Relazione a cura di:

Anelli Federica

Chiodelli Giulia

Faroni Luca

Gagliardi Gabriele

Giusti Irene

Pozzari Marta

Rigolli Chiara

Seghezzi Paola

RIFRAZIONE DELLA LUCE

Quando un raggio di luce passa da un mezzo ad un altro (entrambi trasparenti), devia la sua direzione di provenienza, rifrangendosi.L’angolo di incidenza i e l’angolo di rifrazione r sono connessi dalla seguente relazione:

n1,2 è una costante denominata indice di rifrazione assoluto

2,1sin

sinn

r

i

• Per ogni materiale è stato definito un indice di rifrazione assoluto, considerando come primo mezzo il vuoto e come secondo mezzo il materiale interessato.

n vuoto, mezzo = n mezzo

• A parità di angolo di incidenza i di un raggio di luce proveniente dal vuoto, la deviazione del raggio rifratto nel secondo mezzo aumenta all’aumentare dell’indice di rifrazione del secondo mezzo.

DEFINIZIONE DI INDICE DI RIFRAZIONE ASSOLUTO

INDICI DI RIFRAZIONE

MEZZO  INDICE

Aria  1,000292

Idrogeno  1,000132

Ossigeno  1,000271

Acqua  1,333

Alcol etilico  1,361

NaCl  1,53

Vetro Crown  1,520

Balsamo del Canada  2,419

Anidride carbonica 1,000448

Acetone 1,359

Azoto 1,000296

Quarzo amorfo  1,458

Elio 1,000132

Etere etilico 2,352

INVERTIBILITÀ DEL CAMMINO DELLA LUCE

Esperimento: un raggio di luce proveniente da un mezzo 1 si rifrange in un mezzo 2 e qui viene intercettato da uno specchio piano, disposto in modo tale che la superficie riflettente sia perfettamente perpendicolare al raggio rifratto.Possiamo osservare che il raggio riflesso ripercorre esattamente il cammino del raggio incidente sia nel mezzo 2 che nel successivo mezzo 1.

2,1sin

sinn

r

i

1,2sin

sinn

i

r

1,22,11 nn 1,2

2,1

1

nn

l’indice di rifrazione relativo alla rifrazione della luce da un mezzo 1 a un mezzo 2 è uguale all’inverso dell’indice di rifrazione relativo alla rifrazione dal mezzo 2 al mezzo 1.

• Moltiplicando membro a membro le due uguaglianze si ottiene:

dalla quale:

Sulla base di questo esperimento possiamo allora scrivere:

rifrazione mezzo1- mezzo2:

rifrazione mezzo2- mezzo1:

RELAZIONE TRA INDICE DI RIFRAZIONE RELATIVO E ASSOLUTO

Esperimento:un raggio di luce proveniente dal vuoto (n1=1) attraversa due mezzi trasparenti e paralleli tra di loro, con indici di rifrazione assoluti pari a n2 e n3 .Se il mezzo 4 nel quale finisce il raggio di luce è di nuovo il vuoto (n1=1) il raggio incidente e il raggio emergente dal quarto mezzo sono paralleli tra di loro.

Avvengono così 3 diverse rifrazioni:Avvengono così 3 diverse rifrazioni:

1) tra il vuoto e il mezzo2:

2) tra il mezzo2 e il mezzo3:

3) tra il mezzo3 e il vuoto:

Moltiplichiamo ora le tre equazioni precedenti:

Tenendo conto che , , si ottiene:

* *

22,2,11

1

sin

sinnnn

r

imezzovuoto

3,22

2

sin

sinn

r

i

33,,34,3

3

3 11

sin

sin

nnnn

r

i

mezzovuotovuotomezzo

33,22

3

3

2

2

1

1 1

sin

sin

sin

sin

sin

sin

nnn

r

i

r

i

r

i

21 ir 32 ir 13 ir

33,22

11

nnn

2

33,2 n

nn

ANGOLO LIMITE E RIFLESSIONE TOTALE

In una rifrazione tra due mezzi trasparenti con In una rifrazione tra due mezzi trasparenti con indice assoluto nindice assoluto n11 e n e n22 tale per cui n tale per cui n22< n< n11, si , si

ottiene:ottiene:

