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IL QUADRILATERO ARTICOLATO

1. Descrizione del meccanismo Il quadrilatero articolato è un meccanismo a catena cinematica chiusa costituito da quattro coppie rotoidali. Con riferimento alla figura 1.1, si distinguono quattro membri rigidi: quello fisso (AD) detto ponte o telaio; i due membri adiacenti al telaio (AB e DC) detti manovella o bilanciere a seconda che possano compiere o meno una rotazione completa di 360°; il membro BC, opposto al ponte detto biella. I due membri adiacenti al telaio ruotano intorno ad un asse fisso, rispettivamente di traccia A e D; la biella ruota intorno al centro di istantanea rotazione E individuato dal prolungamento dei segmenti AB e DC.

Fig. 1.1

Se i due membri adiacenti al telaio fungono rispettivamente da movente e da cedente, il quadrilatero articolato può essere utilizzato:

1. per convertire il moto rotatorio continuo del movente (manovella) nel moto rotatorio alternato del cedente (bilanciere) e viceversa; in tal caso il quadrilatero è del tipo “a manovella e bilanciere”. I punti C1 e C2 (fig. 1.2) raggiunti dal punto C, in corrispondenza degli estremi della corsa del bilanciere, sono detti punti morti e vengono raggiunti quando la biella si allinea con la manovella. L'allineamento dei punti A, B, C viene detto esterno (Fig. 1.2 b) quando la biella è sul prolungamento della manovella; viene detto interno (Fig. 1.2 c) quando le due aste si sovrappongono. I punti C1 e C2 si trovano sulle circonferenze di centro A e di raggio, rispettivamente, a+b e b-a;

Fig. 1.2 a Fig. 1.2 b Fig. 1.2 c

Il quadrilatero a manovella e bilanciere è ad esempio adottato nei frantoi, nei telai tessili, per l’azionamento dei tergicristalli delle autovetture, nei ventilatori ad orientamento variabile, etc.; in tali applicazioni la manovella ha funzione di movente e viene in genere azionata da un motore elettrico. In altri casi la manovella ha funzione di cedente come, ad esempio, nel caso nelle antiche macchine da cucire (fig. 1.3), nelle quali il moto rotatorio alternato del

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pedale (bilanciere AB) veniva trasformato in un moto rotatorio continuo della manovella CD.

Fig. 1.3

Per questo tipo di quadrilatero, se la velocità della manovella è costante, il bilanciere ruota con velocità periodica a media nulla se valutata rispetto ad un numero intero di giri della manovella (Fig. 1.4).

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 3.14 6.28 9.42 12.56

[s]

[rad

/s]

)(tγγ && = per srad /1=α& - Lunghezze elementi: a=1.000m,; b=2.062m; c=1.500m; d=2.000m

a+b<c+d (3.062<3.500); elemento più corto (a) adiacente al telaio quadrilatero “manovella-bilanciere” Fig. 1.4

2. per convertire il moto rotatorio continuo del movente (manovella) nel moto rotatorio del

cedente avente velocità media pari a quella del movente ma con diverso valore della velocità istantanea (quadrilatero a doppia manovella). Se quindi una delle due manovelle ruota con velocità angolare costante, l'altra ruota con una velocità che varia periodicamente (Fig. 1.5).

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 3.14 6.28 9.42 12.56

[s]

[rad

/s]

)(tγγ && = per srad /1=α& - Lunghezze elementi: a=1.000m; b=1.803m; c=1.500m; d=0.500m

d+b<c+d (2.303<2.500); elemento più corto (d) coincidente con il telaio quadrilatero “manovella-manovella”

Fig. 1.5

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Se i membri opposti hanno la stessa lunghezza il meccanismo prende il nome di parallelogramma articolato e la velocità di rotazione del cedente è uguale a quella del movente. In tal caso la biella si muove di moto traslatorio su traiettoria circolare, mantenendosi quindi sempre parallela a se stessa. In figura 1.6a è riportato lo schema di una bilancia di precisione; il piatto è solidale alla biella di un parallelogramma in modo che non possa variare la sua orientazione. Due parallelogrammi articolati in serie consentono alla biella più esterna due gradi di libertà ed il parallelismo del movimento; un esempio comune di doppio parallelogramma è quello della lampada da tavolo riportata in figura 1.6b;

a) b)

Fig. 1.6

3. per trasformare il moto rotatorio alternato del movente (limitato ad angoli minori di 360°) in un moto rotatorio alternato del cedente di diversa ampiezza angolare (quadrilatero a doppio bilanciere). In questo caso il movente non può essere mosso un motore il cui albero ruoti con continuità e possono essere azionati con attuatori lineari (elettrici o oleodinamici).

