Programma esame Fondamenti di Elettrotecnica

(PRIMA PARTE)

Prof :Prof : Antonio Luchetta Antonio Luchetta

Grandezze Elettriche FondamentaliGrandezze Elettriche Fondamentali

1.1. Carica elettrica Carica elettrica “Misura della quantità di particelle della materia libere di muoversi se sottoposte a forze di natura

elettrica”.

Unità di misura C = Coulomb1 C = 6,24 • 10 e e= elettroni1 e = 1,602 • 10 C

Legge di conservazione della carica elettrica:Legge di conservazione della carica elettrica:La carica elettrica non può essere creata ne distrutta, la si può solo trasferire.

18

-19

→In un sistema isolato la carica rimane costante.

2.2. Corrente elettrica Corrente elettrica “Grandezza fisica PUNTUALE che misura la velocità di variazione della carica attraverso una

superficie.

i (t) = dq / dt (la si misura in un pto )

[i (t)] = C / s = A (Ampére )1 A = è un coulomb di carica attraversa una superficie in un secondo. Per la definizione di una corrente mi occorre anche il verso

L’Ampere è una grandezza fondamentale dell’ S.I.DEF: 2 conduttori disposti nel vuoto a distanza di 1 m sono percorsi da una corrente di 1 Ampere se si attraggono con una forza reciproca di 2 • 10 -7 N/m

1° Lezione1° Lezione

∆ Corrente Stazionaria (o continua) (D.C.)Corrente Stazionaria (o continua) (D.C.) “Corrente il cui andamento è costante nel tempo” .

Ha cioè forma d’onda costante.

POLARITA’:•Positiva Se il sistema Assorbe energia per spostare la carica dal polo + al polo – •Negativa Se ho il sistema Eroga energia , tali sistemi si dicono GENERATORI ELETTRICI.GENERATORI ELETTRICI.Per tali sistemi posso parlare di (F.E.M.) forza elettro motrice.

3.3. Tensione (D.D.P) Tensione (D.D.P) “Grandezza fisica BIPOLARE che misura l’energia che occorre fornire per

spostare una certa carica da un pto A ad un pto B.

∆ Corrente Alternata (A.C.)Corrente Alternata (A.C.) “Corrente il cui andamento è sinusoidale ed ha MEDIA

NULLA” .

V (t) = d W / d q (Derivata dell’energia risp alla carica,la si misura in 2 poli ) [V (t)] = J / C = V (Volt ) N.B .Per la definizione di una tensione mi occorre anche una polaritàCioè devo capire se il sistema AssorbeAssorbe o GeneraGenera energia.

Bipolo ElettricoBipolo Elettrico

• E’ un elemento elettrico accessibile attraverso una coppia di terminali (nodi,morsetti,poli ). (modella tutti gli oggetti con corr & tensione)•E’ privo di dim geometriche (cioè queste non influenzano il suo comportamento,e ciò che vi è dentro non ci interessa).•Risulta essere univocamente caratterizzato da una corrente ed una tensione.

(Two-terminal)

4.4. Potenza elettrica Potenza elettrica “E’ la rapidità con la quale un sistema “Scambia” (assorbe o eroga) energia.

P(t) = d W / d t = d W / d q· d q / d t = V (t) · i (t)È quindi il prodotto tra la diff di pot e la corrente. [P(t)] = J /s = V·A= W (Watt)Se voglio sapere quanta energia ha assorbito un bipolo devo integrare

tt

dxxixvdxxptW )()()()(

Convenzioni per il segno potenza nel BipoloConvenzioni per il segno potenza nel Bipolo

Ovviamente io prendo una convenzione iniziale,poi ,facendo i miei calcoli o misurando con lo strumento,vedo se corretta o no.

N.B.Attaccare il bipolo ad un generatore non mi garantisce che il bip assorba ,infatti questo potrebbe erogare più ene di quanta immessa dal gen

Hp:Hp: ideali,lineari,invarianti ideali,lineari,invarianti nel tempo.nel tempo.

5

Principio di conservazione dell’ EnergiaPrincipio di conservazione dell’ EnergiaIn un sistema elettrico costituito da un numero qualsiasi di bipoli elettrici( elem.fondamentali ) per i quali sia assunta una stessa convenzione ,la somma della potenza tra loro scambiata è zero.

N

i

tPi1

0)(

2° Lezione2° Lezione

Classificazione Sistemi elettrici

Sistemi Elettrici

S.E. per l’energia.

S.E. per l’inform.

S.E. Per il controllo

SistemiSistemiElettriciElettrici

Sistema fisico che funziona per mezzo di forze el-magnetiche.

∆ per produrre,accumulare energia per produrre lavoro.

∆ Se il segnale elettrico ha un contributo informativo.

