8/17/2019 R03 - Evolvente Del Cerchio

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 Richiami sull’evolvente del cerchio (vers. 08/01/10)  1 

Meccanica applicata alle macchineCorsi di laurea in Ingegneria biomedica ed Ingegneria meccanica

A.A. 2008/2009 

Richiami sull’evolvente del cerchio

Evoluta

Per parlare dell’evoluta di una curva è necessario possedere il concetto di inviluppo di una curva, per il quale sirichiama l’apposita scheda. L’evoluta di una curva è definita dall’inviluppo delle normali alla curva stessa.

Si consideri ad esempio un’ellisse, e si costruisca la sua evoluta; a tal fine si tracciano tutte le sue rette normali:

la curva inviluppata da tali rette è l'evoluta dell'ellisse. In modo analogo è possibile ottenere l’evoluta della parabola o l’evoluta del cerchio, costituita da un solo punto, cioè il suo centro.

In generale una curva e la sua evoluta sono due curve fra loro differenti. In alcuni casi però come per la cicloide o per la spirale logaritmica l’evoluta della curva è identica alla curva stessa.

Evolvente

Per definire l’evolvente di una curva   è necessario considerare su quest’ultima un punto O che si dirà puntoiniziale. Si immagini ora di fissare un estremo di una cordicella ad O e si tenga tesa la corda in modo che sia

tangente alla curva nel punto iniziale. Si faccia poi aderire a   una parte sempre più lunga della cordicellafacendo in modo che il tratto libero sia tangente alla curva nel punto di stacco della corda dalla curva stessa.L’estremità libera della cordicella descriverà allora l’evolvente della curva.

Mentre l’evoluta di una curva è unica, l’evolvente dipenderà dal punto iniziale scelto per fissare la cordicella perciò si avranno infinite evolventi fra loro parallele (in figura sono disegnate due evolventi di un’ellisse).

 Il legame tra evoluta ed evolvente è molto stretto: infatti la curva originaria    può essere vista come l’evolutadell’evolvente.

In altro modo l’evolvente del cerchio (rappresentata in figura) può essere definita come la traiettoria di un puntodi una retta che viene fatta rotolare senza strisciare su una circonferenza (circonferenza base).

Punto di partenza scelto da cui poi

via via si "srotola la cordicella"

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Proprietà dell’evolvente

  La lunghezza del segmento rettilineo che si è svolto dal cerchio base è uguale alla lunghezza delcorrispondente arco di cerchio:

     

 

Il centro di curvatura del profilo ad evolvente è il punto di tangenza con la circonferenza base.

Equazione dell’evolventeDall’esame del disegno seguente è possibile ricavare facilmente l’equazione parametrica nelle coordinate polari

{  ,  } dell’evolvente del cerchio di raggio r . Dall’uguaglianza tra l’arco   ed il segmento   (raggio dicurvatura dell’evolvente in P) si ha:

  (1)e cioè:

α –α α (2)e dal triangolo :

ρ  

 (3)

 Le equazioni (2) e (3) costituiscono le equazioni parametriche dell’evolvente del cerchio (di parametro ).

L’equazione parametrica dell’evolvente di un cerchio di raggio r  in coordinate cartesiane è:

cos sen