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Corso di formazioneCorso di formazione

Gruppo MatematicaGruppo Matematica

Autori:Autori:

Assunta Ferracane – Anna LacavaAssunta Ferracane – Anna Lacava

Titolo Titolo L’equivalenza con CabriL’equivalenza con Cabri

L’equivalenza con CabriL’equivalenza con Cabri

Il contesto

Il problema Proposta operativa

Come procedere

Il contesto Il contesto

L’argomento viene trattato in una seconda L’argomento viene trattato in una seconda classe di un Liceo Scientifico.classe di un Liceo Scientifico.

Il lavoro originario presenta dei collegamenti Il lavoro originario presenta dei collegamenti al software “Cabri geometre II” in modo al software “Cabri geometre II” in modo che gli allievi possano muovere e che gli allievi possano muovere e trasformare in qualche modo gli oggetti trasformare in qualche modo gli oggetti presentati.presentati.

Qui viene data solo una presentazione Qui viene data solo una presentazione visiva di alcuni passaggi.visiva di alcuni passaggi.

Il problemaIl problema

La Matematica è una disciplina poco amata dagli La Matematica è una disciplina poco amata dagli studenti poiché essi, il più delle volte, non studenti poiché essi, il più delle volte, non riescono a vedere la sua applicazione nella riescono a vedere la sua applicazione nella realtà. Il teorema di Pitagora, ad esempio, è da realtà. Il teorema di Pitagora, ad esempio, è da sempre richiamato alla mente come un ricordo sempre richiamato alla mente come un ricordo sgradevole di qualcosa che si era stati costretti sgradevole di qualcosa che si era stati costretti ad imparare “Il quadrato costruito sull’ipotenusa ad imparare “Il quadrato costruito sull’ipotenusa di un triangolo rettangolo è equivalente alla di un triangolo rettangolo è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti”……somma dei quadrati costruiti sui cateti”……

Le cose forse andrebbero meglio se si potesse Le cose forse andrebbero meglio se si potesse visualizzare in modo accattivante e magari visualizzare in modo accattivante e magari manipolare gli oggetti di studio.manipolare gli oggetti di studio.

Proposte operative Proposte operative

L’uso di software grafici come L’uso di software grafici come “Cabri geometre” o di altri simili “Cabri geometre” o di altri simili potrebbe aiutare il docente nel potrebbe aiutare il docente nel motivare i propri studenti?motivare i propri studenti?

Come procedere Come procedere

Nel lavoro che segue gli studenti Nel lavoro che segue gli studenti vengono guidati al concetto di vengono guidati al concetto di equivalenza di figure piane e allo equivalenza di figure piane e allo studio di alcuni teoremi studio di alcuni teoremi sull’equivalenza.sull’equivalenza.

Primo approccio Primo approccio

Primo esempio Primo esempio

Altro esempio Altro esempio

Estensione superficialeEstensione superficiale

Quello che accomuna le due figure, viste negli esempi, non Quello che accomuna le due figure, viste negli esempi, non è quindi la loro forma e perciò non vi è la congruenza.è quindi la loro forma e perciò non vi è la congruenza.

Tutte le figure, indipendentemente dalla loro forma, hanno Tutte le figure, indipendentemente dalla loro forma, hanno una certa una certa estensioneestensione..

Poiché si tratta di un concetto primitivo non si può definire Poiché si tratta di un concetto primitivo non si può definire la parola estensione con parole più semplici.la parola estensione con parole più semplici.

Dagli esempi visti e da altri che si potrebbero fare si può Dagli esempi visti e da altri che si potrebbero fare si può però intuire che, pur non potendo definire il concetto di però intuire che, pur non potendo definire il concetto di estensione, è possibile confrontare due figure riguardo estensione, è possibile confrontare due figure riguardo alla loro estensione superficiale.alla loro estensione superficiale.

