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Questo lavoro può essere da supporto alla lezione e può essere considerato come un valido aiuto per lo studente soprattutto nell’apprendimento graduale del concetto ed è per questo motivo che ci si è preoccupati della semplicità della trattazione pur nel rispetto della correttezza logica e terminologica. L’alunno può utilizzarla per rivedere autonomamente le parti fondamentali dell’unità didattica. Sono state inoltre introdotte alcune diapositive di approfondimento sugli insiemi infiniti e i paradossi che ne derivano. Al termine sono stati proposti alcuni esercizi grazie ai quali l’alunno può autoverificare il proprio grado di preparazione.
Presentazione
CONCETTO D’INSIEME
• Nel linguaggio corrente ci sono numerose parole dal significato collettivo, per esempio, i termini comunità, folla, squadra, gregge, stormo, collezione indicano raggruppamenti di persone, di animali o di cose. Il termine corrispondente, usato in matematica è quello di insieme; gli oggetti che ne fanno parte si chiamano elementi
INSIEMI IN SENSO MATEMATICO
I QUADRATI CHE HANNO IL
PERIMETRO DI 100CM
Gli studenti della tua classe che Hanno 16 anni
I capoluoghi di Provincia della
Calabria
In matematica si considerano insiemi solo quei raggruppamenti di oggetti per cui è possibile stabilire, secondo un criterio oggettivo, se un oggetto appartiene o no a quel raggruppamento
Non sono insiemi In senso
matematico
I quadrati che hannoPerimetro
molto piccolo
Gli studenti della tua classe che
sono simpatici
I capoluoghi di Provincia più
importanti d’Italia
RAPPRESENTAZIONE
Per rappresentare un qualsiasi insieme possiamo utilizzare tre diversi metodi. Si voglia ad esempio rappresentare l’insieme che chiameremo
“A” di tutti gli amici di Anna che sono: Rita, Maria, Giuseppe, Marco,
Lina, Romeo.
Con i diagrammi di Eulero Venn:
1 A
Rita
Marco
Maria
RomeoLina
2Attraverso la
rappresentazione tabulare (estensiva):
3 Enunciando la proprietà caratteristica (intensiva):
A = Maria; Rita; Marco; Giuseppe; Romeo; Lina
A = xx è amico di Anna
Giuseppe
SOTTINSIEMI
• Dati due insiemi A e B si dice che B è un sottoinsieme di A se ogni elemento di B appartiene ad A
• A= a,e,i,o,u
• B = i,o,u
e
ioa
u
AB
SOTTOINSIEMI PROPRI E IMPROPRI
• Sono sottoinsiemi impropri di UL’insieme vuoto L’intero insieme U• Si dice che U è un sottoinsiemeProprio di U se e solo seS é un sottoinsieme di Udiverso dall’insieme vuotoe dall’insieme UL’insieme vuoto è un qualsiasi insieme privo di elementi
U
consonanti
a e i
ouS
APPARTENENZA “”
A
U
a
b
B
c
e
df
a A, a U, a B,
U = a; b; c; d; e; f
A = a; b; d; e; f
B = b; d
b B, b A, b U
c U, c B, c A
SOTTOINSIEMI, INCLUSIONE “, ”B è un SOTTOINSIEME
IMPROPRIO di A
A è un SOTTOINSIEME DI U
Ogni insieme è un SOTTOINSIEME
(IMPROPRIO) di sé stesso
A
U
a
b B
c
d
B A
A UA A, B B,…..
L’insieme vuoto è un SOTTOINSIEME
(IMPROPRIO) di ogni insieme
C, B, …..
C
C è un SOTTOINSIEME DI B
C B
SOTTOINSIEMI, INCLUSIONE
A
U
a
b B
c
e
df
U = a; b; c; d; e; f
A = a; b; d; e; f
B = b; d
a; b; d A
d B
b; d B
APPARTENENZA e INCLUSIONE
INCLUSIONEAPPARTENENZA
b A
b A
L’elemento b appartiene
all’insieme A
L’insieme b è strettamente
incluso nell’insieme A
b A
d
L’insieme d;b è uguale ad A
d;b Aoppured;b = A
INSIEME COMPLEMENTARE. A
A
U
a
b
c e f
g
d
A =a; b; g
E’ l’insieme deglielementi di U
Che non appartengonoad A
A = CuA= xx U e x A
INSIEME COMPLEMENTARE. CBA
A
B
a
b
c e f
g
d
CBA =a; b; g
E’ l’insieme deglielementi di B
Che non appartengonoad A
CBA= xx B e x A
INTERSEZIONE “A B”
A
B
A B
E’ l’insieme degli elementiche appartengono sia ad A
sia a B A B = xx A e x B
CASI PARTICOLARI DELL’INTERSEZIONE
A A = A
A =
Se B A allora A B = B
A A =
A U = A
Se A B = , A e B si dicono DISGIUNTI
UNIONE “A B”
A
B
A B
E’ l’insieme degli elementiche appartengono ad A
“o” a B, cioè ad almeno uno dei due insiemi dati.
