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Servizio Sismico della Regione ToscanaDipartimento di Ingegneria Civile ed Ambientale dell'Università di Perugia

IMPIEGO DELLE ANALISI "PUSHOVER" PER LE APPLICAZIONI DEL"PERFORMANCE BASED SEISMIC DESIGN"PROPOSTA DI UN APPROCCIO ENERGETICO

Alberto Parducci, Fabrizio Comodini, Matteo LucarelliUniversità degli Studi di Perugia

Sommario

Si esaminano i fondamenti sui quali si basano le applicazioni delle analisi statichenon lineari (analisi "pushover") per confrontare le procedure indicate dalle nuovenorme italiane con quelle delle raccomandazioni ATC-40 e FEMA 273. Si proponequindi un criterio di equivalenza basato unicamente su un confronto di naturaenergetica ("approccio energetico"), da applicare per eseguire queste analisi. Ilcriterio consente di definire una curva prestazionale capace di sintetizzare larisposta d'insieme di un sistema strutturale complesso, riproducendonecorrettamente le dissipazioni energetiche di natura isteretica in funzione di unospostamento virtuale di controllo, senza ricorrere a riferimenti di approssimazionedi tipo elastico, resi altrimenti necessari dall'arbitrarietà lasciata alla scelta delpunto di controllo degli spostamenti. La curva prestazionale definita conl'approccio energetico è valutata pertanto seguendo criteri omogenei con quelli suiquali si basano i procedimenti del "Performance Based Seismic Design".

1. Posizione del problema(1)

Le norme per il progetto delle costruzioni nelle zone sismiche assumono comeriferimento un evento raro, atteso in ogni sito con la probabilità di superamento del10% in 50 anni, corrispondente ad un periodo medio di ritorno di circa 500 anni (1) Il presente rapporto è stato redatto nell'ambito di una consulenza tecnico-scientifica svolta

dal Dipartimento di Ingegneria Civile ed Ambientale dell'Università di Perugia per ilServizio Sismico della Regione Toscana.

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(per l'esattezza, di 475 anni). Nelle zone a rischio l'intensità di questo evento puòraggiungere livelli molto elevati, anche largamente superiori a quelli compatibilicon il normale comportamento dei materiali da costruzione. Di conseguenza,l'obiettivo di contenere i danni entro limiti non pericolosi, evitando di mettere arischio l'incolumità delle persone, richiede che il progetto delle strutture siaorientato verso una valutazione integrale della capacità di risposta anelasticadell'intero sistema resistente che si oppone al sisma.

Quando una costruzione è colpita da un terremoto molto violento, tale daimpegnare gli elementi strutturali oltre i margini di sicurezza che generalmentefanno parte delle previsioni di progetto, l'intero sistema resistente subiscedeformazioni anelastiche che possono raggiungere ampiezze considerevoli. Se siinnescano meccanismi di questo tipo, lo stesso sistema resistente possiede ancoraalcune risorse che possono consentirgli di superare l'attacco limitando i danni esenza essere soggetto a quei crolli rovinosi che si vogliono evitare. Tali risorsecostituiscono il risultato di due fattori (Figura 1):

a) l'aumento del periodo di oscillazione prodotto dalla riduzione della rigidezzad’insieme, conseguente al danneggiamento in corso, grazie al quale leoscillazioni sismiche tendono a portarsi nel campo delle minori accelerazionidi risposta;

b) la capacità di dissipare energia durante la ripetizione alternata delledeformazioni anelastiche, ormai mobilitate.

Il contributo di entrambi i fattori può caratterizzare in modo molto differente la

periodo di oscillazione (T)

S ag

Sa(T) DOMANDA (10% in 50 anni)

NORMA

energiadinedissipazioperiododelaumento

istrutturalnonelementiresistenzadiriserve

entodanneggiam(?)

RESIDUERISORSE

o

oo

?

Figura 1 - Risorse residue per rispondere alla domanda sismica di un evento molto severo.

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risposta dei vari sistemi strutturali quando questi sono impegnati oltre i limitielastici dei materiali. Per apprezzare questo aspetto del problema sismico occorreindividuare appropriati criteri di valutazione e mettere a punto i procedimenti dicalcolo che li interpretano. L'O.3431(2), come la precedente O.3274(3), ha introdottonelle norme nazionali i metodi di analisi che consentono di affrontare il problemanei termini ora illustrati. Seguendo quanto già era indicato dall'Eurocodice 8(EC.8), prevede infatti la possibilità di svolgere il progetto delle costruzioni in zonasismica mediante analisi non lineari. Il procedimento dinamico, basatosull'integrazione diretta delle equazioni generali del moto da eseguire imponendoalla base della costruzione accelerogrammi assegnati ("time hystory"), richiedecalcolazioni laboriose e non è proponibile se non come strumento di ricerca o perl'impiego in situazioni di particolare rilevanza. Del resto, i risultati che così siottengono si presentano in una forma piuttosto articolata che non ne facilita nél'interpretazione, né il confronto con la domanda che le norme definisconomediante uno spettro di progetto.

D'altra parte il problema sismico, stante la sua particolare natura, non può basarsisulla ricerca di valutazioni molto precise delle risposte ultime delle costruzioni neiconfronti dei terremoti di grande violenza; non lo consentono i numerosi fattori diindeterminazione che lo caratterizzano. La stessa definizione dell'input sismico èaffetta da un sostanziale tasso di convenzionalità ed i comportamenti anelasticidelle strutture possono essere analizzati solo mediante schematizzazioni a voltemolto spinte. Non appaiono pertanto necessari calcoli complessi e laboriosi, la cuiaccuratezza formale non costituirebbe comunque una garanzia di validità deirisultati. E' più importante invece, utilizzare approcci sintetici che consentano diottenere informazioni globali, utili per arrivare ad una ragionevole previsione delcomportamento d'insieme delle costruzioni quando queste tendono versocondizioni estreme di risposta. Inoltre, per essere utilizzate ai fini pratici, questeinformazioni devono essere espresse in un formato compatibile con larappresentazione spettrale dell'input di progetto indicato dalle norme.

Le analisi statiche non lineari (analisi "pushover") costituiscono un procedimentopiù diretto e più semplice dell'integrazione delle equazioni del moto; esseconsistono nell'individuare un parametro di controllo sintetico che possa essereritenuto rappresentativo della deformazione d'insieme, elastica ed anelastica,

(2) Ordinanza PCM 8 Marzo 2003: "Primi Provvedimenti in Materia di Criteri Generali per la

Classificazione Sismica del Territorio Nazionale e di Normative Tecniche per le Costruzioniin Zona Sismica".