Due superfici aventi la stessa Due superfici aventi la stessa estensione si dicono estensione si dicono

equivalentiequivalenti

Equiscomposizione Equiscomposizione

L’equivalenza, a volte, L’equivalenza, a volte, viene denominata viene denominata equiscomposizione.equiscomposizione.

Due figure si dicono Due figure si dicono equicomposte o equicomposte o equiscomponibili se si equiscomponibili se si possono decomporrepossono decomporrein parti rispettivamente in parti rispettivamente congruenticongruenti

Come si nota dalla figura Come si nota dalla figura a latoa lato

Tangram Tangram

Qualche allievo potrebbe a questo punto Qualche allievo potrebbe a questo punto ricordare un gioco posseduto da bambinoricordare un gioco posseduto da bambino

Il tangram!Il tangram!

In effetti si tratta di un insieme di forme In effetti si tratta di un insieme di forme geometriche che, accostate, formano geometriche che, accostate, formano oggetti di varia natura. Poiché si usano gli oggetti di varia natura. Poiché si usano gli stessi pezzi, si formano proprio figure stessi pezzi, si formano proprio figure equicomposte. equicomposte.

Tangram 1Tangram 1

Uso del Tangram per rappresenta-re un gatto

Equivalenza di parallelogrammiEquivalenza di parallelogrammiteorema: due parallelogrammi che hanno rispettivamente congruenti le basi e le teorema: due parallelogrammi che hanno rispettivamente congruenti le basi e le

altezze corrispondenti sono equivalentialtezze corrispondenti sono equivalenti

Equivalenza di parallelogrammiEquivalenza di parallelogrammiteorema: due parallelogrammi che hanno rispettivamente congruenti le basi e le teorema: due parallelogrammi che hanno rispettivamente congruenti le basi e le

altezze corrispondenti sono equivalentialtezze corrispondenti sono equivalenti

Equivalenza di parallelogrammiEquivalenza di parallelogrammiteorema: due parallelogrammi che hanno rispettivamente congruenti le basi e le teorema: due parallelogrammi che hanno rispettivamente congruenti le basi e le

altezze corrispondenti sono equivalentialtezze corrispondenti sono equivalenti

Triangoli e parallelogrammiTriangoli e parallelogrammiteorema: un triangolo è equivalente ad un parallelogramma che abbia per base teorema: un triangolo è equivalente ad un parallelogramma che abbia per base

metà base e per altezza la stessa altezza del triangolometà base e per altezza la stessa altezza del triangolo

Triangoli e parallelogrammiTriangoli e parallelogrammiteorema: un triangolo è equivalente ad un parallelogramma che abbia per base teorema: un triangolo è equivalente ad un parallelogramma che abbia per base

metà base e per altezza la stessa altezza del triangolometà base e per altezza la stessa altezza del triangolo

prima animazione

seconda animazione

Trapezi e triangoli Trapezi e triangoli teorema: un trapezio è equivalente a un triangolo avente base congruente alla teorema: un trapezio è equivalente a un triangolo avente base congruente alla

somma delle basi del trapezio ed altezza congruentesomma delle basi del trapezio ed altezza congruente

Trapezi e triangoli Trapezi e triangoli teorema: un trapezio è equivalente a un triangolo avente base congruente alla teorema: un trapezio è equivalente a un triangolo avente base congruente alla

somma delle basi del trapezio ed altezza congruentesomma delle basi del trapezio ed altezza congruente

Prova l’animazione

Poligono circoscritto e triangolo Poligono circoscritto e triangolo teorema: ogni poligono circoscritto ad una circonferenza è equivalente ad un teorema: ogni poligono circoscritto ad una circonferenza è equivalente ad un triangolo avente per base il perimetro del poligono e per altezza il raggio della triangolo avente per base il perimetro del poligono e per altezza il raggio della

circonferenzacirconferenza

Euclide 1 Euclide 1 teorema: in ogni triangolo rettangolo il quadrato di un cateto è equivalente al teorema: in ogni triangolo rettangolo il quadrato di un cateto è equivalente al

rettangolo dell’ipotenusa e della proiezione del cateto sull’ipotenusarettangolo dell’ipotenusa e della proiezione del cateto sull’ipotenusa

