DEFINIZIONE. Per area di una figura piana si intende la misura della sua superficie.DEFINIZIONE. Per area di una figura piana si intende la misura della sua superficie.

1 L’equivalenza delle figure piane

Per misurare la superficie di una figura occorre confrontarla con un’unità di misura. L’unità di misura delle superfici è il metro quadrato (m2) con i suoi multipli e sottomultipli:

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

1

Qualunque sia il suo contorno, ogni figura piana occupa sempre una superficie.

1 L’equivalenza delle figure piane

Accostando fra loro un triangolo equilatero, un quadrato e un rettangolo

2

è possibile ottenere le seguenti figure

che, essendo composte dagli stessi poligoni, occupano la stessa superficie.

Esaminiamo un altro concetto fondamentale della geometria piana: l’equivalenza delle superfici.

1 L’equivalenza delle figure piane

PROPRIETÀ.

Due figure congruenti sono sempre equivalenti.

Due figure equivalenti non sono, in generale, congruenti.

PROPRIETÀ.

Due figure congruenti sono sempre equivalenti.

Due figure equivalenti non sono, in generale, congruenti.

DEFINIZIONE. Tra due poligoni con diversa superficie, il poligono con l’estensione maggiore prende il nome di prevalente, quello con l’estensione minore di suvvalente.DEFINIZIONE. Tra due poligoni con diversa superficie, il poligono con l’estensione maggiore prende il nome di prevalente, quello con l’estensione minore di suvvalente.

3

In generale

DEFINIZIONE. Due superfici A e B, anche di forma diversa, che occupano la stessa parte di piano, si dicono equivalenti. In simboli:

A = B e si legge: “A equivalente a B”

DEFINIZIONE. Due superfici A e B, anche di forma diversa, che occupano la stessa parte di piano, si dicono equivalenti. In simboli:

A = B e si legge: “A equivalente a B”

1 Figure equicomposte

PROPRIETÀ. Due figure equicomposte sono necessariamente equivalenti.PROPRIETÀ. Due figure equicomposte sono necessariamente equivalenti.

Primo caso Equiscomponibilità mediante somma di figure

PROPRIETÀ. Figure che sono state ottenute mediante somma di parti rispettivamente congruenti sono equivalenti.PROPRIETÀ. Figure che sono state ottenute mediante somma di parti rispettivamente congruenti sono equivalenti.

4

Si possono presentare due casi.

1 Figure equicomposte

Secondo caso Equiscomponibilità mediante differenza di figure

PROPRIETÀ. Figure che sono state ottenute mediante differenza di parti rispettivamente congruenti sono equivalenti.PROPRIETÀ. Figure che sono state ottenute mediante differenza di parti rispettivamente congruenti sono equivalenti.

5

2 L’area del rettangolo

6

REGOLA. L’area del rettangolo si ricava moltiplicando la misura della base per quella dell’altezza. In simboli:REGOLA. L’area del rettangolo si ricava moltiplicando la misura della base per quella dell’altezza. In simboli:

A bh

Da questa formula ricaviamo le seguenti formule inverse:

b A : h

h A : b

A = (5 4) cm2 = 20 cm2

3 L’area del quadrato

7

REGOLA. L’area del quadrato si ricava moltiplicando la misura del lato per se stessa. In simboli:REGOLA. L’area del quadrato si ricava moltiplicando la misura del lato per se stessa. In simboli:

A l 2

Da questa formula ricaviamo la seguente formula inversa:

l AA = 42 cm2 = 16 cm2

4 L’area del parallelogrammo

8

PROPRIETÀ. Il parallelogrammo è equivalente ad un rettangolo avente la stessa base e la stessa altezza.PROPRIETÀ. Il parallelogrammo è equivalente ad un rettangolo avente la stessa base e la stessa altezza.

Da questa formula ricaviamo le seguenti formule inverse:

b A : h

h A : b

Di conseguenza possiamo concludere:

REGOLA. L’area del parallelogrammo si ricava moltiplicando la misura della base per quella dell’altezza. In simboli:REGOLA. L’area del parallelogrammo si ricava moltiplicando la misura della base per quella dell’altezza. In simboli:

A bh

5 L’area del triangolo

9

PROPRIETÀ. Il triangolo è equivalente alla metà di un parallelogrammo avente la stessa base e la stessa altezza. PROPRIETÀ. Il triangolo è equivalente alla metà di un parallelogrammo avente la stessa base e la stessa altezza.

