Relazione dell’esperienza in laboratorio di Fisica: il pendolo semplice.

La presente relazione permette di rielaborare i punti ed i concetti salienti dell’esperienza effettuata nel laboratorio di Fisica e si propone i seguenti obiettivi:- Verificare che misure ripetute si distribuiscono secondo una distribuzione gaussiana;- Determinare il valore dell’accelerazione di gravità;- Verificare un’equazione dimensionale.

Il soggetto della sperimentazione è il pendolo semplice, ovvero un pendolo ideale, per il quale si considera la massa concentrata in un unico punto, appeso a un filo inestensibile e di massa trascurabile.Il moto del punto materiale (una sfera di metallo) si sviluppa nel piano individuato dalle forze che agiscono su di esso, in particolare la tensione del filo Tfilo e la forza peso mg. L’equazione del moto è quindi:

Tfilo +mg = maLa massa m oscilla lungo un arco di circonferenza di raggio L, e dal momento che il moto è dettato dalla componente della forza peso parallela alla traiettoria, che agisce come una forza di richiamo che tende a riportare il punto sulla verticale, ci interessa in modo particolare la proiezione dell’equazione del moto su questo versore: − mg senθ = m a// = m L ⋅ d2θ /dt2

Se le oscillazioni sono piccole (es. θ < 0.122 rad = 7°), si può approssimare sinθ con θ, e l’equazione differenziale del moto del pendolo diventa:

dθdt

+ gLθ=0

che coincide con quella del moto armonico semplice e ammette come soluzione, posto ω2 = g/L : θ = θ0 sin (ω t + ϕ )

Il moto è quindi periodico e armonico, con periodo T=2πω

=2 π √ LgGli strumenti utilizzati per le misurazioni sono:

- Cronometro

Sensibilità: 0,01s

- Calibro

Sensibilità: 0,02mm

- Metro a nastro

Sensibilità: 1mm

Per la misurazione del raggio della sfera, è stato necessario utilizzare il calibro ad alta sensibilità al fine di poter ridurre al minimo gli errori di misura. Attraverso la misurazione del diametro è stato poi possibile determinare il raggio dividendo il diametro per due. L’incertezza del diametro, dovuta alla comunque limitata sensibilità dello strumento di misura, in questo caso coincide con la sensibilità dello stesso e vale due volte l’incertezza sulla misura del raggio.

d = ( 24,88 ± 0,02 ) mm r = ½ d = ( 12,44 ± 0,01 ) mm

Obiettivo 1: Determinazione di g.

Lunghezza del filo: l = ( 484 ± 1 )mmLunghezza del pendolo: L = l + r = (( 484 + 12,44 ) ± √0,012+12 ) mm = ( 496,4400 ± 1,0001 )mm = = ( 0,496 ± 0,001 ) mNumero misure effettuate: N = 100

Durata 5 oscillazioni (s) Periodo (s)1 7,23 1,4462 7,11 1,4223 7,19 1,4384 7,23 1,4465 7,19 1,4386 7,09 1,4187 7,16 1,4328 7,08 1,4169 7,18 1,43610 7,09 1,41811 7,19 1,43812 7,09 1,41813 7,23 1,44614 7,19 1,43815 7,19 1,43816 7,17 1,43417 7,09 1,41818 7,17 1,43419 7,16 1,43220 7,07 1,414

21 7,25 1,4522 7,2 1,4423 7,07 1,41424 7,1 1,4225 7,1 1,4226 7,17 1,43427 7,13 1,42628 7,11 1,42229 7,07 1,41430 7,19 1,43831 7,17 1,43432 7,17 1,43433 7,18 1,43634 7,19 1,43835 7,16 1,43236 7,16 1,43237 7,14 1,42838 7,17 1,43439 7,07 1,41440 7,03 1,40641 7,13 1,42642 7,15 1,4343 7,13 1,42644 7,14 1,42845 7,04 1,40846 7,17 1,43447 7,18 1,43648 7,04 1,40849 7,1 1,4250 7,19 1,43851 7,13 1,42652 7,13 1,42653 7,1 1,4254 7,17 1,43455 77,1 1,4256 7,2 1,4457 7,09 1,41858 7,14 1,42859 7,15 1,4360 7,24 1,44861 7,05 1,4162 7,1 1,4263 7,22 1,44464 7,13 1,42665 7,17 1,43466 7,15 1,4367 7,19 1,43868 7,24 1,44869 7,08 1,41670 7,21 1,44271 7,2 1,44

72 7,12 1,42473 7,15 1,4374 7,1 1,4275 7,12 1,42476 7,07 1,41477 7,28 1,45678 7,23 1,44679 7,13 1,42680 7,18 1,43681 7,11 1,42282 7,15 1,4383 7,08 1,41684 7,11 1,42285 7,11 1,42286 7,14 1,42887 7,15 1,4388 7,15 1,4389 7,11 1,42290 7,16 1,43291 7,18 1,43692 7,17 1,43493 7,1 1,4294 7,13 1,42695 7,1 1,4296 7,13 1,42697 7,13 1,42698 7,21 1,44299 7,13 1,426100

