stati riportati i valori calcolati di varie misure

associando a ognuno di essi un’incertezza che in questo caso è stata considerata come

la precisione dello strumento:

Misura effettuata Valore trovato Incertezza Lunghezza del filo 0,567 m 0,001 mDiametro della massa sferica 0,02452 m 0,00002 mLunghezza della massa sferica

compreso il perno superiore

0,02671 m 0,00002 m

Nella prossima tabella sono invece riportate le misurazioni fatte sulle diverse

lunghezze del filo del secondo pendolo con le relative incertezze strumentali:

Misura effettuata Valore trovato Incertezza Diametro della massa sferica 0,02488 m 0,00002 mLunghezza della massa sferica

compreso il perno superiore

0,02654 m 0,00002 m

Lunghezza del filo dA 0,215 m 0,001 mLunghezza del filo dB 0,241 m 0,001 mLunghezza del filo d1 0,285 m 0,001 mLunghezza del filo d2 0,322 m 0,001 mLunghezza del filo d3 0,343 m 0,001 mLunghezza del filo d4 0,402 m 0,001 mLunghezza del filo d5 0,450 m 0,001 m

In quest’ultima tabella sono stati riportati invece i tempi misurati alle varie distanze d

del punto precedente con i relativi periodi di oscillazione divisi per 5 (il numero di

oscillazioni di ogni intervallo temporale) e i relativi valori medi calcolati nel metodo

analogo a quanto fatto per la prima tabella:


Tempo1

Period 1

Tempo2

Period 2

Tempo 3

Period 3

Tempo 4

Period 4

Tempo 5

Period 5

5,4965,5155,4655,5135,4785,4535,5235,4975,4405,540

1,0991,1031,0931,1031,0961,0911,1051,0991,0881,108

5,8275,7735,8245,8165,8235,7795,7935,8585,8335,800

1,1651,1551,1651,1631,1651,1561,1591,1721,1671,160

5,9535,9676,0965,9226,0345,9985,9776,0426,0845,963

1,1911,1931,2191,1841,2071,2001,1951,2081,2171,193

6,4876,4366,4726,5236,4306,5206,5206,4036,4146,518

1,2971,2871,2941,3051,2861,3041,3041,2811,2831,304

6,7696,7726,8516,9006,8116,8316,9426,8196,8356,848

1,3541,3541,3701,3801,3621,3661,3881,3641,3671,370

VALORI MEDI1,098 s 1,163 s 1,201 s 1,294 s 1,366s

ANALISI STATISTICA E ANALISI DEGLI ERRORICome ulteriore scopo dell’esperienza di laboratorio c’era da analizzare ed elaborare i

dati statisticamente. Dapprima servendoci degli strumenti della statistica descrittiva

abbiamo verificato che i dati raccolti sui periodi si distribuivano su una gaussiana. Per

far questo è stato utile l’utilizzo del calcolatore con il foglio di calcolo excel che ci ha

permesso di stilare degli istogrammi

molto significativi. Dividendo infatti i

dati in 10 classi equispaziate abbiamo

riportato la frequenza dei dati

ottenendo quanto segue:

Scala Tempi Frequenza

1 1,513 32 1,518 83 1,522 54 1,527 175 1,531 276 1,536 297 1,540 168 1,545 109 1,549 3

10 1,553 3


(La scelta di 10 classi è presa sotto consiglio di dividere i dati approssimativamente in

√N classi dove N rappresenta il numero di dati raccolti).

Dal poligono di frequenza ottenuto dalla spezzata che unisce i picchi degli

istogrammi si individua la distribuzione “a campana” dei dati raccolti

sperimentalmente. Tale distribuzione è possibile confrontarla direttamente con una

gaussiana normalizzata. Prima però è necessario calcolare dei parametri statistici dai

dati, che sono riportati nella tabella seguente con le relative formule matematiche

utilizzate per calcolarli.

Devianza

Varianza

Deviazione standard

Deviazione standard media

La deviazione standard media

in particolare è considerabile

come l’incertezza sul periodo

medio calcolato T. Questa ci

permette di ricavare la formula

analitica della curva gaussiana

che segue l’equazione

seguente:


0

5

10

15

20

25

30

35

1,513

1,518

1,522

1,527

1,531

1,536

1,540

1,545

1,549

1,553

Valorigaussiana

Con l’aiuto di excel è stato facilmente possibile confrontare l’andamento dei dati

raccolti con la gaussiana normalizzata. (Per un buon grafico le aree che “di troppo”

sopra la curva devono compensare quelle “mancanti” sotto la curva).