Criterio funzionaleCriterio funzionale

Sistemi Elettrici

S.E. Modellabile

come circuito elettrico.

NON Modellabile

come circuito elettrico.

Criterio ModellisticoCriterio Modellistico

Solo qui posso usare il bipolo (1

variabile)

Qui uso le eq di Maxwell (4 variabili)

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Applicabilità della Teoria dei Circuiti

HP: Variazioni delle grandezze in gioco siano molto lente rispetto ai tempi di propagazione dei fenomeni elettromagnetici nello spazio interessato dal sistema.

T = periodoT >>t em (tempi di propagazione elettromagnetici = d /C

d = dim lineare

C

d

f

1

d

Cf

Posso passare da frequenza a lunghezza d’onda

C

d

C

d

La frequenza in Italia è 50Hz7

8

105

3

50

103

f

Cd

In bassa frequenza (applicaz industriali) la teo va benissiomo.

Per alte frequenze(microonde)

1300

103 8

MHzf

Cd

In alta frequenza <non vale l’approssimazione della teoria.

Nei computer e cellulari, è vero che ci sono altissime frequenze, ma gli spazi sono molto ridotti→teoria dei circuiti è applicabile.

Questa relazione di applicabilità è come quella che intercorre tra Newton e Einstein

7

Classificazione Sistemi elettrici

i.i. Trasferimento energetico di tipo IrreversibileTrasferimento energetico di tipo IrreversibileQuando il bipolo preleva energia elettrica e la trasferisce irreversibilmente in un’altra forma.

ii.ii. Trasferimento energetico di tipo Reversibile Vincolato Trasferimento energetico di tipo Reversibile Vincolato Quando il bipolo scambia energia elettrica con l’esterno,ma in parte la ricedono. La quantità restituita NON può superare l’energia accumulata.

(es.lampadina ad incandescenza )

iii.iii. Trasferimento energetico di tipo Reversibile Non Vincolato Trasferimento energetico di tipo Reversibile Non Vincolato

(es. pila ricaricabile )

(es. presa della spina )Sistema Sistema ElettricoElettrico

Insieme di bipoli collegati tra loro.

ttiN

ii

0)(1

Leggi di Kirchoff

1.1. KclKcl (Kirchoff courrent low ) (Kirchoff courrent low ) Alle CorrentiAlle Correnti“La somma algebrica delle correnti che entrano o escono complessivamente in una superficie chiusa è istante per istante nulla.”

Si dice superficie,e non nodo, perchè infatti ad esempio continua a valere anche per:

8

2.2. KvlKvl (Kirchhoff voltage low ) (Kirchhoff voltage low ) Alle TensioniAlle Tensioni“La somma algebrica delle tensioni che si incontrano percorrendo una linea chiusa e finita (passante per i terminali di bipoli elettrici) è istante per istante nulla .”

ttvN

jj

0)(1

02765 vvvv

Multipolo ElettricoMultipolo Elettrico

• Non è caratterizzato da una tensione ed una corrente ma da Np-1 tensioni ed Np-1 correnti.Infatti l’ultima è data univocamente dalle leggi di Kirchhoff

PortaPorta Coppia di poli per i quali la corrente entrante è uguale a quella uscente.

9

Proprietà dei bipoli elettriciProprietà dei bipoli elettrici

NB:NB:”Possono essere estese anche al circuito se questo ha al suo interno tuttitutti bipoli che rispettano la proprietà in esame.”

3° Lezione3° Lezione

1.1. Linearità Linearità “Se l’effetto prodotto è proporzionale alla causa,e se risulta esser valido il principio di il principio di

sovrapposizione degli effetti :sovrapposizione degli effetti : l’effetto provocato da una somma di cause è equivalente alla somma dei singoli effetti generati dalle singole cause.”

))(()()(

))(()()(

222

111

tcftetc

tcftetc

)()())(())((

))()(()(

22112211

2211

tetetcftcf

tctcfte

Linearità Linearità

NB: NB: La linearità è un concetto ideale,in natura “nulla” è lineare.. Studiare modelli lineare è però molto più facile.

2.2. Permanenza (invarianza nel tempo)Permanenza (invarianza nel tempo) “Se l’effetto prodotto da una certa causa è indipendente dall’istante di applicazione della causa”

))(()()(

))(()()(

000 ttefttettc

tcftetc

Non cambia la relazione tra ingresso e uscita al trascorrere del tempo.

3.3. PassivitàPassività “Se l’effetto prodotto da una qualsiasi causa che si esaurisce nel tempo ,cessa anch’esso dopo

un certo tempo.

)'(

0)()(

reutilizzatodelleconvenzionnella

tdxxptwt

Un bipolo è passivo se non può erogare più energia di quanta ne ha assorbita.