Da questa formula ricaviamo le seguenti formule inverse:

Di conseguenza:

REGOLA. L’area del triangolo si ricava moltiplicando la misura della base per quella dell’altezza ad essa relativa e dividendo il risultato ottenuto per due. In simboli:

REGOLA. L’area del triangolo si ricava moltiplicando la misura della base per quella dell’altezza ad essa relativa e dividendo il risultato ottenuto per due. In simboli:

A bh : 2

b 2A : h

h 2A : b

5 La formula di Erone

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REGOLA. L’area di un triangolo, di cui si conoscono le misure dei lati, è uguale alla radice quadrata del prodotto del semiperimetro per le singole differenze tra il semiperimetro stesso e ciascun lato. In simboli:

REGOLA. L’area di un triangolo, di cui si conoscono le misure dei lati, è uguale alla radice quadrata del prodotto del semiperimetro per le singole differenze tra il semiperimetro stesso e ciascun lato. In simboli:

A p p a p b p c

a b

c

6 L’area del rombo

11

PROPRIETÀ. Il rombo è equivalente alla metà di un rettangolo che ha le dimensioni (base e altezza) congruenti alle sue diagonali.

PROPRIETÀ. Il rombo è equivalente alla metà di un rettangolo che ha le dimensioni (base e altezza) congruenti alle sue diagonali.

Da questa formula ricaviamo le seguenti formule inverse:

Pertanto:

REGOLA. L’area del rombo si calcola moltiplicando fra loro la misura delle due diagonali e dividendo il prodotto per due. In simboli:

REGOLA. L’area del rombo si calcola moltiplicando fra loro la misura delle due diagonali e dividendo il prodotto per due. In simboli:

A d D : 2

D 2A : d

d 2A : D

6 L’area del rombo

12

Come caso particolare possiamo considerare il quadrato come un rombo avente le diagonali congruenti e utilizzare la stessa formula per calcolare l’area nota la misura della sua diagonale:

d 2A

A d2 : 2

Da questa formula possiamo ricavare la seguente formula inversa:

6 L’area del deltoide

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PROPRIETÀ. Il deltoide è equivalente alla metà di un rettangolo che ha le dimensioni (base e altezza) congruenti alla diagonale maggiore e alla diagonale minore del deltoide stesso.PROPRIETÀ. Il deltoide è equivalente alla metà di un rettangolo che ha le dimensioni (base e altezza) congruenti alla diagonale maggiore e alla diagonale minore del deltoide stesso.

Da questa formula ricaviamo le seguenti formule inverse:

Pertanto:

REGOLA. L’area del deltoide si calcola moltiplicando la misura della diagonale maggiore per quella della diagonale minore e dividendo il prodotto per due. In simboli:

REGOLA. L’area del deltoide si calcola moltiplicando la misura della diagonale maggiore per quella della diagonale minore e dividendo il prodotto per due. In simboli:

A D d : 2

D 2A : d

d 2A : D

7 L’area del trapezio

14

REGOLA. L’area del trapezio si ricava moltiplicando la somma delle basi per la misura dell’altezza e dividendo il prodotto ottenuto per due. In simboli:

REGOLA. L’area del trapezio si ricava moltiplicando la somma delle basi per la misura dell’altezza e dividendo il prodotto ottenuto per due. In simboli:

A bB h : 2

PROPRIETÀ. Un trapezio è equivalente alla metà di un parallelogrammo che ha per base la somma delle basi del trapezio e per altezza la stessa altezza.

PROPRIETÀ. Un trapezio è equivalente alla metà di un parallelogrammo che ha per base la somma delle basi del trapezio e per altezza la stessa altezza.

Di conseguenza:

Da questa formula ricaviamo le seguenti formule inverse:

h 2A : B b

bB 2A : h

8 L’area di un poligono circoscritto ad una circonferenza

15

REGOLA. L’area di un poligono circoscritto ad una circonferenza è data dal prodotto del semiperimetro del poligono per la misura del raggio della circonferenza. In simboli:

REGOLA. L’area di un poligono circoscritto ad una circonferenza è data dal prodotto del semiperimetro del poligono per la misura del raggio della circonferenza. In simboli:

A p r

Da questa formula ricaviamo le seguenti formule inverse:

r Ap

p Ar

8 L’area di un poligono regolare

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REGOLA. L’area di un poligono regolare è uguale al prodotto del quadrato della misura del lato per il valore del relativo numero fisso φ. In simboli:REGOLA. L’area di un poligono regolare è uguale al prodotto del quadrato della misura del lato per il valore del relativo numero fisso φ. In simboli:

A l 2

Da questa formula ricaviamo la seguente formula inversa:

l A

n° lati

Numero φ

3

0,433

4

1

5

1,720

6

2,598

7

3,634

8

4,828

9

6,182

10

7,694

12

11,196

Oltre le formule precedenti per un poligono regolare vale la seguente

Nella seguente tabella è riportato il numero fisso caratteristico di ciascun poligono regolare.

9 L’area di un poligono irregolare

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scomponiamo il poligono:

Abbiamo ottenuto i triangoli T1, T2, T3, il rettangolo R e il trapezio rettangolo Tr.

Pertanto:

A ABCDEF AT1 AT2 AT3 A R ATr

Dovendo calcolare l’area del poligono