Nella tabella successiva sono stati riportati i dati di ascissa e ordinata che hanno

permesso di disegnare la gaussiana e in particolar modo è sottolineata graficamente la

differenza tra una normale gaussiana e quella normalizzata (caratterizzata dal fatto

che ha media 0 e deviazione standard 1).

T Gaussiana Normalizzata T Gaussiana Normalizzata1,509 1,571 0,853 1,531 45,823 24,8931,510 2,037 1,107 1,532 45,796 24,8781,511 2,615 1,420 1,533 45,294 24,6051,512 3,321 1,804 1,534 44,333 24,0831,513 4,175 2,268 1,535 42,943 23,3281,513 5,194 2,821 1,536 41,164 22,3621,514 6,394 3,473 1,537 39,050 21,2131,515 7,790 4,232 1,537 36,661 19,9151,516 9,392 5,102 1,538 34,061 18,5031,517 11,207 6,088 1,539 31,317 17,0121,518 13,233 7,189 1,540 28,495 15,4791,519 15,464 8,400 1,541 25,659 13,9391,520 17,883 9,715 1,542 22,865 12,4211,521 20,467 11,118 1,543 20,165 10,9541,521 23,180 12,592 1,544 17,598 9,5601,522 25,981 14,114 1,545 15,200 8,2571,523 28,819 15,655 1,545 12,992 7,0571,524 31,635 17,185 1,546 10,989 5,9701,525 34,366 18,669 1,547 9,199 4,9971,526 36,945 20,070 1,548 7,621 4,1401,527 39,307 21,353 1,549 6,248 3,3941,528 41,385 22,482 1,550 5,069 2,7531,529 43,122 23,425 1,551 4,070 2,2111,529 44,465 24,155 1,552 3,234 1,7571,530 45,375 24,649 1,553 2,543 1,381

0,000

5,000

10,000

15,000

20,000

25,000

30,000

35,000

40,000

45,000

50,000

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49

(Blu- standard, verde-normalizzata).


Dopo l’analisi statistica dei dati relativi ai periodi di oscillazione siamo passati a

calcolarci l’accelerazione di gravità g che come da teoria è data dalla formula:

con la relativa incertezza δg. Per calcolarla bisogna dunque avere a

disposizione il periodo, la lunghezza del pendolo e le relative

incertezze. Per quanto riguarda il periodo, il valore utilizzato è quello medio mentre

l’errore assoluto è la deviazione standard media precedentemente calcolata. Per la

lunghezza è stato dapprima necessario operare l’operazione descritta a pag (3) con cui

abbiamo ricavato il valore l:

Dalle leggi di propagazione degli errori si ha di conseguenza che l’incertezza su l è:

Essendo g una funzione di T ed l la sua incertezza δg è stata calcolata utilizzando le

derivate parziali della formula precedentemente mostrata che ha portato al seguente

risultato:

Il valore numerico di g calcolato nell’esperienza è ottenibile invece sostituendo i

relativi valori di T e l nella formula precedente:

Esaminando invece la seconda esperienza di laboratorio riportiamo qui le misure dei

periodi T(A) e T(B) relativi alle distanze dA e dB (non riportati nelle tabelle

precedenti) con le relative misure medie e deviazioni standard che sono state calcolate

utilizzando la funzione automatica di excel stdev(...) e l’intervallo di tolleranza di tale

misure. Come si nota facendo un confronto con i dati teorici c'è una profonda

discrepanza che ci ha portato ad escludere le misurazioni effettuate. L’errore relativo


a tali misure risulta condizionato dal breve periodo di oscillazione del pendolo e

quindi da un errore sistematico dovuto ai tempi di reazione degli sperimentatori.

Tempo A Periodo A Tempo B Periodo B4,8564,8904,8654,8264,8584,7994,8684,8914,8604,817

0,9710,9780,9730,9650,9720,9600,9740,9780,9720,963

5,1065,1075,0105,1165,0905,0825,1065,0865,0665,061

1,0211,0211,0021,0231,0181,0161,0211,0171,0131,012

VALORI MEDI SPERIMENTALI0,971 1,017

VALORI MEDI TEORICI0,960 1,013

DEVIAZIONI STANDARD MEDIE0,002 0,002

RANGE SPERIMENTALE0,969 0,973 1,015 1,019

Considerando invece le 5 lunghezze d prese in considerazione possiamo anche in questo

caso fare un confronto con i valori teorici e osservare che l’intervallo sperimentale

calcolato in questo caso è affidabile e quindi possiamo fare un’analisi dei dati attraverso

il metodo dei minimi quadrati approssimandoli su un diagramma cartesiano T 2, l.