10

4.4. CausalitàCausalità “Se l’effetto prodotto in qualsiasi istante dipende solo dai valori della causa che lo ha

generato precedenti a

00

00

0)(

0)(

tttcse

ttte

In particolare:In particolare:

0t

Cioè l’effetto non può dipendere da cause future.00 tt

5.5. ReciprocitàReciprocità “Scambiando la causa con l’effetto ciò che si ottiene è la situazione attuale.

Relazioni costitutive dei bipoli elettriciRelazioni costitutive dei bipoli elettrici1.1. Resistore elettrico (resistenza) Resistore elettrico (resistenza) In convenzione dell’utilizzatore

)()( tiRtv Legge di Ohm )(][ OhmA

VR

1a) Conduttanza1a) Conduttanza

E’ l’inverso della resistenza

)()( tvGti 1[ ] 1 1 ( ) 1

AG S siemens mho

V

Resistenza di un conduttore cilindrico metallico di lunghezza L , sezione S, resistività propria naturale ρ

S

LR La resistività dipende però dalla temperatura

)27(0 )1( Coriferimentattuale TTTcont

11

Quindi la resistenza: • Non è in genere lineare per la sua dip dalla temperatura

0)()()()( 2 tiRtitvtp Potenza di una resistenza

Nell’ambito dei circuiti consideriamo la resist lineare

• E’ passivo perché dissipa tutta l’energia.

• E’ permanente finchè vale la sua rel costitutiva.

2.2. CondensatoreCondensatore In convenzione dell’utilizzatore

dt

dvCti )(

C= capacità elettrica

)(][ 1 FaradFssV

AC

∆ Bipoli REATTIVI (con memoria o dinamici ) :Bipoli REATTIVI (con memoria o dinamici ) :

• è in genere lineare nelle nostre applicazioni • E’ permanente finchè vale C=cost

0)()()()( dt

dvctvtitvtp Potenza di un condensatore

t t

tvcdtdt

dvcxvcdxxptw 0)(

2

1)()()( 2 Energia scambiata

E’ quindi uno scambiatore vincolato: cioè al limite può restituire solo ciò che ha accumulato

)()( tvCtq

12

3.3. InduttoreInduttore In convenzione dell’utilizzatore

dt

diLtv )(

C= capacità elettrica

)(][ HenryHssA

VL

Duale del Condensatore

L= induttanza

• E’ lineare • E’ passivo (è uno scambiatore di energia)

• E’ permanente

)()()( Wdt

diLtitp Potenza di un induttore

)()(2

1)( 2 JtiLtw Energia scambiata

E’ quindi uno scambiatore vincolato: cioè al limite può restituire solo ciò che ha accumulato

)()( tiLtdt

diL

dt

d

Flusso

)(][ Weberwb

4.4. GeneratoreGeneratore di Tensionedi TensioneIn convenzione dell’utilizzatore

)()( tvtv g

Tensione ai capi

∆ Bipoli NON PASSIVI Bipoli NON PASSIVI (sorgenti(di segnali) o generatori (di ene) ideali indipendenti)(sorgenti(di segnali) o generatori (di ene) ideali indipendenti)

Tensione al generatore

E’ uno scambiatore non vincolato

Può o erogare più energia di quanta ha accumulato

aa

L

13

Generatori in continua

Che succede se ne metto in serie più di uno?

Va bene

Che succede se ne metto in parallelo più di uno?

Contraddice KvlContraddice Kvl ( (Kirchhoff )→ tale configurazione non è possibilenon è possibile

Ciò che si è visto vale però solo idealmente,infatti il modello REALE è:

Cioè un generatore di tensione ha SEMPRE una resistenza in serie

4.4. GeneratoreGeneratore di Correntedi CorrenteIn convenzione dell’utilizzatore

)()( titi g

Corrente attraverso Corrente al generatore

Es: )(50cos100)( Atti bb

14

Che succede se ne metto in serie più di uno?

Qui in parallelo va bene Che succede se ne metto in parallelo più di uno?

Contraddice KclContraddice Kcl ( (Kirchhoff )→ tale configurazione non è possibilenon è possibile

Ciò che si è visto vale però solo idealmente,infatti il modello REALE è:

Cioè un generatore di reale di corrente ha SEMPRE una resistenza in parallelo

Passaggio da un tipo di generatore all’altroPassaggio da un tipo di generatore all’altro Una volta fissati i parametri dell’uno posso passare all’altro

con:

4° Lezione4° Lezione

g

gg R

vi

ggg

gg iR

G

iv g

g GR

1

N.B.N.B.Tanto più uno di questi bipoli si avvicina ad ideale,tanto più il duale si allontana dal modello.

∆Un gen ideale di tensione tende ad avere resistenza interna Rg≈0→Gg Molto grande.∆Un gen ideale di corrente tende ad avere resistenza interna Rg≈ Molto grande.