(3) Ordinanza PCM 8 Maggio 2005: "Ulteriori modifiche all'Ordinanza del Presidente delConsiglio dei Ministri n° 3274 del 20 Marzo 2003 recante «Primi Provvedimenti ...".

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dell'intero sistema resistente, con il quale si valuta una curva di risposta che nesintetizza la risposta globale. Il "Performance Based Seismic Design" (PBSD)utilizza la curva di risposta così ottenuta e, avvalendosi di considerazioni di naturaenergetica, fornisce gli strumenti di calcolo necessari per eseguire, nei termini oradetti, il confronto di tale risposta con una domanda espressa in termini spettrali.

I metodi di valutazione globale consentono di stabilite in maniera articolata ledecisioni attinenti la sicurezza sismica, tenendo presente un quadro generale divalutazione che, per esempio, potrebbe corrispondere all'ipotesi illustrata nellaFigura 2. Lo schema prestazionale ipotizzato indica la scelta di un livello di rischiocoincidente con la diagonale della scacchiera che, nel grafico esemplificativo,dovrebbe corrispondere proprio all'intensità del terremoto dei 475 anni. Obiettivipiù o meno ambiziosi sono rappresentati da una traslazione della diagonaleindicata. Gli stati limite prestazionali indicati in figura si riferiscono alla sicurezzadegli edifici, ma l'esempio può essere facilmente esteso ad altri contesti.

La rappresentazione illustrata dalla Figura 2, sostanzialmente in linea con quanto èprevisto dall'O.3431, trova un'analogia nelle istruzioni FEMA 274(4) dalle quali è

(4) FEMA (Federal Emergency Management Agency): "NEHERP Guidelines for the Seismic

Rehabilitation of Buildings", FEMA 273 e "NEHERP Commentary on the Guidelines for theSeismic Rehabilitation of Building", FEMA 274 - Ottobre 1997.

operatività

occupazioneimmediata

salvaguardiadelle viteumane

prevenzionedel collasso

stati limiteprestazionali

ospedaliprotezione civile

edifici pubbliciscuole

abitazioniuffici

(costruzionisecondarie)

10%475

25%175

50%73

5%975

2%2475

probabilità in 50 anniperiodo di ritorno

impegnoeconomico

Figura 2 - Uno schema generale per la valutazione dei requisiti di sicurezza.

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stata derivata, modificandola e sintetizzandola, ed è articolata in funzione deiseguenti fattori:

• una classificazione degli edifici, stabilita in base alle loro destinazioni d'uso edai ruoli che essi devono svolgere nell'eventualità di un evento catastrofico;

• una definizione degli stati limite prestazionali ("performance"), da assumerecome riferimento, comprendenti condizioni estreme di interesse riguardanti larisposta strutturale;

• la probabilità di superamento dell'intensità sismica relativa ai terremoti attesinel sito.

2. Applicazione del PBSD

Il PBSD utilizza i procedimenti dell'analisi statica non lineare (analisi "pushover")per affrontare il problema nei termini generali ora indicati e costituisce uno degliaspetti più interessanti dei recenti sviluppi dell'Ingegneria Sismica.

Le analisi "pushover" consentono di valutare globalmente, in termini sintetici efino ad una condizione di deformazione limite prestabilita, la risposta "quasistatica" di un sistema strutturale a masse concentrate mi, dotato di n gradi libertà(sistema nGL), strutturalmente ridondante, riconducendola a quella di un modelloequivalente dotato di un solo grado di libertà (modello 1GL).

Le norme, da parte loro, definiscono il terremoto di progetto assegnando lo spettrodi risposta elastico Sa delle pseudo-accelerazioni riferite ad un sistema 1GL. Ai finipratici la domanda deve considerare anche la capacità di dissipare energiaposseduta intrinsecamente dalle strutture. Le norme si esprimono pertantoassegnando un input unificato, riferito convenzionalmente ad uno smorzamentoviscoso equivalente del 5%. Nella realtà però, nelle zone più esposte al rischiosismico, la risposta di una struttura non può raggiungere i livelli richiesti se nondopo il superamento dei limiti elastici dei materiali, oltre i quali si attivino effettidissipativi ben maggiori, essendo questi associati ai comportamenti istereticiderivanti dai progressivi danneggiamenti(5). È necessario pertanto cercare, se esiste,

(5) Le procedure di calcolo utilizzate per le analisi "pushover" si basano sul presupposto che gli

effetti isteretici, non dipendenti dalla velocità delle deformazioni imposte (comportamenti"quasi statici") siano prevalenti rispetto a quelli viscosi, dipendenti dalla velocità dideformazione. Ciò è quanto corrisponde di fatto nella realtà, quando le velocità sono quellerichieste dai moti sismici alle strutture in fase di danneggiamento.

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un punto d'incontro fra la capacità di risposta globale della struttura e una domandaespressa tenendo conto di tali dissipazioni.

L'obiettivo consiste nel cercare una condizione PP ("Performance Point")rappresentativa della prestazione richiesta e compatibile con la domanda. Insostanza, da un lato occorre sintetizzare la risposta del sistema nGL con quella diun modello 1GL equivalente che ne riproduca soprattutto la capacità dissipativa. Siindividua così una curva prestazionale ("capacity curve") da confrontare con unadomanda espressa mediante uno spettro di pseudo-accelerazioni, (accelerazioni daapplicare alla massa del modello per ottenere la forza di reazione corrispondente aivari stati deformativi imposti). Dall'altro lato, occorre adattare la domanda perrenderla coerente con l'effettiva capacità dissipativa associata al comportamentoenergetico del sistema strutturale in esame, da valutare in corrispondenzaall'effettivo stato deformativo raggiunto, nel quale siano state mobilitate ledeformazioni dissipative di natura isteretica. Tali dissipazioni infatti, possonoincrementare notevolmente lo smorzamento viscoso standard del 5%.

