Classi 5AS e 5CSA.S. 2014-15Prof. Paolo Bartesaghi

PROGRAMMA ANALITICO DI MATEMATICA

Funzioni e insiemi numerici: definizioni fondamentali: concetto di funzione, dominio e codominio; classificazione delle funzioni reali di variabile reale; funzioni pari e dispari; funzioni monotne (crescenti e decrescenti); funzioni iniettive, suriettive e biiettive; funzione inversa; funzioni periodiche; algebra delle funzioni (somma, prodotto, reciproca, quoziente, funzione composta); insiemi superiormente (inferiormente) limitati, estremo superiore (inferiore) di un insieme, massimo (minimo) di un insieme; intervalli in R; intorno completo di un numero reale, intorno destro (sinistro), intorno di infinito. Funzioni circolari e funzioni iperboliche.

Limiti delle funzioni: definizione di limite finito di una funzione per x che tende a ; asintoto orizzontale per una funzione; definizione di limite infinito di una funzione per x che tende a un valore finito x0; asintoto verticale per una funzione; definizione di limite infinito per x che tende a ; definizione di limite finito per x che tende a un valore finito x0; teoremi sui limiti: unicit del limite, permanenza del segno e del confronto; algebra dei limiti: limite della somma, della differenza, del prodotto, della potenza; limite della funzione reciproca e del quoziente; forme di indecisione; confronto di infiniti per le funzioni razionali fratte; definizione e ricerca degli asintoti obliqui di una funzione; limiti notevoli: definizione del numero di Nepero; sinx/x; (exp(x)-1)/x; log(1+x)/x (tutti con dimostrazione) e limiti da essi derivati.

Continuit: definizione di continuit di una funzione in un punto e su un intervallo; teoremi sulle funzioni continue: teorema di Weierstrass, teorema degli zeri; continuit delle funzioni fondamentali, della funzione inversa e delle funzioni composte; classificazione dei punti di discontinuit di una funzione: I, II e III specie.

Derivata di una funzione: definizione di rapporto incrementale di una funzione in un punto; definizione di derivata in un punto e suo significato geometrico: retta tangente a una curva in un punto; derivata destra e sinistra; continuit delle funzioni derivabili; derivate delle funzioni fondamentali; funzione derivata prima; derivata come operatore lineare; calcolo delle derivate: derivata del prodotto e del quoziente di funzioni (con dimostrazione), derivata della funzione composta e della funzione inversa (con dimostrazione); casi di non derivabilit: punti singolari di una curva e loro classificazione (punti angolosi, a tangente verticale, cuspidi); derivate successive; significato fisico della derivata; legge oraria, velocit e accelerazione; esempi; derivata di funzioni parametriche. Sviluppi in serie di Taylor. Sviluppi di Mc Laurin. Significato dell'o piccolo. Relazioni di asintotico.

Derivabilit: Teoremi sulle funzioni derivabili e studio globale delle funzioni, teorema di Rolle (con dimostrazione e controesempi) e suo significato geometrico; teorema di Lagrange (con dimostrazione e controesempi) e sue conseguenze: funzioni costanti in un intervallo, funzioni crescenti (decrescenti) in un intervallo; monotonia di una funzione in un intervallo e segno della derivata prima: studio della monotonia attraverso la derivata; definizione di concavit e convessit di una funzione in un insieme e segno della derivata seconda; punti estremanti, punti di flesso e loro determinazione; teorema di de lHpital e calcolo dei limiti di alcune forme di indecisione; confronto tra esponenziale, funzione potenza e logaritmo; problemi di massimo e minimo. Cenno a funzioni a due variabili.

Serie: Concetto di sommatoria; somma dei primi n interi e dei primi n quadrati; somme telescopiche; definizione di serie; convergenza e divergenza; serie armonica; serie di Mengoli; serie riconducibili alla serie di Mengoli; serie geometrica e condizione di convergenza. Serie dei reciproci dei fattoriali. Definizione di e. Applicazioni.

Lintegrale indefinito: primitive di una funzione; lintegrale indefinito come operatore inverso della derivazione; lintegrale indefinito come operatore lineare; integrazione delle funzioni elementari; metodi di integrazione per parti e per sostituzione; integrazione delle funzioni razionali fratte: casi con denominatore con discriminante positivo, nullo o negativo; integrali che si risolvono con particolari sostituzioni.

Lintegrale definito; aree di figure a contorno curvilineo; trapezoidi; definizione (secondo Riemann) di integrale definito di una funzione in un intervallo e sue propriet; teorema della media integrale; funzione integrale; teorema fondamentale del calcolo integrale (con dimostrazione); calcolo dellintegrale definito; calcolo di aree; calcolo del volume di solidi di rotazione ottenuti per rotazione attorno all'asse x e all'asse y; calcolo del volume di solidi a sezioni regolari; calcolo della lunghezza di una curva; calcolo dell'area di una superficie di rotazione; integrali impropri del primo e secondo tipo. Convergenza di un integrale improprio di funzioni potenza. Funzioni integrali e loro studio. Derivata di una funzione integrale.

