Proporzionalità. Proporzionalità Diretta Mafalda, per acquistare un rotolo di nastro colorato ha...

ProporzionalitàProporzionalità

Proporzionalità DirettaProporzionalità Diretta

Mafalda, per acquistare un rotolo di nastro colorato ha speso 2 €. Quanto avrebbe speso per acquistare

2 rotoli di nastro?

Risposta: 4 €


Mafalda, per acquistare un rotolo di nastro colorato ha speso 2 €. Quanto avrebbe speso per acquistare

2 rotoli di nastro?

E per acquistare 3 rotoli? Risposta: 6 €

Risposta: 4 €


Numero di rotoli (x)

Costo in € (y)

1 2

2 4

3 6

4 8


Due grandezze variabili, dipendenti una dall’altra, si dicono direttamente proporzionali se

diventando una doppia, tripla, …, la metà, un terzo, …, anche l’altra diventa doppia, tripla, …, la metà,

un terzo, … .

Numero di rotoli

(x)

Costo in €

(y)

1 2

2 4

3 6

4 8

·2 ·2·3 ·3

·4·4


Osserva la tabella: qual è il rapporto tra un valore della variabile dipendente e il corrispondente

valore della variabile indipendente?

Numero di rotoli (x)

Costo in € (y)

Rapporto(y/x)

1 2

2 4

3 6

4 8

22

1=

42

2=

62

3=

82

4=


Se due grandezze variabili y ed x sono direttamente proporzionali, il loro rapporto è

costante (k).

:

Grandezze direttamente proporzionali

yk

x=

oppure ·y k x=


In generale si indica con x la variabile indipendente

(n° di rotoli) e con y la variabile dipendente (costo) e con k il loro rapporto costante.

La relazione sottostante prende il nome di legge di proporzionalità diretta

oppure ·y k x=y

kx

=

Il valore k prende il nome dicoefficiente di proporzionalità diretta


Calcola i km percorsi da un’automobile con velocità costante considerando i dati noti iniziali:

Prova tu!

In 1h 90 km

In 2h 180 km In 3h 270 km

Tempo in ore (x) x 1 2 3 5

Distanza in km (y) y 90 180 270 450


Osservando la tabella si vede che le grandezze x ed y sono direttamente proporzionali: raddoppiando,

triplicando, …, il tempo, anche la distanza raddoppia, triplica, … .

Il rapporto tra i valori corrispondenti è costante.

Prova tu!Tempo in ore (x) x 1 2 3 5


90 180 270 45090

1 2 3 5= = = =

e quindi

90 oppure 90y

y xx

= = ×


Volendo rappresentare i dati della tabella su un piano

cartesiano, come si disporranno i punti corrispondenti ad ogni

coppia di valori?




La proporzionalità diretta ha come

grafico una semiretta

passante per l’origine!




Quale dei seguenti grafici rappresenta la legge di proporzionalità diretta?

Prova tu!


Osserva il grafico. Quali, tra le seguenti leggi di proporzionalità diretta, è quella rappresentata dalla

retta?

3Y x=

Y x=

12

Y x=

Prova tu!

12

Y x=

Proporzionalità InversaProporzionalità Inversa

Marco decide trascorrere le vacanze in barca, per questo motivo si procura i viveri sufficienti per 12 giorni. Se a Marco si unisce sua moglie Lucia, per

quanto tempo saranno sufficienti i viveri imbarcati?

Risposta: 6 giorni


E se, all’ultimo momento, anche il loro figlio Luca si imbarcasse con i genitori, per quanti giorni saranno

sufficienti i viveri imbarcati?

Risposta: 4 giorni


n° partecipanti (x)

n° giorni (y)

1 12

2 6

3 4


Due grandezze variabili, dipendenti una dall’altra, si dicono inversamente proporzionali se diventando una doppia, tripla, …, la metà, la terza parte, …, l’altra diventa la metà, la terza parte, …

doppia, tripla, …,.

n° partecipanti

(x)

n°giorni

(y)

1 12

2 6

3 4

il doppio

la metà

il triplo un terzo


Osserva la tabella: qual è il prodotto tra un valore della variabile dipendente e il corrispondente

valore della variabile dipendente?

n° partecipanti

(x)

n°giorni

(y)y · x

1 12 12 · 1 = 12

2 6 6 · 2 = 12

3 4 4 · 3 = 12


Se due grandezze variabili y ed x sono inversamente proporzionali, il loro prodotto è

costante (k).

:

·

Grandezze inversamente proporziona i

y

l

x k=

oppurek

yx

=


In generale si indica con x la variabile indipendente

(n° di partecipanti) e con y la variabile dipendente (n° giorni) e con k il loro prodotto costante.

La relazione sottostante prende il nome di legge di proporzionalità inversa

oppurek

yx

=·y x k=

Il valore k prende il nome dicoefficiente di proporzionalità inversa


Osserva i seguenti rettangoli

Prova tu!

Confronta le basi e le altezze dei rettangoli A e B.

Cosa osservi?



Prova tu!

Confronta le basi e le altezze dei

rettangoli A e C. Cosa osservi?



Prova tu!

Confronta le basi e le altezze dei

rettangoli A e D. Cosa osservi?


Le basi e le altezze dei rettangoli sono direttamente o inversamente proporzionali?

Spiega

Prova tu!

Cosa hanno in comune i rettangoli?

Proporzionalità InversaProporzionalità InversaProva tu!

base (cm) x 1 2 3 6

altezza (cm)

Y 6 3 2 1

I rettangoli hanno tutti area di 6 cm2


base (cm) x 1 2 3 6

altezza (cm)

Y 6 3 2 1

Dall’esame dei dati della tabella risulta che base (x) e altezza (y) sono inversamente proporzionali. Infatti, raddoppiando, triplicando,… la misura della

base, quella della corrispondente altezza si dimezza, diventa la terza parte, … .


base (cm) x 1 2 3 6

altezza (cm)

Y 6 3 2 1

Il prodotto tra i due valori corrispondenti è costante. La legge matematica che lega le due

grandezze è:

da cu6

· 6 ix y yx

= =


base (cm) x 1 2 3 6

altezza (cm)

Y 6 3 2 1

Rappresentiamo sul piano

cartesiano la legge:6y

x=


base (cm) x 1 2 3 6

altezza (cm)

Y 6 3 2 1

Qualunque funzione di

proporzionalità inversa ha come

grafico un ramo di iperbole equilatera

6y

x=

Proporzionalità InversaProporzionalità InversaProva tu!Quale dei seguenti grafici rappresenta la legge di

proporzionalità inversa?

Proporzionalità InversaProporzionalità InversaProva tu!Quale, tra queste leggi è quella di proporzionalità

inversa

3

12

14

yx

yx

yx

=

=

=

FineFine

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