Il quadrilatero viene utilizzato anche per la generazione di particolari traiettorie; le traiettorie descritte dai punti solidali alla biella sono dette “curve di biella” e sono di notevole interesse in molte applicazioni. In figura 1.7a è riportato lo schema di un tipo di gru portuale nella quale il punto di sospensione del carico, solidale alla biella, si mantiene alla stessa quota al variare dell’inclinazione degli elementi solidali al telaio (quando AB ruota in senso antiorario, l’elemento CD (tirante) impone alla biella BC una rotazione in senso orario in modo che la sua estremità resti all’incirca alla stessa quota). In figura 1.7b è riportato lo schema di un carrello anteriore di atterraggio di un aereo, in configurazione esteso e retratto (la linea tratteggiata indica l’asse dell’attuatore lineare). Nella configurazione di carrello esteso gli elementi a e b si allineano in modo da formare un’unica asta (side strut) bloccando la rotazione della gamba di forza.

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Fig. 1.7a Fig. 1.7b

2. Classificazione dei quadrilateri Si definiscono quadrilateri di Grashoff quei quadrilateri nei quali la somma dell’elemento più lungo (l) e di quello più corto (s) è minore o uguale della somma degli altri due elementi (p+q). s+l ≤ p+q. (2.1) In caso contrario i quadrilateri si definiscono non di Grashoff. I quadrilateri che non verificano la condizione di Grashoff (quadrilateri non di Grashoff) sono sempre del tipo bilanciere-bilanciere.

Fig. 2.1a Fig. 2.1b Fig. 2.1c Fig. 2.1d Manovella-Bilanciere Manovella-Manovella Bilanciere-Bilanciere Manovella-Manovella

In particolare si ha una manovella ed un bilanciere se l’asta più corta è contigua al telaio, una doppia manovella se l’asta fissa è la più corta, un doppio bilanciere se l’asta più corta è quella opposta al telaio (Fig. 2.1). Se la somma delle lunghezze dell'elemento più corto e di quello più lungo sia uguale alla somma delle lunghezze degli altri due (ciò significa che i quattro elementi hanno lunghezze a due a due uguali). I quadrilateri che soddisfano a questa condizione costituiscono una classe limite; essi vengono suddivisi in due categorie: • parallelogrammi articolati - Sono quei particolari quadrilateri per i quali elementi aventi

lunghezza uguale non sono contigui e risultano così paralleli tra di loro (v. fig. 2.1d e 2.2). In questo caso, i due elementi i due elementi adiacenti al ponte ruotano con la stessa velocità istantanea;

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Fig. 2.2 Fig. 2.3

• quadrilateri isosceli - In questi quadrilateri gli elementi di lunghezza uguale sono, a due a due contigui (v. fig. 2.3); questo tipo di quadrilatero non presenta alcuna caratteristica peculiare dal punto di vista cinematico per cui la sua diffusione è modesta.

3 – Analisi di posizione Siano assegnate le lunghezze dei membri del quadrilatero di figura 3.1. Si determina la configurazione del meccanismo in funzione dell’angolo α che viene scelta come coordinata indipendente.

Fig. 3.1

La funzione γ=γ(α) che esprime la posizione angolare del bilanciere, può ricavarsi dalla equazione di chiusura del poligono dei vettori dell’anello cinematico, che esprime la congruenza geometrica del sistema nella generica posizione fissata da α:

)()()()( ADCDBCAB −=−+−+−

Proiettando sugli assi tale equazione vettoriale si ottengono le seguenti equazioni scalari:

⎩⎨⎧

=−+=++

0)- sen( c sen b sen ad )-cos( c cos b cos a

γπβαγπβα

(3.1)

Per ottenere una relazione nella quale compaiono solo gli angoli α e γ, le due equazioni vengono quadrate e sommate dopo aver portano a primo membro solo i termini contenenti l’angolo β:

⎩⎨⎧

−=+=

sen asen c sen b cos c cos a -d cos b

αγβγαβ

(3.1’)

6

222 )sen a-sen (c )cos ccos a-(d b αγγα ++= )-( cos ac 2- cos ad 2 - cos cd 2 d c a b 2222 γααγ+++= .

