Progetto DigiScuola Corso di formazione Gruppo Matematica Autori: Assunta Ferracane – Anna Lacava...

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Corso di formazioneCorso di formazione

Gruppo MatematicaGruppo Matematica

Autori:Autori:

Assunta Ferracane – Anna LacavaAssunta Ferracane – Anna Lacavacon il contributo di due alunnicon il contributo di due alunni

Titolo Titolo Scomposizione di polinomiScomposizione di polinomi

Perché scomporre i polinomi?Perché scomporre i polinomi?

E’ bene che chi studia l’algebra non senta mai parlare di E’ bene che chi studia l’algebra non senta mai parlare di decomposizione in fattori e, tranne alcuni casi semplici, ignori decomposizione in fattori e, tranne alcuni casi semplici, ignori tutti gli altri? tutti gli altri? Che non si eserciti affatto sulle scomposizioni in fattori? Che non si eserciti affatto sulle scomposizioni in fattori? Non è facile rispondere a queste domande. E’ raro però che i Non è facile rispondere a queste domande. E’ raro però che i calcoli algebrici usino un solo tipo di procedimento. Nel bel calcoli algebrici usino un solo tipo di procedimento. Nel bel mezzo di un ragionamento può capitare un passaggio che mezzo di un ragionamento può capitare un passaggio che richiede una qualche conoscenza delle decomposizioni in richiede una qualche conoscenza delle decomposizioni in fattori e generare difficoltà per chi non ne conosca la tecnica.fattori e generare difficoltà per chi non ne conosca la tecnica.

[ W.W. Sawyer – Guida all’insegnamento della Matematica – Boringhieri][ W.W. Sawyer – Guida all’insegnamento della Matematica – Boringhieri]

Perché scomporre i polinomi?Perché scomporre i polinomi?

Vediamo con degli esempi le ragioni Vediamo con degli esempi le ragioni

che consigliano che consigliano

di apprendere la scomposizione in fattoridi apprendere la scomposizione in fattori ..

Primo esempioPrimo esempio

Le due espressioni:Le due espressioni:

A: (n+1)(n+2)(n+3) eA: (n+1)(n+2)(n+3) e

B: nB: n33 + 6n + 6n22 + 11n + 6 + 11n + 6

Hanno lo stesso significato: si passa dalla prima alla seconda svolgendo i Hanno lo stesso significato: si passa dalla prima alla seconda svolgendo i prodotti.prodotti.

Si passa dalla seconda alla prima decomponendo in fattori. Si passa dalla seconda alla prima decomponendo in fattori.

Per quale motivo dovremmo desiderare la forma decomposta?Per quale motivo dovremmo desiderare la forma decomposta?

Un motivo è che tale forma spesso facilita i calcoli. Ad esempio, se ad n diamo Un motivo è che tale forma spesso facilita i calcoli. Ad esempio, se ad n diamo il valore 8 : il valore 8 :

In A otteniamo 9*10*11 che si vede facilmente essere 990In A otteniamo 9*10*11 che si vede facilmente essere 990 In B otteniamo ancora 990 ma con un sensibile aumento di lavoro.In B otteniamo ancora 990 ma con un sensibile aumento di lavoro.

Secondo esempioSecondo esempio

Eseguiamo i calcoli:Eseguiamo i calcoli:2*2 - 1*3 =2*2 - 1*3 =3*3 - 2*4 =3*3 - 2*4 =4*4 - 3*5 =4*4 - 3*5 =……….. o, in generale……….. o, in generalex*x - (x-1)(x+1) =x*x - (x-1)(x+1) = In ogni caso troviamo 1 In ogni caso troviamo 1

Riscriviamo il tutto nell’altra formaRiscriviamo il tutto nell’altra forma2*2 – 1 = 1*32*2 – 1 = 1*33*3 – 1 = 2*43*3 – 1 = 2*44*4 – 1 = 3*5 4*4 – 1 = 3*5 …………….. o, in generale …………….. o, in generale

x*x – 1 = (x-1)(x+1) o xx*x – 1 = (x-1)(x+1) o x2 2 - 1- 1 = (x -1)(x +1)= (x -1)(x +1)

Secondo esempioSecondo esempioAbbiamo ottenuto xAbbiamo ottenuto x2 2 - 1- 1 = (x -1)(x +1)= (x -1)(x +1)

In modo analogo si ricava xIn modo analogo si ricava x2 2 - 4= (x -2)(x +2)- 4= (x -2)(x +2) xx2 2 - 9- 9 = (x -3)(x +3)= (x -3)(x +3) ………………… ………………… A cosa serve tutto ciò?A cosa serve tutto ciò?

Il prodotto 29*31 è più semplice se eseguito come 30Il prodotto 29*31 è più semplice se eseguito come 3022 – 1 = 900 – 1 = 899 – 1 = 900 – 1 = 899

E 18E 1822 ? Da 18 ? Da 182 2 – 4– 4 = 16*20 si ottiene facilmente = 16*20 si ottiene facilmente 181822 = 320 + 4 = 324 = 320 + 4 = 324

E non solo !E non solo ! guardiamo gli altri esempiguardiamo gli altri esempi

Terzo esempioTerzo esempio

Se indichiamo con A l’area di un triangolo di lati a, b, c Se indichiamo con A l’area di un triangolo di lati a, b, c

esiste una formula che consente di calcolare l’area in funzione dei lati.esiste una formula che consente di calcolare l’area in funzione dei lati.