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““Uno strumento che mantiene costante la tensione, non mantiene costante la corrente”.Uno strumento che mantiene costante la tensione, non mantiene costante la corrente”.““Uno strumento che mantiene costante la corrente, non mantiene costante la tensione”.Uno strumento che mantiene costante la corrente, non mantiene costante la tensione”.

5.5. Bipolo Cortocircuito CC ( o di connessione equipotenziale )Bipolo Cortocircuito CC ( o di connessione equipotenziale )

0 ivp∆Rende equipotenziali i terminali connessi.∆Non ho bisogno di energia per spostare la carica da un pto ad un altro.

Può essere visto come passaggio a limite di altri bipoli:Può essere visto come passaggio a limite di altri bipoli:

, ,Generatore di tensione spentospento

Induttore con passaggio di corrente costante.

6.6. Bipolo Circuito Aperto C.A.Bipolo Circuito Aperto C.A.

0 ivp

Esiste solo nel vuoto.Nell’aria c’è sempre una piccola conduttanza

Può essere visto come passaggio a limite di altri bipoli:Può essere visto come passaggio a limite di altri bipoli:

Generatore di corrente spentospento

Condensatore a tensione costante.

Anche questo bipolo (come il CC) non scambia potenza con l’esterno. Qualsiasi energia forniamo al bipolo, questo continua a non far scorrere corrente.

duale a primaduale a prima

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Reti Due porteReti Due porteUn quadripolo a 2 porte rappresenta bene un sistema.

Ho 4 parametri.

Trasformatore idealeTrasformatore idealeLe due porte si indicano come primario (p) e secondario (s) del trasformatore.

21 vnv

n

ii 21

““E’ un variatore di livelli di tensione di corrente”E’ un variatore di livelli di tensione di corrente”

Sono quanto di più diffuso negli apparati elettrici.

Vengono usati per:1.1. Piccoli trasf.Piccoli trasf. Dato che piccole apparecchiature funzionano con tensioni di alimentazione

basse.2.2. Grossi trasformatoriGrossi trasformatori servono perché senza alterare le quantitàquantità di energia trasferite ,alterano le

tensioni e correnti.All’uscita dei generatori di tensione delle centrali si ha una v=30 KV ma subito viene innalzata di un o.d.g la v ( ovviam in maniera inversa varia i ).Ciò si fa così da dissipare meno energia per il trasferimento.Infatti la resistenza è prop alla lunghezza , e la potenza dissipata va col quadrato della corrente! S

LRl

2iRP l

Quindi sulla linea c’è tutta una serie di trasformatori che mutano le tensioni d’uso.Sul simbolo ci sono due pti neri ● ●,che se sono in posizione omologa indicano che la corrente scorre nelle bobine nello stesso verso , se sono in posizione opposta indicano che la corrente scorre nelle bobine in opposto.

21 vnv

n

ii 21

OmologaOmologa 21 vnv

n

ii 21

OppostaOppostaSe non presenti sono assunti in posizione omologa.

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Nel caso generico:

21 vnvm

n

i

m

i 21

Sistemi Sistemi di Bipolidi Bipoli

Circuito formato da elem bipolari connessi tra di loro attraverso terminali(o con cortocircuiti).

Dato un sistema elettr la sua soluzione è sapere 2R ( R= n° bipoli della rete )grandezze. (R tensioni vi, R correnti ii)

Quali strumenti abbiamo?Quali strumenti abbiamo?

1.1. Equazioni costitutiveEquazioni costitutive di tutti i singoli bipoli (in n°R )2.2. Leggi di KirchhoffLeggi di Kirchhoff →i tutti i singoli bipoli (in n°R )

3.3. Principio di Sostituzione (o di Equival.) Principio di Sostituzione (o di Equival.) Data una rete elettrica è possibile sostituirne una qualsiasi PORZIONE (sottorete)accessibile attraverso una coppia di terminali ,con un singolo elemento(bipolo) che mantenga inalterate le relazioni tra tensione e corrente sulla coppia di terminali(abbia quindi la stessa relazione costituita del bipolo che vi sostituiamo).

Risoluzione di Sistemi costituiti da bipoli Risoluzione di Sistemi costituiti da bipoli

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3.3. Corollario Corollario In particolare è possibile sostituire qualsiasi porzione di rete con un generatore indipendente di corrente o di tensione che imponga il valore della tensione tra i terminali o il valore della corrente.(si può far sempre tranne se ciò che rimane della rete è un generatore dello stesso tipo di quello sostituito.

1.1. Connessione in SERIE di resistenze:Connessione in SERIE di resistenze:

• Si ha quando 2 o più bipoli sono percorsi dalla stessa corrente• Sono connessi da un solo polo al successivo elemento bipolare.

