Rappresentazione e risoluzione grafica e analitica dei...
Transcript of Rappresentazione e risoluzione grafica e analitica dei...
Rappresentazione e risoluzione grafica e
analitica dei quadrilateri divisi in triangoli
rettangoli
È necessario sapere e saper operare con:
• Le proporzioni
• Primo principio di equivalenza
• Rappresentazione e risoluzione grafica
del triangolo non rettangolo
• Risoluzione analitica del triangolo non
rettangolo
Obiettivi di apprendimento:
• Rappresentazione e risoluzione grafica
dei quadrilateri divisi in triangoli non
rettangoli
• Risoluzione analitica dei quadrilateri
divisi in triangoli non rettangoli
Per la rappresentazione e risoluzione grafica e analitica dei seguenti quadrilateri si utilizzano
nozioni riguardanti i triangoli rettangoli.
C
A
D
N. B.
In alcuni casi è possibile avere una doppia soluzione, ovvero RISULTATI diversi ma DATI uguali.
Esercizio
C
A
D
DATI SOLUZIONI
������ � 163 ����� � ?
������ � 185 �� � ?
� � 171,6 � � ?
�� � 123,7°
�� � 61,8°
Rappresentazione e risoluzione grafica – 1° soluzione
C
A
D
DATI SOLUZIONI
������ � 163 ����� � ?
������ � 185 �� � ?
� � 171,6 � � ?
�� � 123,7°
�� � 61,8°
Svolgimento
1. Disegnare l’angolo ��
D
2. Disegnare il lato ������
D
A
3. Disegnare l’angolo ��
D
A
4. Disegnare il lato ������
D
BA
5. Puntando in �, disegnare un arco di raggio uguale la lato ������ che intersechi la retta
precedentemente tracciata per l’angolo ��
D
BA
6. Unire il vertice � con il punto d’intersezione dell’arco
D
BA
7. Si ottiene il quadrilatero finito
D
B
C
A
8. Misurare il lato ������ e gli angoli �� e ��
D
B
C
A
Si ottiene
DATI SOLUZIONI
������ � 163 ����� � 319,5
������ � 185 �� � 104,37°
����� � 171,6 � � 70,13°
�� � 123,7°
�� � 61,8°
Risoluzione analitica– 1° soluzione
C
A
D
DATI SOLUZIONI
������ � 163 ����� � ?
������ � 185 �� � ?
� � 171,6 � � ?
�� � 123,7°
�� � 61,8°
Svolgimento
La risoluzione analitica del quadrilatero studiato richiede la risoluzione dei singoli triangoli in cui
esso è scomposto, come mostrato di seguito.
D
B
C
A
1. Studiare il triangolo ���
D
BA
a. Ricavare il lato �������
Il teorema del cos consente di impostare la seguente relazione
������� � ������� � ������� � 2 ������ ������ cos ��
da cui
������ � $������� � ������� � 2 ������ ������ cos ��
Sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene
������ � $163� � 185� � 2 163 185 cos 123,7°
� $26569 � 34225 � 2 163 185 cos 123,7° �
� $26569 � 34225 � 2 163 185 %�0,5548444& �
� $26569 � 34225 � 33462,67 �
� $94256,67 �
� 307,01
b. Ricavare l’angolo ��'
Il teorema del sin consente di impostare la seguente proporzione
������ ( sin �� � ������ ( sin ��+
Sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene
307,01 ( sin 123,7° � 163 ( sin ��+
da cui
sin ��+ �sin 123,7° 163
307,01�
0,8319541 163307,01
�135,61307,01
� 0,4417036 ,
, sin-+ ��+ , 26,21°
c. Ricavare l’angolo �� '
sapendo che la somma degli angoli interni di un qualsiasi triangolo rettangolo è
180°, si ottiene
�� � ��+ � ��+ � 180°
sostituendo ai dati i valori
123,7° � 23,21° � ��+ � 180°
applicando il primo principio di equivalenza, si trasportano i termini noti al
secondo membro cambiandoli di segno
��+ � 180° � 123,7° � 23,21°
da cui
��+ � 30,09°
2. Studiare il triangolo ���
D
B
C
a. Ricavare l’angolo �� .
