Proiezioni per sviluppo Proiezioni per sviluppo modificate matematicamentemodificate matematicamente

Carta di MercatoreCarta di Mercatore

A cura: S.T.V. Giuseppe A cura: S.T.V. Giuseppe FIORINIFIORINI

Proiezione Cilindrica CentraleProiezione Cilindrica Centrale

Per ben comprendere il principio di costruzione della Carta di Mercatore è indispensabile conoscere la Proiezione Cilindrica Centrale.

In tale proiezione il punto di vista è collocato al centro della sfera rappresentativa mentre il quadro è un cilindro tangente lungo l’Equatore.

I meridiani ed i paralleli vengono rappresentati con due fasci di rette ortogonali fra loro; i meridiani distano fra di loro tutti di una stessa quantità, mentre i paralleli sono rappresentati da rette tanto più distanti fra di loro e dall’equatore quanto più cresce la latitudine. I poli sono proiettati all’infinito e qui ndi non sono rappresentabili.

Un carattere generale delle carte è il seguente:Un carattere generale delle carte è il seguente:

““ad un punto della sfera (ad un punto della sfera (φφ,,λλ) corrisponde un unico punto ) corrisponde un unico punto della carta, e viceversa”della carta, e viceversa”

Il punto della carta è dato dai valori cartesiani (x,y)Il punto della carta è dato dai valori cartesiani (x,y)

In termini più tecnici si può dire che tra i punti In termini più tecnici si può dire che tra i punti “obbiettivi”“obbiettivi” della “sfera” ed i punti “immagini” della carta c’è della “sfera” ed i punti “immagini” della carta c’è corrispondenza biunivoca.corrispondenza biunivoca.

Per semplicità le Per semplicità le Relazioni di Corrispondenza Relazioni di Corrispondenza che legano che legano ((φφ,,λλ) con (x,y) sono ottenute in generale col metodo ) con (x,y) sono ottenute in generale col metodo geometrico per mezzo delle proiezioni.geometrico per mezzo delle proiezioni.

Le RELAZIONI di CORRISPONDENZA per questa carta sono:Le RELAZIONI di CORRISPONDENZA per questa carta sono:

x = R x = R y = R tgy = R tgφφ (vedi figura)(vedi figura)

La proiezione cilindrica centrale La proiezione cilindrica centrale non è ISOGONA non è ISOGONA in quanto in quanto non conserva la similitudine fra le piccole figure della carta non conserva la similitudine fra le piccole figure della carta e della Terra.e della Terra.

Infatti gli angoli formati fra le diverse direzioni sulla terra non Infatti gli angoli formati fra le diverse direzioni sulla terra non sono rappresentati con angoli uguali sulla carta.sono rappresentati con angoli uguali sulla carta.

Si dimostra inoltre che la funzione (tgR’), in cui R’ è un Si dimostra inoltre che la funzione (tgR’), in cui R’ è un angolo sulla carta corrispondente ad un angolo R sulla angolo sulla carta corrispondente ad un angolo R sulla Terra, è uguale al prodotto (tgR*cosTerra, è uguale al prodotto (tgR*cosφφ))

tgR’ = tgR*costgR’ = tgR*cosφφ

In altri termini , se consideriamo sulla Terra una Lossodromia In altri termini , se consideriamo sulla Terra una Lossodromia che formi l’angolo di rotta R costante con tutti i meridiani che formi l’angolo di rotta R costante con tutti i meridiani che incontra , tale angolo verrà deformato sulla proiezione che incontra , tale angolo verrà deformato sulla proiezione cilindrica centrale del fattore “cos cilindrica centrale del fattore “cos φφ””

Con il crescere della latitudine, la funzione cos Con il crescere della latitudine, la funzione cos φφ diminuisce e diminuisce e di conseguenza l’angolo R’ sulla carta diventa sempre più di conseguenza l’angolo R’ sulla carta diventa sempre più piccolo mano a mano che la lossodromia si avvicina ai poli.piccolo mano a mano che la lossodromia si avvicina ai poli.

