radiazione

Abbiamo visto dalle equazioni di Maxwell che le correnti( o le densita' di carica corrispondenti ) sono le sorgenti del campo elettromagnetico.

Come calcolare il campo elettromagnetico assegnate le sorgenti?

La risposta e' molto semplice: risolvete il sistema di equazioni di Maxwellma il procedimento non e' per niente banale se non in casi particolari ( onde piane )

Esiste una tecnica numerica ( FDTD ) che approssima le derivate parziali con le differenze finite e quindi integra numericamente.Diversi programmi basati

sulla FDTD sono disponibili ( commercialmente e no )

Ma possiamo anche risolvere il problema per via analitica in modo abbastanza semplice con l'impiego del Potenziale scalare Ve del potenziale vettore A

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Una risposta analitica si ottiene con i potenziali

Sistema delle eq. di Maxwell

Equazioni dei potenziali

Potenziali

V A

Sistema di 6 eq.diff in 6 incognite

Ex, Ey, Ez

Hx, Hy, Hz

∫4 equazioni djfferenziali

Ax, Ay, Az, V

t∂∂⋅∇

∇×∇

,

,

E H

3

Iniziamo dal caso statico

∂ /∂t = 0

∇xE = 0

e quindi E= - ∇V

con V potenziale scalare

Nel caso di una singola carica Q

V = Q/4πεr

nel caso di una distribuzione di cariche ρv ( in Coulomb/m3 )

V e' la soluzione dell'eq. di Poisson

∇2V = - ρv/ε

0

4

R = Ri + R'

il cubetto Δν' crea in R un potenziale dV = ρvdν'/ 4πε |R'|

Tutto il volume crea un potenziale :

V(R) = ∫∫∫v'

(ρv/ 4πε |R'|) dν'

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Il potenziale vettore A

Dalla relazione ∙∇ B =0

possiamo porre B = x∇ A

(Ricordando che la divergenza di un rotore è sempre nulla)

∇xB = x x∇ ∇ A = ∙∇∇ A- ∇2A = μoJ

In base al teorema di Helmotz posso imporre che la divergenza di A sia nulla e ottengo

∇2A = - μoJ

∇2 Ax

= - μ0J

x

∇2 Ay

= - μ0J

y

∇2 Az

= - μ0J

z

e notiamo che sono identiche all'equazione di Poisson

∇2V = - ρv/ε

0

la soluzione della equazione di Poisson per il potenziale elettrico nel caso statico

V(R) = ∫∫∫vol

(ρv /4πε

o |R' | )dν'

E quindi

A(R) = ∫∫∫ vol

(μoJ / 4π |R' | )dν'

ove |R' | e' la distanza dal generico punto del volume ν' dove sono le sorgenti al punto ove calcolo il potenziale scalare V o il potenziale vettore A ed R indica il punto ove calcolo i potenziali

CASO GENERALE (∂/∂t ≠ 0 )

Dalla quarta di Maxwell ∙ ∇ B = 0

ottengo B = ∇xA

dalla prima di Maxwell x ∇ E = - ∂B/∂t

ottengo x ( ∇ E + ∂A / ∂t ) = 0

e quindi E = - V -∂∇ A/∂t

Dalla terza di Maxwell

∙ ∇ E =ρv /ε

o

Se sostituisco l'espressione di E

∙∇ E = ∙ (- V -∂∇ ∇ A/∂t )ottengo

∇2V + ∂( ∙A)∇ /∂t = -ρv /ε

o

9

Analogamente dalla seconda di Maxwell

∇x H = J + ∂D / ∂t

si ottiene ( ∙∇ ∇ A) - ∇2A + εμ (∂V/∂t) +ε∇ μ ∂2A/∂t2= μ J

se pongo ∙A ∇ = -εμ ∂V/∂t ( scelta di Lorentz)

l'equazione in A si semplifica drasticamente

∇2A -εμ ∂2A/∂t2=- μ J

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Voglio risolvere

∇2A -εμ ∂2A/∂t2=- μ J

di cui nel caso statico ( ∂/∂t =0)

∇2A = - μ J

conosco la soluzione

A(R) = ∫∫∫ vol

(μoJ / 4π |R' | ) dυ'

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DAL CASO STATICO AL CASO DINAMICO BISOGNA DARE TEMPO ALLA PERTURBAZIONE ELETTROMAGNETICA DI SPOSTARSI DALLA SORGENTE AL PUNTO DI OSSERVAZIONE CON LA SUA VELOCITA' ( c = 3 108 m/sec ).