sapendo che
�� � ��+ � ���
sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene
61,8° � 30,09° � ���
applicando il primo principio di equivalenza, si trasportano i termini noti al primo
membro cambiandoli di segno
61,8° � 30,09° � ���
quindi, si ottiene
��� � 61,8° � 30,09°
da cui
��� � 31,71°
b. Ricavare l’angolo ��
il teorema del sin consente di impostare la seguente proporzione
������ ( sin � � ����� ( sin ���
Sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene
307,01 ( sin � � 171,6 ( sin 31,71°
Da cui
sin � �307,01 sin 31,71°
171,6�
307,01 0,5256592171,6
�161,38171,6
� 0,9404658 ,
, sin-+ � , 70,13°
c. Ricavare l’angolo ��.
sapendo che la somma degli angoli interni di un qualsiasi triangolo rettangolo è
180°, si ottiene
��� � � � ��� � 180°
sostituendo ai dati i valori
��� � 70,13° � 31,71° � 180°
applicando il primo principio di equivalenza, si trasportano i termini noti al
secondo membro cambiandoli di segno
��� � 180° � 70,13° � 31,71°
da cui
��� � 78,16°
d. Ricavare il lato ������
Il teorema del sin consente di impostare la seguente proporzione
����� ( sin ��� � ����� ( sin ���
Sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene
����� ( sin 78,16° � 171,6 ( sin 31,71°
Da cui
����� �sin 78,16° 171,6
sin 31,71°�
0,9787152 171,60,5256592
�167,95
0,5256592� 319,5
3. Ricavare l’angolo ��
Osservando il quadrilatero
D
B
C
A
B2
B1
È possibile notare che
�� � ��+ � ���
Sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene
�� � 26,21° � 78,16° � 104,37°
Da cui
�� � 104,37°
Si ottiene
DATI SOLUZIONI
������ � 163 ����� � 319,5
������ � 185 �� � 104,37°
����� � 171,6 � � 70,13°
�� � 123,7°
�� � 61,8°
Rappresentazione e risoluzione grafica – 2° soluzione
C
A
D
DATI SOLUZIONI
������ � 163 ����� � ?
������ � 185 �� � ?
� � 171,6 � � ?
�� � 123,7°
�� � 61,8°
Svolgimento
1. Disegnare l’angolo ��
D
2. Disegnare il lato ������
D
A
3. Disegnare l’angolo ��
D
A
4. Disegnare il lato ������
D
BA
5. Puntando in �, disegnare un arco di raggio uguale la lato ������ che intersechi la retta
precedentemente tracciata per l’angolo ��
D
BA
6. Unire il vertice � con il punto d’intersezione dell’arco
D
BA
7. Si ottiene il quadrilatero finito
D
B
C
A
8. Misurare il lato ������ e gli angoli �� e ��
D
B
C
A
Si ottiene
DATI SOLUZIONI
������ � 163 ����� � 202,85
������ � 185 �� � 64,63°
����� � 171,6 � � 109,87°
�� � 123,7°
�� � 61,8°
Risoluzione analitica– 1° soluzione
C
A
D
DATI SOLUZIONI
������ � 163 ����� � ?
������ � 185 �� � ?
� � 171,6 � � ?
�� � 123,7°
�� � 61,8°
Svolgimento
La risoluzione analitica del quadrilatero studiato richiede la risoluzione dei singoli triangoli in cui
esso è scomposto, come mostrato di seguito.
