1

Qualche appunto sulle trasformazioni affini.

Due definizioni di affinità.

Def.1 – si dice affinità una corrispondenza biunivoca tra punti del piano !! ":A che ha

come invarianti l’allineamento dei punti e il parallelismo.

Osservazioni –

* Ad una affinità si chiede di trasformare rette in

rette e rette parallele in rette parallele.

* Conserverà l’appartenenza di un punto ad una

retta e dunque anche il punto d’intersezione tra

rette.

* Conserverà il punto medio di un segmento.

Esempio – di trasformazioni affini sono le ombre proiettate la raggi di luce paralleli, come

ad esempio quelle del Sole, o la proiezione parallela di un piano su di un altro. Vedi figura 1.

Controesempi:

1. le ombre proiettate da una lampada (cioè

da una sorgente posta a distanza finita) che

mantengono l’allineamento, ma non il

parallelismo (vedi figura 2.)

2. le immagini formate in uno specchio

concavo che non mantengono neppure

l’allineamento.

Figura 1.

Figura 2.

2

Def.2 – si dice affinità tra il piano p e il piano p’ la corrispondenza biunivoca ': !! "A

che ad ogni punto P del piano p di coordinate (x,y) fa corrispondere il punto P’ del piano

p’ anch’esso di coordinate (x,y).

Interpretazione geometrica – Si considera il

piano p dotato di un riferimento ),,( 21 eeO e p’

di un sistema )',',( 21 eeO ai quali sono riferite le

coordinate di P e P’ rispettivamente. Vedi figura

3.

Esercizio – rappresentare nei due piani i punti

corrispondenti A e A’ di coordinate (1, 2) , i

punti B e B’ di coordinate (-1, 3) e C’ e C’ (3, 3).

Quale punto corrisponde a O(0,0) ? e a E1 (1,0) ?

e a E2(0, 1) ?

Tracciare le rette passanti perA,B; disegnare il triangolo ABC e il corrispondente A’B’C’.

Cosa si osserva?

Figura 3. ….. e confronto tra le due definizioni. La prima definizione può essere così sintetizzata:

1e

2e

O

O’ '1e

'2e

Si trasforma la figura sul piano ),,( 21 eeO

3

La seconda definizione può essere illustrata dal seguente schema:

Equazioni delle affinità.

Rivediamo le equazioni delle trasformazioni che conosciamo, evidenziando la forma

matriciale.

Isometrie

* Identità !"#

=

=

yy

xx

'

' !

"

#$%

&!"

#$%

&=!

"

#$%

&

y

x

y

x

10

01

'

'

* Simmetria di asse x : !"#

$=

=

yy

xx

'

'. !

"

#$%

&!"

#$%

&

'=!

"

#$%

&

y

x

y

x

10

01

'

'

* Simmetria di asse y : !"#

=

$=

yy

xx

'

'. !

"

#$%

&!"

#$%

&'=!

"

#$%

&

y

x

y

x

10

01

'

'

P∈π

(O,e1, e2)

(x, y)

(O’, e’1, e’2)

P’∈π’

P∈π

(O, e1 , e2)

(x, y)

!"#

++=

++=

22221

11211

'

'

cyaxay

cyaxax (x’, y’)

P’∈π

Si trasforma il piano p nel piano p’ e ne consegue la trasformazione della figura

4

* Simmetria di asse y=x : !"#

=

=

xy

yx

'

'. !

"

#$%

&!"

#$%

&=!

"

#$%

&

y

x

y

x

01

10

'

'

* Simmetria rispetto all’origine : !"#

$=

$=

yy

xx

'

'. !

"

#$%

&!"

#$%

&

'

'=!

"

#$%

&

y

x

y

x

10

01

'

'

Omotetia !"#

=

=

kyy

kxx

'

' !

"

#$%

&!"

#$%

&=!

"

#$%

&

y

x

k

k

y

x

0

0

'

'

Dilatazioni !"#

=

=

hyy

kxx

'

'

!"

#$%

&!"

#$%

&=!

"

#$%

&

y

x

h

k

y

x

0

0

'

'

Sono tutte della forma :

!"

#$%

&!"