Il procedimento può essere illustrato in termini grafici mediante rappresentazionispettrali riprodotte nella forma capacitiva ADS ("Acceleration-DisplacementSpectra"). In un grafico capacitivo, come quello della Figura 3, le pseudo-accelerazioni Sa sono rappresentate in funzione degli spostamenti spettrali Sd, invirtù della relazione Sa = ω2Sd. Le rette uscenti dall'origine degli assi

Figura 3 - Confronto della capacità prestazionale con la domanda modificatatenendo conto della dissipazione di energia.

Sa = spettro di progetto elastico(R = 475 anni, ξ = 5%)

Sa* = spettro modificato, coerente con la capacitàdissipativa della struttura per dmax = du*

Sd, d*

F* m*d*

sistema 1GLequivalente

Sa, Sa*

PP

TB TC

TD

Sa*

Sa

du*

curva prestazionale effettiva λ* = λ*(d*)

PPel (ξ=5%)

del

Tel λ* = F*/m*

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corrispondono pertanto ai periodi di oscillazione della struttura. Nello stessografico si può rappresentare anche la curva prestazionale di un modello 1GL se siriconduce anch'essa alle dimensioni di un'accelerazione; ovvero se la si valutamediante il rapporto λ* = F*/m*. La stessa Figura 3 chiarisce il procedimento. Insostanza, si deve aggiustare lo spettro di progetto Sa indicato dalle norme e definitoper un coefficiente viscoso convenzionale del 5%, con l'effettiva capacitàdissipativa del sistema resistente quando questo abbia superato i limiti elastici.

Se il modello equivalente 1GL potesse comportarsi in modo indefinitamentelineare, dissipando energia proprio nel modo e nella quantità prevista dalle norme,la condizione di uguaglianza della risposta con la domanda sarebbe individuataimmediatamente nel grafico capacitivo. Nel caso della Figura 3 corrisponderebbeall'intersezione PPel della retta che riproduce il suo periodo di oscillazione elasticoTel (percorso punteggiato). L'ascissa del individuerebbe lo spostamento richiesto.

Diversamente dall'ipotesi elastica, quando i materiali sono impegnati condeformazioni anelastiche la curva prestazionale tende a discostarsi in modo ancheconsiderevole dal comportamento lineare ideale. Occorre pertanto individuare uncriterio di coerenza che, per le ragioni esposte, deve essere basato su valutazioni dinatura energetica. Il problema può essere risolto modificando la curva di input Saper trasformarla nella la curva Sa* corrispondente all'effettiva capacità dissipativadella struttura. Si può applicare, per esempio, un procedimento iterativo, pergiungere ad individuare l'ampiezza du* della deformazione effettivamente richiestaal modello 1GL. In tal caso occorre eseguire alcuni tentativi perché dall'ampiezzadello spostamento massimo d delle oscillazioni anelastiche dipende l'effettivacapacità dissipativa del modello, in funzione della quale deve essere regolatol'aggiustamento dello spettro di input.

Figura 4 - Esempio di procedimento iterativo per la ricerca dell'intersezione PP:(a) = struttura adeguata se d3 è compatibile con lo SL in esame; (b) = struttura inadeguata.

d3 d4d2d1 d3d2d1 d4

P50(ξ=5%) =10% (d=d1) P50(ξ=5%) =10% (d=d1)

(d=d2)(d=d3)

(d=d4)

(d=d2)(d=d3)

(d=d4)

Sa, λ*Sa, λ*

Sd, d Sd, d

PP

(a) (b)

λ* λ*

λ* = F*/m*

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In ogni caso, dopo aver reso coerenti, in qualche modo, le rappresentazioni dellacapacità (curva prestazionale) e della domanda (spettro di progetto) il valore dellospostamento du* (du* = d3 nel caso della Figura 4.a), corrispondente all'eventualepunto di intersezione PP, individua la prestazione richiesta dal sisma al sistemastrutturale in esame. Si può quindi verificare se questa domanda di spostamentorispetta, oppure no, le limitazioni poste dalle deformazioni associate agli statilimite prestabiliti, riportati sulla curva prestazionale medesima. Lo spostamentodu* costituisce pertanto il parametro di controllo sul quale si basa il procedimentodi verifica. L'eventuale mancanza di un punto d'intersezione fra le due curve(Figura 4.b) indicherebbe in modo ancor più grave l'incapacità della struttura disopportare l'input sismico considerato.

3. L'analisi "pushover" per la valutazione della curva prestazionale

Il procedimento dell'analisi statica non lineare (analisi "pushover", ossia a spinta)consente di determinare la curva prestazionale 1GL di una struttura complessa. Perfare ciò, occorre definire preliminarmente le caratteristiche elastiche ed anelastichedel sistema nGL con il quale si riproduce il comportamento della struttura inesame, prevedendo le posizioni delle potenziali zone critiche nelle quali potrebberoconcentrarsi le domande di deformazione plastica. In ciascuna zona critica occorreassegnare i legami costitutivi locali, possibilmente riconducendoli ad unacorrelazione bilineare, e stabilire i limiti che possono essere accettati localmenteper le deformazioni anelastiche in funzione di ogni stato limite considerato. Nellestrutture intelaiate, escludendo collassi locali di altra natura (per esempio, pertaglio), è sufficiente indicare la posizione ed il comportamento di un numeroadeguato di potenziali cerniere plastiche con le quali il sistema potrebberaggiungere uno stato limite estremo per formazione di un meccanismo di collasso.In un telaio sufficientemente regolare queste posizioni possono essere individuatenelle zone delle travi e dei pilastri adiacenti ai nodi. L'effettiva configurazione delmeccanismo, ossia la distribuzione delle plasticizzazioni che saranno di fattomobilitate, risulterà dall'esito delle analisi.

L'azione sismica da assegnare per eseguire un'analisi "pushover" consiste in unadistribuzione, di forma prestabilita, di forze orizzontali fi, agenti tutte nello stessoverso, da applicare facendole crescere staticamente alle masse mi del sistema nGL.In tal caso, la risultante F* = Σ fi (taglio alla base) può essere assunta comeparametro rappresentativo dell'intensità sismica applicata. Il calcolo procede perpiccoli passi, facendo crescere progressivamente l'intensità delle forze orizzontali,mantenendo la forma della distribuzione assegnata e calcolando ogni volta larisposta statica del sistema, considerata lineare nei singoli passi. Ad ogni passo k si

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calcolano gli spostamenti statici (xi)k delle masse mi risolvendo il sistema delleequazioni [K]{x} = {f} che definisce la risposta del sistema ([K] è matrice dellerigidezze elastiche). Allo stesso tempo, si calcolano gli stati di deformazioneprodotti negli elementi strutturali per mantenere sotto controllo le zone critiche.

