![3DFFKHWWR SHU WXWWL JOL - didelmesistemi.it · 3dffkhwwr (qhujld 3xolwd shu wxwwl jol hxurshl ,qwurgx]lrqh ,o qryhpeuh od &rpplvvlrqh 8( kd dgrwwdwr lo 3dffkhwwr ohjlvodwlyr sxolwd](https://static.fdocumenti.com/doc/165x107/5f038d8e7e708231d4099ebc/3dffkhwwr-shu-wxwwl-jol-3dffkhwwr-qhujld-3xolwd-shu-wxwwl-jol-hxurshl-qwurgxlrqh.jpg)
PROGRESSIONI GEOMETRICHE 12 sito - Mimmo Corrado · 2016. 12. 6. · ,q xqd surjuhvvlrqh jhrphwulfd...
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Matematica www.mimmocorrado.it 1 Progressioni geometriche FORMULARIO Una progressione geometrica è una successione numerica tale che il quoziente tra ogni termine e il suo precedente è costante. Tale rapporto costante è detto ragione, e si indica con q. In una progressione geometrica di ragione q ሺ ݍ≠ 0ሻ, ogni termine è uguale al suo precedente moltiplicato per la ragione. = ∙ In una progressione geometrica : se ݍ>0 i termini sono tutti o positivi o tutti negativi se ݍ<0 i termini sono di segno alternato Una progressione geometrica di ragione q è : ە ۔ ۓ ൝ ݏ ݍ>1 ݐݎ ݏ ݏݐݒ ݎݑ ݏ 0 < ݍ<1 ݐݎ ݏ ݐݒ ቐ ݏ 0 < ݍ<1 ݐݎ ݏ ݏݐݒ ݎݑ ݏ ݍ>1 ݐݎ ݏ ݐݒ ݏ ݍ=1 Il termine generale di una progressione geometrica è : = ∙ con ≥ 1 La relazione fra due termini di una progressione geometrica è : = ∙ Il prodotto dei primi termini della progressione geometrica è : = ඥሺ ∙ ሻ La somma dei primi termini della progressione geometrica di ragione ݍ≠ 1 è : = ∙ − −
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PPrrooggrreessssiioonnii ggeeoommeettrriicchhee
FFOORRMMUULLAARRIIOO
Una pprrooggrreessssiioonnee ggeeoommeettrriiccaa è una successione numerica tale che il quoziente tra ogni termine e il suo precedente è costante. Tale rapporto costante è detto rraaggiioonnee, e si indica con qq.
In una progressione geometrica di ragione qq ≠ 0 , ogni termine è uguale al suo precedente moltiplicato per la ragione.
= ∙
In una progressione geometrica :
se > 0 i termini sono tutti o positivi o tutti negativi se < 0 i termini sono di segno alternato
Una progressione geometrica di ragione q è :
> 1
0 < < 1
0 < < 1
> 1
= 1
Il termine generale di una progressione geometrica è : = ∙ con ≥ 1
La relazione fra due termini di una progressione geometrica è : = ∙
Il prodotto dei primi termini della progressione geometrica è : = ∙
La somma dei primi termini della progressione geometrica di ragione ≠ 1 è : = ∙−
−
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EESSEERRCCIIZZII
Esempio 1
Calcola la ragione di una progressione geometrica di 5 termini i cui estremi sono, nell’ordine, − e −8 .
Soluzione
= ∙ ; = ∙ ; − = − ∙ ; = ; = ∓√ = ∓ = ∓ .
Esempio 2
Calcola il numero dei termini di una progressione geometrica di ragione , primo termine ed n-esimo
termine .
Soluzione
= ∙ ; 1
36=
34
∙13
; 43
∙ 1
36=
43
∙34
∙13
; 1
27=
13
; 13
=13
;
− = ; = .
Esempio 3 Calcola il primo termine di una progressione geometrica di ragione 2 e quarto termine −192 . Soluzione
= ∙ ; = ∙ ; − = ∙ ; = − = − .
Esempio 4
Calcola il quinto termine di una progressione geometrica di ragione − e primo termine −6 .
Soluzione
= ∙ ; = ∙ = − ∙ − = − ∙ = − .
Esempio 5
Calcola il settimo termine di una progressione geometrica di ragione √2 e quarto termine 8√2 . Soluzione
= ∙ ; = ∙ = 8√2 ∙ √2 = 8√2 ∙ 2 = 8√2 ∙ 2 = .
