Elaborato di Matematica e Fisica - Altervista

Elaborato di Matematica e Fisica

Esame di Stato 2019/2020 Classe 5a

Prof. Francesco di Paola Bruno

Cascone Luigi

ELABORATO DI MATEMATICA E FISICA 1

1. Introduzione: I circuiti RC

I circuiti RC sono caratterizzati dalla presenza di un Condensatore con capacità C e una Resistenza R. Se le armature del condensatore sono collegate ai poli di una batteria o un generatore, si produce una corrente elettrica che varia nel tempo. L’accumulo di carica sulle armature del condensatore genera una differenza di potenziale che ostacola il processo di carica del condensatore in modo direttamente proporzionale all’aumentare della carica stessa.

1.1 Processo di carica di un condensatore: Collegando un condensatore di capacità C scarico ad una batteria o un generatore con forza elettromotrice (f.e.m.) f e resistenza interna trascurabile, attraverso una resistenza R, la carica del condensatore incomincia a crescere, fino a raggiungere il valore massimo di:

Inizialmente si ha un’intensità di corrente particolarmente elevata, con l’aumentare della carica sull’armatura del condensatore, aumenta anche la forza di repulsione tra le cariche dello stesso segno, e di conseguenza aumenta il lavoro che deve compiere il generatore contro le forze elettriche repulsive. Quindi, il flusso delle cariche elettriche sull’armatura diventa sempre più lento, fino ad

Q = C · f


esaurirsi completamente al raggiungimento del valore massimo, ossia della carica Q.

Volendo dare un senso a ciò che è stato detto in precedenza proviamo a quantificare l’intensità di corrente che circola nel circuito in base al tempo e alla carica accumulata dal condensatore:

Fissato un istante t, in cui sia già presente una certa carica q all’interno del condensatore, se a partire da questo istante in un intervallo di tempo giunge sull’armatura positiva del condensatore una quantità di carica e la quantità opposta giunge sull’armatura negativa, allora nel circuito scorrerà una corrente di intensità:

Applicando il teorema della maglia e sapendo che il condensatore causa una caduta di tensione di si ha:

Ovvero:

In cui q e i sono in funzione del tempo.

Questa funzione testimonia che al crescere della carica q accumulata dal condensatore diminuisce l’intensità di corrente i. (Sono allora inversamente proporzionali)

La quantità massima di carica si ottiene infatti con i=0 e seguendo il ragionamento precedente, il valore di intensità di corrente massimo si ottiene quando q=0, ovvero all’inizio del processo di carica.

Δ[t]Δ[q]

i =Δ[q]Δ[t]

qC

VA + f − Ri −qC

= VA

f −qC

= Ri

Q = Cf


L’equazione si risolve mediante il calcolo integrale e

differenziale e produce i seguenti risultati:

La costante dipende dal circuito ed è chiamata “costante di tempo del circuito”.

1.2 Processo di scarica di un condensatore: Se dopo aver caricato il condensatore si scollegasse il generatore dal circuito, esso si scaricherebbe sulla resistenza R. L’equazione del circuito in mancanza della f.e.m. f diventerebbe allora:

Queste sono sempre risolvibili attraverso il calcolo integrale e differenziale e portano alle equazioni:

Sia q che i decrescono esponenzialmente all’aumentare di t (Tempo).

Di seguito sono grafica il processo di carica e scarica

f −qC

= Ri

q(t) = Cf(1 − e− tτ ) i(t) =

fR

e− tτ

τ = RC

qC

= − Ri

q(t) = Cfe− tτ i(t) =

fR

e− tτ



Carica Scarica

2. Sviluppo elaborato: 1) Descrivi che cosa succede al passare del tempo,

soffermandoti su quanto tempo dura il processo di scarica.

Essendo nella condizione di Condensatore di capacità C carico con quantità di carica q0, all’istante t=0 chiudiamo il circuito e ciò innescherà il moto degli elettroni dal Condensatore alla Resistenza R. Il condensatore pian piano, fornendo energia elettrica al circuito, si scaricherà con una legge di tipo esponenziale, che per t che tende all’infinito, tenderà al valore 0 ( ciò sta a dire che avremo un andamento asintotico sia dell’ intensità di corrente e della quantità di carica a 0 in quanto il condensatore si comporta come un generatore di corrente variabile con Resistenza Interna = 0).

L’energia dissipata sarà tramutata in calore attraverso la Resistenza R. Il tempo di scarica teoricamente potrebbe durare all’infinito data la forma asintotica della funzione, ma possiamo calcolare un valore preciso del processo di scarica, ovvero, utilizzando la formula:

dove e con t = diventa:

…possiamo dire che con t = abbiamo la riduzione della quantità di carica al 36.8%.

q(t) = Q(0)e− tτ

τ = RC τ

q(t) = Q(0)e−1 =Q(0)

e≅ 36.8 % Q(0)

τ


2) Illustra il principio di Kirchoff noto come “Teorema della maglia” spiegando da quale

principio generale discende.