7,17 1,434

La migliore stima del periodo ₸ è la media aritmetica delle 100 misurazioni:

₸ = ∑ T iN

= 1,42898 s

La migliore stima della deviazione standard è la radice quadrata della varianza, ovvero la radice quadrata della media dei quadrati delle deviazioni:

sT = √ 1N−1

∑ (T i−₸ )2 = 0,010278918 s

La deviazione standard della media vale invece s₸ = ST√N

= 0,0010278918 s

Pertanto il periodo T vale:T = ₸ ± s₸ = ( 1,429 ± 0,001 ) s

Calcolo di g:

ḡ = 4 π2 L₸ 2 = 9,589080303 m/s2

L’errore relativo in L vale: δ (L )L

= 0,002016129032

L’errore relativo in T2 è doppio che in T: δ(T2)₸ 2 =2

δ(T )₸

= 2S₸₸

= 0,00143863707

Dunque l’errore relativo in g vale: δ(g)g

= √( δ (L )L )

2

+( δ (T 2 )T 2 )

2

= 0,002476782771

Da cui δ(g) = 0,02375006888 m/s2

Si ricava sperimentalmente un valore di g pari a:

g = ( 9,59 ± 0,02 ) m/s2

Obiettivo 2: Verifica della distribuzione normale delle misure.

Si considerino il valore più basso e quello più alto dei periodi che sono stati misurati:

TMIN = 1,406 s TMAX = 1,456 s

Si suddividano le 100 misurazioni in 10 classi, aventi ampiezza TMAX−TMIN

10 = 0,005 s. Pertanto, nella prima

classe ricadranno le misurazioni che vanno da 1,406 e 1, 411 secondi, nella seconda quella da 1,411 a 1,416 secondi, e così via fino all’ultima che ricopre i valori da 1,451 a 1,456 secondi.

Per costruire l’istogramma, poniamo in ascissa le suddivisioni in classi , in ordinata la frequenza con la quale le misurazioni effettuate ricadono nei rispettivi intervalli di tempo, divisa per il numero di misurazioni totale.

Osserviamo che la frequenza delle misurazioni del periodo il cui valore è compreso tra 1,426 e 1,431 secondi è molto più bassa rispetto anche a quella dei valori più distanti dal valore medio, mentre la frequenza delle misurazioni comprese tra 1,441 e 1,446 secondi è superiore a quella delle misurazioni comprese tra 1,436 e 1,441 secondi.Infatti, nel confronto con la gaussiana, il cui grafico è stato ottenuto con i valori ₸ e sT sopra calcolati, si nota una rimarcabile asimmetria, dovuta, presumibilmente, a errori sistematici che ci hanno condotto alla determinazione di un periodo medio maggiore di quello che ci si dovrebbe aspetterebbe dalla teoria. Supponiamo che la causa sia il ritardo con il quale abbiamo avviato e stoppato il cronometro per la misurazione dei 100 periodi.Se, teoricamente, avessimo misurato più volte valori di periodo minori del ₸ da noi calcolato (₸ = 1,429 s), avremmo ovviamente ricavato un ₸ più piccolo, il quale ci avrebbe dato un valore di g più vicino al “valore vero”.

Obiettivo 3: verifica di un’equazione dimensionale e nuova determinazione di g

In base alla sola analisi dimensionale, è possibile determinare la dimensione del periodo di oscillazione rispetto alle grandezze fisiche da cui esso può dipendere:

β=0 β=0

[g]=[LT-2]; [T]=[MβLγ+ δT-2δ]; γ+δ=0 ; γ=1/2 τ √ Lg -2δ=1 δ=1/2

È possibile effettuare questa verifica anche partendo da dati sperimentali.Considerando l’equazione:

T=2π (Lg )α

dobbiamo verificare che α = ½.

Riportiamo in tabella le 5 misurazioni del periodo di oscillazione effettuate per 5 diversi valori di lunghezza

Lunghezza (m) Periodo 5 oscillazioni (s) Periodo (s)

0,399 6,45 1,29

6,39 1,278

6,44 1,288

6,43 1,286

6,19 1,238

0,451 6,77 1,354

6,75 1,35

6,6 1,32

6,78 1,356

6,73 1,346

0,496 / 1,429

0,55 7,51 1,502

7,43 1,486

7,44 1,488

7,52 1,504

7,42 1,484

0,601 7,78 1,556

7,83 1,566

7,86 1,572

7,74 1,548

7,8 1,56

0,651 8,11 1,622

8,11 1,622

8,15 1,63

8,18 1,636

8,13 1,626

Ora, nella seguente tabella, sono riportati, per ogni valore di lunghezza, il valore medio del periodo e la deviazione standard della media:

Lunghezza (m) Periodo medio (s) Deviazione standard della media (s)

0,39944 1,276 0,009715966

0,45124 1,3452 0,006529931

0,49744 1,429 0,001027892

0,55044 1,4928 0,004223742

0,60084 1,5604 0,004118252

0,65104 1,6272 0,002653299

Ora linearizziamo l’equazione T=2π (Lg )α

:lnT=α ln(2 π Lg ) ; lnT=¿α ln l+ ln (2π g−α )¿.

