Magie Del Cerchio

8/13/2019 Magie Del Cerchio

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MAGIE DEL CERCHIO

MARIA MESSERE



La circonferenza, così semplice ed essenziale, è

una figura ricchissima di possibilità geometriche

come generatrice di innumerevoli altre curve. Par-

tendo dal cerchio ci si può sbizzarrire nel costruire

tante figure, scoprendo le proprietà nascoste e cal-

colandone le dimensioni.

E' ciò che fecero gli antichi greci quando comincia-

rono lo studio della geometria.

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CIRCONFERENZA E

CERCHIO



Nella geometria, una circonferenza è quel luogo geometrico costi-

tuito da punti equidistanti da un punto fisso, detto centro. La di-

stanza da qualsiasi punto della circonferenza dal centro si defini-

sce raggio.

Le circonferenze sono curve chiuse semplici, che dividono il pia-

no in una superficie interna ed una esterna (infinita). La superficie

del piano contenuta in una circonferenza, insieme alla circonferen-

za stessa, prende il nome di cerchio.

La corda è un qualunque segmento che unisce due punti qualsia-

si della circonferenza.

Una corda che passa per il centro è detta diametro (il diametro è

il doppio del raggio).

LACIRCONFERENZA

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Il cerchio è equivalente a un rettangolo con base uguale alla lun-

ghezza della semicirconferenza e altezza uguale al raggio.

Ecco due animazioni

AREA DELCERCHIO

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I matematici del tempo rappresentarono oggetti di

uso quotidiano: l’arbelo (antico trincetto da calzo-

laio) di Archimede, il fuso circolare (strumento ba-

se della pastorizia), la pelecoide (scure), la saliera

di Archimede, il trifoglio, la drepanoide (falce), il

triangolo a lati circolari e le celebri lunule (falce di

luna) con le quali Ippocrate riuscì a realizzare la

prima quadratura di un’area curvilinea. (Quadrare

un’area curvilinea significa trovare un quadratoche abbia la stessa area della figura curvilinea).

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LE CURVE CELEBRI



Se abbiamo tre circonferenze che si toccano esternamente a

due a due, si ricava un triangolo a lati circolari concavi formato

dai tre archi minori di ogni circonferenza, compresi tra i punti di

contatto delle altre due.

TRIANGOLO ALATI CIRCOLARI

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Il nome, dal greco, significa "a forma di falce"

Osservando la figura possiamo anche dire che si tratta di un

triangolo curvilineo: il perimetro della drepanoide è costituito da

due archi di circonferenza e una semicirconferenza.

La costruzione è molto semplice: si tracciano due circonferenze

uguali tangenti esternamente.

Dai rispettivi centri si tracciano due raggi, AD e BC, paralleli e si

uniscono gli estremi di questi sulle due circonferenze.

Si traccia poi una terza circonferenza che ha per diametro il seg-

mento DC.

Si costruiscono quindi gli archi e la semicirconferenza come in

figura: ne risulta un triangolo a lati curvilinei che costituisce il dre-

panoide.

La sua area equivale all'area del parallelogramma ABCD in figu-

ra.

LA DREPANOIDE

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Pelecoide significa, in greco, “a forma di scure”.

Su diametro AB di una circonferenza (vedi immagine) si fissano

due punti qualsiasi C e D, e si descrivono quattro semicirconfe-

renze con diametri AC, AD, BC e BD, le prime due e le altre dueparti opposte rispetto ad AB. La figura racchiusa da quattro semi-

circonferenze è la pelecoide: il suo perimetro è uguale alla lun-

ghezza della circonferenza data, mentre la sua area sta all’area

del cerchio di diametro AB come CD sta ad AB.

LA PELECOIDE

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YING YANG

CLICCA SULLA FIGURA PER

LEGGERE LA DESCRIZIONE



Il trifoglio è una graziosa figura, costruita partendo da un trian-golo equilatero, tracciando i tre archi passanti per il centro del

triangolo e per due vertici.

