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prof.sse: Conti - Piccione - Giacaloneprof.sse: Conti - Piccione - Giacalone 11

Istituto di Istruzione Secondaria Superiore Istituto di Istruzione Secondaria Superiore “ G.G. Adria”“ G.G. Adria”

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Prodotti notevoliProdotti notevoli

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I Prodotti NotevoliI Prodotti Notevoli

Quadrato di binomioQuadrato di binomio Cubo di binomioCubo di binomio Quadrato di polinomioQuadrato di polinomio Potenza n-esima di binomioPotenza n-esima di binomio Somma per differenzaSomma per differenza Altri prodotti notevoliAltri prodotti notevoli


Quadrato di un BinomioQuadrato di un Binomio

Cerchiamo la regolaCerchiamo la regola La regolaLa regola Il significato geometricoIl significato geometrico EsempiEsempi Esercizi propostiEsercizi proposti


Quadrato di binomio:Quadrato di binomio:significato algebricosignificato algebrico

(a+b)2 = (a+b) (a+b) =

= a2+ab+ab+b2 =

= a2+2ab+b2


Quadrato di binomio:Quadrato di binomio:la regolala regola

( a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Il quadrato di un binomio è un trinomio avente per termini:

• il quadrato del 1° monomio• il doppio prodotto del 1° monomio per il 2°• il quadrato del 2° monomio


Quadrato di binomio: Quadrato di binomio: significato geometricosignificato geometrico

a b

(a + b) (a + b)2

a2

b2

ab

ab

(a + b)2 = a2 + 2 ab + b2


Quadrato di binomio:Quadrato di binomio: esempiesempi

(2a+b)2 = (2a)2+2(2a)(+b)+(+b)2 = 4a2 + 4ab + b2

(2a - b)2 = (2a)2+2(2a)(-b)+(-b)2 = 4a2 - 4ab + b2

(3a+2b)2 = (3a)2 +2(3a)(+2b) +(+2b)2 = 9a2 +12ab +4b2

(3a -2b)2 = (3a)2 +2(3a)(-2b) +(-2b)2 = 9a2 - 12ab +4b2

(-3a -2b)2 = (-3a)2 +2(-3a)(-2b)+(-2b)2 = 9a2 +12ab +4b2

(-3a+2b)2 = (-3a)2 +2(-3a)(+2b)+(+2b)2 = 9a2 -12ab+4b2

2222

4

25

3

5

9

1

2

5

2

5

3

12

3

1

2

5

3

1yxyxyyxxyx


Quadrato di binomio:Quadrato di binomio: eserciziesercizi

(3a + 5)(3a + 5)22 = = (2a - 3b)(2a - 3b)22 = = (-2a – 3b)(-2a – 3b)22 = = (x(x22 + 3y) + 3y)22 = =

(5x – 3y)(5x – 3y)22 = = (5a(5a22 + 2b + 2b22))22 = = (-3x(-3x33 – 2y – 2y22))2 2 == (2xy – 3y)(2xy – 3y)22 = = (7ab – 2a)(7ab – 2a)22 = =

9a2 + 30 a + 25

4a2 - 12 ab + 9b2

4a2 + 12 ab + 9b2

x4 + 6 x2y + 9y2

25x2 – 30xy + 9y2

25a4 + 20 a2b2 + 4b4

9x6 + 12 x3y2 + 4y4

4x2y2 - 12 xy2 + 9y2

49a2b2 - 28 a2b + 4a2


Quadrato di binomio:Quadrato di binomio: eserciziesercizi

2

32

1ba

2

32

3ba

2

5

1

2

3ba

2

5

1

5

3ba

2

3

1

3

5ba

2

3

1

3

1aba

222

2

1

3

2ba

22 934

1baba

22 994

9baba

22

25

1

5

3

4

9baba

22

25

1

25

6

25

9baba

22

9

1

9

10

9

25baba

2222

9

1

9

2

9

1babaa

4224

4

1

3

2

9

4bbaa


Cubo di un BinomioCubo di un Binomio



Cubo di binomio:Cubo di binomio: significato algebricosignificato algebrico

(a+b)3 = (a+b)2 (a+b) =

= (a2+2ab+b2) (a+b) =

= a3+a2b+2 a2b+2ab2+ab2+b3=

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3


Cubo di binomio:Cubo di binomio: la regolala regola

( a + b ) 3 = a 3 + 3a2b + 3ab2 + b 3

Il cubo di un binomio è un quadrinomio avente per termini:

• il cubo del 1° monomio• il triplo prodotto del quadrato del 1° per il 2°• il triplo prodotto del 1° per il quadrato del 2°• il cubo del 2° monomio


Cubo di binomio:Cubo di binomio: significato significato geometricogeometrico

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3


Cubo di binomio:Cubo di binomio: esempiesempi

(2a+b)3 = (2a)3 +3(2a)2(+b) +3(2a)(+b)2 +(+b)3 = = 8a3 + 12a2b + 6ab2 + b3

(2a - b)3 = (2a)3+3(2a)2(-b)+3(2a)(-b)2 +(-b)3 = = 8a3 - 12a2b + 6ab2 - b3

(-3a -2b)3 = (-3a)3 +3(-3a)2 (-2b)+3(-3a)(-2b)2 +(-2b)3 = = -27a3 - 54a2 b - 36ab2 - b3

322332233

4

25

4

25

6

5

27

1

2

5

2

5

3

13

2

5

3

13

3

1

2

5

3

1babbaabbabaaba

(-3a +2b)3 = (-3a)3 +3(-3a)2 (+2b)+3(-3a)(+2b)2 +(+2b)3 = -27a3 + 54a2 b - 36ab2 + b3


Cubo di binomio:Cubo di binomio: eserciziesercizi

(2a + 1)(2a + 1)33 = = (3a - b)(3a - b)33 = = (-2x - 3y)(-2x - 3y)33 = = (a(a22 + 3b) + 3b)33 = = (a - 3b)(a - 3b)33 = = (a(a22 + 2b + 2b22))33 = = (3a(3a33 - 2b - 2b22))33 = = (2ab - 3b)(2ab - 3b)33 = =

8a3+12a2+6a+1

27a3-27a2b+6ab2-b3

-8x3-36x2y-54xy2-27y3

a6+9a4 b+27a2b2+27b3

8a3-36a2 b+54ab2 -27b3

a6+6a4 b2+12a2b4+8b6

27a9-54a6b2+36a3b4-8b6

8a2b2-36a2 b3+54ab3-27b3


Cubo di binomio:Cubo di binomio: eserciziesercizi

3

32

1ba

3

32

3ba

3

3

1

2

3ba

3

3

1

5

1ba

3

3

1

3

2ba

3

3

1aba

322

2

1

3

1ba

3223 272

27

4

9

8

1babbaa

3223 272

81

4

81

8

27babbaa

3223

27

1

2

1

4

9

8

27babbaa

3223

27

1

15

1

25

1

125

1babbaa

3223

27

1

9

2

9

4

27

8babbaa

332333

3

1

27

1bababaa

622246

8

1

4

1

6

1

27

1bbabaa


Quadrato di un Quadrato di un PolinomioPolinomio



Quadrato di polinomio:Quadrato di polinomio: significato algebricosignificato algebrico

(a+b+c)2 = (a+b+c) (a+b+c) =

= a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2 =

= a2 + b2 + c2 +2ab + 2ac + 2bc


Quadrato di polinomio:Quadrato di polinomio:

la regolala regola(a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

Il quadrato di un polinomio di un numero qualsiasi di termini è un polinomio avente per termini:

• il quadrato di tutti i termini• il doppio prodotto (con il relativo segno) di

ciascun termine per tutti quelli che lo seguono


Quadrato di polinomio:Quadrato di polinomio: significato geometricosignificato geometrico

(a+b+c) (a+b+c)2

(a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

a b ca2

b2

ab

ab

c2

ac

ac

bc

bc


Quadrato di polinomio:Quadrato di polinomio: esempiesempi

(2a + b + 3c)2 ==(2a)2+(+b)2+(+3c)2+2(2a)(+b)+2(2a)(+3c)+2(+b)(+3c)= 4a2 + b2 + 9c2 + 4ab + 12ac + 12bc