Indicando con Indicando con ii l’angolo di incidenza del raggio l’angolo di incidenza del raggio che proviene dal mezzo1 e con che proviene dal mezzo1 e con rr il il corrispondente angolo di rifrazione si ha: corrispondente angolo di rifrazione si ha:

Quindi: Quindi: un raggio di luce che passa da un mezzo un raggio di luce che passa da un mezzo più rifrangente a un mezzo meno rifrangente (npiù rifrangente a un mezzo meno rifrangente (n11> >

nn22) si allontana dalla perpendicolare alla superficie ) si allontana dalla perpendicolare alla superficie

di incidenza.di incidenza.

1n

n

n

n

1

1

1

22,1 n

1sin

sin

r

iri

Se l'angolo l superasse i 90° tutta la luce si rifletterebbe, come se la superficie di separazione dei due mezzi fosse speculare.

Questo fenomeno è detto riflessione totale e l’angolo l è chiamato angolo limite.

Il valore di l si ottiene

da questa relazione:

sin l = =1

2

n

n 2,1n

2,1n

sin l =n

1

Se il primo mezzo ha indice di rifrazione assoluto n e il secondo mezzo è il vuoto, la relazione diventa:

Esiste un angolo limite per cui il raggio rifratto è radente alla superficie di separazione; per gli angoli maggiori il raggio

rifratto manca e c’è solo il raggio riflesso.

INDICE DI RIFRAZIONE RELATIVO, ASSOLUTO E VELOCITA’ DELLA LUCE

 

L’interpretazione ondulatoria dell’indice di rifrazione della luce ha il suo fondamento teorico nel principio

di Huygens:

“un fronte che investe i punti di una superficie vibrante, rende questi a loro volta sorgenti di onde (onde secondarie) aventi la stessa frequenza dell’onda primitiva. L’insieme di queste onde secondarie crea un inviluppo in corrispondenza del quale viene individuato il nuovo fronte d’onda delle perturbazione”

Ogni punto generato dalla perturbazione diviene a sua volta sorgente di onde secondarie. Esse interagiscono tra loro e si sovrappongono l’ampiezza delle onde si annulla in ogni direzione tranne in quella di provenienza del fronte, e ai bordi del fronte stesso.

Dunque:posto i l’angolo che la direzione dei fronti forma rispetto alla perpendicolare alla superficie rifrangente, i fronti rifratti formeranno (rispetto alla stessa retta) un angolo r per cui:

2

1

2

1

sin

sin

v

v

r

i

dove v1 e v2 rappresentano la velocità delle onde rispettivamente nel primo e nel secondo mezzo.

2

1

2

1

sin

sin

v

v

r

i

n può essere anche espresso attraverso il rapporto tra le velocità di propagazione della luce

nei due mezzi in cui si produce la rifrazione

Grazie alla legge dell’indice di rifrazione assoluto possiamo riscrivere la precedente

uguaglianza:

2

1

2

12,1sin

sin

v

vn

r

i

• 1) sostituendo con la velocità della luce c nel vuoto:

• 2)

• 3)

1,2122

12,1

1

/

1

nvvv

vn

2

3

323

2

3

23,2 /

1

n

n

v

c

vcv

c

c

v

v

vn

mezzomezzovuotomezzo v

cnn ,

1v

(da cui si ricava la legge del principio di invertibilità

dei raggi)

Se si sostituisce vmezzo con ottenuto da

possiamo riscrivere l’equazione nel seguente modo:

IL CAMMINO OTTICO

Se un raggio di luce attraversa un mezzo materiale trasparente di spessore s e indice di rifrazione n, allora il tempo (tmezzo) impiegato per attraversare il materiale sarà dato dalla relazione:

mezzomezzo v

st

mezzon

c

mezzomezzo v

cn

c

snn

c

s

v

st

mezzomezzo

Cammino geometrico: distanza più breve tra due punti A e B (estremi del cammino)

il tempo tmezzo impiegato da un fascio di

luce per attraversare un mezzo trasparente è identico al tempo che impiegherebbe nel vuoto per percorrere il cammino

cammino ottico della luce: cammino che la luce percorrerebbe nel vuoto nello stesso tempo in cui percorre il

suo cammino geometrico in spazi occupati da materiali trasparenti

c

sntmezzo

ns

Consideriamo tre lastre realizzate con materiali trasparenti, di spessori s1, s2,

s3, e indici di rifrazione n1, n2, n3.