La formula può essere scritta nei due modi equivalenti:La formula può essere scritta nei due modi equivalenti:

16A16A22 = 2b = 2b22cc22 + 2c + 2c22aa22 + 2a + 2a22bb22 – a – a44 – b – b44 – c – c44

16A16A22 = (a + b + c) (b + c – a)(a + c – b)(a + b –c) = (a + b + c) (b + c – a)(a + c – b)(a + b –c)

La forma decomposta è senz’altro più facilmente calcolabile. La forma decomposta è senz’altro più facilmente calcolabile.

Inoltre vediamo che uno dei fattori è (a + b – c): Inoltre vediamo che uno dei fattori è (a + b – c):

cosa succede c = a + b? Tale fattore sarà nullo e quindi l’area del triangolo,cosa succede c = a + b? Tale fattore sarà nullo e quindi l’area del triangolo,

usando tale forma, sarà nulla, in accordo col fatto che il triangolo in tal casousando tale forma, sarà nulla, in accordo col fatto che il triangolo in tal caso

non esiste. non esiste.

Quarto esempioQuarto esempio

Dato il polinomio P(n) = nDato il polinomio P(n) = n33 + 6n + 6n22 + 11n + 6 + 11n + 6 quanto vale per n = - 3 ?quanto vale per n = - 3 ?E’ sicuramente piu’ semplice dirlo se ricordiamo la formaE’ sicuramente piu’ semplice dirlo se ricordiamo la formadecomposta del polinomio, come visto nel primo esempio,decomposta del polinomio, come visto nel primo esempio, P(n) = (n+1)(n+2)(n+3) P(n) = (n+1)(n+2)(n+3) Sostituendo in tale forma si ottiene facilmente zero, Sostituendo in tale forma si ottiene facilmente zero, questo implica, come sappiamo, che il polinomio questo implica, come sappiamo, che il polinomio

è divisibile per (n +3). è divisibile per (n +3).Viceversa si può dire che affinché un polinomio P(n) siaViceversa si può dire che affinché un polinomio P(n) siadivisibile per (n + 3) è necessario che nella forma scomposta didivisibile per (n + 3) è necessario che nella forma scomposta diP(n) compaia tra i fattori proprio (n + 3). P(n) compaia tra i fattori proprio (n + 3).

Ancora di piùAncora di piùSappiamo che quando un polinomio non è divisibile per un altro polinomio siSappiamo che quando un polinomio non è divisibile per un altro polinomio sigenera una frazione algebrica.genera una frazione algebrica.Sorge allora il problema di eseguirne le operazioni.Sorge allora il problema di eseguirne le operazioni.Si può operare così come si faceva con le frazioni numeriche? Si può operare così come si faceva con le frazioni numeriche? Quando si sommano tali frazioni si cerca il m.c.m. dei denominatori Quando si sommano tali frazioni si cerca il m.c.m. dei denominatori

(….prodotto dei fattori ……dei denominatori, (….prodotto dei fattori ……dei denominatori, scomposti in fattori primi, scomposti in fattori primi, presi una sola volta …..) presi una sola volta …..)

e quando si semplifica una frazione si cerca il M.C.D. tra numeratore e e quando si semplifica una frazione si cerca il M.C.D. tra numeratore e denominatore denominatore

(prodotto dei fattori……del numeratore e del ….. , (prodotto dei fattori……del numeratore e del ….. , scomposti in fattoriscomposti in fattoriPrimiPrimi, presi una sola volta……). , presi una sola volta……). Se vogliamo eseguire le operazioni tra frazioni algebriche così come traSe vogliamo eseguire le operazioni tra frazioni algebriche così come trafrazioni numeriche dobbiamo trovare anche qui il m.c.m. e il M.C.D., cioèfrazioni numeriche dobbiamo trovare anche qui il m.c.m. e il M.C.D., cioèdobbiamo scomporre i polinomi in fattori primi.dobbiamo scomporre i polinomi in fattori primi.

Conclusioni Conclusioni

Appare evidente ora la necessità di imparare a scomporre i Appare evidente ora la necessità di imparare a scomporre i polinomi. polinomi.

E’ importante capire che scomporre un polinomio significa E’ importante capire che scomporre un polinomio significa scriverlo come prodotto di altri polinomi di grado più piccolo: scriverlo come prodotto di altri polinomi di grado più piccolo: in definitiva si tratta di trasformare una in definitiva si tratta di trasformare una sommasomma di monomi in di monomi in un un prodottoprodotto di monomi e polinomi. di monomi e polinomi.

Tuttavia la scomposizione non è sempre possibile e non ci sono Tuttavia la scomposizione non è sempre possibile e non ci sono regole generali ma vari metodi, basati sulle proprietà delle regole generali ma vari metodi, basati sulle proprietà delle operazioni e sulle regole dei prodotti notevoli.operazioni e sulle regole dei prodotti notevoli.

E’ opportuno esaminare attentamente il polinomio da scomporre E’ opportuno esaminare attentamente il polinomio da scomporre per valutare:per valutare:

L’esistenza di fattori comuni a tutti i monomi L’esistenza di fattori comuni a tutti i monomi Il numero di termini del polinomio stesso.Il numero di termini del polinomio stesso.