Ricavo il bipolo resistivo equivalenteSu di ogni singolo bipolo ho per la kvl ho iii iRv

N

ieqi

N

iii iRRiiRv

11

““La resistenza equivalente di elementi connessi in serie è La resistenza equivalente di elementi connessi in serie è uguale alla sommatoria di tutte le resistenze.”uguale alla sommatoria di tutte le resistenze.”

N

iieq RR

1

2.2. Connessione in PARALLELO di resistenze:Connessione in PARALLELO di resistenze:• Si ha quando 2 o più bipoli hanno ai capi la stessa ddp.•Sono fisicamente connessi da entambi i loro estremi.

Ricavo il bipolo resistivo equivalenteSu di ogni singolo bipolo ho per la Kcl ho

““La resistenza equivalente di elementi connessi in serie è uguale a uno sulla La resistenza equivalente di elementi connessi in serie è uguale a uno sulla sommatoria di tutte le conduttanze.”sommatoria di tutte le conduttanze.”

N

i i

eq

R

R

1

11

ii vGi

N

i

N

ieqiii

N

ii GvGvvGii

1 11

PARTICOLARI TIPI DI CONNESSIONE:PARTICOLARI TIPI DI CONNESSIONE:

19

““per il caso n=2”per il caso n=2”

21

21

RR

RRReq

Quel che si è visto vale anche per gli induttori ed i condensatori IN SERIE :Quel che si è visto vale anche per gli induttori ed i condensatori IN SERIE :

““analogo alle resistenze”analogo alle resistenze”

N

iieq LL

1

N

i i

eq

C

c

1

11

““analogo alle analogo alle conduttanze”conduttanze”

Quel che si è visto vale anche per gli induttori ed i condensatori IN PARALLELO :Quel che si è visto vale anche per gli induttori ed i condensatori IN PARALLELO :

i

eq

L

L11

N

iieq CC

1

““analogo alle conduttanze”analogo alle conduttanze”

““analogo alle resistenze”analogo alle resistenze”Quindi c’è Quindi c’è analogiaanalogia tra il comportamento di tra il comportamento di resistenze & induttoriresistenze & induttori e e tra conduttanze & tra conduttanze &

condenzatoricondenzatoriChe succede ai generatori?Che succede ai generatori?a) Di Tensionea) Di Tensione

NON si possono mettere in PARALLELO

b) Di Correnteb) Di Corrente

NON si possono mettere in SERIE

N

iigg vv

1

N

iigg ii

1

20

OSSERVAZIONI SEMPLIFICANTI :OSSERVAZIONI SEMPLIFICANTI :

1)1) ““Posso sostituirvi il SOLO generatore di tensione”Posso sostituirvi il SOLO generatore di tensione”

Un generatore di tensione impone la stessa tensione a qualsiasi bipolo connesso in parallelo a lui.

2)2) ““Posso sostituirvi il SOLO generatore di corrente”Posso sostituirvi il SOLO generatore di corrente”

CONFIGURAZIONE DEI PARTITORI :CONFIGURAZIONE DEI PARTITORI :

1.1. Partitore di TensionePartitore di Tensione““Sorgente di tensione che ripartisce la sua tensione su un insieme di elementi connessi in serie”Sorgente di tensione che ripartisce la sua tensione su un insieme di elementi connessi in serie”

Mi chiedo come si ripartisce la tensione .Sicuramente la corrente che scorre su tutti sarà

gN

ii

kkk v

R

RiRv

1

N

ii

g

R

vi

1

Su ciascuna resistenza

2.2. Partitore di CorrentePartitore di Corrente““Sorgente di corrente che ripartisce la sua corrente su un insieme di elementi connessi in Sorgente di corrente che ripartisce la sua corrente su un insieme di elementi connessi in

parallelo”parallelo” Mi chiedo come si ripartisce la correntecorrente.Sicuramente la tensione ai capi sarà

gN

ii

kk i

G

Gi

1

1

g

N

ii

iv

G

Sulla singola conduttanza

21

““Per due sole conduttanze”Per due sole conduttanze”giRR

Ri

21

12

5° Lezione5° Lezione

““Quando più elementi sono disposti in serie posso scambiarli tra loro di posto come voglio.Quando più elementi sono disposti in serie posso scambiarli tra loro di posto come voglio.

Consideriamo il seguente circuito:

ggc

C vRR

Rv

0

Tale valore: Tanto più la resistenza diventa piccola.Cioè tanto più la resistenza interna è trascurabile rispetto alla resistenza a valle.

Questo è equivalente a :

gg vR 0

g

g

cg

gc

g i

R

Ri

RR

Ri

1

10

Tale valore: Tanto più la resistenza diventa grande.Cioè con un generatore di corrente tanto più la resistenza interna è grande, tanto più tende a prevaricare le altre, quindi la corrente tenderà ad essere costante.