Periodo 1 Periodo 2 Periodo 3 Periodo 4 Periodo 51,098 1,163 1,201 1,294 1,368

VALORI TEORICI1,097 1,163 1,199 1,294 1,367

DEVIAZIONE STANDARD MEDIE0,002 0,002 0,004 0,003 0,003

RANGE SPERIMENTALE1,096 1,100 1,161 1,164 1,197 1,204 1,291 1,297 1,364 1,371


Tale approssimazione è stata implementata utilizzando il software di calcolo Matlab

che adopera automaticamente il calcolo dei coefficienti A, B della retta approssimante

i dati (come ci si aspetta dalla teoria). In particolare in un diagramma T 2, L tali

coefficienti della retta y = A + B x si possono calcolare con le seguenti formule:

Gli errori assoluti relativi a questi due coefficienti sono dati invece dalle relazioni:

Calcolando si ha dunque:


Script Matlab per il calcolo della gravitàx=[0.2991 0.3361 0.3571 0.4161 0.4641];y=[1.0984 1.16252 1.20072 1.29446 1.36756];y1=y.^2;dx=0.00002;dy=[0.002 0.002 0.004 0.003 0.003].*(2*y);c=polyfit(x,y1,1);b=c(1);a=c(2);disp(sprintf('La retta che approssima il grafico1 è y = %3.3f x + %3.3f',b,a))g=4*pi^2/b;bt=4*pi^2/9.8;disp(sprintf('Il valore atteso di a era 0, quello di b era %3.3f',bt))disp(sprintf('La gravità calcolata è pari a %3.3f m/s^2',g))z=linspace(0.25,0.5);p=polyval(c,z);title('Grafico dei periodi relativi a lunghezze diverse (T^2,L)')hold on grid onxlabel('Lunghezze (m)');ylabel('Periodi al quadrato (s^2)')plot(x,y1,'bo',z,p,'r')for i=1:5fill([x(i)-dx x(i)-dx x(i)+dx x(i)+dx], [y1(i)-dy(i) y1(i)+dy(i) y1(i)+dy(i) y1(i)-dy(i)],1)end

Output:La retta che approssima il grafico1 è y = 4.026 x + 0.001Il valore atteso di a era 0, quello di b era 4.028La gravità calcolata è pari a 9.807 m/s^2

0 . 2 5 0 . 3 0 . 3 5 0 . 4 0 . 4 5 0 . 51

1 . 2

1 . 4

1 . 6

1 . 8

2

2 . 2

2 . 4G r a f i c o d e i p e r i o d i r e l a t i v i a l u n g h e z z e d i v e r s e ( T 2 , L )

L u n g h e z z e ( m )

Per

iodi

al q

uadr

ato

(s2 )


Nel grafico disegnato dal software i pallini mostrano la posizione dei punti (x,y)

ricavati sperimentalmente e ogni punto si trova all'interno di un rettangolino colorato

entro i limiti delle barre di incertezza della misurazione. Tali rettangoli non sono

visibili (si intravedono solo delle lineette) in quanto l'errore commesso sulle

misurazioni è effettivamente molto piccolo (e quindi trascurabile).

Ora che abbiamo tutti i dati a disposizione possiamo valutare il valore dei coefficienti

A e B con le relative incertezze rispetto ai valori teorici che ci aspettavamo ottenendo:

Dagli intervalli di incertezza concludiamo che sia la misurazione su A che quella su

B, pur con poche misurazioni risulta attendibile.

Il valore sperimentale dell'accelerazione di gravità viene calcolato in questo caso

dalla seguente relazione cioè dalla pendenza della retta del grafico T 2, L.