Il cammino ottico d di un’onda luminosa che attraversa perpendicolarmente le lastre è dato dalla relazione:

d = s1n1+ s2n2+ s3n3

Grazie al concetto di cammino ottico, nel 1637, Fermat stabilì un criterio per dedurre la legge di rifrazione.

Il principio di FermatIl principio di Fermat

“ “Il percorso che la Il percorso che la luce compie per luce compie per

andare da un punto andare da un punto AA ad un punto ad un punto B B dello spazio, è dello spazio, è

quello che richiede il quello che richiede il minor tempo”minor tempo”

Consideriamo una superficie Consideriamo una superficie ss che separa che separa due mezzi di indice di rifrazione due mezzi di indice di rifrazione rispettivamente rispettivamente 21, nn

raggio incidente, raggio rifratto e normale complanari percorso più breve = SB

Tempo di percorrenzaTempo di percorrenza

• dipende da dipende da nn (poiché (poiché cc varia nei due mezzi) varia nei due mezzi)

• per andare da per andare da S S a a HH::

• per andare da per andare da HH a a BB

• tt = = direttamente proporzionale al direttamente proporzionale al cammino otticocammino ottico (poiché (poiché c c = costante)= costante)

c

nSH

v

SHt 1

11

c

nHB

v

HBt 2

22

• cammino ottico per un ipotetico cammino alternativo :

• cammino ottico della luce da S a B:cammino ottico della luce da S a B:

BKSK ''

HBnSHnl 21

'l

BKnSKnl '2

'1

'

Cammino ottico: il percorso più Cammino ottico: il percorso più brevebreve• Consideriamo:Consideriamo: = fronte d’onda piano cui appartiene = fronte d’onda piano cui appartiene la parallela a la parallela a SHSH passante per : interseca il passante per : interseca il

piano rifrangente piano rifrangente ss nel punto nel punto Da tracciamo la parallela a Da tracciamo la parallela a HBHB fino a fino a

intersecare in il fronte rifratto passante per intersecare in il fronte rifratto passante per BB

'SS S'S

'K 'B

'K

•

: : fronte rifratto corrispondente al fronte rifratto corrispondente al fronte incidente fronte incidente

tempo impiegato per percorrere tempo impiegato per percorrere SS HH BB = = tempo impiegato per tempo impiegato per percorrere percorrere

'BB

''' BKS

'SS

• Per i cammini ottici corrispondenti ai due tragitti vale allora la seguente relazione:

• per le proprietà dei triangoli rettangoli si ha:

e

• perciò:

• da cui:

''2

''121 BKnKSnHBnSHn

''' KSSK ''' BKBK

''2

'1

''2

''1 BKnSKnBKnKSn

'll

il percorso della luce, rifratta il percorso della luce, rifratta da una superficie piana, che da una superficie piana, che segue la segue la legge di rifrazionelegge di rifrazione è è

quello più quello più rapido rapido

• NB: il percorso più breve non è NB: il percorso più breve non è necessariamente quello con la necessariamente quello con la minore minore lunghezza geometricalunghezza geometrica

studia il comportamento

della luce inpresenza di lenti

si spiega con le leggi

della rifrazione

attraversando una lenteun raggio luminoso viene rifratto e

deviato: si compone così l’immagine

in una posizione diversa da quella naturale

• lentelente:: corpocorpo delimitato da superfici delimitato da superfici curve che curve che rifrangonorifrangono la luce creando la luce creando un’ un’ immagineimmagine