Si può procedere in questo modo fino a quando in nessuna zona critica si sianosuperati i limiti elastici. Quando ciò avviene, occorre aggiornare la matrice dellerigidezze per poter procedere di nuovo con passi lineari. Se il comportamento post-elastico di una zona critica nella quale sono stati superati i limiti elastici ècaratterizzato da una soglia plastica uniforme, l'aggiornamento consiste nellaeliminazione del grado di iperstaticità corrispondente. Altrimenti, se è presente unarigidezza residua della fase plastica, occorre modificare di conseguenza la rigidezzadell'elemento strutturale interessato. Fatto ciò, si prosegue con altri passi, operandosempre in campo lineare e cumulando i risultati fino alla formazione di una nuovaplasticizzazione. Il procedimento può proseguire fino al passo nel quale si saràformato un meccanismo di collasso, cioè fino a quando la struttura non siadiventata labile; comunque fino a quando in qualcuna delle zone critiche non sianostati superati i limiti della deformabilità anelastica locale (duttilità) assegnata.

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0Spostamento (d/H) (%)

fessurazione delle travi

fessurazione dei montanti

trazione in una colonna d'angolo

deformazione plastica delle travi

plasticizzazione dei montanti

inizio collasso delle travi

inizio collasso per taglio dei montanti

CURVA PRESTAZIONALETaglio alla base (V/W)

H

V

W (peso)

fessurazione per taglio dei montanti

Figura 5 - Esempio di curva prestazionale.

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Su una curva così costruita (curva prestazionale) si possono individuare varipunti, corrispondenti ognuno ad uno degli stati limite considerati, ritenuti diinteresse per il problema in esame. La Figura 5 mostra un esempio di curvaprestazionale, riprodotta in termini adimensionali (le forze F sono rapportate alpeso W della costruzione, gli spostamenti d all'altezza H), per la quale è stataipotizzata una sequenza di stati limite riscontrabile nella struttura intelaiata di unedificio cemento armato.

Il procedimento descritto può essere portato avanti se la curva prestazionale simantiene sempre crescente o, al più, se diventa orizzontale per formazione di unmeccanismo. Se, prima della formazione di un meccanismo di collasso,intervengono situazioni di degrado di qualche elemento resistente il metodo dicalcolo non consente di trattare rami decrescenti. Un caso tipico è quello dellepareti accoppiate nelle quali può andare fuori uso qualche trave di collegamento(generalmente per collasso locale). La perdita del contributo di questi elementi puòprodurre una riduzione della rigidezza complessiva del sistema strutturale, senzaperaltro comprometterne la stabilità globale in condizioni danneggiate. In similicasi si possono costruire curve degradanti di forma dentata ("sawtooth capacitycurve"), come mostra la Figura 6.

4. Normative riguardanti il PBSD

Le procedure di calcolo per le applicazioni del PBSD sono codificate in variomodo dall'Eurocodice 8, dalle raccomandazioni ATC-40(6), dalle FEMA-273-274(7)

(6) ATC (Applied Technology Council): "Seismic evaluation and retrofit of concrete buildings".

ATC-40. Report No. SSC 96.01. Novembre 1996.

A

B

A B

senza un elemento collassato

senza due elementi collassati

Figura 6 - Curva prestazionale degradante per collassi locali

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e dall'O.3431. Le varie procedure derivano comunque dai metodi analisi propostida vari autori, fra i quali sono da segnalare principalmente Chopra e Goel(8),Fajfar(9) e Priestley()10. L'esame di questi metodi ha suggerito al primo autore dellapresente nota la proposta di un approccio energetico EA ("EnergicApproach")(11,12), illustrato nel seguito della presente nota, con il quale, mediantevalutazioni basate su sole equivalente energetiche, si perviene a risultati più diretti,eliminando i passi condizionati dal ricorso ad equivalenze di natura elasticautilizzate negli altri casi.

Gli aspetti dai quali essenzialmente dipende l'efficacia dei procedimenti di calcoloin esame sono:

• la forma della distribuzione da assegnare alle forze orizzontali, con le quali siriproduce l'input sismico;

• la scelta dello spostamento da assumere come parametro di controllo, con ilquale si definisce la curva prestazionale del modello 1GL;

• la scelta del criterio di equivalenza con il quale si perviene alla definizione dellacurva prestazionale, derivandola dalla risposta quasi statica calcolata per unsistema complesso;

• il criterio con il quale si stabilisce la coerenza fra lo spettro di risposta, assuntocome input di progetto, e la capacità dissipativa corrispondente alle

(7) FEMA. (Federal Emergency Management Agency), 1997. NEHERP "Guidelines for the

Seismic Rehabilitation of Buildings", FEMA 273 and NEHERP "Commentary on theGuidelines for the Seismic Rehabilitation of Building", FEMA 274. Ottobre 1997.

(8) Chopra, A.K., Goel, K.G. 1999. "Capacity-Demand-Diagram Metthods for EstimatingSeismic Deformation of Inelastic Structures: SDF Systems". Report No. PEER-1999/02.University of California, Berkeley, Aprile 1999.

(9) Fajfar, P. Structural Analysis in Earthquake Engineering - A Breakthrough of SimplifiedNon-Linear Methods. 12th ECEE, 843.

(10) Priestley, M.G.N. 2000. Perofrmance Based Seismic Design. 12 WCEE, 2811, Auckland(New Zealand), 2001.

(11) A. Parducci, F. Comodini, M. Mezzi. 2004. "Approccio Energetico per le Analisi Pushover".XI Congresso Nazionale “L’ingegneria Sismica in Italia”, Genova 25-29 Gennaio 2004.

(12) A. Parducci. 2005. "A Synergetic Dissipation Approach to Retrofit Framed Structures with aSoft First Storey". 9th World Seminar on Seismic Isolation, Energy Dissipation and ActiveVibration Control of Structures. Kobe (Japan), June 13-16, 2005.

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deformazioni anelastiche del sistema in esame, quando questo è impegnatoproprio fino allo spostamento del punto PP.