Equazioni differenziali: Problema di Cauchy; equazioni a variabili separabili; equazioni del prim'ordine: soluzione generale e soluzione particolare; metodo di variazione delle costanti; equazioni del second'ordine a coefficienti costanti: soluzione generale nel caso a discriminante positivo, nullo e negativo. Applicazioni.

Geometria dello spazio: diedri e triedri; somma delle facce di un triedro e somma dei diedri di un triedro; poliedri; relazione di Eulero (con dimostrazione); caratteristica di una superficie; poliedri fondamentali: prismi, parallelepipedi, piramidi e loro caratteristiche; poliedri regolari e dimostrazione della loro esistenza; solidi di rotazione, cilindro, cono e loro caratteristiche; aree delle superfici di poliedri, cilindro, cono, sfera; equivalenza tra solidi: principio di Cavalieri; volume di prismi, piramidi, cilindro e cono; volume della sfera (con dimostrazione integrale e dimostrazione di Galileo). Caratteristiche metriche di alcuni poliedri particolari: raggio della sfera inscritta e circoscritta a un tetraedro regolare, cubo e ottaedro regolare. Vettori nello spazio. Versori. Prodotto scalare e prodotto vettore. Equazioni parametriche della retta nello spazio. Equazione cartesiana di un piano nello spazio. Piano tangente ad una sfera.

Calcolo combinatorio: disposizioni semplici di n oggetti di classe k; disposizioni con ripetizione; il fattoriale di n; permutazioni di n oggetti; permutazioni con ripetizione; combinazioni semplici di n oggetti di classe k; combinazioni con ripetizione; coefficienti binomiali; binomio di Newton; propriet dei coefficienti binomiali; triangolo di Tartaglia.

Probabilit: Definizione classica di probabilit; calcolo delle probabilit mediante calcolo combinatorio; probabilit dell'intersezione; somma logica di eventi; eventi incompatibili; prodotto logico; eventi stocasticamente dipendenti; correlazione; probabilit composta; problema delle prove ripetute; probabilit condizionata; teorema di Bayes: la disintegrazione e problema inverso; distribuzione di Poisson; distribuzione di Gauss.

PROGRAMMA ANALITICO DI FISICAFenomeni elettriciPropriet caratteristiche delle particelle elementari. La carica elettrica.Interazione fra masse. Legge di Newton. Costante di gravitazione universale.Interazione fra cariche elettriche. Forza di Coulomb; costante di Coulomb e costante dielettrica del vuoto. Analogie e differenze tra campo elettrico e campo gravitazionale; rapporto tra le intensit delle due interazioni per una coppia di protoni.Coincidenza dei valori di carica del protone e dellelettrone.Concetto di campo gravitazionale H ed elettrico E; definizione operativa; sovrapposizione di campi; campo di dipolo elettrico statico.Linee di campo. Costruzione grafica e propriet.Campo gravitazionale e campo elettrico uniformi. Campo elettrico prodotto da una doppia distribuzione piana di cariche; condensatore piano.Accelerazione di cariche elettriche e moti di cariche elettriche in campo E uniforme.Energia potenziale gravitazionale ed energia potenziale elettrica; espressione nel caso del campo uniforme e del campo prodotto da una massa o carica puntiforme. Il campo centrale.Concetto di potenziale elettrico; relazione tra campo elettrico e differenza di potenziale (d.d.p.) tra due punti; superfici equipotenziali gravitazionali ed elettriche.Urto coulombiano su barriera di potenziale elettrico; distanza di massimo avvicinamento per urto frontale tra cariche puntiformi. Buche di potenziale.CLIL: Lesperienza di Rutherford e prime nozioni sul modello di Rutherford-Bohr. Dimensioni del nucleo. Energia potenziale dellelettrone sul livello fondamentale dellatomo di idrogeno. Energia di ionizzazione.CLIL: Conduzione elettrica nella materia; sovrapposizione di potenziali prodotti da nuclei ravvicinati; intensit di corrente elettrica; calcolo della velocit di deriva degli elettroni; deduzione microscopica della prima e seconda legge di Ohm nel modello di Drude; resistivit e temperatura; effetto Joule ed espressione della potenza dissipata in una resistenza elettrica. Collegamento di resistenze in serie e parallelo. Analisi di circuiti semplici. Esempio di circuito complesso. Leggi di Kirchhoff. Cenni alla superconduttivit.Fenomeni magneticiIntroduzione storica; primi fenomeni magnetici; esperimenti storici di Oersted, di Ampre e di Faraday.Il vettore induzione magnetica B; espressione del campo prodotto da un filo rettilineo e al centro di una spira percorsi da corrente; solenoide; valore del campo uniforme al centro di un solenoide. Ordine di grandezza del campo B all'interno di un atomo. Il campo B terrestre.Poli magnetici. Analogia nel comportamento di magneti permanenti e spire percorse da corrente; interpretazione di Ampre per campo prodotto da un magnete permanente; microcorrenti.Linee di campo B.CLIL: La forza di Lorentz; forze non newtoniane; interpretazione dei fenomeni di interazione magnete-magnete, magnete-corrente; corrente-corrente mediante forza di Lorentz.Applicazione: il motore elettrico.CLIL: Moto di carica in un campo magnetico uniforme; espressione del raggio della traiettoria circolare nel caso di velocit ortogonale al campo; moti elicoidali. Esempi di moti di cariche in campi E e B.Teoria del campo elettromagneticoConcetto di flusso. Flusso del vettore E e del vettore B.L'induzione elettromagnetica: la scoperta delle correnti indotte, gli esperimenti storici di Faraday, la legge di Faraday-Neumann.Il verso delle correnti indotte; la legge di Lenz; la legge di Lenz e la conservazione dellenergia.Applicazioni della legge di FNL: metal detector, nastri magnetici, amplificatori e microfoni.La corrente alternata: generatore di corrente alternata; deduzione dellespressione dellintensit di corrente alternata dalla legge di Faraday. Potenza dissipata e intensit di corrente efficace. Frequenza e valori efficaci tipici.Equazioni di Maxwell: flusso dei vettori E e B e teorema di Gauss per lelettrostatica e la magnetostatica; circuitazione dei vettori E e B: campo E generato da una variazione di flusso di B e campo B generato da una variazione di flusso di E; equazioni dinamiche di Maxwell. Non conservativit del campo elettromotore.Campi E e B variabili in modo sinusoidale; onde elettromagnetiche; produzione di onde e.m mediante dipolo oscillante; caratteristiche ondulatorie della radiazione e.m.; velocit della luce e costanti 0 e 0; spettro della radiazione: onde radio, microonde, infrarosso, visibile, ultravioletto, raggi x, raggi ; densit di energia e quantit di moto di unonda e.m.; intensit dellonda e.m.; pressione di radiazione.