Esempio 6 Calcola il quarto termine di una progressione geometrica di ragione 3 e settimo termine 39 . Soluzione
= ∙ ; = ∙ ; = ∙ ; = = .
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Esempio 7
Inserisci fra i termini 2 e 8√2 quattro numeri in modo da formare una progressione geometrica. Soluzione
Determiniamo la ragione:
= ∙ ; = ∙ ; 8√2 = ∙ ; = √2 ; = 4 ∙ 2 ;
= √25 ; = 2 .
I termini della progressione geometrica sono: 2 , 2√2 , 4 , 4√2 , 8 , 8√2 .
Esempio 8
Calcola il prodotto dei primi cinque termini di una progressione geometrica il cui primo termine è e il
quinto è 18 . Soluzione
= ∙ ; = ∙ = 12
∙ 18 = 32 = 310 = 35 = 243 .
Esempio 9
Calcola il prodotto dei primi sei termini di una progressione geometrica di ragione √2 e primo termine 2 . Soluzione
Calcoliamo il sesto termine:
= ∙ ; = ∙ = 2 ∙ √2 = 2 ∙ 2 = = 2 ∙ 2 ∙ √ = 8√2 .
= ∙ ; = ∙ = 2 ∙ 8√2 = 16 ∙ √2 = 2 ∙ 2 =
= 2 = 2 ∙ 2 = 2 ∙ √2 = √ .
Esempio 10 Calcola la somma dei primi cinque termini di una progressione geometrica avente ragione 3 e il cui primo termine è −1. Soluzione
= ∙−
− ; = ∙
−−
= − ∙−
− = −
− = − .
Esempio 11 Calcola la somma delle prime dieci potenze di 2 con esponente diverso da zero. Soluzione
= ∙−
− ; = ∙
−−
= ∙−
− = ∙ − = .
Esempio 12 Determina il numero dei termini di una progressione geometrica avente ragione 2, somma 51 e il cui primo
termine è .
Soluzione
= ∙−
− ; =
15
∙−
− ; = − ; = ; = ; = .
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Esempio 13 Determina la somma della seguente progressione geometrica
1 +1
+1
+ . . . + 1
Soluzione
= ∙−
− ; = ∙
−
− =
−
− = −
∙−
= −
∙ − =
−∙ −
.
Esempio 14
Determina il numero dei termini di una progressione geometrica avente ragione , secondo termine uguale a
16 ed n-esimo termine uguale a .
Soluzione
= ∙ ; = ∙ ; 18
= ∙12
; 1
8 ∙ 16 =
12
;
12
= 12
−
; − = ; = .
Esempio 15 Il primo termine di una progressione geometrica è 2 , il sesto è 0,0625 . Quanto vale il quinto termine. Soluzione
Calcoliamo la ragione:
= ∙ ; = ∙ ; 0,0625 = ∙ ; 1 16
= ∙ ; 1 32
= ; =1 2
.
= ∙
Calcoliamo il quinto termine:
= ∙ =1
2∙ ; 0,0625 = 1
2∙ ; = 2 ∙ 0,0625 = 0,125 .
Esempio 16 Le lunghezze degli spigoli di un parallelepipedo rettangolo sono numeri interi e formano una progressione geometrica di ragione 2. Quale delle seguenti misure può rappresentare il volume del solido?
◊ 120 ◊ 188 ◊ 350 ◊ 500 ◊ nessuna delle precedenti
Soluzione
Le misure degli spigoli sono del tipo: , .
Il volume del parallelepipedo è quindi: = ∙ 2 ∙ 4 = 8 .
Il volume del solido deve essere rappresentato da un numero dato dal prodotto di 8 con un numero cubo perfetto.
Le misure idonee sono: 8 ∙ 1 = 8 , 8 ∙ 2 = 64 , 8 ∙ 3 = 216 , 8 ∙ 4 = 512
Pertanto nessuna delle precedenti misure può rappresentare il volume del solido.
Esempio 17 La somma fra il primo e il secondo termine di una progressione geometrica è 30, mentre la differenza fra il terzo e il primo è −15. Determina la ragione della progressione. Soluzione
+ = +− = −
ma = ∙ e = ∙
+ ∙ = +∙ − = −
∙ + = +
∙ − = −
∙ + = +∙ − =
=+
− − −
− − −
+∙ − =
− − −
+∙ + ∙ − =
− − −
∙ − =
− − −− =
− − −= −
− − −
=
− − −
= =
=+
=
= =
= ∙ = ∙ = = ∙ = ∙ = .