Chiamiamo x=lnL, y=ln₸ , B=α, A=ln 2π g−α .Otteniamo, dunque, l’equazione di una retta, dove B è la pendenza e A è l’intercetta:

y=Bx+A

Lunghezza (m) x = ln(L) T medio y = ln(T)0,399 -0,917786873 1,276 0,2437550,451 -0,795838446 1,3452 0,2965730,496 -0,698352741 1,428 0,3563120,55 -0,59709923 1,4928 0,400695

0,601 -0,509479428 1,5604 0,4449880,551 -0,429228699 1,6272 0,486911

I parametri A e B e le relative incertezze si ricavano, con il metodo dei minimi quadrati, dalle seguenti formule, dove xi rappresenta il logaritmo naturale dell’i-esima misurazione della lunghezza, e yi il logaritmo naturale dell’i-esima misurazione del periodo:

¿0,7010

¿0,5007

Le loro incertezze, inoltre, valgono:

¿0,0069

¿0,0102

Per poter riportare nel grafico le barre di incertezza δ(lnL) e δ(ln₸), ci affidiamo alla teoria della propagazione degli errori:

δ ¿ ; δ ¿

x = ln(L) δx y = ln(T) δy-0,917786873 0,002506266 0,243755459 0,007614-0,795838446 0,002217295 0,296573451 0,004854-0,698352741 0,002016129 0,356311808 0,00072-0,59709923 0,001818182 0,400695097 0,002829

-0,509479428 0,001663894 0,444988337 0,002639-0,429228699 0,001814882 0,486911231 0,001631

-1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 00.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

f(x) = 0.50067392187819 x + 0.700964764994861

Nel grafico, i trattini rossi orizzontali rappresentano δ(ln L) e quelli verticali δ(ln ₸). Si noti che le incertezze relative alle lunghezze minori sono più grandi di quelle relative alle lunghezze maggiori, in quanto le misurazioni del periodo relative alle lunghezze maggiori sono affette da errori casuali più piccoli.

Ora confrontiamo il valore ottenuto di B=α=0,5007, con il valore che α dovrebbe assumere

teoricamente, ovvero 12=0,5.

Il rapporto α

0,5 =

0,50070,5

vale 1.0014, pertanto le due espressioni differiscono per infinitesimi di

ordine superiore di 10−3.Considerando dunque l’equazione da cui abbiamo iniziato le nostre considerazioni

T=2π (Lg )α

possiamo ritenere di aver verificato l’equazione dimensionale, ovvero che τ √ Lg A questo punto, non ci resta che determinare il valore di g con la relativa incertezza, partendo dal

parametro A con la relativa incertezza, avvalendoci nuovamente della teoria della propagazione degli errori.Abbiamo definito A=ln 2π g−α , con A=0,701 e α=0,5007.

Pertanto g= (2π e−A )1α=¿ α√ 2 π

eA ¿ 0,5007√ 2π

e0,701 ¿9,68597 m/s2

∂ g∂αδα=

−(2πe−A )1α

α 2 ln (2π e−A )σB=−gα

ln g ∙σB

∂ g∂ A

δA=( 2π e−A )

1α

ασ A=

−gασ A

δg=√( ∂ g∂α δα)2

+( ∂ g∂ A δA )2

=√(−gα ln g ∙σ B)2

+(−gα σ A)2

=¿

¿ gα √( ln g )2σ B

2 +σ A2 =¿ 4,72 m/s2

Otteniamo pertanto il seguente valore di g:

g = ( 10 ± 5 ) m/s2

Abbiamo pertanto ottenuto due diversi valori di g con due differenti metodi:1. Per un unico valore di lunghezza del filo, calcolato il periodo medio di 100 diverse

misurazioni di periodo, e considerata valida la relazione T=2π √ Lg , abbiamo ricavato il

seguente valore di g in funzione di ₸ e di L:g1 = ( 9,59 ± 0,02 ) m/s2

2. Per ciascuno dei 5 diversi valori di lunghezza del filo, calcolati i periodi medi di 5 diverse misurazioni di periodo e trovati i coefficienti A e B della miglior retta che interpola i 5 punti

(xi,yi), con x=lnL e y=ln(₸), abbiamo ricavato una relazione del tutto simile a T=2π √ Lg ,

tramite la quale il valore di g in funzione dei parametri A e B risulta:g2 = ( 10 ± 5 ) m/s2

I due risultati sono consistenti. Tuttavia, la grande incertezza che è stata ricavata ci porta a concludere che il secondo metodo, per gli esiti a cui siamo giunti, è meno preciso del primo, cosa che rende il risultato poco fruibile nella pratica.