D
B
C
A
1. Studiare il triangolo ���
D
BA
a. Ricavare il lato �������
Il teorema del cos consente di impostare la seguente relazione
������� � ������� � ������� � 2 ������ ������ cos ��
da cui
������ � $������� � ������� � 2 ������ ������ cos ��
Sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene
������ � $163� � 185� � 2 163 185 cos 123,7°
� $26569 � 34225 � 2 163 185 cos 123,7° �
� $26569 � 34225 � 2 163 185 %�0,5548444& �
� $26569 � 34225 � 33462,67 �
� $94256,67 �
� 307,01
b. Ricavare l’angolo ��'
Il teorema del sin consente di impostare la seguente proporzione
������ ( sin �� � ������ ( sin ��+
Sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene
307,01 ( sin 123,7° � 163 ( sin ��+
da cui
sin ��+ �sin 123,7° 163
307,01�
0,8319541 163307,01
�135,61307,01
� 0,4417036 ,
, sin-+ ��+ , 26,21°
c. Ricavare l’angolo �� '
sapendo che la somma degli angoli interni di un qualsiasi triangolo rettangolo è
180°, si ottiene
�� � ��+ � ��+ � 180°
sostituendo ai dati i valori
123,7° � 23,21° � ��+ � 180°
applicando il primo principio di equivalenza, si trasportano i termini noti al
secondo membro cambiandoli di segno
��+ � 180° � 123,7° � 23,21°
da cui
��+ � 30,09°
2. Studiare il triangolo ���
D
B
C
a. Ricavare l’angolo �� .
sapendo che
�� � ��+ � ���
sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene
61,8° � 30,09° � ���
applicando il primo principio di equivalenza, si trasportano i termini noti al primo
membro cambiandoli di segno
61,8° � 30,09° � ���
quindi, si ottiene
��� � 61,8° � 30,09°
da cui
��� � 31,71°
b. Ricavare l’angolo �� della 1° soluzione
il teorema del sin consente di impostare la seguente proporzione
������ ( sin � � ����� ( sin ���
Sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene
307,01 ( sin � � 171,6 ( sin 31,71°
Da cui
sin � �307,01 sin 31,71°
171,6�
307,01 0,5256592171,6
�161,38171,6
� 0,9404658 ,
, sin-+ � , 70,13°
Quindi
�+° /01234056 � 70,13°
c. Ricavare l’angolo ��. della 2° soluzione
Studiando il seguente cerchio trigonometrico
sin A =0,9404658
A
B
ˆ
ˆ
1
1
sin B =0,9404658
P
P1
È possibile notare che
i. Gli angoli �� e �� sono supplementari
ii. I due triangoli evidenziati in rosso sono equivalenti
Quindi, i seni di 70,13° e 109,87° sono uguali.
Per ottenere la 2° soluzione, occorre considerare l’angolo supplementare di
78, 9:°, ovvero
��° /01234056 � 109,87°
d. Ricavare l’angolo ��.
sapendo che la somma degli angoli interni di un qualsiasi triangolo rettangolo è
180°, si ottiene
��� � � � ��� � 180°
sostituendo ai dati i valori
��� � 109,87° � 31,71° � 180°
applicando il primo principio di equivalenza, si trasportano i termini noti al
secondo membro cambiandoli di segno
��� � 180° � 109,87° � 31,71°
da cui
��� � 38,42°
e. Ricavare il lato ������
Il teorema del sin consente di impostare la seguente proporzione
����� ( sin ��� � ����� ( sin ���
Sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene
����� ( sin 38,42° � 171,6 ( sin 31,71°
Da cui
����� �sin 38,42° 171,6
sin 31,71°�
0,6213843 171,60,5256592
�106,63
0,5256592� 202,85
3. Ricavare l’angolo ��
Osservando il quadrilatero
D
B
C
A1B
B2ˆ
È possibile notare che
�� � ��+ � ���
Sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene
�� � 26,21° � 38,42° � 64,63°
Da cui
�� � 64,63°
Si ottiene
DATI SOLUZIONI
������ � 163 ����� � 202,85
������ � 185 �� � 64,63°
����� � 171,6 � � 109,87°
�� � 123,7°
�� � 61,8°