#$%

&=!

"

#$%

&

y

x

aa

aa

y

x

2221

1211

'

'.

La matrice A= !"

#$%

&

2221

1211

aa

aa è quindi una funzione A: � → �

che al punto P !"

#$%

&

y

x fa corrispondere il punto P’ !

"

#$%

&

'

'

y

x:

!"

#$%

&

2221

1211

aa

aa : !

"

#$%

&

y

x→ !

"

#$%

&

'

'

y

x.

Ci si può chiedere:

1. se una qualsiasi matrice di questo tipo rappresenti sempre un’affinità.

2. se tutte le affinità sono rappresentabili mediante una matrice

1. La matrice, per rappresentare un’affinità, deve fornire una corrispondenza biunivoca:

questo significa che il sistema corrispondente deve essere risolubile anche in x, y.

5

Il sistema sarà determinato se il determinante della matrice A è diverso da zero.

In questo caso posso scrivere x e y in funzione di x’ e y’ :!"#

++=

++=

FEyDxy

CByAxx

''

''.

Una trasformazione lineare applicata ad una equazione di primo grado non può che dare

un’altra equazione di primo grado, dunque la trasformazione A trasforma rette in rette.

Date due rette parallele 0: =++ pbyaxr

0: =++ qbyaxs

Applichiamo ad esse la trasformazione A.

Risulterà:

0)''()''(:' =++++++ pFEyDxbCByAxar e quindi

( ) ( ) 0'':' =++++++ pbFaCybEaBxbDaAr

0)''()''(:' =++++++ qFEyDxbCByAxas e quindi

( ) ( ) 0'':' =++++++ qbFaCybEaBxbDaAr .

I coefficienti angolari delle trasformate sono ancora eguali, e quindi la trasformazione

trasforma rette parallele in rette parallele.

3. Vale il teorema (che diamo senza dimostrazione): tutte le affinità sono rappresentabili

mediante una matrice

6

Composizione di trasformazioni Il linguaggio delle matrici per descrivere le affinità si rivela particolarmente utile quando si devono comporre due o più trasformazioni (ci occupiamo solo di quelle che lasciano fisso l’origine).

Siano !"

#$%

&=

22

11

ba

baA e !

"

#$%

&=

22

11

dc

dcB due matrici che rappresentano le due

trasformazioni. I sistemi lineari corrispondenti sono:

!"#

+=

+=

!"#

+=

+=

ydxcy

ydxcx

ybxay

ybxax

22

11

22

11

''

''

'

'

Componendo le due trasformazioni si ottiene :

!"#

+++=

+++=

)()(''

)()(''

222112

221111

ybxadybxacy

ybxadybxacx

!"#

+++=

+++=

)()(''

)()(''

22122212

21112111

bdbcyadacxy

bdbcyadacxx

che equivale alla scrittura matriciale:

!"

#$%

&•!

"

#$%

&

++

++=!

"

#$%

&

y

x

bdbcadac

bdbcadac

y

x

22122212

21112111

''

'' ; !

"

#$%

&=!

"

#$%

&

y

xC

y

x

''

'', cioè !

"

#$%

&!"

#$%

&!"

#$%

&''

''

''

'

'

y

x

y

x

y

x BA

Quindi la composizione del le due trasformazioni σ e ω , la prima di matrice A e la seconda di matrice B, è una trasformazione ω .σ di matrice C ottenuta dal prodotto del le matrici .AeB Quindi

=!"

#$%

&•!

"

#$%

&=•

22

11

22

11

ba

ba

dc

dcCAB !

"

#$%

&

++

++

22122212

21112111

bdbcadac

bdbcadac

Da qui la regola del prodotto di matrici “righe per colonne”. N.B.: il prodotto di matrici deve essere eseguito nell’ordine inverso rispetto alle trasformazioni applicate. E’ facile provare che la composizione di due trasformazioni non è commutativa (come non lo è in generale la composizione di funzioni) e che anche il prodotto di matrici non è commutativo.

7

Esercizio: Scrivere la matrice che esprime la trasformazione ω : simmetria rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante e σ : omotetia di rapporto 3. Verificare che il prodotto di trasformazioni non è commutativo.