A B = xx A o x B
UNIONE di insiemi DISGIUNTI
A B
L’UNIONE degli insiemi A e B è l’insieme degli elementi che appartengono ad A “o” a B, cioè ad almeno uno dei due
insiemi dati.
A B
CASI PARTICOLARI DELL’UNIONE
A A = A
A = A
Se B A allora A B = A
A A = U
A B A B
AB
a d
c b e
f
g
h l
i
A = a; b; c; d; e; f B = d; e; f; g; h; i; l
A B = d; e; f A B = a; b; c; d; e; f; g; h; i; l
DIFFERENZA. “A - B”
A B
A - BSi tolgono ad A tutti gli elementi
che appartengono a B
E’ costituito dagli elementi di A che NON appartengono a B
E’ l’insieme formato da tutti gli elementi di A che non appartengono a B
DIFFERENZA. “A - B”, “B - A”.
AB
a d
c b e
f
g
h l
i
A = a; b; c; d; e; f B = d; e; f; g; h; i; l
A - B = a; b; c
B - A = g; h; i; l
DIFFERENZA. “A - B”, “B - A”.
A Ba d c b e
f
g h
l i
A - B = a; b; c
B - A = g; h; i; lA B
a d c b e
f
g h
l i
A
Ba d c b e
f
g h
l i
CASI PARTICOLARI DELLA DIFFERENZA TRA INSIEMI
A - A =
A - = A
Se A B = allora A - B = A e B - A = B
Se B A allora B - A =
INSIEME DELLE PARTI “P(A)”
A a
c b
A = a; b; c;
a; b; c
Dato un insieme A, l’insieme di tutti i suoi SOTTOINSIEMI
propri e impropri, si definisce insieme delle parti di A e si indica
con P(A)
I possibili SOTTOINSIEMI di A sono:
a b c a; b a; c b; c
P(A) = ; a; b; c; a; b; a; c; b; c; a; b; c
Gli elementi di P(A) sono INSIEMI
Se A contiene n elementi,
P(A) ne contiene 2n
L’insieme delle parti di A è:
PARTIZIONE DI UN INSIEME
A Si consideri un numero “n” di sottoinsiemi di A.
Si dice che questi sottoinsiemi costituiscono una PARTIZIONE di A se:
Ai A e Ai , i
A1A2
A3A4A5
Ogni sottoinsieme è proprio
Ai Ak = con i kI sottoinsiemi sono a due a due disgiunti
A1 A2 A3 A4 A5 = AL’unione di tutti i
sottoinsiemi dà l’insieme A
1
2
3
PRODOTTO CARTESIANO
Si definisce prodotto cartesiano di due insiemi A e B, e si indica A x B, l’insieme formato da tutte le coppie ordinate (x;y) dove il primo elemento appartiene ad A e il secondo a B
A x B = (x;y)x A e y B
Si legge A cartesiano B
Dati gli insiemi: A = a; b; c; e B = 1;2
Aa
b
c
B
1
2
A x B = (a ;1), (a ;2), (b ;1),
(b ;2), (c ;1), (c ;2)
RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DEL PRODOTTO CARTESIANO
L’insieme A x B = (a; 1); (a; 2); (b; 1); (b; 2); (c; 1); (c; 2)può essere rappresentato graficamente nei seguenti modi:
Aa
b
c
B
1
2
Rappresentazione SAGITTALE
1 (a;1) (b;1) (c;1)
2 (a;2) (b;2) (c;2)
B/ A a b c
Rappresentazione mediante tabella a DOPPIA ENTRATA
a b c
1
2
Rappresentazione CARTESIANA
OSSERVAZIONI SUL PRODOTTO CARTESIANO
La coppia (x;y) è diversa dalla coppia (y;x)
Gli elementi dell’insieme cartesiano sono coppie
A x A = A2
A x B B x A
Se A e B hanno rispettivamente “n” e “m” elementi, l’insieme A x B possiede “nxm” elementi.