5. Distribuzione delle forze orizzontali

La forma secondo la quale devono essere distribuite le forze orizzontali ècertamente un punto importante del procedimento. Tuttavia, il campo delle sceltedi interesse pratico non è molto vasto ed entro questi limiti le differenti assunzioninon conducono a risultati molto differenti(8). L'O.3431 e le FEMA-273 prescrivonodi svolgere le analisi con due differenti distribuzioni: una (a) proporzionale allemasse di piano, l'altra (b) proporzionale al prodotto delle masse per gli spostamentidella prima forma modale. L'ATC-40 indica varie possibilità, comprendendo anchequella corrispondente ad una distribuzione lineare delle accelerazioni lungol'altezza, ma considera la (b) come riferimento fondamentale, imponendo peròalcune limitazioni riguardanti la partecipazione delle masse. L'O.3431 nonprescrive percentuali delle masse partecipanti, ma limita l'impiego delle analisi"pushover" al caso di edifici di forma regolare, rispondenti a definizioniprestabilite. In tutti i casi, in conseguenza dell'arbitrarietà della scelta riguardante lospostamento di controllo, individuato sempre come spostamento dtop del punto piùalto della costruzione, le elaborazioni numeriche devono essere aggiustate inconformità. Le norme e le raccomandazioni citate provvedono a ciò riferendosiancora alla configurazione del primo modo di oscillazione, col presupposto dipoterla considerare sufficientemente rappresentativa della effettiva configurazionedeformata della struttura, pur essendo questa una configurazione di tipo lineare(13).L'EA elimina questa incongruenza concettuale definendo uno spostamento virtualeequienergetico che, oltre ad essere più coerente con lo spirito del PBSD, consentedi allargare il campo delle applicazioni, potendo essere utilizzato in modo direttoanche per le configurazioni nelle quali siano significativi gli effetti torsionali.

6. Definizione del modello 1GL equivalente secondo i riferimenti normativi

Per definire la curva prestazionale occorre stabilire un criterio di equivalenza invirtù del quale, ad ogni valore F* raggiunto dalla forza applicata alla base delsistema nGL, scelto come valore rappresentativo dell'intensità dell'azione sismicaapplicata, si possa associare il valore dk di un appropriato spostamento di controllo (13) Il riferimento a forme modali di natura elastica può costituire un'approssimazione utile ai

fini pratici, ma non appare perfettamente coerente, dal punto di vista concettuale, con unprocedimento basato sulle valutazioni energetiche di natura essenzialmente isteretica. Di ciòtiene conto l'approccio energetico illustrato nel seguito.

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da attribuire al modello 1GL. Seguendo le proposte indicate nella letteraturaspecializzata, i riferimenti normativi prima menzionati adottano differentiprocedimenti per definire la curva prestazionale del sistema 1GL. Come parametrirappresentativi partono comunque dalla forza di taglio alla base F* = ΣFi escelgono preferibilmente lo spostamento d* = dtop del punto più alto della struttura,soggetto alle massime escursioni. Stante l'arbitrarietà della seconda scelta, occorrecalibrare di conseguenza i valori di questi due parametri.

Generalmente, così suggerisce l'O.3431, il problema è risolto seguendo i criteriindicati in letteratura(8,9), prendendo in considerazione la configurazione del primomodo di oscillazione del sistema nGL, ritenendo questa come la piùrappresentativa del comportamento del sistema strutturale (sebbene, come si èdetto, si tratti di una configurazione elastica). Se si considera la prima formamodale Φ, normalizzata rispetto allo spostamento del punto di controllo, e si indicacon Γ = Σi(miΦi)/Σi(miΦi

2) il coefficiente di partecipazione corrispondente, comemassa del modello 1GL si può assumere il valore m* = Σi(miΦi), per esprimere lacurva prestazionale mediante la forza F* = Fb/Γ e lo spostamento d* = dtop/Γ. Lacurva così ottenuta può essere poi semplificata da una curva bilineare equivalentecon soglia plastica costante, applicando in questo caso un criterio equienergetico(uguaglianza delle aree sottese) , come mostra la Figura 7. Procedendo in questomodo si individuano i valori Fy* e dy* del limite elastico e quindi della rigidezzaelastica k* = Fy*/dy*. La curva così ottenuta, con la quale può essere definita unaduttilità globale equivalente µ = d*/dy*, può essere considerata rappresentativa delcomportamento globale del sistema nGL.

Sulla curva prestazionale si possono riportare i punti corrispondenti alle condizionicritiche della struttura, associate a tutti gli stati limite di interesse, come è mostratonella stessa Figura 7. L'O.3431, con riferimento alle valutazioni di vulnerabilitàdegli edifici esistenti ed in analogia con le altre raccomandazioni prima citate,

Figura 7 - Rappresentazione bilineare di una curva prestazionale e degli stati limite

curva elasto-plasticabilineare F*/m*

d

(E)

(A)

(D)

(C)(B) DL DS CO

Ey

dy*

Π−=

mm

my fd2*d

ddy*

F*/m*

curva prestazionalecalcolata

fy*

d*

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considera i tre stati limite indicati in figura: CO (collasso grave), DS (dannosevero), DL (danno lieve) , precisando i requisiti che li definiscono.

7. Coerenza dell'input sismico con la curva prestazionale

Per rendere l'input sismico coerente con la curva prestazionale occorre stabilire uncriterio che, come si è detto, deve basarsi su valutazioni di natura energetica.L'O.3431 e l'EC.8, dopo aver reso bilineare la curva prestazionale, semplificano ilproblema, applicando il cosiddetto "N2 method". L'applicazione di questo metodorichiede di considerare una correlazione ti tipo empirico che lega il massimospostamento di risposta dmax di un generico sistema elasto-plastico con lospostamento del del sistema elastico ad esso associato (sistema elastico dotato dellostesso periodo di oscillazione). Le espressioni che definiscono questa correlazionesono riportate nella Figura 8; in sostanza, corrispondono ad un adattamento delcriterio generale di "uguale energia" che, nella zona dello spettro a velocitàcostante (T ≥ TC, secondo le definizioni dell'O.3431) corrisponde di fatto al criteriodi "uguale spostamento".

L'ATC.40 propone un procedimento iterativo, del tipo descritto in precedenza, conil quale opera una riduzione dello spettro di progetto stimandola in funzione di unacapacità dissipativa valutata in funzione all'andamento curva prestazionale ottenutacon le analisi "pushover". La stima della riduzione spettrale è guidata daconsiderazioni energetiche con le quali si definisce uno smorzamento viscosoequivalente βeq (Figura 9).