Seconda legge di Kirchhoff o Legge delle Maglie:

La seconda legge di Kirchhoff riguarda ogni maglia che costituisce il circuito. Essa stabilisce che la somma algebrica delle forze elettromotrici “ ” presenti nei rami della maglia è uguale alla somma algebrica delle differenze di potenziale “ ” ai capi dei resistori situati nei rami della maglia.

Ricordando la legge di Ohm, la differenza di potenziale “ ” ai capi di un resistore di resistenza R percorso da corrente di intensità i vale proprio , quindi la legge delle maglie può essere riassunta dalla formula :

Esiste una convenzione sui segni con i quali intensità di corrente e f.e.m. devono essere prese. Innanzitutto, per ciascuna maglia, scegliamo arbitrariamente un verso di percorrenza, orario o antiorario. Allora valgono le seguenti affermazioni: • Se in un ramo di resistenza la corrente di intensità ,

ha segno positivo, altrimenti ha segno negativo. • Se la sorgente di forza elettromotrice viene attraversata dal

senso di percorrenza fissato per la maglia cui appartiene dal polo positivo al polo negativo, essa va presa con segno positivo, altrimenti con segno negativo.

La seconda legge di Kirchhoff discende dalla legge di Ohm

La legge di Ohm infatti può anche essere applicata a tratti di circuiti in cui siano presenti più generatori e più resistenze, in tal caso si parla di legge di Ohm generalizzata.

femd . d . p .

d . d . p .

ΔV = R · i

ΣkRkik = Σkεk

Rh ihΔVh = Rh · ih

εk


Quest'ultima dice che la tensione esistente tra due poli A e B di un circuito risulta uguale alla alla somma algebrica delle “ ” che agiscono lungo il percorso che va da A a B, aumentata della somma algebrica delle cadute di tensione sulle resistenze lungo lo stesso percorso :

3) Applica tale principio al circuito in esame ottenendo l’equazione :

Per la relazione di maglia, ad interruttore chiuso il voltaggio ai capi del condensatore : deve essere pari a quello ai capi

della resistenza : .

La corrente I(t) che esce dal condensatore è pari alla diminuzione della carica sul condensatore (Pongo le due precedenti equazioni uguali):

VABfem

VAB = ΣiEi + ΣiVi

qC

− iR = 0

VC(t) = qC

VR(t) = iR

qC

− iR = 0


4) Nel caso in esame spiega il

perché:

il segno meno deriva dal fatto che quando il condensatore si sta scaricando risulta dq/dt <0 e i(t) >0.

5) Tenendone conto l’equazione si presenterà nella forma: ecc…

Supponiamo che il circuito sia aperto ed il condensatore carico, quando chiudiamo il circuito agendo sull’interrutore inizia a circolare la corrente ed il condensatore inizia a scaricarsi.

All'inizio (t=0) abbiamo: e .

Alla chiusura del circuito avremo : e

Nel circuito allora avremo che applicando la legge delle maglie queste due differenze di potenziale sono uguali:

N.B. —>

il segno meno deriva dal fatto che quando il condensatore si sta scaricando risulta dq/dt <0 e i(t) >0.

i(t) = −d(q)d(t)

V(t = 0) = V0 q(t = 0) = CV0

Vc(t) = q(t)

CVr(t) = i(t)R .

q(t)C

= i(t)R

i(t) = −d(q)

dt


Abbiamo quindi che :

che possiamo scrivere come :

Adesso dobbiamo integrare questa equazione differenziale, riscriviamo infatti l’equazione sotto il segno di integrale:

Che risolto ha la seguente soluzione:

Da cui possiamo ricavare che la carica q(t) del condensatore ha equazione:

Poiché possiamo riscrivere la precedente come:

Che è la formula richiesta da dimostrare.

q(t)C

+ R d(q)

dt = 0

dtRC

= −d(q)q(t)

∫q

q0

dqq(t)

= −1

RC ∫t

0dt

ln(q(t)) − ln(q0) = −t

RC

q(t) = q0 e− tRC

Vc(t) =q(t)C

q(t) = C ΔV0 e− tRC


6) Studia il grafico di questa funzione, facendo le considerazioni del caso.