(2a - b - c)2 = = (2a)2+(-b)2+(-c)2+2(2a)(-b)+2(2a)(-c)+2(-b)(-c)== 4a2 + b2 + c2 - 4ab - 4ac + 2bc

(-3a - 2b + c )2 ==(-3a)2+(-2b)2+(+c)2+2(-3a)(-2b)+2(-3a)(+c)+2(-2b)(+c)= 9a2 + 4b2 + c2 + 12ab - 6ac - 4bc

yxxyyx

yxyxyxyx

53

2

3

51

4

25

9

1

12

521

3

12

2

5

3

121

2

5

3

11

2

5

3

1

22

2222


Quadrato di polinomio:Quadrato di polinomio: eserciziesercizi

(2a + 2b + 7)(2a + 2b + 7)22 = =

(3a - 4b - 2c)(3a - 4b - 2c)22 = =

(-2x - 3y + 1)(-2x - 3y + 1)22 = =

(a(a22 + 3b - c) + 3b - c)22 = =

(5a + 2b + c)(5a + 2b + c)22 = =

(-3a(-3a33+2b+2b22+1)+1)22 == (2ab - 3b - 2)(2ab - 3b - 2)22 = =

(7xy - 2x - 1)(7xy - 2x - 1)22 = =

4a2+4b2+49+8ab+24a+24b

9a2+16b2+4c2-24ab-12ac+16bc

4x2+9y2+1+12 xy - 4x - 6y

a4+9b2+c2 + 6a2b - 2a2c - 6bc

25a2+4b2+c2 +20ab+10ac+4bc

9a6 +4b4+1 - 12a3b2- 6a3+4b2

4a2b2 +9b2+4-12ab2-8ab+12b

49x2y2+4x2+1- 28 x2y -14xy+4x


Potenza n-esima di Potenza n-esima di BinomioBinomio

Cerchiamo la regolaCerchiamo la regola Triangolo di TartagliaTriangolo di Tartaglia La regolaLa regola EsempiEsempi Esercizi propostiEsercizi proposti


Potenza n-esima di binomio:Potenza n-esima di binomio:cerchiamo una regolacerchiamo una regola

(a+b)0 = 1(a+b)1 = a+b(a+b)2 = a2+2ab+b2

(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3

(a+b)4 = a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

(a+b)5 = a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5

(a+b)6 = a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6

» lo sviluppo di (a+b)n contiene sempre n+1 termini

» i coefficienti dei termini estremi e di quelli equidistanti dagli estremi sono uguali

» in ogni termine dello sviluppo gli esponenti della lettera a decrescono da an ad a0=1 e gli esponenti della lettera b crescono da b0=1 a bn

» i coefficienti possono essere disposti secondo uno schema detto “ Triangolo di Tartaglia”


Potenza n-esima di binomio:Potenza n-esima di binomio:Triangolo di TartagliaTriangolo di Tartaglia

(a+b)0 = 1

(a+b)1 = 1 1

(a+b)2 = 1 2 1

(a+b)3 = 1 3 3 1

(a+b)4 = 1 4 6 4 1

(a+b)5 = 1 5 10 10 5 1

(a+b)6 = 1 6 15 20 15 6 1In questo prospetto:*ogni riga inizia e termina con 1*ogni altro numero si ottiene sommando quelli sovrastanti

della riga precedente


Potenza n-esima di binomio:Potenza n-esima di binomio: la regolala regola

(a+b)n = an+nan-1b + ……. + nabn-1+bn

La potenza n-esima di un binomio è un polinomio omogeneo di grado n, ordinato e completo secondo le potenze decrescenti di a e crescenti di b, i cui coefficienti si ottengono dal Triangolo di Tartaglia.In pratica, si procede nel seguente modo:

• si scrive la parte letterale di ogni monomio tenendo conto che è di grado n e le potenze di a decrescono (da n fino a 0) e di b crescono(da 0 ad n)