Per il partitore di tensione

Per il partitore di corrente

Per il partitore di tensione

gg iR

22

Trasformazioni STELLA -TRIANGOLOTrasformazioni STELLA -TRIANGOLOConsentono di ovviare a tutte quelle situazioni in cui le trasformazioni serie-parallelo non riescono a risolvere il problema.

1.1. Stella-triangoloStella-triangolo

Ho una situazione iniziale con 3 resistenze con un vertice centrale in comune(centro stella),e passo in una configurazione a triangolo.

c

cacbbaab R

RRRRRRR

Cioè in generale è data da tutti i doppi prodotti al numeratore fratto l’unica resistenza esclusa al denominatore

bcacab

acaba RRR

RRR

Cioè in generale è data dal prodotta delle resistenze adiacenti allo spigolo considerato fratto la somma di tutte le resistenze.

2.2. Stella-triangoloStella-triangolo

3.3. Se le resistenze hanno ugual valoreSe le resistenze hanno ugual valore

RR

RR

3

1

3

23

Teorema di MILLMANN :Teorema di MILLMANN :

Osserviamo che in ogni ramo scorre una certa corrente

Dato un certo n° di generatori realigeneratori reali connessi tra loro in parallelo

Applico l’equilibrio alle correnti sulla superficie Kvl

1

11

g

gabg R

vvi

La tensione a gli estremi è pari alla somma dei prodotti tra le conduttanze e le relative tensioni,fratto la somma delle conduttanze.

gN

gNabgN R

vvi

quindi01

N

igii 0

1

N

i gi

giab

R

vv Otteniamo il Otteniamo il teorema di Millmanteorema di Millman

N

igi

N

iggi

ab

G

vGv

1

11

1.1. CasoCaso particolareparticolare

Ho un generatore idealeideale di corrente

Dato che è gen ideale di corr non computo la sua resist.

N

igi

N

igkggi

ab

Gkicon

ivGkiconv

1

11

2.2. CasoCaso particolareparticolare

Non cambia la formula, ma devo notare che

Ho un generatore realereale di corrente

gkgkgk iRv

24

3.3. CasoCaso particolareparticolare

Ho un ramo con solo una resistenza.

Dato che è gen ideale di corr non computo la sua resist.

N

igi

N

iggi

ab

G

vGkiconv

1

11

Ci metto un gen di tens nullo (fittizio)

Teoremi delle Sorgenti EquivalentiTeoremi delle Sorgenti EquivalentiTeorema di Thevenin :Teorema di Thevenin :

Hp: una rete o una sua porzione lineare,accessibile tramite una coppia di terminali a-b, ammette come rappresentazione “esterna” equivalente un generatore ideale di tensione in serie ad una resistenza (generatore reale di tensione).

Dove RgTh vTh sono la resistenza equivalente e la tensione eq.di Thevenin

Il generatore di Thevenin imprime il valore di tensione corrispondente alla tensione presente a tensione presente a vuotovuoto tra i terminali a-bA vuoto =A vuoto = Terminali aperti,conduttanza nulla (resist ∞) (non deve scorrere corrente)

25

La Rth res.eq è la resistenza elettr misurata tra i terminali a-b, una volta che siano stati annullati i generatori indipendenti presenti nella rete.

N.B. *ANNULLARE un generatore Di Tensione →vuol dire sostituirvi un cortocircuito.

Di Corrente →vuol dire sostituirvi un circuito aperto

Teorema di Norton ( duale del precedente)Teorema di Norton ( duale del precedente)Hp:Se ho una rete o una sua porzione lineare,accessibile tramite una coppia di terminali a-b,ammette come rappresentazione “esterna” equivalente un generatore ideale di corrente in parallelo ad una conduttanza (generatore reale di corrente).

Dove GgN igN sono la conduttanza equivalente e la corrente eq.di Norton

Il generatore di Norton imprime il valore di corrente corrispondente alla corrente presente corrente presente tra i terminali a-b chiusi in cortocircuito .La GN conduttanza .eq, è la conduttanza misurata tra i terminali a-b, una volta che siano stati annullati i generatori indipendenti presenti nella rete. (*)

APPLICABILITAAPPLICABILITA’’ Thevenin non è applicabile ai sistemi che si comportano come generatori ideali di corrente

Norton non è applicabile ai sistemi che si comportano come generatori ideali di tensione

26

Passaggi Norton-Passaggi Norton-TheveninThevenin

g

ggN R

vi

gN

gNTh G

iv

NTh GR

1

thgN R

G1

P.S.E. Principio di sovrapposizione degli effettiP.S.E. Principio di sovrapposizione degli effetti““L’effetto che si ha in un circuito con più generatori di corrente e tensione è uguale alla somma L’effetto che si ha in un circuito con più generatori di corrente e tensione è uguale alla somma degli effetti avuti di volta in volta spegnendo (annullando) tutti i generatori tranne quello degli effetti avuti di volta in volta spegnendo (annullando) tutti i generatori tranne quello considerato.”considerato.”