Euclide 1 Euclide 1 teorema: in ogni triangolo rettangolo il quadrato di un cateto è equivalente al teorema: in ogni triangolo rettangolo il quadrato di un cateto è equivalente al

rettangolo dell’ipotenusa e della proiezione del cateto sull’ipotenusarettangolo dell’ipotenusa e della proiezione del cateto sull’ipotenusa

Euclide 1 Euclide 1 teorema: in ogni triangolo rettangolo il quadrato di un cateto è equivalente al teorema: in ogni triangolo rettangolo il quadrato di un cateto è equivalente al

rettangolo dell’ipotenusa e della proiezione del cateto sull’ipotenusarettangolo dell’ipotenusa e della proiezione del cateto sull’ipotenusa

Euclide 1 Euclide 1 teorema: in ogni triangolo rettangolo il quadrato di un cateto è equivalente al teorema: in ogni triangolo rettangolo il quadrato di un cateto è equivalente al

rettangolo dell’ipotenusa e della proiezione del cateto sull’ipotenusarettangolo dell’ipotenusa e della proiezione del cateto sull’ipotenusa

PitagoraPitagorateorema: in ogni triangolo rettangolo il quadrato dell’ipotenusa è equivalente teorema: in ogni triangolo rettangolo il quadrato dell’ipotenusa è equivalente

alla somma dei quadrati dei due catetialla somma dei quadrati dei due cateti

PitagoraPitagorateorema: in ogni triangolo rettangolo il quadrato dell’ipotenusa è equivalente teorema: in ogni triangolo rettangolo il quadrato dell’ipotenusa è equivalente

alla somma dei quadrati dei due catetialla somma dei quadrati dei due cateti

PitagoraPitagorateorema: in ogni triangolo rettangolo il quadrato dell’ipotenusa è equivalente teorema: in ogni triangolo rettangolo il quadrato dell’ipotenusa è equivalente

alla somma dei quadrati dei due catetialla somma dei quadrati dei due cateti

Euclide 2Euclide 2teorema: in ogni triangolo rettangolo il quadrato dell’altezza relativa teorema: in ogni triangolo rettangolo il quadrato dell’altezza relativa

all’ipotenusa è equivalente al rettangolo delle proiezioni dei cateti sull’ipotenusaall’ipotenusa è equivalente al rettangolo delle proiezioni dei cateti sull’ipotenusa

Euclide 2Euclide 2teorema: in ogni triangolo rettangolo il quadrato dell’altezza relativa teorema: in ogni triangolo rettangolo il quadrato dell’altezza relativa

all’ipotenusa è equivalente al rettangolo delle proiezioni dei cateti sull’ipotenusaall’ipotenusa è equivalente al rettangolo delle proiezioni dei cateti sull’ipotenusa

Euclide 2Euclide 2teorema: in ogni triangolo rettangolo il quadrato dell’altezza relativa teorema: in ogni triangolo rettangolo il quadrato dell’altezza relativa

all’ipotenusa è equivalente al rettangolo delle proiezioni dei cateti sull’ipotenusaall’ipotenusa è equivalente al rettangolo delle proiezioni dei cateti sull’ipotenusa

Euclide 2Euclide 2teorema: in ogni triangolo rettangolo il quadrato dell’altezza relativa teorema: in ogni triangolo rettangolo il quadrato dell’altezza relativa

all’ipotenusa è equivalente al rettangolo delle proiezioni dei cateti sull’ipotenusaall’ipotenusa è equivalente al rettangolo delle proiezioni dei cateti sull’ipotenusa

Credits Credits

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