Una proprietà fondamentale del la matrice di trasformazione.

La notazione matriciale risulta particolarmente comoda in virtù della seguente proprietà:

il versore 1e si trasforma in '

0

1

1

21

11

2221

1211e

a

a

aa

aa=!

"

#$%

&=!

"

#$%

&'!"

#$%

&

e il versore 2e si trasforma in '

1

0

2

22

12

2221

1211e

a

a

aa

aa=!

"

#$%

&=!

"

#$%

&'!"

#$%

&.

Vale a dire che i vettori colonna della matrice dell’affinità sono le componenti dei versori

della nuova base.

Quindi i vettori colonna forniscono i vettori (O’, e’1, e’2) della nuova “quadrettatura” del piano trasformato.

Esercizio – Data l’affinità di matrice A : !!

"

#

$$

%

&

'

'

2

31

12

1. quali sono i trasformati dei vettori !"

#$%

&=0

1

1e e !

"

#$%

&=1

0

2e ?

2. disegnare la nuova quadrettatura del piano ottenuto

3. rappresentare le rette che passano per A (2,1) e B (-1, 2) e il triangolo di vertici AOB e i

loro trasformati.

8

Affinità, matrici e determinanti

Dati due vettori 3Rbea !

rr :

kjbibb

kjaiaarrrr

rrrr

0

0

21

21

++=

++=

1. Un’ interpretazione geometrica del determinante:

• l’area del paralle logrammo definito dai due vettori è !sinab , quindi si può esprimere

come il modulo del prodotto vettoriale !sin|| abba ="rr

:

• Calcoliamo il prodotto vettoriale:

kbabakbakba

jjbaijbajibaiibakjbibkjaiabarrr

rrrrrrrrrrrrrrrr

)(

)()()()()0()0(

12211221

221221112121

!=!

="+"+"+"=++"++="

Quindi |||| 1221 bababa !="rr

: questa espressione rappresenta l’area del parallelogrammo.

N.B.: Forma cartesiana del prodotto vettoriale. Dati i vettori ),( 21 aaa e ),( 21 bbb il

prodotto vettoriale ( )1221

21

21

1

1

2

2

21

21

0

0

0

0

0

0 babakbb

aak

b

aj

b

ai

bb

aa

kji

ba !=+!==" .

Def.: Data la matrice !"

#$%

&=

2221

1211

aa

aaA si definisce determinante della matrice l’espressione

21122211aaaaADet != , che si indica con

2221

1211

aa

aaDetA = .

Possiamo quindi concludere che

b

a α

9

Il determinante della matrice della trasformazione è uguale all’area del

parallelogrammo, con segno, costituito dai vettori trasformati dei vettori

fondamentali e1, e2 .

Da qui :

Area del parallelogrammo = 0 ⇔ 01221=!= babaADet

In questo caso non si è in presenza di un’Affinità.

2. Un’altra interpretazione geometrica del determinante:

siano r e s due rette, passanti per O e che hanno per vettori direzione rispettivamente

2Rbea !

rr. Le equazioni sono:

xb

bys

xa

ayr

1

2

1

2

:

:

=

=

Quindi: 00|| 1221

1

2

1

2 =!="!=! ADetbabab

b

a

asr .

La condizione 0=ADet equivale alla condizione di parallelismo dei due versori base '

1e e

'2e e quindi non si è in presenza di un’affinità.

Conclusione: Le trasformazioni affini nel piano ( ameno delle traslazioni) sono rappresentate da tutte e sole le matrici A di ordine 2 con Det A ! 0.

N.B.: Osserviamo che ci sono affinità che lasciano invariato l’orientamento degli angoli, per

esempio le rotazioni, e affinità che lo invertono, ad esempio le simmetrie assiali. Un’affinità

che conserva l’orientamento si dice affinità diretta e il suo determinate risulta positivo,

un’affinità che inverte l’orientamento si dice af finità inversa e il suo determinante risulta

negativo. In sintesi:

Affinità diretta Det A > 0

Affinità inversa Det A < 0.

N.B.: le figure che si corrispondono in una affinità hanno le aree in rapporto costante

uguale a DetA .