Figura 8 - Correlazioni fra lo spostamento di risposta elastica de di un sistema1GL

y

e

celmaxc

elmaxc

FFq

TT1q1

qddTT

ddTT

=

−+=→<

=→≥

ddeldy dmax

Fy

Fel = m Se(T)

?

?

Fel

(O.3274)

curvaprestazionalebilineare

rispostaelastica

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Il procedimento dell'ATC-40 è regolato da una serie di coefficienti di naturaempirica con i quali si incrementa la capacità dissipativa rispetto al valore standarddel 5%. L'incremento è espresso pertanto nei termini di una dissipazione viscosaequivalente ∆β (βeq = 5% + ∆β). L'incremento ∆β costituisce il contributo dovutodall'energia dissipata nei cicli di isteresi associati al comportamento anelastico,quale risulta dalla curva prestazionale calcolata in corrispondenza dellospostamento di tentativo dm.

kel

fy

dy dm

fm

Πsec

ΠD

ksec

βeq = ∆β + 5 (in %)

ΠΠ

πκ=β∆

sec

D41 =

mm

ymmy

df)dfdf(7.63 −κ

κ = "damping modification factor"dipendente dalla qualità dell'edificio

Figura 9 - Valutazione della dissipazione viscosa equivalente secondo l'ATC.40.

16

Nella stima di ∆β l'ATC-40 introduce un fattore correttivo κ definito in funzionedella rigidezza secante determinata sulla stessa curva prestazionale (Figura 9). Ilfattore κ tiene conto del degrado delle caratteristiche meccaniche che possonoderivare dalla qualità della costruzione, per stabilire il quale sono indicate tre classidi edifici: tipo A = edificio nuovo; tipo B = edificio esistente di media qualità; tipoC = edificio esistente di qualità povera (Figura 10). In funzione del valore di βeqcosì ottenuto sono indicati infine i fattori SRA ed SRV

(14) da usare per ridurre leordinate dello spettro di progetto (Figura 10), definito dalle norme americanemediante i parametri CA della parte ad accelerazione uniforme e CV della parte avelocità uniforme (si vedano le tabelle seguenti).

ATC-40 - Soil classificationAverage Soil Properties for Top 100 Feet of Soil Profile

Soilprofile

Soil profile name(generic description) Shear wave velocity,

Vs (feet/second)

NSPT [NCH forcohesionless layers]

(blows/foot)

Undrained shearstrength, su (psf)

SA Hard rock Vs > 5000 Not applicableSB Rock 2500 < Vs ≤ 5000 Not applicableSC Very dense soil - Soft rock 1200 < Vs ≤ 2500 N > 50 su > 2000SD Stiff Soil Profile 600 ≤ Vs ≤ 1200 15 ≤ N ≤ 50 1000 ≤ su ≤ 2000

(14) L'ATC.40 tara questi valori tenendo conto anche di una durata del terremoto atteso,

secondo un criterio che non trova l'equivalente nell'O.3431.

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.050403010 200 60

0.33

0.530.67

0.33

1.00

0.77

16.25 25 45

viscosità equivalente βo(%)

Fattore di riduzione κ (βeq = κ βo)

tipo A

tipo B

tipo C

Riduzione degli spettri di progetto

65.1)ln(41.021.3

SRSRSS

12.2)ln(68.021.3

SRSRSS

eqVVv

*v

eqAAa

*a

β−=×=

β−=×=

costante a velocità Tratto

costate oneaccelerazi ad Tratto

Figura 10 - Procedimento di riduzione degli spettri di progetto indicato dall'ATC-40..

Sa = spettro elastico (ξ = 5%)

Sa* = spettro ridotto

2.5 CA

2.5 (SRA)CA

(SRV)CV/T

SaSa*

CA

CV/T

Sd

17

SE Soft Soil Profile Vs < 600 N < 15 su < 1000SF Soil requiring site-specific evaluation

ATC-40 - Seismic coefficient CA

Shaking intensity (ZEN)Soil profile = 0.075 = 0.15 = 0.20 = 0.30 = 0.40 > 0.40

SB 0.08 0.15 0.20 0.30 0.40 1.0(ZEN)SC 0.09 0.18 0.24 0.33 0.40 1.0(ZEN)SD 0.12 0.22 0.28 0.36 0.44 1.1(ZEN)SE 0.19 0.30 0.34 0.36 0.36 0.9(ZEN)SF Site-specific geotechnical investigation required

ATC-40 - Seismic coefficient CVShaking intensity (ZEN)

Soil profile = 0.075 = 0.15 = 0.20 = 0.30 = 0.40 > 0.40SB 0.08 0.15 0.20 0.20 0.30 1.0(ZEN)SC 0.13 0.25 0.24 0.32 0.45 1.4(ZEN)SD 0.18 0.32 0.28 0.40 0.54 1.6(ZEN)SE 0.26 0.50 0.34 0.64 0.84 2.4(ZEN)SF Site-specific geotechnical investigation required

ZEN = prodotto Z×E×N con il quale l'ATC-40 definisce il coefficiente sismico di progetto.8. L'approccio energetico proposto (EA)

Curva prestazionale equienergetica

Tutte le operazioni che regolano il PBSD utilizzano criteri di equivalenza chebasano la loro validità su considerazioni di natura energetica. Appare importantequindi poter applicare questo stesso criterio anche al procedimento con il quale sistabilisce l'equivalenza della curva prestazione del modello 1GL quando la sideriva dal comportamento del sistema nGL. Nella rappresentazione ADS la curvaprestazionale ha le dimensioni di una forza per unità di massa ed è espressa infunzione di uno spostamento; perciò l'area sottesa ha le dimensioni di un'energiaspecifica (lavoro compiuto per unità di massa). E' opportuno pertanto fare in modoche questa area riproduca proprio l'energia complessiva consumata nelledeformazioni anelastiche del sistema nGL. Rispettando questo principio si puòdefinire una curva prestazionale bilineare per la quale la duttilità risulta correlatacorrettamente alla quantità di energia effettivamente dissipata per deformazioniisteretiche.