Schema Schema Volendo dare una schematizzazione sommaria possiamo farlo in questo modo:Volendo dare una schematizzazione sommaria possiamo farlo in questo modo: Raccoglimento a fattor comuneRaccoglimento a fattor comune

BB

II

NN

OO

MM

II

TT

RR

II

NN

OO

MM

II

QQ

UU

AA

DD

RR

II

NN

OO

MM

II

PO PO

LILI

NONO

MIMI

CONCON

55

TERTER

MIMI

NINI

POPO

LILI

NONO

MIMI

CONCON

66

TERTER

MIMI

NINI

PO PO

LILI

NONO

MIMI

CONCON

PIU’PIU’

DI 6DI 6

TERTER

MIMI

NINI

RERE

GOGO

LALA

DIDI

RUFRUF

FIFI

NINI

Artifici di scomposizioneArtifici di scomposizione

R a c c o l t a d i e s e r c i z i R a c c o l t a d i e s e r c i z i

Racccoglimento a fattor comuneRacccoglimento a fattor comune

Quando tutti i termini di un polinomio hanno un divisore comune, questo può Quando tutti i termini di un polinomio hanno un divisore comune, questo può essere messo in evidenza. In generale si cerca di prendere come fattore essere messo in evidenza. In generale si cerca di prendere come fattore comune il M.C.D. fra i termini in modo da mettere in evidenza tutto ciò comune il M.C.D. fra i termini in modo da mettere in evidenza tutto ciò che è possibile. In questo modo si esegue na scomposizione del polinomio che è possibile. In questo modo si esegue na scomposizione del polinomio perché lo si scrive come prodotto di due fattori.perché lo si scrive come prodotto di due fattori.

Es. Es. aax + x + aay + y + aaz = z = aa(x + y + z)(x + y + z)Es. 15 xEs. 15 x22y – 9xyy – 9xy22 + 3xy = + 3xy = 3xy3xy(5x – 3y + 1)(5x – 3y + 1)Es. x(a+b) - 2a(a+b) +3y(a+b) =Es. x(a+b) - 2a(a+b) +3y(a+b) = (a+b)(a+b)(x – 2a + 3y) (x – 2a + 3y)

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Binomi Binomi

N.B. Le scomposizioni evidenziate in rosso sono quelle più frequenti.N.B. Le scomposizioni evidenziate in rosso sono quelle più frequenti.

differenza di due quadratidifferenza di due quadrati A A2 2 – B– B22 = (A-B)(A+B) = (A-B)(A+B) somma di due quadratisomma di due quadrati A A22 + B + B22 : è indecomponibile : è indecomponibile differenza di due cubidifferenza di due cubi A A33 – B – B33 = (A-B)(A = (A-B)(A22+AB+B+AB+B22)) somma di due cubisomma di due cubi A A3 3 + B+ B33 = (A+B)(A = (A+B)(A22-AB+B-AB+B22) ) differenza di due potenze pari ( come differenza di due quadrati): differenza di due potenze pari ( come differenza di due quadrati): es. Aes. A44-B-B44 = (A = (A22))22-(B-(B22))22=….; A=….; A66-B-B66 = (A = (A33))22- (B- (B33))22 =…; A =…; A88-B-B88 = (A = (A44))22-(B-(B44))22 somma di due potenze pari (si può scomporre se l’esponente è multiplo di un somma di due potenze pari (si può scomporre se l’esponente è multiplo di un

numero dispari) es. Anumero dispari) es. A66+B+B66 = (A = (A22))33 + (B + (B22))33 =….; A =….; A1010 + B + B1010 = (A = (A22))55 + (B + (B22))55 =….; etc =….; etc differenza di due potenze dispari (è sempre divisibile per la differenza delle basi) differenza di due potenze dispari (è sempre divisibile per la differenza delle basi)

es. Aes. A55 – B – B55 = (A-B)( A = (A-B)( A44+A+A33 B+…..); A B+…..); A77 – B – B77 = (A-B)( A = (A-B)( A66+A+A55 B+…..); etc. B+…..); etc. somma di due potenze dispari (è sempre divisibile per la somma delle basi ) es. Asomma di due potenze dispari (è sempre divisibile per la somma delle basi ) es. A55

+ B+ B55 = (A+B)( A = (A+B)( A44- A- A33 B+...); A B+...); A77 + B + B77 = (A + B)( A = (A + B)( A66-A-A55 B+…..); etc. B+…..); etc.

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Differenza di due quadratiDifferenza di due quadrati

Se un binomio è costituito dalla differenza di due Se un binomio è costituito dalla differenza di due monomi, o di due espressioni, che sono dei quadrati, monomi, o di due espressioni, che sono dei quadrati, per scomporlo basta individuare le basi dei due per scomporlo basta individuare le basi dei due quadrati ed indicare il prodotto della loro somma per quadrati ed indicare il prodotto della loro somma per la loro differenza.la loro differenza.

Es. Es. xx22 – 4y – 4y22 Es. 25x Es. 25x44 – 16y – 16y66

Basi:Basi: (x) (2y) (5x(x) (2y) (5x22) (4y) (4y33)) Quindi Quindi xx22 – 4y – 4y22 = (x + 2y)(x – 2y) 25x = (x + 2y)(x – 2y) 25x44 – 16y – 16y6 6 = (5x= (5x22 + 4y3)(5x + 4y3)(5x22 - 4y3) - 4y3)

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Differenza di due cubiDifferenza di due cubi

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La differenza di due cubi è sempre divisibile per la differenza delle basi.La differenza di due cubi è sempre divisibile per la differenza delle basi.