La proiezione è isogona solo per La proiezione è isogona solo per φφ = 0° (circa 10° N o S ) = 0° (circa 10° N o S )

La Proiezione cilindrica non possedendo i requisiti di La Proiezione cilindrica non possedendo i requisiti di isogonismo e di rettifica delle lossodromie, non può essere isogonismo e di rettifica delle lossodromie, non può essere impiegata come carta nautica, tuttavia partendo da essa e impiegata come carta nautica, tuttavia partendo da essa e modificando la modificando la legge di distribuzione dei parallelilegge di distribuzione dei paralleli ((Relazioni di Corrispondenza Relazioni di Corrispondenza ) si ottiene una carta con i ) si ottiene una carta con i requisiti richiesti:requisiti richiesti:

isogonismo isogonismo rettifica delle lossodromierettifica delle lossodromie e possibilità di rappresentare zone estese di superficie e possibilità di rappresentare zone estese di superficie per i percorsi oceanici.per i percorsi oceanici.

Tale è la Tale è la Carta di MercatoreCarta di Mercatore

Carta di MercatoreCarta di Mercatore

La Carta di Mercatore (nautica o marina) non è altro che una La Carta di Mercatore (nautica o marina) non è altro che una Proiezione cilindrica centrale modificata Proiezione cilindrica centrale modificata matematicamente matematicamente

Vediamo come si arriva alla formulazione matematica Vediamo come si arriva alla formulazione matematica della carta di mercatore.della carta di mercatore.

Consideriamo Consideriamo uno spicchio sferico terrestre limitato da due uno spicchio sferico terrestre limitato da due meridiani distanti fra loro di una quantità infinitesima “dy” meridiani distanti fra loro di una quantità infinitesima “dy” e su di esso l’archetto infinitesimo di lossodromia “dm” e su di esso l’archetto infinitesimo di lossodromia “dm” passante per i punti A e B e formante l’angolo di rotta R nel passante per i punti A e B e formante l’angolo di rotta R nel punto A.punto A.

Consideriamo la stessa situazione , rappresentata sulla carta Consideriamo la stessa situazione , rappresentata sulla carta di Mercatore.di Mercatore.

Volendo conservare gli angoli, senza cambiare la legge di Volendo conservare gli angoli, senza cambiare la legge di distribuzione dei meridiani, Mercatore impose distribuzione dei meridiani, Mercatore impose matematicamente la matematicamente la condizione di isogonismocondizione di isogonismo rendendo rendendo simili il triangolo infinitesimo ABCsimili il triangolo infinitesimo ABC sulla sfera ed il sulla sfera ed il corrispondente corrispondente triangolo abctriangolo abc sulla carta. sulla carta.

In altri termini costruì una carta in cui si verificava per ogni In altri termini costruì una carta in cui si verificava per ogni latitudine la proporzionalità fra i lati corrispondenti dei due latitudine la proporzionalità fra i lati corrispondenti dei due triangoli.triangoli.

Il Il triangolo infinitesimo ABCtriangolo infinitesimo ABC della sfera rappresentativa può, a della sfera rappresentativa può, a causa della sua piccolezza, essere causa della sua piccolezza, essere considerato Piano. considerato Piano.

Imponendo la proporzionalità fra i lati dei due triangoli si ha:Imponendo la proporzionalità fra i lati dei due triangoli si ha:

dx dx = = dydy da cui si ricava da cui si ricava dy = dy = dx ddx dφφ

ddpp ddφφ dp dp

Ricordando che dx = dRicordando che dx = dλλ per costruzione, in quanto si vuole per costruzione, in quanto si vuole conservare la legge di distribuzione dei meridiani, e dp = d conservare la legge di distribuzione dei meridiani, e dp = d λλ cos cos φφ, in quanto un elemento di parallelo è uguale al , in quanto un elemento di parallelo è uguale al simile elemento di equatore per il coseno della latitudine, si simile elemento di equatore per il coseno della latitudine, si ha con la sostituzione:ha con la sostituzione:

dy = dy = ddλλ ddφφ = = ddφφ sec sec φφ

d d λλ cos cos φφ

Volendo ottenere la lunghezza dell’arco di meridiano che va Volendo ottenere la lunghezza dell’arco di meridiano che va dall’equatore al parallelo di latitudine dall’equatore al parallelo di latitudine φφ che si vuole che si vuole rappresentare si dovrà integrare (sommare) la precedente rappresentare si dovrà integrare (sommare) la precedente formula fra i valori di 0° e formula fra i valori di 0° e φφ°, cioè:°, cioè: φφ

y = ∫ d y = ∫ d φφ sec sec φφ

00

Con i procedimenti dell’analisi si dimostra che tale integrale è Con i procedimenti dell’analisi si dimostra che tale integrale è dato dalla relazione:dato dalla relazione:

y = ln tg (45° + y = ln tg (45° + φφ/2)/2)