DOMINIO

POSITIVITÀ

INTERSEZIONI CON GLI ASSI

;

y = q(t) = C ΔV0 e− tRC

∀x ∈ ℝ

y > 0 C ΔV0 e− tRC > 0 e− t

RC > 0

∀x ∈ ℝ

{y = 0CV0e− t

RC = 0/∃t

{t = 0y = C ΔV0

A( 0 ; C ΔV0)


LIMITI (ASINTOTI)

DERIVATA PRIMA (MINIMO/MASSIMO)

DERIVATA SECONDA(FLESSI)

NESSUN FLESSO

limt −>+∞ y = limt −>+∞ C ΔV0 e− tRC = limt −>+∞

C ΔV0

e tRC

= 0

limt −>−∞ y = limt −>−∞ C ΔV0 e− tRC = limt −>−∞

C ΔV0

e tRC

= + ∞

y′ = d(q)

dt = i(t) = C ΔV0 (−

1RC

e− tRC ) = −

C ΔV0

RCe− t

RC = −ΔV0

Re− t

RC

y′ > 0 −C ΔV0

RC e− t

RC > 0 e− tRC > 0

∀x ∈ ℝ /∃Max /∃Min

y" = d(i)d(t)

= ( 1RC )

2

e− tRC · CΔV0 =

CΔV0

R2C2e− t

RC =ΔV0

R2Ce− t

RC

y" > 0ΔV0

R2Ce− t

RC > 0 e− tRC > 0

∀x ∈ ℝ →


Diamo valori a piacere alle nostre costanti per disegnare il grafico della funzione…

t=x R=10 C=5 V0=20

…adesso sostituiamoli nella funzione…

…e disegniamo:

Δ

y = q(t) = C ΔV0 e− tRC = 5 · 20 e− χ

10 · 5


Grafico funzione q(t):

Grafico 1

Dal punto di vista dell’analisi del circuito, non ci interessa di cosa succede per t < 0

Il punto di intersezione tra la funzione q(t) e l’asse y è descritto dalle coordinate (0;100).


Grafico derivata prima di q(t) :

Grafico 2

Dal punto di vista dell’analisi del circuito, non ci interessa di cosa succede per t < 0

Il punto di intersezione tra la derivata prima della funzione q(t) e l’asse y è descritto dalle coordinate (0;-2).

Come possiamo notare dal grafico, la corrente ha segno negativo, ciò va in accordo a ciò che è stato detto al punto 4.


7) Determina l’espressione della corrente i(t) che attraversa la resistenza R durante il processo di

scarica.

Dati i risultati del punto 5:

Poiché:

e inoltre conoscendo l’uguaglianza :

ricaviamo la formula richiesta:

q(t) = C ΔV0 e− tRC = q0e− t

RC

VC(t) =q(t)

C⇒ V(t) = ΔV0 e− t

RC

VR(t) = R · iR(t)

i(t) =ΔV0

Re− t

RC


8) Determina il valore della corrente all’istante iniziale, spiegandone sia il significato fisico nel

circuito in esame che quello matematico relativamente al grafico della funzione q(t) nel

punto 6. Come detto in precedenza, la differenza di potenziale ai capi di uni resistore vale:

Quindi applicando una semplice regola inversa ricaviamo che l’intensità di corrente vale al tempo t = 0 :

Con differenza di potenziale iniziale e R la resistenza.Nel circuito, questa è la corrente che scorre all’istante preciso nel quale l’interruttore è chiuso; successivamente questo valore andrà a decrescere, come possiamo vedere dal Grafico 2 del punto 6.

Matematicamente, il valore dell’intensità di corrente è uguale alla derivata prima della quantità di carica q(t).

VR(t) = R · iR(t)

i(0) = ΔV0

R

ΔV0

i(t)


9) Usando il calcolo integrale, determina l’energia totale dissipata durante tutto il processo di

scarica. Conoscendo l’equazione ricavata dal punto 5:

Possiamo esprimere l’intensità di corrente come:

Quindi sapendo che la potenza è calcolabile come: e

che l’energia dissipata dalla Resistenza si calcola integrando

la potenza da 0 a nel tempo:

Per poterci ricondurre ad un integrale immediato noto, moltiplico e divido per la derivata dell’esponente di “ ” e il suo inverso (equivale praticamente a moltiplicare per “1") :

Il risultato dell’integrale, ovvero l’energia dissipata da R sarà :

q(t) = C ΔV0 e− tRC

i(t) = ΔV0

R e− t

RC

P(t) = R · i2(t)WR(t)

∞

WR(t) = ∫+∞

0P(t)dt = ∫

+∞

0R · i2(t)dt =

ΔV02

R ∫+∞

0e

−2tRC dt

e

WR(t) = ΔV0

2

R· −

RC2 ∫

+∞

0−

2RC

· e−2tRC dt = −

12

ΔV02C[e

−2tRC ]

+∞

0

WR(t) = −12

ΔV02C (−1) =

12

ΔV02C


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