Dividendo, ad es. con la regola di Ruffini, si calcola il quoziente, ed allora la scomposizione si ottiene Dividendo, ad es. con la regola di Ruffini, si calcola il quoziente, ed allora la scomposizione si ottiene dalla regola Dividendo = Divisore * Quozientedalla regola Dividendo = Divisore * Quoziente

Es. xEs. x33 - 8 - 8

Coefficienti Coefficienti dividendodividendo

11 00 00 -8-8

Divisore: x-2Divisore: x-2 22 22 44 88

Coefficienti Coefficienti

quozientequoziente11 22 44 00

Quindi xQuindi x33 – 8 = (x - 2)(x – 8 = (x - 2)(x22 + 2x + 4) + 2x + 4)

E la regola che ne deriva:E la regola che ne deriva:

La differenza di due cubi si scompone nel prodotto tra la differenza delle basi ed il trinomio formato La differenza di due cubi si scompone nel prodotto tra la differenza delle basi ed il trinomio formato dal quadrato della prima base, dal prodotto delle due basi cambiato di segno e dal quadrato della dal quadrato della prima base, dal prodotto delle due basi cambiato di segno e dal quadrato della seconda base.seconda base.

Somma di due cubiSomma di due cubi

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La somma di due cubi è sempre divisibile per la somma delle basi.La somma di due cubi è sempre divisibile per la somma delle basi.

Dividendo, ad es. con la regola di Ruffini, si calcola il quoziente, ed allora la scomposizione si ottiene Dividendo, ad es. con la regola di Ruffini, si calcola il quoziente, ed allora la scomposizione si ottiene dalla regola Dividendo = Divisore * Quozientedalla regola Dividendo = Divisore * Quoziente

Es. xEs. x33 + 8 + 8

Coefficienti Coefficienti dividendodividendo

11 00 00 +8+8

Divisore: x+2Divisore: x+2 - 2- 2 -2-2 44 -8-8

Coefficienti Coefficienti

quozientequoziente11 -2-2 44 00

Quindi xQuindi x33 + 8 = (x + 2)(x + 8 = (x + 2)(x22 - 2x + 4) - 2x + 4)

E la regola che ne deriva:E la regola che ne deriva:

La somma di due cubi si scompone nel prodotto tra la somma delle basi ed il trinomio formato dal La somma di due cubi si scompone nel prodotto tra la somma delle basi ed il trinomio formato dal quadrato della prima base, dal prodotto delle due basi cambiato di segno e dal quadrato della seconda quadrato della prima base, dal prodotto delle due basi cambiato di segno e dal quadrato della seconda base.base.

Trinomi Trinomi


sviluppo del quadrato di un binomiosviluppo del quadrato di un binomio : A: A22±2AB+B±2AB+B22 = (A±B) = (A±B) 22

trinomio particolare di secondo gradotrinomio particolare di secondo grado: : b1) primo tipob1) primo tipo x x22 + sx + p = (x +a ) + sx + p = (x +a )( x+b ) ( x+b )

dove s = a+b e p= ab ; es. xdove s = a+b e p= ab ; es. x22 – 5x +6 = ( x-2 )( x-3 ) – 5x +6 = ( x-2 )( x-3 ) infatti è -5 =-2-3 e +6 = (-2)(-3)infatti è -5 =-2-3 e +6 = (-2)(-3)b2) secondo tipo p xb2) secondo tipo p x22 + sx + 1 = (ax+1)(bx+1) + sx + 1 = (ax+1)(bx+1) dove s = a+b e p= ab , es. 6xdove s = a+b e p= ab , es. 6x22 + 5x +1 = (2x+1)(3x+1) + 5x +1 = (2x+1)(3x+1) b3) terzo tipo: trinomio scomponibile con artificio: b3) terzo tipo: trinomio scomponibile con artificio: ax ax22 +bx + c dove b = m+n e ac=mn. +bx + c dove b = m+n e ac=mn. Il polinomio si scrive a xIl polinomio si scrive a x22 +mx + nx +c quindi si applica il raccoglimento +mx + nx +c quindi si applica il raccoglimento parziale. parziale. EsEs 3 x3 x22 -7x +4 = 3 x -7x +4 = 3 x22 -3x -4x+4= 3x(x-1) -4(x-1) = (x-1)(3x-4); -3x -4x+4= 3x(x-1) -4(x-1) = (x-1)(3x-4); 6x6x22+11x+3=6x+11x+3=6x22+9x+2x+3=3x(2x+3)+(2x+3)=(2x+3)(3x+1).+9x+2x+3=3x(2x+3)+(2x+3)=(2x+3)(3x+1).

trinomio scomponibile mediante artificio: Atrinomio scomponibile mediante artificio: A44+ A+ A22 B B22+B+B44 = A = A44+ A+ A22 B B22+B+B44+ A+ A22 B B22- A- A22 BB22 = A = A44+ 2A+ 2A22 B B22+B+B44- A- A22 B B22 = (A = (A22 + B + B22 ) )22 – (AB) – (AB)22 =….. =…..

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Quadrato di un binomioQuadrato di un binomio

Sappiamo che il quadrato di un binomio è dato dalla formula Sappiamo che il quadrato di un binomio è dato dalla formula (A±B) (A±B) 2 2 = A= A22±2AB+B±2AB+B22

Per la proprietà simmetrica dell’uguaglianza avremo Per la proprietà simmetrica dell’uguaglianza avremo AA22±2AB+B±2AB+B22 = (A±B) = (A±B) 22

Perciò la regola:Perciò la regola:Un trinomio formato dalla somma dei quadrati di due monomi e Un trinomio formato dalla somma dei quadrati di due monomi e

dalla somma ( o differenza ) del loro doppio prodotto è uguale dalla somma ( o differenza ) del loro doppio prodotto è uguale al quadrato della somma algebrica dei due monomi.al quadrato della somma algebrica dei due monomi.

