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Fisica generale II, a.a. 2013/2014 TUTORATO 4: RETI E POTENZA ELETTRICA

1

R1

R2 R3

R4 C V

CIRCUITI ELETTRICI RC

4.1. Nel circuito della figura si ha R1 5 , R2 2 e

R3 3 e nella resistenza R1 passa una corrente I1 = 1 A .Il

voltaggio V ai capi della batteria vale

(A) 5 V (B) 10.5 V (C) 21.0 V

(D) 24 V (E)

SOLUZIONE. R1 e R2 sono collegate in parallelo. Ai capi di R1 ed R2 c’è una differenza di

potenziale V1-2 I1R1 5 V. In R2 fluisce una corrente I2 V1-2/R2 =5 V/R2 2.5 A e nella

resistenza R3 passa la somma delle correnti I3 I1 + I2 3.5 A. La caduta di tensione ai capi di R3 è

perciò V3 I3R3 10.5 V e il voltaggio della batteria è

V V1-2+V3 15.5 V.

4.2. Una batteria può essere schematizzata come un generatore di tensione V in serie a una

resistenza interna Rin. Quando la resistenza esterna vale R1 2 si misura una corrente I1 2.4 A;

quando la resistenza esterna vale R2 4.5 la corrente misurata si riduce a I2 1.2 A. La resistenza

interna vale circa

(A) 0.1 (B) 0.2 (C) 0.5 (D) 0.67 (E) 1.0

SOLUZIONE. La resistenza interna del generatore è in serie alle resistenze esterne che fanno parte

del circuito; applicando la legge di Ohm possiamo scrivere:

V6)(

5.0

)(

)(

11in

21

1122in

22in

11in

IRRV

II

IRIRR

IRRV

IRRV

4.3. Il generatore di voltaggio della figura viene connesso

all’istante t = 0 al circuito a riposo (condensatore scarico). I valori

degli elementi sono: V = 12 V; R1 = 6 ; R2 = 2 ; R3 = 1 ;

R4 = 3 ; C = 2 mF. La corrente iniziale in R1 vale

(A) 0 A (B) 1 A (C) 4/3 A

(D) 4 A (E) 16/3 A

SOLUZIONE. La resistenza equivalente del circuito all’istante iniziale, in cui si considera il

condensatore come un cortocircuito, è Req = R1||R2+R3||R4 (somma – o serie – di due coppie di

resistenze in parallelo) e vale quindi

4

9

43

43

21

21eq

RR

RR

RR

RRR

La corrente erogata dal generatore all’istante iniziale vale

A3

16

9

412

eq

R

VI

e si ripartisce tra R1 e R2 in modo inversamente proporzionale alle resistenze stesse:

I1= 1 A

R1

R3 V R2


2

I2

V1 V2

R2 R4 R6

R3 R5 R1

A B C

D E F

I4 I6 I1

I1 I3 I5

A3

4A

8

2

3

16

21

21

RR

RII

4.4. Con riferimento al problema precedente, la corrente in R1 quando il condensatore è

completamente carico è

(A) 0 (B) 1 A (C) 2/3 A (D) 2 A (E) 8/3 A

SOLUZIONE. Quando il condensatore è completamente carico, nel ramo del condensatore non

passa corrente: in pratica, il condensatore ed R3 possono essere eliminati dal circuito. La resistenza

equivalente del circuito è pertanto

A3

2

8

2

3

8A

3

8

9

212

2

9

21

21

eq

4

21

21eq

RR

RII

R

VIR

RR

RRR

4.5. Dato il circuito della figura dove il generatore

V1 = 8 V eroga 8 W e i valori delle resistenze sono

R1 = R3 = R5 =16 e R2 = R4 = R6 =8 (“R-2R ladder”)

il voltaggio V2 è pari a

(A) 4 V (B) 2 V (C) 1 V

(D) 0.5 V (E) ______

SOLUZIONE. Dalla potenza erogata dal generatore V1 ricaviamo la corrente I1 che da esso esce:

Ai capi di R1 c’è una differenza di potenziale (ddp) pari a

V1: R1 è perciò percorsa da una corrente I1 pari a

V1/R1 = 8/16 = 0.5 A, mentre la restante corrente

I2 = I1I1 = 10.5 = 0.5 A percorre R2. La ddp ai capi di R2

è VAB = V1R2∙I2 = 88∙0.5 = 4 V, quindi VBE = V1VAB =84 = 4 V; in R3 entra dunque una

corrente I3 pari a VBE/R3 = 4/16 = 0.25 A, mentre la restante corrente I4 = I2 I3 = 0.50.25 = 0.25 A

percorre R4. La ddp ai capi di R4 è VBC = V1VAB R4∙I4 = 848∙0.25 = 2 V, quindi

VCF = V1VABVBC =842 = 2 V; in R5 entra dunque una corrente I5 pari a

VCF/R5 = 2/16 = 0.125 A, mentre la restante corrente I6 = I4I5 = 0.250.125 = 0.125 A percorre R6.

Infine, la ddp ai capi di R6 è V2 = V1VAB VBC R6∙I6 = 8428∙0.125 = 1 V.

4.6. Due batterie nominalmente uguali ma stato di carica diversa, una con V1 = 6.0 V e resistenza

interna R1 = 1 , l’altra con V2 = 5.9 V e resistenza interna R2 = 2 ,

sono connesse in parallelo a una resistenza incognita R in cui fluisce

una corrente di intensità 2 A. Il valore di R è

(A) 2.32 (B) 2.00 (C) 1.58

(D) 2.89 (E)______

SOLUZIONE. Le incognite relative al circuito sono 4: I1, I2, VAB, R.

Scelti per le due maglie del circuito i versi di percorrenza

rappresentati in figura, possiamo scrivere altrettante equazioni:

1) applicando la conservazione delle correnti al nodo A sappiamo

che I = I1+I2 = 2 A

V1 V2

R2 R4 R6

R3 R5 R1

V2 V1 I =2 A

R2 R1

R

+ +

V2 V1 I =2 A

R2 R1

I1

R

+ +

A I1 I2

I

B


3

2) applicando la legge di Ohm alla resistenza R, deve essere VAB = R∙I

3) per la maglia V1ABV1 deve essere V1 = I1∙R1+VAB

4) per la maglia V2ABV2 deve essere V2 = I2∙R2+VAB

Moltiplicando per R2 l’equazione 3) e per R1 l’equazione 4 e poi sommandole membro a membro si

ottiene

( ) ( ) ( )

( )

dove si è usata l’equazione 1) I = I1+I2 = 2 A. Quindi dall’equazione 2):

4.7. Se la caduta di tensione su R1 è di 10 V e V1 = 15 V, allora Rx è circa

uguale a

(A) 5 (B) 10 (C) 15

(D) 6.7 (E) _______

SOLUZIONE. La corrente I1 che attraversa R1 vale

Poiché VAB = V110 =1510 = 5 V, la corrente che attraversa R2 vale

e quella che attraversa Rx è I = I1I2 = 10.25 = 0.75 A. Pertanto

4.8. Quando due batterie di uguale fem (Vx) e resistenza interna (Rx)

sono contemporaneamente collegate a un carico con RL = 10 , in

questo circola una corrente IL = 1 A. Quale deve essere Vx perché in RL

circoli IL = 0.95 A quando una delle batterie viene scollegata?

(A) 24.2 V (B) 10.56 V (C) 9.8 V

(D) 11 V (E)________

SOLUZIONE. Poiché le due batterie sono identiche, quando entrambe

sono collegate al carico ciascuna contribuirà alla corrente IL con una

corrente pari a IL/2 = 0.5 A. Percorrendo la maglia di sinistra del

circuito nel verso della freccia possiamo scrivere

{

( )

( )

Sostituendo i valori numerici il sistema diventa

{ ( ) ( )

Moltiplicando la prima equazione per 0.95/0.5 = 1.9 e sottraendo le due equazioni membro a

membro si ottiene

( )

R2=2R1

Rx

R1=10

V1

R2=2R1

Rx

R1=10

V1

A

B

Vx Vx

IL=1 A

Rx Rx

RL=10

+ + S

Vx Vx

IL=1 A

Rx Rx

RL=10

+ + S


4

4.9. Nel circuito della figura R = 3 e la differenza di potenziale

fra i punti A e B è VAVB = +1.5 V. Il potenziale V del generatore

è pari a

(A) 1.5 V (B) 2 V (C) 3 V (D) 6 V (E) 12 V

SOLUZIONE. La resistenza equivalente del circuito è

( )‖( ) ( )‖( ) (

)