Il simbolo y è detto latitudine crescente per la sfera e si indica Il simbolo y è detto latitudine crescente per la sfera e si indica con con φφc.c.

Per quanto detto le relazioni di corrispondenza della Carta di Per quanto detto le relazioni di corrispondenza della Carta di Mercatore per la Terra sferica sono:Mercatore per la Terra sferica sono:

x = R x = R λλy = y = φφcc

Volendo esprimere y in primi di equatore si avrà:Volendo esprimere y in primi di equatore si avrà:

y = y = φφc = (10800/c = (10800/ππ ) ln tg (45° + ) ln tg (45° + φφ/2)/2)

Le carte nautiche sono generalmente costruite per la Terra Le carte nautiche sono generalmente costruite per la Terra ellissoidica, pertanto la formula della latitudine crescente e ellissoidica, pertanto la formula della latitudine crescente e dissimile da quella della Terra sferica. dissimile da quella della Terra sferica.

Le tavole Nautiche dell’I.I. (Tav.4) forniscono i valori di queste Le tavole Nautiche dell’I.I. (Tav.4) forniscono i valori di queste latitudini crescenti per l’Ellissoide (o latitudini isoterme).latitudini crescenti per l’Ellissoide (o latitudini isoterme).

La differenza fra i valori delle latitudini crescenti per la sfera e La differenza fra i valori delle latitudini crescenti per la sfera e per l’ellissoide consiste nel fatto che:per l’ellissoide consiste nel fatto che:

-- i primi sono sempre maggiori delle corrispondenti i primi sono sempre maggiori delle corrispondenti latitudini geografiche (espresse in primi d’arco) latitudini geografiche (espresse in primi d’arco)

- - i secondi cominciano ad essere più grandi delle i secondi cominciano ad essere più grandi delle corrispondenti latitudini geografiche solo fra l’11° e il 12° corrispondenti latitudini geografiche solo fra l’11° e il 12° parallelo.parallelo.

Nella zona equatoriale le lat. Isoterme sono minori delle lat. Nella zona equatoriale le lat. Isoterme sono minori delle lat. Geografiche e ciò dipende dal raggio di curvatura del Geografiche e ciò dipende dal raggio di curvatura del meridiano.meridiano.

• La carta di Mercatore è isogona ma non è né equivalente né La carta di Mercatore è isogona ma non è né equivalente né equidistante, cioè non conserva né le aree né le distanze.equidistante, cioè non conserva né le aree né le distanze.

• Queste ultime vengono deformate col variare della latitudine Queste ultime vengono deformate col variare della latitudine di un fattore “ sec di un fattore “ sec φφ” ed è appunto per questo motivo che ” ed è appunto per questo motivo che la misura delle distanze sulla carta di Mercatore viene la misura delle distanze sulla carta di Mercatore viene effettuata servendosi delle scale laterali delle latitudini effettuata servendosi delle scale laterali delle latitudini

(anchè esse variabili con la “(anchè esse variabili con la “sec sec φφ” )” )

• Il grigliato della carta di Mercatore si presenta, Il grigliato della carta di Mercatore si presenta, apparentemente, come quello della proiezione cilindrica, apparentemente, come quello della proiezione cilindrica, cioè a maglie rettangolari.cioè a maglie rettangolari.

la differenza consiste appunto nella legge di distribuzione la differenza consiste appunto nella legge di distribuzione dei paralleli la cui distanza dall’equatore dipende dal valore dei paralleli la cui distanza dall’equatore dipende dal valore della secante della latitudine, mentre nella proiezione della secante della latitudine, mentre nella proiezione cilindrica centrale dipende dal valore della tangente della cilindrica centrale dipende dal valore della tangente della latitudine.latitudine.