Es. 4xEs. 4x22 – 12xy + 9y – 12xy + 9y22 = =

basi: (2x) (3y) basi: (2x) (3y)

Quindi 4xQuindi 4x22 – 12xy + 9y – 12xy + 9y22 = (2x – 3y) = (2x – 3y)22

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Trinomio particolare 1Trinomio particolare 1Un polinomio di tre termini ordinato secondo le potenze di una certa lettera che ha:Un polinomio di tre termini ordinato secondo le potenze di una certa lettera che ha:• Grado due rispetto a quella letteraGrado due rispetto a quella lettera• Coefficiente del termine di grado massimo uguale a 1Coefficiente del termine di grado massimo uguale a 1• Coefficiente del termine di primo grado che può essere espresso come somma di due numeri a Coefficiente del termine di primo grado che può essere espresso come somma di due numeri a

e b e b • Termine noto uguale al prodotto degli stessi numeri a e bTermine noto uguale al prodotto degli stessi numeri a e bquindi del tipo: xquindi del tipo: x22 + (a+b)x + ab + (a+b)x + ab si scompone come (x + a)(x + b)si scompone come (x + a)(x + b)Infatti è xInfatti è x22 + (a+b)x + ab = x + (a+b)x + ab = x22 + ax + bx + ab = x(x+a) + b(x+a) = (x + a)(x + b) + ax + bx + ab = x(x+a) + b(x+a) = (x + a)(x + b)

Es. xEs. x22 – 5x +6 = ( x-2 )( x-3 ) – 5x +6 = ( x-2 )( x-3 ) A volte i due numeri a e b sono due monomi come nel seguente esempio:A volte i due numeri a e b sono due monomi come nel seguente esempio:Es. xEs. x22 - 7bx +10 b - 7bx +10 b22 = (x -5b)(x- 2b) = (x -5b)(x- 2b)A volte l’incognita può essere un monomio come nell’esempio:A volte l’incognita può essere un monomio come nell’esempio:Es. aEs. a22 b b22 + 3ab – 10 = (ab -2)(ab + 5) + 3ab – 10 = (ab -2)(ab + 5)A volte il trinomio può essere di grado maggiore come nell’esempio:A volte il trinomio può essere di grado maggiore come nell’esempio:Es. xEs. x44– 5x– 5x22 - 24 = (x - 24 = (x22-8 )(x-8 )(x22+3 ) +3 )

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Quadrinomi Quadrinomi


sviluppo del cubo di un binomiosviluppo del cubo di un binomio::

A3 ± 3A2B +3AB2 ± B3 = (A ± B)3 A3 ± 3A2B +3AB2 ± B3 = (A ± B)3

raccoglimento parziale o a gruppiraccoglimento parziale o a gruppi

differenza tra il quadrato di un binomio e il quadrato di un monomio e differenza tra il quadrato di un binomio e il quadrato di un monomio e viceversa viceversa

es. A2 ± 2AB+B2 – C2 = (A±B)2 – C2 =……… opppure A2-B2 ± 2BC es. A2 ± 2AB+B2 – C2 = (A±B)2 – C2 =……… opppure A2-B2 ± 2BC – C2 = A2 – ( B2 – 2BC +C2) = A2 – (B – C)2…..– C2 = A2 – ( B2 – 2BC +C2) = A2 – (B – C)2…..

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Cubo di un binomioCubo di un binomioSappiamo che il cubo di un binomio è dato dalla formula Sappiamo che il cubo di un binomio è dato dalla formula

(A±B) (A±B) 3 3 = = AA33 ± 3A ± 3A22B +3ABB +3AB22 ± B ± B3 3

Per la proprietà simmetrica dell’uguaglianza avremo Per la proprietà simmetrica dell’uguaglianza avremo

AA33 ± 3A ± 3A22B +3ABB +3AB22 ± B ± B3 3 = (A±B) = (A±B) 33

Perciò la regola:Perciò la regola:Un polinomio formato da quattro termini di cui due sono dei cubi può essere lo Un polinomio formato da quattro termini di cui due sono dei cubi può essere lo

sviluppo del cubo di un binomio se gli altri due termini sono i tripli prodotti, sviluppo del cubo di un binomio se gli altri due termini sono i tripli prodotti, rispettivamente del quadrato di ognuna delle due basi per l’altra.rispettivamente del quadrato di ognuna delle due basi per l’altra.

Es. xEs. x33 - 6x - 6x22y + 12xyy + 12xy22 - 8y - 8y33

basi: (x) (-2y) basi: (x) (-2y)

Quindi xQuindi x33 - 6x - 6x22y + 12xyy + 12xy22 - 8y - 8y33 = (x – 2y) = (x – 2y)33

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Raccoglimento parziale Raccoglimento parziale

A volte non è possibile eseguire un raccoglimento a fattor comune perché non A volte non è possibile eseguire un raccoglimento a fattor comune perché non c’è un divisore comune a tutti i monomi. In alcuni casi, però, ci si può c’è un divisore comune a tutti i monomi. In alcuni casi, però, ci si può ricondurre a una situazione di questo tipo eseguendo prima dei ricondurre a una situazione di questo tipo eseguendo prima dei raccoglimenti con gruppi di monomi.raccoglimenti con gruppi di monomi.