(

)

(

)

Il generatore eroga pertanto una corrente pari a

Dal nodo C, la corrente I si ripartisce in modo inversamente proporzionale alle resistenze dei rami

CAD e CBD:

La ddp tra A e B si può esprimere come:

( ) ( )

Pertanto

Una soluzione alternativa consiste nel considerare le due resistenze in serie nel ramo A e nel ramo

B come dei partitori di tensione e scrivere

( )

4.10. Nel circuito della figura si ha R1 = 3 , R2 = 6 , R3 = 9 . Se V2 = 6 V e la differenza di

potenziale tra A e B è VAB = 4 V la tensione V1 vale

(A) 4 V (B) 4.33 V (C) 1.5 V

(D) 0.33 V (E) _______

SOLUZIONE. Dalla ddp VAB calcoliamo I3:

Per la conservazione delle correnti applicata al nodo C deve essere

Scelti per le maglie del circuito i versi di percorrenza rappresentati in figura

possiamo scrivere

{

Dalla prima equazione del sistema e dalla relazione relativa al nodo C si ricava

+

B A

3R

R

R

R

V

+

B A

3R

R

R

R

V

C

D

I

IA IB

I1 R2 I2

V2

I3 R3

R1

V1

A

B

+ +

I1 R2 I2

V2

I3

A A

R3

R1

V1

B

+ +

C


5

Sostituendo i valori numerici nella seconda equazione del sistema si trova

4.11. Nel problema precedente la potenza erogata dal generatore V1 vale (segno negativo = potenza

assorbita)

(A) 4/9 W (B) 0.17 W (C) 4/9 W (D) 2.67 W (E) 0.48 W

SOLUZIONE. La potenza erogata dal generatore V1 vale

4.12. Nel circuito della figura, se Vout = 2.5 V; il voltaggio Vg

del generatore vale

(A) 5 V (B) 7.5 V (C) 10 V

(D) 15 V (E)_____ V

SOLUZIONE. Calcoliamo la resistenza equivalente Req del

circuito:

‖

( ‖ )

‖[ ( ‖ )]

Il generatore eroga dunque una corrente pari a

Chiamando Ii le correnti relative alle resistenze Ri, usiamo i dati per calcolare I4:

Consideriamo il nodo A: poiché R3 = R4, deve essere I3 = I4. Per la conservazione delle correnti

ricaviamo anche I2 = I3+I4 = 0.5 A. Dunque deve essere

Uguagliando le precedenti espressioni otteniamo

4.13. Su di un nastro isolante lungo L =1 m e largo W = 3 cm è depositato uno strato di grafite (C)

alto H = 5 m. Agli estremi del nastro è applicata una differenza di potenziale V = 2 V (resistività

della grafite a 20°C = 3.5106

m). La corrente che circola nel nastro a 20°C vale

(A) 0.086 A (B) 0.75 A (C) 1.34 A (D) 2.68 A (E) 4.69 A

SOLUZIONE. Resistenza R e resistività sono legate dalla relazione

Ig

R4

A C

D

+

R1=10 R2=5

R3=10 R4=10

R2

R1 R3 R4

Vout Vg

B

L W

H


6

dove S = W∙H è l'area della sezione del campione perpendicolare alla direzione della corrente e L è

la distanza dei punti tra i quali è misurata la tensione. Applicando la legge di Ohm allo strato di

grafite:

4.14. Con riferimento al problema precedente, a quale temperatura t* la potenza dissipata dal

conduttore sul nastro diminuisce dell’1% rispetto al valore a 20°C? (la resistività della grafite

diminuisce di 500 parti per milione per un aumento di 1°C di temperatura)

(A) 0°C (B) 20°C (C) 40°C (D) 46°C (E) ______

SOLUZIONE. Indicata con 20 la resistività della grafite a 20°C, la legge di variazione di con la

temperatura si scrive

( ) (

) ( )

La potenza dissipata dal conduttore sul nastro vale

e la condizione

( ) ( )

equivale pertanto, essendo V costante, alla condizione ( )