RelativitTrasformazioni di Galileo e invarianza delle leggi della meccanica classica per trasformazioni di Galileo.Non invarianza delle equazioni di Maxwell per trasformazioni di Galileo.Postulati della relativit ristretta: invarianza delle leggi della fisica rispetto a sistemi di riferimento inerziali e costanza della velocit della luce. Esperimento di Michelson e Morley.Trasformazioni di Lorentz. Relativit della simultaneit. Orologio di luce e prima dimostrazione della dilatazione dei tempi.Contrazione delle lunghezze e dilatazione dei tempi dalle trasformazioni di Lorentz.Effetto Doppler relativistico con dimostrazione.Prove sperimentali della relativit ristretta: decadimento dei muoni, redshift, sistema GPS.Composizione relativistica delle velocit.Struttura causale dello spazio-tempo.Intervallo relativistico: intervalli di tipo luce, tempo e spazio.Tempo proprio.Tetravelocit e tetravettore energia-momento.Energia totale relativistica, energia di massa a riposo, limite non relativistico.Massa relativistica.Metrica di Minkowski; cenni al problema della relativit generale.Meccanica quantisticaCLIL: Effetto fotoelettrico: risultanze sperimentali, problemi nella spiegazione classica: frequenza di soglia, potenziale di arresto e ritardo di emissione. Ipotesi di quantizzazione. Interpretazione di Einstein. Quanti di luce. Relazione E= h.Quantit di moto associata al fotone; relazione p=h/. Costante di Planck e suo valore.CLIL: Effetto Compton: Compton shift; lunghezza d'onda Compton; urto fotone-elettrone; deduzione dell'espressione per .CLIL: Bremsstrahlung: produzione di raggi x mediante frenamento di elettroni; calcolo della frequenza dei raggi x.CLIL: Produzione e annichilazione di coppie. Particelle e antiparticelle.CLIL: Onde di materia: ipotesi di de Broglie. Interferenza e diffrazione di fasci di particelle. Fasci a bassa intensit. Dualismo onda-corpuscolo.CLIL: Funzione d'onda e probabilit. Cenni all'equazione di Schroedinger.CLIL: Effetti quantistici: buca di potenziale e barriera di potenziale; livelli atomici e orbitali; spettri di emissione e assorbimento; stabilit dell'atomo; effetto Tunnel.CLIL: Principio di indeterminazione. Conseguenze filosofiche del principio di indeterminazione.Cenno alla teoria quantistica dei campi.Cenni di struttura del nucleo: fissione e fusione nucleare.

CosmologiaEspansione dell'universo e legge di HubbleModelli di universo: modello dello stato stazionario; Modello del Big Bang; Modelli di Friedmann-Robertson-Walker, Modelli inflazionari.Buchi neriCenni alla teoria delle stringhe.

Cesano Maderno, 5 Giugno 2015 IL DOCENTEprof. Paolo Bartesaghi

I rappresentanti degli studenti

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