Es. Es. 22a + a + 22b + b + aax + x + bbxx

I primi due monomi hanno in comune I primi due monomi hanno in comune 22 che si può mettere in evidenza, che si può mettere in evidenza, mentre gli altri due hanno in comune mentre gli altri due hanno in comune aa, per cui, per cui

2(a + b) + x(a + b)2(a + b) + x(a + b)

E poiché le due parentesi sono uguali, tale espressione si può mettere in E poiché le due parentesi sono uguali, tale espressione si può mettere in evidenza, raccogliendo a fattor comuneevidenza, raccogliendo a fattor comune

(a + b)(2 + x)(a + b)(2 + x)In definitiva 2a + 2b + ax + bx = 2(a + b) + x(a + b) = (a + b)(2 + x)In definitiva 2a + 2b + ax + bx = 2(a + b) + x(a + b) = (a + b)(2 + x)

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Polinomi con 5 termini Polinomi con 5 termini somma o differenza tra il cubo di un binomio e il cubo di un monomio e somma o differenza tra il cubo di un binomio e il cubo di un monomio e

viceversa, viceversa,

es. es. AA33 + 3A + 3A22B +3ABB +3AB22 + B + B33 – C – C33 = (A + B) = (A + B)33 –C –C33 =……, =……,

AA33 + B + B33 -3B -3B22C +3BCC +3BC22 –C –C33 = A = A33 + ( B – C) + ( B – C)33 =….. etc. =….. etc.

casi particolari: casi particolari:

b1) b1) AA2 2 ± 2AB +B± 2AB +B22 + + 2A ± 2B2A ± 2B = (A± B) = (A± B)22 +2(A±B) =………; +2(A±B) =………;

b2) b2) xx22 +5x + 6 +5x + 6 + + 5x + 105x + 10 = (x+2)(x+3) +5(x+2) = = (x+2)(x+3) +5(x+2) =

(x+2)(x+3+5) = (x+2)(x + 8); etc.(x+2)(x+3+5) = (x+2)(x + 8); etc.

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Polinomi con 6 termini Polinomi con 6 termini sviluppo del quadrato di un trinomiosviluppo del quadrato di un trinomio: :

AA22+B+B22+C+C22+2AB+2AC+2BC = (A+B+C)+2AB+2AC+2BC = (A+B+C)22; ;

raccoglimento parziale o a gruppiraccoglimento parziale o a gruppi; ;

diff. tra i quadrati di 2 binomi: diff. tra i quadrati di 2 binomi: AA2 2 +2AB+B+2AB+B22 - C - C22+2CD - D+2CD - D22= (A+B)= (A+B)22-(C-D)-(C-D)22=… =…

casi particolari: casi particolari:

AA33+3A+3A22B+3ABB+3AB22+B+B33+CA+CB=(A+B)+CA+CB=(A+B)33+C(A+B)= (A+B)+C(A+B)= (A+B)[(A+B)[(A+B)22+C]; etc .+C]; etc .

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Quadrato di un trinomioQuadrato di un trinomioSappiamo che il quadrato di un trinomio è dato dalla formula Sappiamo che il quadrato di un trinomio è dato dalla formula

(A+B+C)(A+B+C)2 2 = A= A22+B+B22+C+C22+2AB+2AC+2BC +2AB+2AC+2BC

Per la proprietà simmetrica dell’uguaglianza avremo Per la proprietà simmetrica dell’uguaglianza avremo

AA22+B+B22+C+C22+2AB+2AC+2BC = (A+B+C)+2AB+2AC+2BC = (A+B+C)2 2

Perciò la regola:Perciò la regola:Un polinomio formato da 6 termini di cui tre sono dei quadrati rappresenta il quadrato Un polinomio formato da 6 termini di cui tre sono dei quadrati rappresenta il quadrato

di un trinomio se gli altri tre termini sono i doppi prodotti di una base per ognuna di un trinomio se gli altri tre termini sono i doppi prodotti di una base per ognuna delle altre due.delle altre due.

Es. 4xEs. 4x22 – 12xy + 9y – 12xy + 9y22 - 4xz + z - 4xz + z22 + 6yz = + 6yz =

basi: (2x) (3y) (z)basi: (2x) (3y) (z)

Quindi 4xQuindi 4x22 – 12xy + 9y – 12xy + 9y22 - 4xz + z - 4xz + z22 + 6yz = (2x – 3y – z) + 6yz = (2x – 3y – z)22

ritorna

Polinomi con più di 6 termini Polinomi con più di 6 termini

CON RAGIONAMENTI CON RAGIONAMENTI

analoghi ai casi particolari esaminati per analoghi ai casi particolari esaminati per polinomi con 4, 5, 6 termini, si potrebbero polinomi con 4, 5, 6 termini, si potrebbero scomporre polinomi con un numero di scomporre polinomi con un numero di termini maggiore.termini maggiore.

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Regola di RuffiniRegola di RuffiniCon l’uso del criterio di divisibilità di P(x) per (x-a) e con l’applicazione della regola di Ruffini, a volte è Con l’uso del criterio di divisibilità di P(x) per (x-a) e con l’applicazione della regola di Ruffini, a volte è

possibile decomporre un polinomio in fattori di cui almeno uno di primo grado.possibile decomporre un polinomio in fattori di cui almeno uno di primo grado.