( )

( )

( )

( )

( )

POTENZA ELETTRICA

4.15. Nel circuito della figura le resistenze valgono R1 = 4 ,

R2 = 2 , R3 = 3 , R4 = 1 , R5 = 2 . Se la potenza erogata dal

generatore 1 con V1 = 6V è W1 = 6 W, il voltaggio V2 vale

(A) 2 V (B) 3 V (C) 4 V

(D) 6 V (E) _____

SOLUZIONE. Dai dati potenza/voltaggio del generatore 1 ricaviamo la

corrente da esso erogata:

La caduta di tensione ai capi di R1 è pertanto R1∙I1 = 4∙1 =4 V e tra i capi

di R2 c’è una ddp pari a

In R2 passa quindi una corrente pari a

e poiché I2 = I1, in R3 non passa corrente. Pertanto, VCD =VAB = 2 V; in R5 fluisce quindi una

corrente

V1 V2

R1 R3 R4

R2 R5

C A

V1 V2

R1 R3 R4

R2 R5

B D


7

con lo stesso verso di I2 e, poiché I3 = 0, I5 = I4 è la corrente erogata dal generatore 2. Percorrendo la

maglia del circuito V2CDV2 si ha

( )

4.16. Con riferimento al problema precedente, la potenza erogata dal generatore V2 vale

(A) 2 W (B) 3 W (C) 4 W (D) 6 W (E) _____

SOLUZIONE. La potenza erogata dal generatore V2 è

4.17. Una centrale idroelettrica eroga una potenza Wtot = 2(105) W a una fabbrica distante D = 5 km.

La linea elettrica è costituita da due cavi di rame (resistività del rame = 1.7(10

) m) di sezione

S 1 cm e lunghezza complessiva L 10

m. Calcolare il rapporto della potenza dissipata nei cavi

quando la linea è alimentata a VA = 1000 V e quando la linea è alimentata a VB = 10 V.

(A) 0.1 (B) 1 (C) 10 (D) 100 (E) 1000

SOLUZIONE. La trasmissione di energia elettrica in corrente alternata si effettua mediante

trasformatori che innalzano o abbassano la differenza di potenziale VA tra i fili di linea all’utenza

mantenendo idealmente invariata la potenza trasferita all’utente dove la corrente è

quella che circola nella linea di trasmissione che, prima del trasformatore, ha una differenza di

potenziale VA. A causa della resistenza finita delle linee di andata e ritorno della

corrente, la potenza complessivamente dissipata per effetto Joule dalla linea di trasmissione è

(

)

A parità di potenza Wtot assorbita e di resistenza di linea R si ha

(

)

(

)

Aumentando di dieci volte il voltaggio di linea si riducono di 100 volte le perdite resistive connesse

col trasferimento di una data potenza. Per questo, le linee di trasmissione principali operano oltre i

100 000 V mentre quelle secondarie operano a 15 000 V.

4.18. Per portare da 10°C a 100°C un litro d'acqua (cs =4.184 kJ/(kg°C)) utilizzando una resistenza

elettrica in cui viene dissipata una potenza W = 1000 W, trascurando le perdite, occorre un tempo

pari a circa

(A) 10 s (B) 90 s (C) 6' (D) 15' (E) 1 h

SOLUZIONE. Il calore necessario per scaldare l’acqua (m = 1 kg) da 10°C a 100°C è

e viene fornito per effetto Joule dalla resistenza che, in un tempo t, dissipa una energia termica Eth

pari a

Uguagliando le espressioni precedenti si ottiene

Wtot

V1, WR1

V2, WR2


8

4.18. Una camicia viene inumidita con 100 cm3 di acqua a 20°C. Trascurando la capacità termica di

stoffa e metallo e le perdite di calore per contatto con aria e asse da stiro, il tempo minimo di

stiratura della camicia quando si utilizza un ferro di potenza W = 750 W è di circa (calore specifico

dell’acqua: cs =4.184 J/(g°C); calore di evaporazione: ce =2220 J/g).