Differenza tra l’uso diDifferenza tra l’uso di TheveninThevenin o o principio di Sostituzioneprincipio di Sostituzione

Se volessi sostituire qualcosa a sx di mn con Se volessi sostituire qualcosa a sx di mn con thevenin devo fare 2 conti mentre col princ di thevenin devo fare 2 conti mentre col princ di sost me ne basta 1.Perchè lavorare di più?sost me ne basta 1.Perchè lavorare di più?

La differenza stà nel aggettivo La differenza stà nel aggettivo “ESTERNA”.“ESTERNA”.Cioè Cioè TheveninThevenin è indipendente da tutto ciò che ho a valle . è indipendente da tutto ciò che ho a valle .Quindi se cambio le resistenze a valle Quindi se cambio le resistenze a valle thth rimane invariato rimane invariato, mentre col , mentre col princ di sostprinc di sost devo rifaredevo rifare ogni ogni volta il conto da capo(sistema rigido e fisso).volta il conto da capo(sistema rigido e fisso).

N.B.: La Rth la si può trovare anche comeN

Theq I

VR

27

Metodo ai Nodi & Metodo alle maglieMetodo ai Nodi & Metodo alle maglieGrafo di un Grafo di un circuitocircuito

E’ il tracciato grafico(schema) che si ottiene sostituendo ad ogni bipolo (che non sia equipotenziale (C.C.)) che costituisce il circuito, un segmento di linea.

Grafo Grafo orientatoorientato

Se ad ogni suo segmento si associa un verso.

RR=6=6NN=4=4

Nel nostro problema noi abbiamo 2R incognite (R tensioni e R correnti)Si ha a disposizione R relazioni costitutive .In più Kircoff (KCL) mi consente di scrivere N-1 equazioni indipendenti ai nodiOppure con la KVL R-N+1 equazioni alle maglie .

RamoRamo ogni segmento che costituisce il grafo (n°rami=n bipoli )NodoNodo Pto di intersezione tra due o più rami del garfo.

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Metodo ai Nodi Metodo ai Nodi

NN nodi nodiRR rami rami

Per ora ci riferiamo a circuiti con questi soli bipoli

Procedura:Procedura:1) Scegliere un Nodo di riferimento. simbolo 02) Assumiamo come incognite del mio problema le N-1 tensioni di nodo.3) Scrivo le N-1 equazioni di equilibrio in corrente in corrente (kcl)una per ognuno dei nodi, inserendo

opportunamente le equazioni costit. dei bipoli. (Metto positive quelle del nodo,negative le altre)

Tensioni Tensioni di Nododi Nodo

Tensione tra un nodo del mio circuito ed il nodo di riferimento

N.B. Le equazioni che mi mancano le posso ottenere come combinazione lineare di queste.

Le equazione tipo è:

Somma delle correnti uscenti =Somma delle correnti uscenti = Somma delle correnti entrantiSomma delle correnti entrantiDai rami con resistoriDai rami con resistori Da rami con generatoriDa rami con generatori

Nell’eq di un determinato nodo tutti termini a sx dell’ uguale saranno del tipo :Vnodo considerato – qualcosa ,perché sto considerando le uscenti.

Raccolgo ordinando per incognita ,e scrivendo le conduttanze,lasciando lo zero dove non vi sia l’incognita

Con un sistema ad N nodi ottengo una matrice risolvente DI CONDUTTANZE [G] є R

N.B. 1. Gli elementi della diagonale sono la somma delle conduttanze connesse all’i-esimo nodo

N

iiii Gg

1

2. Gli elementi fuori diagonale sono la somma cambiata di segno delle conduttanze tra il nodo i ed il nodo j

N

ji

iijij Gg

1

(N-1)x(N-1)

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Metodo alle MaglieMetodo alle Maglie

NN nodi nodiRR rami rami

Per ora ci riferiamo a circuiti con questi soli bipoli

MagliaMaglia Percorso chiuso e finito formato da bipoli

HP.HP. Lo si può applicare a circuiti planari

Le maglie planari in un circuito sono in numero ben determinato

6° Lezione6° LezioneDuale dei nodi

Circuiti Circuiti PlanariPlanari

Contengono solo maglie planari,cioè maglie che non contengono altre maglie,e che è possibile tracciare senza intersecare altri rami.

Ci sono casi dove non è possibile avere tutte e sole maglie planari →qui non si può usare.