• si calcolano i coefficienti di ogni monomio con il Triangolo di Tartaglia


Potenza n-esima di binomio:Potenza n-esima di binomio: esempiesempi

(2a+b)5 ==(2a)5+5(2a)4(b)+10(2a)3(b)2+10(2a)2(b)3 +5(2a)(b)4+(b)5

=32a5+5(16a4)(b)+10(8a3)(b2) +10(4a2)(b3) +5(2a)(b4)+b5

=32a5 + 80a4b + 80a3b2 + 40a2b3 + 10ab4 + b5

(a - b)4 = (a)4+4(a)3(-b)+6(a)2(-b)2+4(a)(-b)3+(-b)4 = = a4 - 4a3b + 6a2b2 - 4ab3 + b4

(3a-2b)4 = =(3a)4 +4(3a)3(-2b)+6(3a)2(-2b)2+4(3a)(-2b)3+(-2b)4 ==81a4 +4(27a3)(-2b)+6(9a2 )(+4b2)+4(3a)(-8b3)+16b4== 81a4 - 216a3b + 216a2b2 - 96ab3 + 16b4

(a + b)4 = (a)4+4(a)3(+b)+6(a)2(+b)2+4(a)(+b)3+(+b)4 = = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4


Potenza n-esima di binomio:Potenza n-esima di binomio: eserciziesercizi

(2a - b)(2a - b)44 = = (a +b)(a +b)77 = = (a - b)(a - b)77 = = (a - b)(a - b)66 = = (a +2b)(a +2b)44 = = (a - 2b)(a - 2b)44 = = (a +2b)(a +2b)55 = = (-x - y)(-x - y)55 = =

16a4 - 32a3b + 24a2b2 - 8ab3 + b4

a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7

a4 + 8a3b + 24a2b2 + 32ab3 + 16b4

a4 - 8a3b + 24a2b2 - 32ab3 + 16b4

a6- 6a5b +15a4b2 - 20a3b3+15a2b4 - 6ab5+ b6

a7-7a6b+21a5b2-35a4b3+35a3b4-21a2b5+7ab6-b7

a5 +10a4b + 40a3b2+ 80a2b3 +80ab4+32b5

- x5 - 5x4 y - 10x3y2 - 10x2y3 - 5xy4 - y5


Somma per Somma per differenzadifferenza

Cerchiamo la regolaCerchiamo la regola La regolaLa regola EsempiEsempi Esercizi propostiEsercizi proposti


Somma per differenza:Somma per differenza: significato algebricosignificato algebrico

(a+b) (a-b) =

= a2 - ab + ab - b2 =

= a2 - b2


Somma per differenza:Somma per differenza:

la regolala regola( a + b ) ( a - b ) = a 2 - b 2

Il prodotto della somma di due termini per la loro differenza è uguale al quadrato del primo termine meno il quadrato del secondo termine


Somma per Somma per differenza:differenza: esempi esempi

(2a+b) (2a+b) = (2a)2 - (b)2 = 4a2 - b2

(2a - 5b) (2a + 5b) = (2a)2 - (5b)2 = 4a2 - 25b2

(3a+2b) (3a-2b) = (3a)2 - (2b)2 = 9a2 - 4b2

(-a +2b) (-a - 2b) = (-3a)2 - (2b)2 = 9a2 - 4b2

(4a + b) (- 4a + b) = (b)2 - (4a)2 = b2 - 16a2

(-3b+2a) (+3b+2a) = (2a)2 - (3b)2 = 4a2 - 9b2

2222

4

25

9

1

2

5

3

1

2

5

3

1

2

5

3

1yxyxyxyx


Somma per differenza:Somma per differenza: eserciziesercizi

(2a + 7)(2a - 7)= (2a + 7)(2a - 7)= (3a - 4b)(3a+ 4b) = (3a - 4b)(3a+ 4b) = (-2x - 3y)(-2x+3y) = (-2x - 3y)(-2x+3y) = (a(a22 + 3b)(a + 3b)(a22 - 3b) = - 3b) = (5a - 3b)(5a+ 3b) = (5a - 3b)(5a+ 3b) = (5a(5a22+2b+2b22)(5a)(5a22 -2b -2b22) = ) = (-3a(-3a33+2b+2b22)(-3a)(-3a33-2b-2b22)) == (2a + 3b)( -2a + 3b) (2a + 3b)( -2a + 3b)