Regola 1Regola 1: dato un polinomio P(x) a coefficienti interi le eventuali radici intere del polinomio, cioè i : dato un polinomio P(x) a coefficienti interi le eventuali radici intere del polinomio, cioè i valori da attribuire ad a in (x-a), sono da ricercarsi tra i divisori, positivi o negativi, del suo termine valori da attribuire ad a in (x-a), sono da ricercarsi tra i divisori, positivi o negativi, del suo termine notonoto

Es. xEs. x33 – 8 i divisori di 8 sono – 8 i divisori di 8 sono ±1, ±2, ±4, ±8±1, ±2, ±4, ±8

Dando ad a il valore 2 si ha P(2) = 0 quindi Dando ad a il valore 2 si ha P(2) = 0 quindi xx33 – 8 è divisibile per (x-2) – 8 è divisibile per (x-2)

E dividendo con la regola di Ruffini si ottiene la scomposizioneE dividendo con la regola di Ruffini si ottiene la scomposizione

xx33 – 8 = (x - 2)(x – 8 = (x - 2)(x22 + 2x + 4) + 2x + 4)

Regola 2Regola 2: dato un polinomio P(x) a coefficienti interi, le eventuali radici razionali del polinomio vanno : dato un polinomio P(x) a coefficienti interi, le eventuali radici razionali del polinomio vanno da ricercarsi tra le frazioni aventi per numeratore un divisore, positivo o negativo, del termine noto e da ricercarsi tra le frazioni aventi per numeratore un divisore, positivo o negativo, del termine noto e per denominatore un divisore, positivo o negativo, del coefficiente di grado massimo( primo per denominatore un divisore, positivo o negativo, del coefficiente di grado massimo( primo coefficiente del polinomio supposto ordinato in senso decrescente)coefficiente del polinomio supposto ordinato in senso decrescente)

Es. 6xEs. 6x22 + x – 1 i divisori di -1 sono + x – 1 i divisori di -1 sono ±1±1

i divisori di 6 sono i divisori di 6 sono ±1, ±2, ±3, ±6, ±1, ±2, ±3, ±6,

quindi le frazioni possibili sono quindi le frazioni possibili sono ±1, ±1/2, ±1/3, ±1/6±1, ±1/2, ±1/3, ±1/6

Dando ad a il valore -1/2 si ha P(-1/2) = 0 quindi Dando ad a il valore -1/2 si ha P(-1/2) = 0 quindi 6x6x22 + x – 1 è divisibile per (x+1/2) + x – 1 è divisibile per (x+1/2)

E dividendo con la regola di Ruffini si ottiene la scomposizioneE dividendo con la regola di Ruffini si ottiene la scomposizione

6x6x22 + x – 1 = (x+1/2)(6x-2) = 2(3x-1) (x+1/2) = (3x-1)[2 (x+1/2)] = (3x-1)(2x+1) + x – 1 = (x+1/2)(6x-2) = 2(3x-1) (x+1/2) = (3x-1)[2 (x+1/2)] = (3x-1)(2x+1)

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Artifici di scomposizione Artifici di scomposizione

ALCUNI ARTIFICI DI SCOMPOSIZIONEALCUNI ARTIFICI DI SCOMPOSIZIONE1.1. aa4 4 + + ¼¼= a= a44 + + ¼ ¼ + a+ a22 - a - a2 2 = ………… = …………2.2. aa44 + 4 b + 4 b44 = a = a44 + 4 b + 4 b44 + + 4A4A22 B B22- 4A- 4A22 B B22 = (a = (a22 + 2b + 2b22))22 – (2ab) – (2ab)22 = (a = (a22+2b+2b22--

2ab) (a2ab) (a22+2b+2b22+2ab)+2ab)3.3. 6x6x22+7x-3 = 6x+7x-3 = 6x22 +9x -2x+9x -2x -3 = 3x(2x+3)-(2x+3) = (2x+3)(3x-1) -3 = 3x(2x+3)-(2x+3) = (2x+3)(3x-1)4.4. 8x8x22 -6x -9 = 8x -6x -9 = 8x22 -12x+6x-12x+6x -9 = 4x(2x-3)+3(2x-3) = (2x-3)(4x+3) -9 = 4x(2x-3)+3(2x-3) = (2x-3)(4x+3)5.5. 4x4x22 +4xy -8y +4xy -8y22 = 4x = 4x22 +4xy +4xy + y+ y22-9y-9y22 = (2x+y) = (2x+y)22 – (3y) – (3y)22 = (2x+y-3y) = (2x+y-3y)

(2x+y+3y) = (2x-2y)(2x+4y)=4(x-y)(x+2y)(2x+y+3y) = (2x-2y)(2x+4y)=4(x-y)(x+2y)6.6. 9x9x22-12xy-12y-12xy-12y22=9x=9x22-12xy -12xy +4y+4y22 -16y -16y22 =(3x-2y) =(3x-2y)22-(4y)-(4y)22 =(3x-2y-4y)(3x- =(3x-2y-4y)(3x-

2y+4y)=(3x-6y)(3x+2y)=3(x-2y)(3x+2y) 2y+4y)=(3x-6y)(3x+2y)=3(x-2y)(3x+2y) 7.7. xx33-9x-9x22+27x-35= x+27x-35= x33-9x-9x22+27x+27x-27-8-27-8=(x-3)=(x-3)33-23=(x-3-2)(x-23=(x-3-2)(x22-6x+9+2x--6x+9+2x-