• asse otticoasse ottico:: rettaretta passante per i passante per i centricentri delle calotte delle calotte

• fuocofuoco:: puntopunto in cui in cui convergeconverge un un fascio di raggi che incidono sulla lente fascio di raggi che incidono sulla lente in direzione parallela all’asse otticoin direzione parallela all’asse ottico

Le proprietà delle lenti Le proprietà delle lenti sono osservabili se:sono osservabili se:

• il fascio di raggi incidente sulla lente ha il fascio di raggi incidente sulla lente ha una una piccola apertura angolarepiccola apertura angolare;;

• i i raggiraggi di curvatura delle superfici sferiche di curvatura delle superfici sferiche della lente sono molto della lente sono molto grandigrandi rispetto al rispetto al suo diametro;suo diametro;

• la la distanzadistanza fra le due superfici rifrangenti è fra le due superfici rifrangenti è molto molto piccolapiccola rispetto ai loro raggi di rispetto ai loro raggi di curvaturacurvatura

biconvessebiconvesse: : due calotte due calotte sferiche convesse rivolte l’una in sferiche convesse rivolte l’una in opposizione all’altraopposizione all’altra

piano-convessepiano-convesse: : una superficie una superficie convessa e una pianaconvessa e una piana

concavo-convesseconcavo-convesse: : una una superficie concava e una superficie concava e una convessaconvessa

• sono più spesse al centro e più sottili ai bordi

• possono essere:possono essere:

• posto posto nn lentelente >> nn mezzomezzo fanno fanno convergereconvergere il fascio di raggi paralleli il fascio di raggi paralleli in un unico punto (fuoco)in un unico punto (fuoco)

• fuocofuoco:: posto dalla posto dalla parte oppostaparte opposta rispetto a quella da cui provengono i rispetto a quella da cui provengono i raggiraggi

• possono essere:possono essere: biconcavebiconcave:: due calotte due calotte

sferiche concave, poste l’una in sferiche concave, poste l’una in opposizione all’altraopposizione all’altra

menisco-concavemenisco-concave:: due due superfici superfici sferiche, una sferiche, una concava e una convessaconcava e una convessa

piano-concavepiano-concave:: una superficie una superficie piana e una concavapiana e una concava

• sono più spesse ai bordi e più sottili al centro

•posto posto n n lentelente > > nn mezzomezzo fanno fanno divergeredivergere il fascio di raggi paralleliil fascio di raggi paralleli

• fuocofuoco:: posto dalla posto dalla stessa partestessa parte dalla dalla quale provengono i raggi di luce; è quale provengono i raggi di luce; è virtualevirtuale

• p p ee qq = = distanzadistanza dell’oggetto e dell’immagine dal dell’oggetto e dell’immagine dal centro della lentecentro della lente

• nn = = indice di rifrazioneindice di rifrazione del materiale della lente del materiale della lente

• e = e = raggi di curvaturaraggi di curvatura delle superfici che delle superfici che definiscono geometricamente la lente definiscono geometricamente la lente

(segno positivo per la lente concava(segno positivo per la lente concava

segno negativo per la lente convessa)segno negativo per la lente convessa)

RRn

qp21

111

11

R1 R2

• distanza focale (distanza focale (ff)): : distanza del distanza del fuocofuoco dal dal centrocentro della lente della lente

• focalefocale: : distanza dalla lente alla quale un distanza dalla lente alla quale un raggio, in origine parallelo all'asse ottico, raggio, in origine parallelo all'asse ottico, interseca l'asse dopo essere stato deviato interseca l'asse dopo essere stato deviato dalla lentedalla lente

• Dalla formula dei punti coniugati per una lente sottile:Dalla formula dei punti coniugati per una lente sottile:

• immaginando il fascio di raggi proveniente da una immaginando il fascio di raggi proveniente da una sorgente posta a distanza infinita dalla lente, poniamo sorgente posta a distanza infinita dalla lente, poniamo pp = ∞ = ∞;;

• indicando con indicando con ff la la distanza focaledistanza focale si ottiene quindi: si ottiene quindi:

• Poiché il rapporto tende a zero si ricava:Poiché il rapporto tende a zero si ricava:

fqp

111

RRn

f21

111

11

RRn

qp21

111

11

1

•potere diottricopotere diottrico: : rapporto tra rapporto tra focale e potenza (udm = metri); focale e potenza (udm = metri); fornisce ilfornisce il numero di diottrie numero di diottrie della della lentelente

•potenza lenti convergenti: segno potenza lenti convergenti: segno positivo potenza lenti divergenti: positivo potenza lenti divergenti: segno negativo segno negativo

La posizione dell’La posizione dell’immagineimmagine che una che una lente fornisce può essere determinata:lente fornisce può essere determinata:

• con la formulacon la formula

• con un con un metodo graficometodo grafico che utilizza le che utilizza le proprietà dei raggi che si rifrangono in proprietà dei raggi che si rifrangono in una lente sottileuna lente sottile

fqp

111

Si utilizzano in particolare le Si utilizzano in particolare le proprietàproprietà di tre raggi rifratti:di tre raggi rifratti:

• un raggio un raggio parallelo all’asse otticoparallelo all’asse ottico si si rifrange passando per il fuoco;rifrange passando per il fuoco;

• un raggio un raggio passante per il fuocopassante per il fuoco viene viene rifratto parallelamente all’asse otticorifratto parallelamente all’asse ottico

• un raggio che un raggio che passa per il centropassa per il centro di di curvatura della lente non viene deviatocurvatura della lente non viene deviato

Sfruttando queste proprietà, si possono Sfruttando queste proprietà, si possono ottenere diverse costruzioni grafiche di ottenere diverse costruzioni grafiche di

immaginiimmagini

Lente divergente qualunque sia la posizione dell’oggetto AB rispetto alla lente, l’immagine A’B’ è virtuale, diritta e rimpicciolita

Lente convergentel’oggetto AB è posto a sinistra della lente fra il fuoco F e il suo centro C; l’immagine A’B’ che si forma si trova a sinistra della lente, è reale, capovolta e ingrandita

Si prenda in esame un punto oggetto qualsiasi:Si prenda in esame un punto oggetto qualsiasi:• il il raggio Araggio A passa per il centro della lente e non viene deviato passa per il centro della lente e non viene deviato• il il raggio Braggio B giunge alla lente parallelo all'asse e passa poi per giunge alla lente parallelo all'asse e passa poi per

F1F1• il il raggio Craggio C passa per passa per F2F2 ed esce dalla lente parallelo all'asse ed esce dalla lente parallelo all'asse

Questi tre raggi di luce Questi tre raggi di luce si incontranosi incontrano formando un formando un punto-punto-immagineimmagine

L'immagine che si forma è L'immagine che si forma è capovoltacapovolta

• è definito come il è definito come il rapporto tra le dimensioni rapporto tra le dimensioni lineari A’B’ dell’immagine lineari A’B’ dell’immagine e quelle AB dell’oggetto:e quelle AB dell’oggetto:

• con semplici con semplici considerazioni considerazioni geometriche è geometriche è dimostrabile che:dimostrabile che:

AB

BAI

''

Ip

q

AB

BA

''

Si deduce quindi che:Si deduce quindi che:

• se l’immagine è capovoltase l’immagine è capovolta

• se l’immagine è dirittase l’immagine è diritta0I0I

Modelli Modelli corpuscolare e corpuscolare e

ondulatorioondulatorioa confrontoa confronto

Il fenomeno della rifrazione può Il fenomeno della rifrazione può essere spiegato per mezzo di essere spiegato per mezzo di

due modelli:due modelli:• corpuscolarecorpuscolare: che non fornisce, : che non fornisce, però risultati quantitativamente però risultati quantitativamente

corretti corretti • ondulatorioondulatorio:che fornisce :che fornisce

l’interpretazione più correttal’interpretazione più corretta

PremessaPremessaLa rifrazione è prodotta da una forza La rifrazione è prodotta da una forza

attrattiva F, agente sui corpuscoli di luce, attrattiva F, agente sui corpuscoli di luce, diretta verso il mezzo più denso (più diretta verso il mezzo più denso (più

rifrangente).(Newton)rifrangente).(Newton)

e F hanno lo stesso versoe F hanno lo stesso verso F agisce lungo la normale, la velocità del F agisce lungo la normale, la velocità del

corpuscolo in direzione tangenziale non corpuscolo in direzione tangenziale non cambiacambia