(A) 5 min 42s (B) 3 min 30s (C) 8 min 35s (D) 1min 30s (E) ______

SOLUZIONE. L'energia richiesta è la somma di quella necessaria a scaldare una massa m = 100 g

di acqua dalla temperatura iniziale (20°C) alla temperatura di ebollizione (100°C), e di quella per

farla evaporare. Si ha quindi:

kJ472.255222080184.4100)( eses21 cTcmmcTmcQQQ

Il tempo in cui il ferro fornisce questa energia termica è

s 42 5's6010

7'5'7.5

60

340.6s 6.340

W 750

J 255472

W

Qt

4.19. La dinamo di una bicicletta che va a 30 km/h può essere descritta come un generatore con

Vd = 14 V e una resistenza interna Rin. Quando sono collegati in parallelo e funzionanti sia il faro

anteriore che il fanalino posteriore la dinamo eroga una corrente ITOT = 1.5 A, il fanalino posteriore

assorbe una potenza WP = 4 W mentre quello anteriore una potenza WA = 8 W. La resistenza della

lampadina posteriore accesa, RP, vale

(A) 8 (B) 10 (C) 16 (D) 20 (E)______

SOLUZIONE. Il circuito è schematizzato in figura. RA e RP sono percorse dalle correnti

e le potenze dissipate su RA e RP sono

( )

( )

Dividendo membro a membro le espressioni precedenti e utilizzando i dati

del problema si trova

Sostituendo la relazione precedente e il valore di Itot nell’espressione di WA otteniamo

( )

( )

4.20. Con riferimento al problema precedente, se la lampadina posteriore si rompe quella anteriore

assorbe approssimativamente (arrotondare all’unità più vicina) una potenza di (si supponga che la

sua resistenza non cambi)

(A) 7 W (B) 8 W (C) 10 W (D) 11 W (E)_____

SOLUZIONE. Il circuito con fanale posteriore rotto è schematizzato in figura. Dobbiamo calcolare

la corrente erogata dalla dinamo in questa situazione, e quindi è

necessario trovare il valore di Rin. La resistenza equivalente quando

entrambi i fanali sono funzionanti (vedi disegno del problema

precedente) è pari a

( ‖ )

e dalla relazione

RP

RA

Rin

Vd Itot

RP

RA

Rin

Vd Itot


9

ricaviamo

Quando il fanale posteriore è rotto, la resistenza equivalente del circuito vale

La corrente erogata dalla dinamo vale

e la potenza assorbita da RA vale

(

)

4.21. Nel circuito della figura passa una corrente I = 4 A; la potenza

complessiva fornita dal generatore di differenza di potenziale pari a VG è

(A) 120 W (B) 240 W (C) 360 W

(D) 720 W (E) 960 W

SOLUZIONE. La resistenza equivalente del circuito è

pertanto

e la potenza erogata dal generatore è

4.22. Un dispositivo alimentato a V = 100 V ha una potenza W = 1 kW; se è alimentato mediante

due fili (uno andata e uno ritorno) ciascuno dei quali ha una resistenza R = 0.2 , qual è la potenza

complessiva Wd dissipata nei due fili?

(A) 10 W (B) 20 W (C) 30 W (D) 40 W (E) 50 W

SOLUZIONE. Poiché il dispositivo eroga W = 1 kW deve essere:

La potenza complessiva dissipata nei due fili vale

4.23. Una resistenza elettrica alimentata a V = 12 V è immersa in un

thermos con acqua e ghiaccio a 0°C; se è percorsa da un corrente

I = 15 A, in quanto tempo all’incirca farà sciogliere una massa m = 100 g di ghiaccio? (calore di

fusione del ghiaccio cf = 335 J/g)

(A) 140 s (B) 22 s (C) 186 s (D) 93 s (E) _______

SOLUZIONE. Il calore necessario a sciogliere 100 g di ghiaccio è pari a

e viene fornito dall’energia termica Eth dissipata dalla resistenza pari a

+

VG

I=4 A

R1=15

R2=45

V

W

R, I R, I


10

4.24. Uno scaldabagno elettrico assorbe una corrente I = 15 A quando è attaccato alla presa ENEL

domestica (VRMS = 220 V). In quanto tempo circa i 60 litri di acqua contenuta nel suo serbatoio

saranno riscaldati da 10°C a 60°C? (calore specifico dell’acqua: cs = 4.184 kJ/(kg°C))

(A) 3800 s (B) 5100 s (C) 7600 s (D) 2550 s (E)_______

SOLUZIONE. Il calore necessario per il riscaldamento della massa d’acqua m = 60 kg è pari a

e viene fornito dall’energia termica dissipata per effetto Joule dallo scaldabagno, pari a

Uguagliando le due espressioni precedenti si ottiene

4.25. Una batteria al piombo immagazzina complessivamente un’energia pari a E = 1200 kJ. Se

fornisce una tensione di V = 12 V, in quanto tempo verrebbe scaricata completamente da una

corrente I = 5 A?