L’area del trifoglio può es-

sere calcolata come diffe-

renza tra la somma dei tre

settori circolari costruiti

sui lati del triangolo, e il

triangolo stesso.

IL TRIFOGLIOE IL FUSOCIRCOLARE

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Il fuso circolare è la figura ottenuta quando due

circonferenze si secano: la parte comune ad es-

se è appunto il fuso. Si tratta dunque di una figu-

ra assai semplice, e ad essa gli antichi greci die-

dero il nome di uno strumenti base della civiltà

pastorizia.

In questo modellino il fuso è ricavato da un qua-

drato, tracciando due archi di circonferenza inter-

ni al quadrato, con centro in due vertici opposti e

raggio uguale al lato l del quadrato. L’area dl fu-

so circolare si ottiene come differenza tra la som-

ma delle aree dei due settori circolari di 90° (qua-

dranti di cerchio ) e l’area del quadrato stesso.

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Progetto iTEC “Il cerchio magico”

FILMATO 2.1 Costruzione del fuso cicolare in ed-Mondo



E’ la prima figura che prende il nome da oggetti di uso quotidia-

no ,in particolare da attrezzi da lavoro artigianali o contadino. Ar-

belo è in greco il trincetto da calzolaio.

Sul diametro AB di un semicerchio (vedi immagine) si fissa

un punto qualsiasi C, e si descrivono due semicirconferen-

ze di diametri AC e CB, interne al semicerchio dato. La figu-

ra che ne risulta, limitata dalle tre semicirconferenze, è sta-

ta oggetto di considerazione da parte di Archimede.

Una caratteristica dell’arbelo è che la lunghezza del contor-no è uguale a quella della circonferenza di diametro AB. La

sua superficie è equiestesa all’area del cerchio di diametro

CD, ove D è il punto della circonferenza sulla perpendicola-

re ad AB in C.

L’ARBELO DIARCHIMEDE

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Il "salinon" di Archimede si ottiene fissando sul diametro di un se-

micerchio due punti equidistanti dagli estremi. Si tracciano quin-

di i semicerchi aventi per diametro i segmenti ottenuti.

La figura racchiusa dalle quattro semicirconferenze è la saliera:

la sua superficie è equiestesa all'area del cerchio con diametro

EF (vedi immagine ) dove E ed F sono le intersezioni della per-

pendicolare in O ad AB con le due semicirconferenze concentri-

che.

LA SALIERA DIARCHIMEDE

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In geometria, la cicloide (dal greco kykloeidés,

k"klos 'cerchio' e -oeidés 'forma', cioè che è fatto

da un cerchio) è una curva piana appartenente al-

la categoria delle rullette. Essa è la curva tracciata

da un punto fisso su una circonferenza che rotola

lungo una retta; in pratica il disegno composto da

un punto su una ruota di bicicletta in movimento.

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LA CICLOIDE



Pur non essendo una curva di difficile concezio-

ne, sembra che la cicloide non sia venuta alla lu-

ce fino al XVI° secolo. Fu Pascal il primo a sco-

prirne le innumerevoli proprietà e a meravigliarsi

che gli antichi greci lávessero ignorata, anche

se Giamblico (filisofo greco del III° secolo d.C.)sembra attribuire una curva simile a Carpo dÁn-

tochia una curva "a doppio movimento" inventata

per quadrare il cerchio. Tutto ciò non basta ad

annoverare la curva tra quelle conosciute nellán-

tichità. Mersenne ne diede la prima definizione

documentata; nei primi del 1600, Galileo Galilei

fu il primo ad attribuirgli il nome che oggi le dia-

mo. Nel 1634 Roberval risolse il problema dellá-

rea compresa tra un arco della curva (da lui chia-

mata trocoide dal greco trocos=ruota) e la base

che aveva visto impegnati per circa 40 anni Torr

celli e Galileo; Cartesio e Fermat trovarono le tan

genti alla cicloide, ma fu Pascal, come detto, tor

nato ad occuparsi di matematica dopo un lungo

periodo in cui si dedicò a religione e filosofia, arisvegliare grande interesse nella curva (da lui