Definisco tempo di transito τ il tempo che un'onda e.m. impiega a percorrere la distanza R'

τ = R'/c

Il potenziale “ ritardato “ calcolato all'istante t e' legato alla carica all'istante t – τ

A (R,t)= (μ/4π) ∫∫∫vol

( 1/R') J( t – R'/c ) dυ'

se la corrente oscilla come cos ( ωt ) il potenziale a distanza r varia nel tempo come cos [ω(t – τ )]

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Analogamente per il potenziale scalare

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Le grandezze del campo elettromagnetico si ottengono dalleespressioni di A e di V differenziando in funzione della variabile (t- τ), ritardata nel tempo.

ove τ = R/c

In base alle considerazioni fatte si deduce che é richiesto uncerto tempo τ per la trasmissione delle onde elettromagnetiche,perché si sentano gli effetti delle cariche e delle correntivariabili nel tempo in punti distanti R da queste.

c : velocita' della luce

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se la corrente e' espressa da e j ω t il potenziale “ritardato “ A varia come e j ω( t -τ) = e j (ω t -βr)

con β =ω /c

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L'equazione

∇2A - εμ ∂2A/∂t2= μ J

diventa ( ∂/∂t=jω)

∇2A + β2 A=- μ J

con β2 = ω2εμ

la scelta di Lorentz diventa

∙∇ A = - j ωεμV

si noti l'analogia con la continuita' della corrente

∇⠐J =- j ωρv

per mezzo della scelta di Lorentz ∇V= ( j

ωεμ)-1 ∙∇∇ A

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Da E = - V -j∇ ωA

ottengo E = -j ω ( ∙∇∇ A)/ β2 - j

ω A

B = ∇xA

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In definitiva:correnti variabili nel tempo creano un campo elettromagneticoil potenziale vettore A ritardato si calcola dalla densita' di corrente J mediante un integrale di volume. Dal potenziale vettore A si calcolano il campo elettrico E e quello magnetico H con semplici operazioni di derivazione

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Dipolo di Hertz ( o dipolo elettrico )

Elemento di lunghezza infinitesimo dl percorso da corrente costante

Er

Hϕ

EΘ

I

Il dipolo e' nell'origine e diretto lungo z.

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Calcolo A e quindi E ed H

Er =(η I dl /4π) cosΘ ( 2/r2+ 2/jβr3) e-iβr

EΘ =(η I dl /4π ) sin Θ (jβ/r + 1/r2 + 1/jβr3) e-iβr

EΦ = 0

Hr = H θ =0

HΦ = jβ I dl sinθ (1 +1/ jβr)/(4πr) e-iβr

nel vuoto ( spazio libero)η = (μ/ε)½ = 377 Ωβ = 2π/λ = 2πf/c

23

HΦ = jβ I dl sinθ(1 +1/ jβr)/(4πr) e-iβr

1/βr = 1 perro = 1/β

a distanze maggiori di ro

1/βr diventa ' trascurabile rispetto a 1ricordiamo che β = 2π/λ e quindi 1/β =λ/2π (all'incirca λ/6 )

�

24

Nella zona di campo lontano r → ∞ ( in pratica per r >λ/6 )

HΦ = EΘ/η

-il campo elettrico varia come sinθ :e' massimo nella direzione ortogonale al dipolo e nulla sull'asse del dipolo; -e' proporzionale alla corrente I-e' proporzionale a βdl ossia al rapporto dl/λ

Il campo magnetico e' perpendicolare al campo elettricoe alla direzione di radiazione r

EΘ =jη I βdl sinΘ e-iβr/4πrHΦ = jβ I dl sinθ e-iβr/(4πr)

ossia

28

Per r → ∞

1) le ampiezzecdi E e di H diminuiscono con la distanza come 1/r

2) Il rapporto tra le ampiezze vale η = 120π Ω

3) E ed H sono in fase nel tempo

4) E ed H sono perpendicolari nello spazio

e perpendicolari alla direzione di propagazione

Il campo e' localmente assimilabile ad un'onda piana

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Potenza irradiata →P

x

y

z

dS→

• Campo elettrico e campo magnetico variano come 1/r

• La densita' di potenza (Poynting ) varia come 1/r2

• La direzione di P e' radiale

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se considero una sorgente puntiforme che genera un'onda sferica la potenza che attraversa due sfere concentriche deve essere costante e pari alla potenza trasmessa.Quindi la densita' di potenza per unita' di superficie deve diminuire col quadrato della distanza ed il campo elettrico con l'inverso della distanza

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La zona di campo lontano dipende fortemente dalla lunghezza d'onda e quindi dalla frequenza

Esempio

A 50 Hz ( frequenze industriali ) λ e' dell'ordine di migliaia di chilometri

a 1 MHz ( stazioni MA) λ/6= 300/6 = 50 metri

a 100 MHz ( stazioni MF) λ/6= 3/6 = 0,5 metri

a 1 Ghz ( Stazioni Radio per TF) λ/6= 5 centimetri

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~

I

dl

dl

ρ

Una qualsiasi sorgente( corrente )

e' la somma di tanti dipoli di Hertz

Il campo totale e' la somma del campo radiato dal generico dipolo

DIPOLO PER RISCALDAMENTO DI VENE ED ARTERIE

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Radiazione da una spiraNell'ipotesi 2πa << λ ; a << r ; Iφ = I0 = cost

Per r → ∞ EΦ =η (βa)2 I sin Θ e-iβr/4r Hθ = - (βa)2 I sin Θ e-iβr/4r

Anche in questo caso il campo e' localmente assimilabile ad un'onda piana|E |/|H| =η

radiazione

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