NB.NB. Falso non planare

Procedura:Procedura:1) Scelgo R-N+1 maglie planari2) Assumiamo come incognite del mio problema le R-N+1 “correnti fittizie” I“correnti fittizie” I di maglia

(prese con senso orario)3) Scrivo le R-N+1 equazioni di equilibrio in tensione (kvl) inserendo opportunamente le

equazioni costitutive dei bipoli.

““correnti fittizie”correnti fittizie” : Perché le I vere e proprie scorrono nel generatore Vg, o al limite sui rami periferici.

Sui rami non periferici scorre una combinazione lineare delle correnti.(applicabile anche a sistemi idraulici)

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N.B. Le matrici che vengono dall’ applicazione di questi due metodi risolutivi sono simmetrichesimmetriche.

Raccolgo ordinando per incognita I , scrivendo le resistenze,lasciando lo zero dove non vi sia l’incognita

Con un sistema ad N nodi ottengo una matrice risolvente DI RESISTENZE [R] є R

N.B. 1. Gli elementi della diagonale sono la somma delle resistenze sull’ i-esima maglia.

N

iiii Rr

1

2. Gli elementi fuori diagonale sono la somma cambiata di segno delle resistenze comuni alla maglia i-esima e la maglia j-esima

N

ji

iijij Rr

1

(R-N+1)x(R-N+1)

Quale metodo scegliere?

Un buon criterio può essere confrontare il n° di equazioni da dover scrivere.IL metodo ai nodi è comunque più usato, perché è di facile implementazione ,e si può applicare a qualsiasi circuito.

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Metodi Metodi Modificati Modificati Nodi & MaglieNodi & Maglie

1)Considero il generatore di tensione inizialmente come se fosse di corrente,associandogli una corrente (in convenzione dell’utilizzatore + a - )

1). Nodi in presenza di gen. Di tensione.1). Nodi in presenza di gen. Di tensione.

N.B. Nel metodo ai nodi il nodo di riferimento posso sceglierlo io.Quindi mi conviene scegliere quello a cui sono connessi il maggior numero di generatori di tensione.

Ix22) Scrivo un’equazione per ogni nodo come V nod ·(1/R ) per il nodo considerato e- nei nodi adiacenti. Eguaglio a Ix1 con segno + se entra nel nodo,- se esce.

0)111

()1

()1

()

)1

()11

()1

()

)1

()1

()11

()

45225

22211

5151

RRRV

RV

RVnc

IR

VRR

VR

Vnb

IR

VR

VRR

Vna

cba

xcba

gcba

3) Per scrivere l’equazione Aggiuntiva la tensione del nodo dove entra – la tensione del nodo dove esce=+ valore del generatore.

) b gAgg V V

32

Metodi Metodi Modificati Modificati Nodi & MaglieNodi & Maglie

1)Considero il generatore di corrente inizialmente come se fosse di tensione,associandogli una tensione (nella direzione della corrente associata )

2). Maglie in presenza di gen. Di corrente .2). Maglie in presenza di gen. Di corrente .

2) nell’equazione di maglia scrivo a sx le I e a dx metto le incognite inserite (V y) con il verso che hanno rispetto alla corrente I . Idem per i generatori di tensione considerando il verso da + uscente.

V y+

0)()()()3

)()()2

)()()1

42132211

23322

1311

RRRIRIRIm

VRIRRIm

VVRIRIm

g

gy

3) Per scrivere l’equazione Aggiuntiva prendo positiva la I che ha il verso come il generatore di corrente in considerazione .Scrivo a sx il bilancio di correnti e a dx il valore del gen di corrente

1) gAgg I I

4) Per scrivere l’equazione dell’incognita richiesta applico Ohm4 3) xRic V R I

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TrasformatoriTrasformatoriTrasformatore idealeTrasformatore ideale

Le due porte si indicano come primario (p) e secondario (s) del trasformatore.

n

ii 21

““E’ un variatore di livelli di tensione di corrente”E’ un variatore di livelli di tensione di corrente”

Sul simbolo ci sono due pti neri ● ●,che se sono in posizione omologa indicano che la corrente scorre nelle bobine nello stesso verso , se sono in posizione opposta indicano che la corrente scorre nelle bobine in opposto.

21 vnv

n

ii 21

OmologaOmologa 21 vnv

n

ii 21

OppostaOppostaSe non presenti sono assunti in posizione omologa.

Riflessione delle ResistenzeRiflessione delle ResistenzeRelazione che si può adottare se primario e secondario non hanno elementi a comune.

Quale è la resistenza equivalente di Primario ora che ho chiuso il secondario con una resistenza?

RnRp 2““E’ quindi anche un variatore di resistenze “E’ quindi anche un variatore di resistenze “

Quale è la resistenza equivalente di Secondario ora che ho chiuso il Primario con una resistenza?

2n

RRs

Gabriele Amici .Gabriele Amici .