Esempio 18 Un quadrilatero convesso ha le misure degli angoli in progressione geometrica e l’angolo più piccolo misura 24°. Calcola la misura degli altri angoli. Soluzione
= 24 = 24 = 24 = 24
Ricordando che la somma degli angoli interni di un quadrilatero è 360° si ha:
+ + + = 360 ;
24 + 24 + 24 + 24 = 360 ; 24 + 24 + 24 − 336 = 0 ;
+ + − 14 = 0 ; + + − 14 = 0 ; = ±1; ±2; ±7; ±14
− 2 2 + 3 + 7 = 0 − 2 = 0 = 2
2 + 3 + 7 = 0 ∄ ∈
1 1 1 −14
+2 +2 +6 +14
2 +3 +7 =
Pertanto:
= 24 ∙ 2 = 48 = 24 = 24 ∙ 2 = 96 = 24 = 24 ∙ 2 = 192 .
Esempio 19
Per quale valore di i tre numeri − 3 , , + 4 sono in progressione geometrica? Determina il settimo termine di questa progressione.
Soluzione
−=
+ ; ≠ ∧ ≠
= − + ; = + − − ; = .
= − = − = ; = = ; =−
=−
=
Calcoliamo il settimo termine:
= ∙ ; = ∙ = 9 ∙ = 9 ∙ = .
Esempio 20
Considera il triangolo equilatero in figura in cui è
il punto medio di BC, = , = ,
= . Dimostra che i lati della poligonale
sono in progressione geometrica e calcola la sua lunghezza. Soluzione
In un triangolo equilatero la mediana coincide con la bisettrice e l’altezza.
Pertanto,
nel triangolo equilatero ABC si ha:
= 30° = 90°
nel triangolo equilatero si ha:
= 60° = 90°
nel triangolo equilatero si ha:
= 30° = 90°
. . .
AM = AB − BM = −2
= −4
=34
=2
√3 .
M M = − =2
−4
=4
−16
=3
16 =
4√3 .
M M = − =4
−8
=16
−64
=3
64 =
8√3 .
M M = − =8
−16
=64
−256
=3
256 =
16√3 .
I lati della poligonale sono in progressione geometrica di ragione = , infatti:
M M
AM= 4 √3
2 √3=
4√3 ∙
2
√3=
12
M M
M M= 8 √3
4 √3=
8√3 ∙
4
√3=
12
M M
M M= 16 √3
8 √3=
16√3 ∙
8
√3=
12
.
La lunghezza della poligonale è:
= 1 ∙− 1
− 1 ; =
2√3 ∙
12 − 1
12 − 1
=2
√3 ∙
116 − 1
− 12
= 2
√3 ∙− 15
16
− 12
= 2
√3 ∙158
= 1516
√3 .
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Esempio 21
La somma di tre numeri in progressione geometrica crescente è 21. Trova i tre numeri, sapendo che la somma
dei loro reciproci è .
Soluzione 1
Poniamo = , = , = si ottiene il seguente sistema
+ + = 211
+1
+1
=7
12
=
+ + = 21+ +
=7
12=
+ + = 21+ +
∙=
712
− − −
+ + = 21∙ + +
∙=
712
− − −
+ + = 21+ +
=7
12− − −
− − −21
=7
12− − −
− − −21
=7
12− − −
− − −
7 = 12 ∙ 21− − −
− − −= 36
− − −
− − −
, = −6 +6
− − −
− − −= 6
− − −
+ 6 + = 21− − −
6=
6
+ 6 + = 21− − −
=36
+ 6 +36
= 21− − −
=36
+ 6 + 36 = 21− − −− − −
− 15 + 36 = 0
− − −− − −
, =15 ∓ √81
2=
15 ∓ 92
== 3
= 12− − −− − −
Otteniamo le due terne di soluzioni: = 3= 6
= 12
= 12= 6= 3
Essendo la progressione geometrica crescente, è accettabile la prima terna, cioè:
= 3 , = 6, = 12 .
Soluzione 2
Poniamo = , = , = si ottiene il seguente sistema
x + qx + q x = 211x
+1
qx+
1q x
=7
12
x ∙ 1 + q + q = 21
q + + 1
q x=
712
x =21
1 + q + q− − −
− − −q + + 1
q ∙21
1 + q + q
=7
12
− − −q + + 1 2
21q=
712
− − −
4 q + + 1 2 = 49q
− − −4 ∙ q + 2 + 1 + 2 3 + 2 2 + 2 = 49q
− − −
4q + 4 2 + 4 + 8 3 + 8 2 + 8 − 49q = 0
− − −4q + 8 3 − 37q + 8 + 4 = 0
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4q + 8 3 − 37q + 8 + 4 = 0 ; − 2 ∙ 4 + 16 2 − 5 = 0 ;
− 2 ∙ −12
∙ 4 2 + 18 + 4 = 0 ;
− 2 = 0 ; = 2
− = 0 ; =
4 2 + 18 + 4 = 0 ; , =±√
non accettabili perché entrambe negative.