L'approccio energetico EA (Energetic Approach) qui proposto(11,12) riguarda, perl'appunto, la definizione di un criterio energetico da utilizzare per determinare lacurva prestazionale. Anziché fare riferimento ad un arbitrario punto di controllo,scegliendo per esempio lo spostamento dtop del punto più alto del sistema nGL, perpoi ricorrere ad aggiustamenti riferiti ad una configurazione modale, l'approccio

18

EA elimina questo passaggio basato su riferimenti di natura elastica, peraltro nonnecessari, e calcola direttamente la curva prestazionale mediante la definizione diuno spostamento virtuale δ che riproduce correttamente i termini di un bilancioenergetico. Si tratta cioè di definire l'equivalenza fra il sistema nGL ed il modello1GL rispettando l'uguaglianza dell'energia di deformazione accumulata nella faseelastica ed in quella plastica.

Durante un generico passo k dell'analisi "pushover", ogni volta che si considera unincremento degli spostamenti (∆d)k, l'uguaglianza fra il lavoro compiuto dalle forzesismiche (fi)k applicate al sistema nGL ed il lavoro compiuto dal modello 1GLequienergetico è espressa dalla seguente relazione differenziale (Figura 11):

(F ∆δ)k = Σi[fi (∆di)]k

nella quale la forza Fk da attribuire al sistema 1GL può essere assunta uguale altaglio alla base (Fk = Σi(fi)k).

La relazione scritta definisce in termini differenziali i successivi incrementi ∆δ diuno spostamento virtuale equivalente δ che non corrisponde ad un particolarepunto della struttura, ma ad ogni passo k uguaglia, in campo sia elastico siaanelastico, il lavoro compiuto dalla forza F a quello compiuto da tutte le forze Fi

durante i singoli passi del procedimento incrementale. Lo spostamento virtuale δk

si ottiene sommando i successivi incrementi ∆δk ognuno dei quali è dato da:

∑∑ ∆

=δ∆i ik

i kiikk F

)d(F

Procedendo nel modo descritto si arriva a definire una curva prestazionaleequienergetica F = F(δ) che, per l'applicazione del PBSD, può essere calcolata fino

Fk = Σi Fik

Fk∆δk = Σi Fik ∆(di)k

Fy = F(δmax)δ = Σ (∆δ)µ = δmax/δy

Π = ½ Fy δy (2µ - 1)

δk

Fk

m = Σimi

(di)k(Fi)k

Fk

mi

δy δmax

Fy

Π

Figura 11 - Definizione della curva prestazionale equienergetica

19

ad uno spostamento δm corrispondente al raggiungimento di qualsiasi stato limiteprestabilito (Figura 11).

La curva prestazionale F = F(δ) ottenuta applicando l'EA può essere semplificataanch'essa per essere riportata ad una diagramma bi-lineare con soglia plasticacostante. Come di consueto, ma con un significato energetico implicito, questacurva può essere costruita in modo che sottenda la stessa area della curvaprestazionale. Risulta così definito uno spostamento al limite elasticoconvenzionale δy che consente di esprimere i valori di una rigidezza elastica kel =Fy/δy e di una duttilità µm = δm/δy in maniera del tutto equivalente, dal punto divista energetico, a quanto si considera per un qualsiasi sistema 1GL quandoanch'esso sia stato ricondotto ad un comportamento elasto-plastico perfetto. Se fm eΠm sono i valori della forza e dell'area sottesa dalla curva corrispondenti alraggiungimento della deformazione δm, si ottiene(15):

Π−δ=δ

mm

my f2

Se le valutazioni sono state condotte applicando l'EA, le definizioni dellospostamento δy e della rigidezza elastica kel risultano perfettamente coerenti conl'energia Πm calcolata per le deformazioni del modello 1GL e la definizione diduttilità appare realmente significativa dal punto di vista energetico. Ciò puòconsentire, per esempio, di eseguire le analisi di un comportamento strutturaleutilizzando gli spettri a duttilità assegnata.

9. Rappresentazione energetica della curva prestazionale

Integrando la curva prestazionale F(δ) ottenuta con l'EA si ottiene l'energia dideformazione effettiva E(δ) accumulata progressivamente dal sistema nGL duranteil procedimento iterativo dell'analisi "pushover" (Figura 12). La funzione E(δ) cosìdefinita corrisponde esattamente all'energia di deformazione calcolata per ilsistema nGL di partenza. La funzione E(δ) può essere valutata anch'essa fino allospostamento δm associato ad un predeterminato stato limite della struttura e puòessere fatta corrispondere ad una rappresentazione elasto-plastica bilineare

(15) Come negli altri criteri prima visti, i loro valori però, non dipendono dallo spostamento δm

solo se la curva prestazionale ha raggiunto una zona nella quale la forza fm si mantienecostante. Se invece fm cresce ancora, le stesse definizioni tendono a sottostimare il valore diδy e quindi dello spostamento δm. In tal caso, a parità di Πm, può essere opportunoconsiderare un valore più piccolo di fm(Fajfar).

20

equienergetica (non riproducibile nello stesso grafico), della risposta del sistemanGL, per determinare ugualmente il coefficiente µm rappresentativo della duttilitàglobale del sistema strutturale. Il procedimento apre la strada all'impiego dirappresentazioni spettrali della domanda di progetto espresse in termini di energia.

10. Distribuzione delle forze orizzontali

L'EA consente di ampliare il campo delle situazioni nelle quali è possibileapplicare direttamente le analisi "pushover", senza peraltro vincolare ilprocedimento del PBSD alla necessità di introdurre passaggi di natura elastica. Perquanto riguarda le forze fi da applicare al sistema nGL, si possono sceglieredistribuzioni più significative di quelle condizionate da una forma modale, peresempio, condizionandole alla deformata ottenuta applicando un sistema di forzeorizzontali ausiliarie gi proporzionali alle masse di piano, per poi condurre leanalisi incrementali con forze fi proporzionali anche a questa deformata. Operandoin questo modo, si possono ottenere distribuzioni più aderenti ad eventualiirregolarità di forma presenti lungo l'altezza della costruzione. Infatti, sarebbeanche possibile considerare distribuzioni di forze fi proporzionali alleconfigurazioni deformate prodotte dalle stesse forze ausiliarie gi, ma valutatetenendo conto di un certo livello di deformazioni plastiche predeterminato. Poichéquesto modo di procedere consente di analizzare direttamente configurazioni nGLspaziali, nello schema "edificio" caratterizzato dalla presenza dei solai di pianofunzionanti come lastre indeformabili, si può tenere conto degli effetti torsionaliapplicando le forze ausiliarie gi e le stesse forze fi, in punti spostati rispetto aibaricentri delle masse dei singoli piani di quanto occorre per tenere conto delleeccentricità strutturali ed accidentali prescritte dalle norme.