Rispondi: L’insieme dei numeri pari P è un sottoinsieme proprio dell’insieme dei numeri naturali N?
N = 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12;..
P = 0; 2; 4; 6; 8; 10….Si! Infatti per costruire P scelgo solo alcuni elementi di N.
Quale insieme ha più elementi? N o P?
Se P ha meno elementi, come si è portati a pensare essendo P un sottoinsieme proprio di N, contando gli elementi di P ad un certo punto ci si dovrà fermare, invece….. Strano no!!!!! Rappresentiamo tutto cio’ graficamente (diapositiva seguente)
N = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12;..
P = 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18….
Proviamo a contare quanti elementi (numeri) ha P., utilizziamo l’insieme N e delle frecce. Per ora trascurando lo zero.
Ci chiediamo a quale numero ci fermiamo? Quanti sono gli elementi di P? e proviamo a rispondere chi ha più elementi N o P?
Abbiamo ottenuto un risultato molto strano! Dato un insieme con un numero infinito di elementi è possibile che un suo SOTTOINSIEME PROPRIO abbia lo stesso numero di elementi!!!
PARADOSSO DEL GRAND HOTEL DI HILBERT
• Tale paradosso inventato dal celebre matematico David Hilbert mostra alcune caratteristiche del concetto di infinito, e le differenze fra operazioni con insiemi infiniti e finiti.
• Hilbert immagina un hotel con infinite stanze, tutte occupate, ed afferma che qualsiasi sia il numero di altri ospiti che sopraggiungeranno, sarà sempre possibile ospitarli tutti, anche se il loro numero è infinito.
• Nel caso semplice. Arriva un singolo nuovo ospite, il furbo albergatore sposterà tutti i clienti nella camera successiva, in questo modo, benchè l’albergo fosse pieno è comunque,essendo infinito, possibile sistemare il nuovo ospite.
• Un caso meno intuitivo, si ha quando arrivano infiniti nuovi ospiti. Sarebbe possibile procedere nel modo visto in precedenza, ma solo scomodando infinite volte gli ospiti(già spazientiti dal precedente spostamento): sostiene Hilbert che la soluzione stà semplicemente nello spostare ogni ospite nella stanza con il numero doppio rispetto a quello attuale, lasciando ai nuovi ospiti tutte le camere con i numeri dispari, che sono essi stessi infiniti,risolvendo dunque il problema. Gli ospiti sono dunque tutti sistemati, benchè l’albergo fosse pieno
L’HOTEL DI HILBERT
1 2 3 4 5 6 7 ...
1 2 3 4 5 6 7 ...
1 2 3 4 5 6 7 ...
ESERCIZIO N. 1…..
AB
a d
c b e
f
g
h l
i
Trova: A B C
A B C = g; h; i; l
C
m
n
A B C = d; e; f
A B C = d
A B C = e; f
Clicca sulla risposta corretta
ESERCIZIO N. 2…..
AB
a d
c b e
f
g
h l
i
Trova: C - (A B)
C - (A B) = m; n
C
m
n
C - (A B) = m; n; d
Clicca sulla risposta corretta
C - (A B) = e; f
C - (A B) = g; h; i; lEsercizio
SuccessivoSoluzione
ESERCIZIO N. 3…..
AB
Quale espressione rappresenta l’area
evidenziata?
C - (A B)
C
(C B) - A
Clicca sulla risposta corretta
C B
(A B) - CEsercizio
Successivo
ESERCIZIO N. 4…..
AB
Quale espressione rappresenta l’area
evidenziata?
C - (A B)
C
(C B) - A
Clicca sulla risposta corretta
C B
(A B) - CEsercizio
Successivo
ESERCIZIO N. 5
AB
Quale espressione rappresenta l’area
evidenziata?
(C - (A B)) ((A B) - C)
C
(C B) - A
Clicca sulla risposta corretta
C B
(A B) - CEsercizio
Successivo
SOLUZIONE ESERCIZIO N. 2…..
AB
a d
c b e
f
g
h l
i
Trova: C - (A B) C
m
n
Torna all’esercizio
Un clic del mouse per avanzare passo-
passo
Si tolgono a C gli elementi di A B
Soluzione = m; n
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