L'ultimo calcolo che rimane da fare è la determinazione dell'incertezza relativa

all'accelerazione di gravità così calcolata, data da:

COMMENTO DEI RISULTATI E CONCLUSIONEL’errore commesso sul valore dell’accelerazione di gravità nel primo esperimento fa

si che l’intervallo di incertezza ricada entro i termini [9,761; 9,810] se si utilizza

l’approssimazione dei fisici mentre nell’intervallo [9,730; 9,842] secondo

l'approssimazione degli ingegneri. Sapendo che il valore corretto della gravità a

Torino corrisponde a 9,80549(1) m/s2 possiamo dire di aver ottenuto dei risultati più

che accettabili. Dalla seconda esperienza invece abbiamo ottenuto un intervallo di

incertezza pari a [9,761; 9,853] che pur essendo corretto risulta assai meno preciso, a

causa delle poche misurazioni.


Dall’esperienza abbiamo verificato che raccogliendo un gran numero di misure

sperimentali ottenute in modo casuale esse hanno una distribuzione gaussiana su cui è

possibile operare con gli strumenti della statistica al fine di analizzare i dati. Con la

prima esperienza abbiamo verificato che la proporzionalità teorica ricavata da

formule matematiche ha un effettivo riscontro fisico-pratico, dalla seconda invece

abbiamo constatato una dipendenza lineare tra due grandezze e che la costante di

linearità è direttamente proporzionale all'accelerazione di gravità. Ultimo scopo

dell'esperienza era osservare la propagazione degli errori sperimentali con lo scopo di

sottolineare l'importanza di una misura che può essere molto imprecisa ma corretta al

contrario di un'altra precisissima ma non accettabile.

APPROFONDIMENTI TEORICIIl pendolo semplice è un sistema fisico schematizzabile

come in figura. Un punto materiale viene appeso a un

filo che in meccanica classica si considera inestensibile

e rigido e viene messo in oscillazione di un angolo θ

rispetto alla posizione di equilibrio verticale. Le forze

che agiscono sul pendolo sono esclusivamente la forza

peso e la tensione del filo. Possiamo scomporre la forza

in peso in due componenti una parallela alla direzione

del filo e un'altra perpendicolare alla stessa. Le

componenti di queste due forze variano al variare

dell'angolo θ che varia nel tempo. Si tratta quindi di un moto oscillatorio generato da

una forza di tipo elastico che tende a riportare il pendolo nella posizione di equilibrio

iniziale. L'equazione del moto del sistema è dunque:

Attraverso semplici calcoli matematici si può arrivare alla formulazione matematica

che lega tra loro le grandezze come il periodo di oscillazione, la lunghezza del filo,

l'accelerazione di gravità. Si dimostra che per angoli molto piccoli

(come quelli dell'esperienza) la formula è semplificabile come:


Questo risultato deriva dalla soluzione dell'equazione differenziale di secondo ordine

resa possibile solamente grazie alla semplificazione sinθ = θ valida solo per angoli

minori di 7° ossia di 0,122 rad (per far questo nell'esperienza si consigliava di

discostare il pendolo di 1/10 della sua lunghezza rispetto alla sua posizione di

equilibrio. In effetti con un piccolo calcolo trigonometrico l'angolo usato

nell'esperimento è stato di 0,19 rad ossia 11°). In effetti il sistema utilizzato in

laboratorio è un pendolo fisico di cui bisognerebbe tener conto anche della massa

della sferetta oscillante. A causa di queste piccole differenze col modello teorico

abbiamo scelto come punto finale del pendolo il centro di massa della sfera utilizzata.

UN PO’ DI STORIAL’esperienza del pendolo che oggi è facilmente

riproducibile nei laboratori scolastici è vecchia più

di 400 anni. La scoperta dell’isocronismo delle

oscillazioni del pendolo venne infatti fatta da uno

dei padri fondatori della fisica, il famoso Galileo

Galilei. Si narra che egli a 18 anni, nel 1583, attratto

dall’oscillazione di una lampada nel duomo di Pisa,

volle controllarne la durata. Con i battiti del polso

scoprì che la durata era la stessa, qualunque fosse

l’ampiezza delle oscillazioni. Enunciò cosi la legge

dell’isocronismo del pendolo e noi oggi con

misurazioni più accurate abbiamo scoperto che la costanza delle oscillazioni è in

funzione dell’accelerazione di gravità. Oltre ad essere un esempio di moto oscillatorio

l’importanza della scoperta galileiana permise di creare gli orologi a pendolo (il

primo prototipo fu brevettato da Huygens) che migliorarono notevolmente

l’accuratezza della misurazione del tempo.

GRUPPO DI SPERIMENTAZIONEStefanucci Camillo, Tonelli Piero.


Relazione: Il Pendolo semplice

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