(A) 1.8(106) s (B) 1500 s (C) 3h 42min (D)5h 33min (E) 7h 21min

SOLUZIONE. L’energia E della batteria che impiega una potenza W si esaurisce nel tempo t pari a

4.26. Il motorino di avviamento di un’auto richiede una potenza W = 700 W; in quanto tempo

scaricherà la batteria di 35 A h (fem = 12 V, resistenza interna trascurabile)?

(A) 36 min (B) 30 min (C) 22 min (D) 15 min (E) ________

SOLUZIONE. Il motorino di avviamento assorbe una corrente

La carica Q = 35 A h si può esprimere come Q = 3560 A min e il tempo richiesto è pari a

4.27. Un treno di massa complessiva m = 250 t sale a 60 km/h lungo un binario con pendenza del

3%. Se le forze di attrito che si oppongono al moto sono complessivamente pari a 40 kN e la linea

di alimentazione (in continua) è a V = 2000 V, la corrente minima che la motrice assorbirà sarà

pari a (arrotondare alla decina di ampere)

(A) 950 A (B) 720 A (C) 900 A (D) 1210 A (E) 1170 A

SOLUZIONE. Il treno sale a velocità costante contro una forza

complessiva parallela alla direzione del moto pari a

( )

dove Fa sono le forze di attrito e sin( ) la pendenza del binario. La

potenza richiesta per mantenere la velocità v è pari a

e deve essere fornita dalla linea di alimentazione:

Fa

mg


11

( ( ) ) ( ( ) )

Sostituendo i valori numerici si ottiene

( )

4.28. Un voltametro a nitrato d’argento (AgNO3) è collegato in serie a una pila, a un galvanometro e

a una resistenza variabile che mantenga costante l’intensità di corrente I. Se in un intervallo di

tempo t = 1 s al catodo si sono depositati m = 0.001118 g di argento (massa molare

MAg+ = 107.8683 g), l’intensità di corrente circolante è

(A) 0.88 A (B) 1 A (C) 2 A (D) 0.5 A (E) ____

SOLUZIONE. Il nitrato di argento si dissocia in soluzione in ioni Ag+ e in ioni NO

3. Ogni ione

Ag+ si deposita all’anodo prendendo un elettrone dal circuito:

Il numero di moli di Ag

+ depositate è pari a

che corrispondono a una carica Q pari a

(NA = 6.022∙1023

è il numero di Avogadro, e = 1.6∙1019 C è il valore della carica elementare,

F = NA∙e 96500 C è il valore di una mole di cariche elementari ed è detto Faraday).

La carica Q è pari in valore assoluto a quella fornita dal circuito; poiché l’intervallo di tempo

considerato è t = 1 s e la corrente è mantenuta costante dalla resistenza variabile, si ha

4.30. Un generatore con V = 22 V è applicato al tempo t = 0 alla rete

RC della figura dove il condensatore è inizialmente scarico e R2 = 3R1.

All’istante iniziale il generatore eroga W(0) = 363 W; dopo un secondo

(1/2) eroga W(1) = 269.5 W e dopo 100 s eroga la potenza asintotica

W() = 176 W. La resistenza R1 vale

(A) 6/11 (B) 3/4 (C) 1.42

(D) 16/9 (E) 3

SOLUZIONE. Al tempo t = 0 il condensatore è scarico; ai capi di C e di R3 non c’è alcuna

differenza di potenziale, quindi la resistenza equivalente del circuito è semplicemente

‖

Per la corrente I0 erogata dal generatore al tempo t = 0 devono valere le due espressioni

{

( )

e uguagliandole si ottiene

V R3

R2 C

R1

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