6+4)=(x-5)(x6+4)=(x-5)(x22-4x+7) o con Ruffini-4x+7) o con Ruffini8.8. xx44+4x+4x22+16=x+16=x44+8x+8x22-4x-4x22+16=(x+16=(x22+4)+4)22-(2x)-(2x)22=(x=(x22+4-2x)(x+4-2x)(x22+4+2x)+4+2x)9.9. 2a2a55-4a-4a44-2a-2a33+4a+4a22+2a=2a(a+2a=2a(a44-2a-2a33-a-a22+2a+1)= 2a(a+2a+1)= 2a(a44-2a-2a33+a+a22 -2a -2a22+2a+1)=2a(a+2a+1)=2a(a22--

a-1)a-1)22

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Esempi Esempi Esercizio n. 1Esercizio n. 1Esercizio n. 2Esercizio n. 2Esercizio n. 3Esercizio n. 3Esercizio n. 4Esercizio n. 4Esercizio n. 5Esercizio n. 5Esercizio n. 6Esercizio n. 6Esercizio n. 7Esercizio n. 7Esercizio n. 8Esercizio n. 8Esercizio n. 9Esercizio n. 9Esercizio n. 10Esercizio n. 10

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Esercizio n. 1Esercizio n. 1

75ax75ax22 + 25ay + 25ay22 – 100ax – 100ax22yy22 = =

Scegli la risposta giusta fra le quattro Scegli la risposta giusta fra le quattro

5a(15x5a(15x22 + 5y + 5y22 – 20x – 20x22yy22)) 25a(3x25a(3x22 + y + y22 – 4x – 4x22yy22))

3x3x22 + y + y22 – 4x – 4x22yy22 Nessuna delle risposte precNessuna delle risposte precedenti è giustaedenti è giusta


aa 6 6 –2a –2a 33 b b55+ b+ b1010 = =

Scegli la risposta giusta fra le quattroScegli la risposta giusta fra le quattro

Nessuna delle risposte Nessuna delle risposte precedenti è giustaprecedenti è giusta

(a(a33 + b + b55) (a) (a33 – b – b55))

(a(a33 + b + b55) ) 22 (a(a33 – b – b55) ) 22


4x4x2 2 + y + y 22 +z +z 22 + 4x y+2y z+4x z = + 4x y+2y z+4x z =


(2x+y+z) (2x+y+z) 22 Nessuna delle risposte Nessuna delle risposte precedenti è giustaprecedenti è giusta

(2x (2x –y+z)(2x+y+z)–y+z)(2x+y+z) (2x+y–z) (2x – y–z)(2x+y–z) (2x – y–z)


(a(a –2b) –2b) 2 2 – (2a– (2a –b) –b) 22 = =


3(a+b)(a 3(a+b)(a –b)–b) –3(a+b)(a –b)–3(a+b)(a –b)

3ab(a+b)(a 3ab(a+b)(a –b)–b) Nessuna delle risposte precNessuna delle risposte precedenti è giustaedenti è giusta


xx33 + 6ax + 6ax 22 +12a +12a 22x + 8ax + 8a33==


(x (x –2a) –2a) 33 (x+a) (x+a) 33

(x+2a)(x (x+2a)(x –2a)(x – 2a)–2a)(x – 2a) Nessuna delle risposte precNessuna delle risposte precedenti è giustaedenti è giusta

Esercizio n. 6 Esercizio n. 6

a a 66–– bb3 3 ==


(a (a22+b)(a+b)(a44+a+a22b+bb+b22)) (a(a22+b)(a+b)(a44+a+a22bb––bb22))

(a (a22+b)(a+b)(a22+a+a22b+bb+b22))

Nessuna delle risposte precNessuna delle risposte precedenti è giustaedenti è giusta


xx22–– 9x+8=9x+8=


(x+8)(x (x+8)(x –– 1)1) (x+8)(x (x+8)(x ++1)1)

(x (x –– 8)(x 8)(x –– 1)1) Nessuna delle risposte precNessuna delle risposte precedenti è giustaedenti è giusta


a a 22+4a+4 –x +4a+4 –x 22==


(a+2+x)( a+2+x)(a+2+x)( a+2+x)(a+2+x)( a+2–x)(a+2+x)( a+2–x)

(a+2–x)( a+2–x)(a+2–x)( a+2–x)Nessuna delle risposte precNessuna delle risposte precedenti è giustaedenti è giusta


ax +2bx+3ay+6by=ax +2bx+3ay+6by=


(a+2b)(x(a+2b)(x––3y)3y)

(a+2b)(x+3y)(a+2b)(x+3y)

(a+2b)(x+y)(a+2b)(x+y) Nessuna delle risposte precNessuna delle risposte precedenti è giustaedenti è giusta


x x 8 8 –y –y 8 8 ==


(x(x44+y+y44)(x)(x22+y+y22)(x+y)(x )(x+y)(x –y)–y)(x(x4 4 –– yy44)(x)(x2 2 –– yy22)(x+y)(x )(x+y)(x –y)–y)

(x(x4 4 –– yy44)(x)(x22+y+y22)(x+y)(x )(x+y)(x –y)–y) Nessuna delle risposte precNessuna delle risposte precedenti è giustaedenti è giusta

Esatto Esatto

molto molto

bene!bene!

ritorna

Sbagliato Sbagliato

Mi dispiace Mi dispiace non è la non è la risposta esattarisposta esatta

Ma puoi Ma puoi riprovareriprovare!!

Premi il numero dell’esercizioPremi il numero dell’esercizio

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Progetto DigiScuola Corso di formazione Gruppo Matematica Autori: Assunta Ferracane – Anna Lacava...

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