chiamata roulette) proponendo diverse sfide ma

tematiche riguardanti la cicloide, a cui partecipa

rono i più grandi matematici dellépoca: Wallis,

Sluze, Fermat, Huygens, Ricci. Successivamen-

te, scenziati del calibro dei fratelli Bernoulli,

Leibniz e Newton trovarono per la curva famossi

sime proprietà matematiche e fisiche.

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La cicloide è una curva con moltissime proprietà, le qualifurono al centro di innumerevoli dispute tra gli scienziati

dellépoca, tanto che la curva fu definita "la Elena della

geometria". Vediamo per prima cosa le proprietà metriche:

lárea sottostante un ramo di cicloide è tre volte lárea del

cerchio usato per generarla ovvero ; la lunghezza di un ar-

co di cicloide è quattro volte il diametro usato per descri-

verla.

PROPRIETA’

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FILMATO 2.1 Animazione

La cicloide si presta a innumerevoli generalizzazioni: se ad esempio al posto di una retta

sul quale far scorrere la circonferenza si considera una seconda circonferenza (più grande di

quella che scorre), le curve descritte verranno dette epicicloidi, se la circonferenza rotola

esternamente, ipocicloidi, se la circonferenza rotola internamente. Ulteriori generalizzazioni si

possono ottenere nel caso che il punto sia interno od esterno alla circonferenza. Sotto possia-

mo vedere un esempio di una epiciloide (a sinistra) e di una ipocicloide (a destra).



Cicloide ordinaria, accorciata e allungata

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La cicloide è definita come il luogo deipunti su una circonferenza data cherotola senza strisciare su una retta.

Questo tipo di cicloide viene dettaordinaria. Se il punto non si trovasulla circonferenza, si parla di cicloideaccorciata se il punto è interno e dicicloide allungata se il punto è al difuori della circonferenza: in basso è

INTERATTIVO 3.1 GeoGebra

Scegli la posizione del punto P perdescrivere le cicloidi

FILMATO 3.1 La cicloide in edMondo

Costruzione di due prototipi di cicloide inedMondo, la piattaforma 3D dell’INDIREdedicata alla didattica nell’ambito del progettoiTEC “Il cerchio magico”



I cerchi nel grano (in inglese crop circles), o agro-

glifi, sono aree di campi di cereali, o di coltivazioni

simili, in cui le piante appaiono appiattite in modo

uniforme, formando così varie figure geometriche

(talvolta indicate come "pittogrammi") ben visibili

dall'alto. A seguito del numero crescente di appari-

zioni di queste figure (soprattutto in Inghilterra) a

partire dalla fine degli anni settanta del XX secolo,il fenomeno dei cerchi è diventato oggetto d'inda-

gine per determinare la genesi di queste figure.

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I CERCHI NEL

GRANO



1 di 21

GALLERIA 4.1 Cerchi nel grano fotografati

Costruzione dei cerchi nel grano nell’ambiente edMondo, il mondovirtuale dedicato alla didattica nell’ambito del progetto iTEC “Ilcerchio magico”



Tutti conosciamo il numero #, pi greco, il rapporto

tra la circonferenza ed il suo diametro, tra il cer-

chio ed il suo raggio al quadrato, 3,14... insomma.

Ma dietro a quei puntini cosa c'è?