Dividendo tutti i termini per 2ac,

)-( cos - cos ad cos

cd -

ac 2d - c -a - b 2222

γαγα += ,

e conglobando le caratteristiche geometriche nei seguenti coefficienti:

ad K1 = ;

cd - K2 = ;

ac 2b - d c a K

2222

3++

= ,

si ottiene la seguente equazione:

γαγαγααγ sinsincoscos)-( cos K cos K cos K 321 +==++ (3.2)

Mettendo in evidenza i termini contenenti l’angolo γ :

0)K cos (K cos )K(cossin)(sin 321 =+−−+ αγαγα , e ponendo:

αsen A = ; K - cos B 1α= ; )K cos (K 32 +−= αC , si perviene all’equazione:

0C cos sin =++ γγ BA (3.3) I termini A, B e C dipendono delle caratteristiche geometriche del quadrilatero e dal valore dell’angolo α. Ricordando che:

22 1 2

/2)]( [tg 1/2)( tg2 sen

xx

+=

+=

γγγ , 2

2

2

2

1 - 1

/2)]( [tg 1/2)]( [tg - 1 cos

xx

+=

+=

γγγ .

(per brevità di scrittura si è posto x/2)( tg =γ ), si ha:

BCBCAAtgx

BCAxBC

−+−±−

==

=+++−

=++

++

222

2

2

2

2

2

0)(2x)(

0 C x1x-1 B

x12xA

γ

Pertanto a ciascun valore di α corrispondono due valori di γ:

; )( ; )( 2211 αγγαγγ == (3.4)

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Le due radici indicano che, per ciascuna posizione angolare α, sono possibili due configurazioni del quadrilatero che corrispondono a due distinte modalità di assemblaggio; in figura 3.2 sono riportate le due possibili posizioni della biella e del cedente rispettivamente in assemblaggio “aperto” (ABCD) e in assemblaggio “incrociato” (ABC’D).

Fig. 3.2

A ciascun valore di γ corrisponde una posizione angolare β della biella ricavabile da una delle (3.1’).

γααγβ

coscossinsincad

acarctg+−

−=

4 – Analisi di velocità Si consideri il quadrilatero di figura 4.1. Dalla equazione di chiusura del poligono dei vettori dell’anello cinematico si ha:

⎩⎨⎧

=−+=++

δγπβαδγπβα

sin) -(sen c sen b sen acos) -cos( c cos b cos a

dd

(4.1)

dalle quali si ottengono le seguenti due funzioni:

⎩⎨⎧

=−−+==−−+=

0sinsen c sen b sen af0cos cos c cos b cos af

2

1

δγβαδγβα

dd

(4.2)

Fig. 4.1

Si intende esprimere le velocità β& e γ& in funzione di α& (velocità del membro movente). Derivando le (4.1) si ha:

8

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−−++

=++−

0cos cos c cos b cos a

0sinsin c sin b sin a-

δδγγββαα

δδγγββαα&&&&

&&&&

d

d (4.3)

Essendo δ=cost, i termini che contengono la sua derivata risultano nulli; portando a secondo membro i termini che contenenti l’angolo α, si ha:

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=−

=+−

ααγγββ

ααγγββ

cos a cos c cos b

sin asin c sin b &&&

&&& (4.4)

La (4.4) può essere riscritta in forma matriciale:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−α

αα

γβ

γβγβ

cos asin a

cos c cos bsin csin b

&&

&

I termini della matrice sono le derivate parziali delle funzioni f1 e f2 rispetto alle coordinate β ed γ:

γγ

ββ

γγ

ββ

cos;cos

sin;sin

22

11

cfbf

cfbf

−=∂∂

=∂∂

=∂∂

−=∂∂

Inoltre, i termini del vettore a secondo membro risultano uguali alle derivate delle funzioni f1 e f2 , rispetto ad α, con il segno cambiato:

αα

αα

cos;sin 21 afaf=

∂∂

−=∂∂

Risulta quindi:

[ ]{ } { }AqJf

f

ff

ff

α

α

ααγ

β

γβ

γβ &&&

&

&

=⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∂∂

−

∂∂

−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

2

1

22

11

(4.5)

Nella (4.5) si è indicato con { } { }Tq γβ &&& ;= il vettore delle velocità incognite e con [J] la matrice Jacobiana. Nota la velocità α& del membro movente, per ricavare le velocità β& e γ& bisogna quindi invertire lo Jacobiano:

{ } [ ] { }AJq α&& 1−= . (4.6)

Lo Jacobiano non è invertibile se il determinante è nullo. Annullando il determinante è possibile definire le configurazioni per le quali non è possibile definire le velocità, che vengono dette configurazioni singolari per le quali non è definibile il vettore delle velocità { }q& qualunque sia valore della velocità α& . Imponendo: 0=J , si ha:

0)sin(0cossincossin =−⇒=− γββγγβ bcbc Il determinante è cioè nullo per:

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πγβπγβγβγβ

+=⇒=−=⇒=−

)20)1

e cioè quando i punti B, C e D sono allineati . Tali configurazioni sono rappresentate in figura 4.2 per un quadrilatero nel quale il movente AB è un bilanciere e le configurazioni singolari si manifestano in corrispondenza dei suoi punti morti.

Fig. 4.2