= = (7xy - 2x)( -7xy - 2x)(7xy - 2x)( -7xy - 2x)

==

4a2 - 499a2 - 16b2

4x2 - 9y2

a4 - 9b2

25a2 - 9b2

25a4 - 4b4

9a6 - 4b4

9b2 - 4a2

4x2 - 49x2y2


Somma per differenza:Somma per differenza: eserciziesercizi

baba 3

2

13

2

1

baba 3

2

33

2

3

baba

5

1

2

3

5

1

2

3

baba

5

1

5

3

5

1

5

3

22 94

1ba

22 94

9ba

22

4

9

25

1ab

22

25

1

25

9ba

[(a+b) - 1] [(a+b) +1] = (a+b)2 - 1


Altri Prodotti Altri Prodotti NotevoliNotevoli

Somma di cubiSomma di cubi Differenza di cubiDifferenza di cubi La regolaLa regola EsempiEsempi Esercizi propostiEsercizi proposti


Somma di Cubi:Somma di Cubi: significato algebricosignificato algebrico

(a+b) (a2 - ab + b2 ) =

= a3 - a2b + ab2 + a2b- ab2 + b3 =

= a3 + b3


Differenza di Cubi:Differenza di Cubi: significato algebricosignificato algebrico

(a - b) (a2 + ab + b2 ) =

= a3 + a2b + ab2 - a2b- ab2 - b3 =

= a3 - b3


Somma o differenza di Somma o differenza di cubi:cubi: la regolala regola

Il prodotto della somma di due termini per il trinomio formato dal quadrato dei due termini e dalla differenza del loro prodotto è uguale al cubo del primo termine più il cubo del secondo termine

(a+b)(a2 - ab + b2 ) = a3 + b3

(a - b)(a2 + ab + b2 ) = a3 - b3

Il prodotto della differenza di due termini per il trinomio formato dal quadrato dei due termini e dalla somma del loro prodotto è uguale al cubo del primo termine meno il cubo del secondo termine


Somma o Differenza di Somma o Differenza di Cubi:Cubi:

esempiesempi(2a + b)(4a2 - 2ab + b2) = (2a)3 + (b)3 = 8a3 + b3

3333

22

64

27

27

1

4

3

3

1

16

9

4

1

9

1

4

3

3

1bababababa

(2a - b)(4a2 + 2ab + b2) = (2a)3 - (b)3 = 8a3 - b3

(3a+2b)(9a2- 6ab +4b2)= (3a)3 + (2b)3 = 27a3 + 8b3

(3a - 2b)(9a2+ 6ab +4b2)= (3a)3 - (2b)3 = 27a3 - 8b3

3333

22

64

27

27

1

4

3

3

1

16

9

4

1

9

1

4

3

3

1bababababa


Somma o Differenza di Somma o Differenza di Cubi:Cubi: esercizi esercizi

(2a + 7)(4a(2a + 7)(4a22 - 14ab + 49)= - 14ab + 49)=

(3a - 4b)(9a(3a - 4b)(9a22+12ab+16b+12ab+16b22) = ) =

(2x - 3y)(4x(2x - 3y)(4x2 2 + 6xy + 9y+ 6xy + 9y22) = ) =

(a(a22 + 3b)(a + 3b)(a44 +9b +9b2 2 - 3a- 3a22b ) =b ) =

(5a - 3b)(25a(5a - 3b)(25a22+15ab+9b+15ab+9b22) = ) =

(x(x2 2 + 2y+ 2y22)(x)(x44 - 2x - 2x22yy2 2 + 4y+ 4y44) = ) =

(3a(3a33+ b+ b22)(9a)(9a66- 3a- 3a33bb22 + b + b44)) ==

(2a + 3b)( 4a(2a + 3b)( 4a22 - 6ab+9b - 6ab+9b22) = ) =

(x - 2y)( x(x - 2y)( x2 2 +2xy + 4y+2xy + 4y22)) ==

8a3 + 34327a3 - 64b3

8x3 - 27y3

a6 + 27b3

125a3 - 27b3

x6 + 8y6

27a9 + b6

8a2 + 27b2

x3 - 8y3

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