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ALLA RICERCA DEL

PI GRECO



Il nome di babilonesi viene dato ad una serie di popolazioni che,

in tempi successivi, occuparono la Mesopotamia, una regione

del Medio Oriente situata tra il Tigri e l'Eufrate. Tra di esse ricor-

diamo le popolazioni dei Sumeri, che per primi occuparono tale

regione a partire dal 4000 a.C., seguiti dagli Accadi (2200 a.C.),dagli Assiri (800 a.C.), dai Caldei (700 a.C.), dai Persiani (540

a.C.), fino alla conquista della Mesopotamia da parte di Alessan-

dro Magno nel 330 a.C. Il massimo periodo di fioritura della cultu-

ra babilonese si ebbe tra il 2200 a.C. e il 1700 a.C.

In Mesopotamia il ruolo della geometria era insignificante e quasi

sempre legato ad applicazioni pratiche. I babilonesi conosceva-

no certamente il teorema di Pitagora (o meglio alcune terne pita-

goriche, senza porsi il problema di una loro generalizzazione ) e

la similitudine dei triangoli. Per ottenere l'area del cerchio usava-

no la formula A=c2/12, dove c indica la circonferenza. Ciò equi-

vale ad usare per p il valore 3. Ed è proprio da 3, come nel film

di Troisi, che comincia dunque la nostra storia.

Per calcolare la lunghezza della circonferenza inscritta nell'esa-

gono regolare, i babilonesi usavano un rapporto che implicava

per p il valore di 3+1/8, che equivale a 3,125.

Il valore assegnato a p dai babilonesi era approssimato per di-

IL PI GRECO

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to. Gli antichi egizi assegnavano invece a p un valore

prossimato per eccesso. Essi calcolavano l'area del cer-

o mediante la formula A =(8/9 d)2, dove d è il diame-

In questo caso p assume il valore 256/81 (circa

605).

corre arrivare al grande Archimede di Siracusa (287-

2 a.C.), per avere i primi due decimali esatti di p. Egli

rca di calcolare la lunghezza della circonferenza perzzo del perimetro dei poligoni inscritti e circoscritti. La

conferenza ha infatti una lunghezza compresa tra il peri-

tro di un poligono inscritto e quello di un poligono circo-

itto ad essa.

misure di tali perimetri si avvicinano sempre più tra loro

n l'aumentare del numero dei loro lati, permettendo di

tringere sempre più l'intervallo entro il quale dev'essere

mpresa la misura della circonferenza che si desidera tro-

e. Per tale via, egli riesce quindi a stabilire due valoricui p è compreso: (3+10/71) <p < (3+1/7). Il primo

due valori vale 3,1408... e il secondo vale 3,1428...

no occorsi quasi due millenni per passare da una a tre

e esatte del nostro numero. Non basterà invece il tem-

passato e futuro dell'umanità per trovare tutte le altre

e.

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Archimede di Siracusa (in greco "#$%&'()*; Siracusa, circa 287 a.C. – Siracusa, 212 a.C.) è

stato un matematico, ingegnere, fisico e inventore greco antico (siceliota). È uno deimassimi scienziati dellastoria

METODO DI ESAUSTIONE

Per calcolare " Archimede fece il ragionamentoillustra- to nella figura A : • la lunghezza della circon-ferenza è certamente compresa tra il perimetrodi un poligono regolare a essa circoscritto e il

perimetro dello stesso poligono regolare a essainscritto;• al crescere del numero dei lati del

poligono, il suo perimetro approssima sempre piùda vicino la lunghezza della circonferenza.Archimede riuscì a calcolare il perimetro deipoligoni rego- lari inscritti e circoscritti, e ot- tenne

=

FILMATO 5.1 Metodo di esaustione



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EST DIAUTOVAUTAZIONE

Domanda 1 di 5

Il segmento che unisce due punti della circonferenza

si chiama

A. raggio

B. arco

C. settore

D. corda



CERCHIO

Punti del piano interni alla circonferenza

Termini del glossario correlati

Indice

Circonferenza



CIRCONFERENZA

Luogo dei punti del piano equidistanti da un punto fisso


Cerchio



CORDA

Segmento che congiunge due punti della circonferenza


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RAGGIO

Segmento che congiunge il centro con uno dei punti della circonferenza


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