11. Applicazione dell'EA agli edifici multipiano

Σ =

Fi(k)Fi(k-1)

di

lavoro compiutodalla forza Fi delsistema nGL

di(k)

Fi

Ei(k)

F(k+1)F(k)

δkδk-1 δ

F

lavoro espresso dallacurva capacitiva EAdel modello 1GL

Ek

Em

δm δmδk δ

Em

E

di(k-1)

energia di deformazioneaccumulata

Figura 12 - Curva prestazionale F = F(δ) equienergetica e curva E = E(δ) dell'energia

E = E(δ)

21

La curva prestazionale F = F(δ) definita mediante l'EA e la corrispondente curvaspecifica f = f(δ) possono essere utilizzate ai fini progettuali in tutte le manieresuggerite dai vari autori e codificate dalle normative prima citate.

Si esamina pertanto in dettaglio l'applicazione dell'EA al modello nGL di unedificio multipiano dotato di N impalcati indeformabili. In tal caso, il lavorocompiuto dalle forze di piano fi del modello nGL durante il generico passo fra k ek+1 vale (Figura 11):

kikikiN

1i)1k( )d()f(

21)f(E ∆

∆+∑=∆

=+

dove ∆(di)k+1 sono gli incrementi degli spostamenti dei punti di applicazione delleforze fi dei piani i dovuti alle stesse forze [(fi)k + ∆(fi)k].

Se, come forza rappresentativa del sistema 1GL si assume la risultante Fk = Σi(Fi)k

(taglio alla base), il lavoro fatto nello spostamento virtuale δ del modello 1GLdurante il passo k vale:

k1kk)1k(GL1 F21FE δ∆

∆+=∆ ++

Imponendo l’uguaglianza dei due incrementi di lavoro si calcola l’incremento dellospostamento virtuale δ da attribuire alla massa m = Σmi del modello 1GL duranteil passo k, per ottenere:

1kk

kikikiN

1i1k

F21F

)d()F(21)F(

21

+

=+

∆+

∆

∆+∑

=δ∆

Procedendo in questo modo fino al raggiungimento dello stato limite in esame sicostruisce tutta la curva F-δ, della quale si può calcolare l'area E = E(δ). A questopunto risulta definita anche la curva F(δ)/m da confrontare direttamente con lospettro delle accelerazioni di input, potendo così applicare i vari metodi proposti inletteratura per eseguire un'analisi rispondente ai criteri del PBSD.

22

12. Impiego degli spettri di energia

La possibilità di ottenere una curva prestazionale E = E(δ) che riproduce l'energiadi deformazione si associa all'idea di impostare le analisi di progetto assumendocome input uno spettro di energia. La Figura 12 illustra un esempio, dove però lospettro EIN(δ) dell'energia di input è stato ricavato calcolando le pseudo-velocità Sv

= Sa(T/2π)2, corrispondenti ad uno spettro assegnato in termini di pseudo-accelerazioni ed assumendo per quest'ultimo il formato tipico indicato dalle norme.Si è considerato cioè lo spettro: EIN(T) = ½mSv

2 per rappresentare EIN in funzionedello spostamento δ.

L'impiego degli spettri di energia valutati in questo modo conduce però a risultatiche non sempre concordano con quelli che si ottengono dalle valutazioni ottenutecon gli spettri delle accelerazioni(16). Tuttavia, l'argomento merita di essereapprofondito, proprio perché il PBSD, maggiormente se lo si applica per l'analisidella risposta sismica in condizioni estreme di strutture molto duttili, basa la suavalidità su correlazioni di natura energetica associate alla deformabilità anelastica,più che su valutazioni delle resistenze meccaniche degli elementi strutturali.Sembra pertanto più significativo che le analisi possano essere condotteconfrontando la capacità energetica direttamente con una domanda espressa intermini energetici.

13. Conclusioni

L'impiego di una curva capacitiva ottenuta mediante l'EA, uguagliando il lavoro dideformazione del sistema nGL, elimina la necessità della scelta arbitraria di un

(16) Decanini, L., Mollaioli F. 2001. An Energy-Based Methodology for the Assessment of

Seismic Demand, Soil Dynamics and Earthquake Engineering. 21(2), 2001.

δm

E = E(δ)

domandaenergia(relativa)

δ

PP

Figura 13 - Esempio di applicazione di un criterio energetico

23

punto di controllo, altrimenti necessario per definire lo spostamento equivalente infunzione del quale si calcolano le caratteristiche di una curva prestazionale e nonrichiede di ricorrere ad un riferimento modale, di natura tipicamente elastica,estranea allo spirito del PBSD.

Lo spostamento virtuale definito per via energetica non corrisponde allospostamento di un particolare punto della struttura, ma conduce ad una curvaprestazionale che ha un significato fisico reale, perché riproduce esattamentel'energia accumulata dalla struttura nelle deformazioni elastiche ed anelastiche.L'equivalenza è definita pertanto sullo stesso riferimento fisico sul quale si fonda ilPBSD. La curva prestazionale che si ottiene in questo modo è in grado di esserecorrelata agli stati limite ritenuti di interesse per le valutazioni progettuali.L'impiego dell'EA consente anche di utilizzare distribuzioni di forze orizzontali piùaderenti alle finalità di un progetto strutturale.

La curva capacitiva ottenuta per via energetica può essere utilizzata per applicaretutti i procedimenti del PBSD suggeriti dai vari autori e codificati dalle varienormative. Infine, l'EA favorisce la possibilità di un ampliamento delle concezionidel PBSD, perché suggerisce la possibilità di utilizzare procedimenti di calcolo neiquali si assumano come input gli spettri dell'energia. Quest'ultimo aspetto richiedeun approfondimento, perché occorre valutare in modo appropriato le modalità didefinizione di tali spettri.

RINGRAZIAMENTO

Si ringrazia l'architetto Maurizio Ferrini, Direttore del Servizio Sismico dellaRegione Toscana, per aver promosso la collaborazione con il Dipartimento diIngegneria Civile ed Ambientale dell'Università degli Studi di Perugia, finalizzataallo sviluppo ed all'impiego delle tecniche di protezione sismica innovative,nell'ambito della quale è stato redatto il presente rapporto.