Fm

tv

v

rvivvv sinsin 2121

1

2

sin

sin

v

v

r

i

t

vmF

• Il seno dell’angolo acuto è una funzione Il seno dell’angolo acuto è una funzione crescente:crescente:

il raggio luminoso dovrà propagarsi con il raggio luminoso dovrà propagarsi con velocità maggiore nel mezzo più denso ( velocità maggiore nel mezzo più denso (

)) al passaggio nel mezzo denso, il raggio al passaggio nel mezzo denso, il raggio

rifratto si avvicina alla normale ( )rifratto si avvicina alla normale ( )• Viceversa, se ne allontana entrando nel mezzo Viceversa, se ne allontana entrando nel mezzo

più densopiù denso

ri

12 vv

Il modello corpuscolare prevede un aumento di velocità al passaggio in un mezzo più denso.

Modello CorpuscolareModello CorpuscolareQuando un corpuscolo luminoso giunge al Quando un corpuscolo luminoso giunge al

confine tra un mezzo e l’altro, viene confine tra un mezzo e l’altro, viene attratto dal più denso, incrementando la attratto dal più denso, incrementando la

componente verticale della propria componente verticale della propria velocità.velocità.

la velocità nel corpuscolo-luce nel mezzo la velocità nel corpuscolo-luce nel mezzo più denso deve essere maggiore che in più denso deve essere maggiore che in

quello meno denso.quello meno denso.

1

2

sin

sin

v

v

r

i

La forza F agisce perpendicolarmente alla superficie di separazione producendouna variazione di velocità nella stessa direzione.

Modello OndulatorioModello Ondulatorio

Con questo modello si poneva in evidenza Con questo modello si poneva in evidenza come il passaggio dei fronti da un mezzo come il passaggio dei fronti da un mezzo all’altro e il mutamento della direzione di all’altro e il mutamento della direzione di

questi con avvicinamento alla questi con avvicinamento alla perpendicolare al piano di incidenza perpendicolare al piano di incidenza

comportassero una diminuzione della comportassero una diminuzione della velocità e non aumento.velocità e non aumento.

Da dimostrazione poi: quindiDa dimostrazione poi: quindi

2

1

sin

sin

v

v

r

i

ri 21'' vvPPQQ

I segmenti e sono percorsi nello stesso intervallo di tempo ma con I segmenti e sono percorsi nello stesso intervallo di tempo ma con velocità differenti, il che provoca la variazione della direzione del fronte velocità differenti, il che provoca la variazione della direzione del fronte

d’onda.d’onda.

'PP 'QQ t

Osservazioni ConclusiveOsservazioni Conclusive• Insufficiente l’analisi della riflessione per Insufficiente l’analisi della riflessione per

sostenere un modello piuttosto che l’altrosostenere un modello piuttosto che l’altro• Contributo di Focault, a sostegno della teoria di Contributo di Focault, a sostegno della teoria di

Huygens Huygens • DiffrazioneDiffrazione

abbandono della teoria corpuscolareabbandono della teoria corpuscolare• Einstein (premio Nobel) e gli studi sulla radiazioneEinstein (premio Nobel) e gli studi sulla radiazione

• La luce esibisce talvolta carattere La luce esibisce talvolta carattere ondulatorio, talvolta carattere ondulatorio, talvolta carattere

corpuscolarecorpuscolare..Sono aspetti Sono aspetti complementaricomplementari ed entrambi ed entrambi

necessari per la descrizione completa dei necessari per la descrizione completa dei fenomeni.fenomeni.

Grazie Grazie

per l’attenzioneper l’attenzione