4 +8 −37 +8 4 +2 +8 +32 −10 −4
4 +16 −5 −2
+12
+2 +9 +2
4 +18 +4
Esempio 22
Calcola la somma dei primi sei termini della progressione geometrica = −3 ∙ −5 , con ∈ .
Soluzione
= −3 ∙ −5
Siccome ∈ , il valore parte da zero.
= −3 ∙ −5 = −3
= −3 ∙ −5 = 15
. . .
= −3 ∙ −5
1° termine 2° termine 3° termine 4° termine 5° termine 6° termine
−3 15 . . . . . . . . . −3 ∙ −5
= ∙ ;
= ∙ ;
−3 ∙ −5 = −3 ∙ ;
=3 ∙ −5
3 ; = −5 ; = −5 ;
= 1 ∙− 1
− 1 ; 6 = 0 ∙
6 − 1
− 1 6 = −3 ∙
−5 6 − 1
−5 − 1=
−5 6 − 1
2= 7812 .
Esempio 23
Calcola la somma dei primi sette termini della successione: 3 , −12 , 48, −192 , . . .
Soluzione
Si tratta di una progressione geometrica di ragione: = = = = −4
e primo termine = 3 .
Pertanto:
= ∙− 1
− 1 ; = 3 ∙
−4 − 1−4 − 1
= 3 ∙−4 − 1
−5= 9831 .
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Esempio 24
Il primo termine e il centesimo termine di una progressione geometrica sono 3 e 100 000. Quanto vale il prodotto del quarto termine con il novantasettesimo? Soluzione
Il prodotto del quarto termine con il novantasettesimo vale:
∙ = ∙ = 3 ∙ 100 000 = 300 000 .
3 100 000
Esempio 25 Calcola la somma delle prime n potenze di 2 con esponente maggiore di zero. Soluzione
La prima potenza di 2 con esponente maggiore di zero è 2 = 2 . L’n-esima potenza di 2 è 2 .
Applicando la formula della somma dei termini di una progressione geometrica si ottiene:
= ∙−
− ; = ∙
−−
= ∙ − .
Esempio 26
Calcola la somma delle prime n potenze di con esponente maggiore di zero.
Soluzione
La somma è : 1
2+
1
2
2+ . . . +
1
2
La prima potenza di 1
2 con esponente maggiore di zero è
1
2 . L’n-esima potenza di
1
2 è .
Applicando la formula della somma dei termini di una progressione geometrica si ottiene:
= ∙−
− ; =
12
∙
12 −
12 −
= 12
∙
12 −
−12
= 1 −12
= 1 −1
= − 1
.
Esempio 27
Calcola la seguente somma: 1 + + + . . . + .
Soluzione 1
Si tratta di una progressione geometrica di ragione 1
2 . I termini di questa somma sono + 1.
Applicando la formula della somma dei termini di una progressione geometrica si ottiene:
= ∙−
− ;
= 1 ∙
12 −
12 −
=
12 −
− 12
= 2 ∙ 1 −12
= 2 ∙ 1 −1
2 = 2 ∙
2 − 12
=
= 2 ∙2 − 1
2 ∙ 2 =
2 − 12
.
300 000
300 000
300 000
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Soluzione 2
È sufficiente aggiungere 1 alla somma delle prime n potenze di con esponente maggiore di zero, calcolata
nell’esempio precedente.
1 +12
+1
2+ . . . +
12
= 1 +− 1
= + − 1
= 2 ∙ − 1
= − 1
Esempio 28 Calcola la seguente somma: 1 + + + + . . . + . Soluzione 1
Si tratta di una progressione geometrica di ragione . I termini di questa somma sono + 1.
Applicando la formula della somma dei termini di una progressione geometrica si ottiene:
= ∙− 1
− 1 ;
= 1 ∙−
− =
− 1−
≠ 1 .
Soluzione 2
= ∙− 1
− 1 ;
= 1 + = 1 + ∙−
− = 1 + ∙
−−
= 1 +∙ −
− = 1 +
−−
=
= − 1 + −
− =
− 1−
≠ 1 .
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