prof. Vincenzo Levato -e-mail: levatolevato@libero.it

a : ba

antecedente

Dati due numeri a e b (con b≠ 0) si chiama rapporto fra i due numeri il loro quoziente, ottenuto dividendo il primo per il secondo:

oppure a

b conseguenteLe parole della matematica

I due numeri a e b si chiamano termini del rapporto ;

Il primo numero, a, si chiama antecedente ;

Il secondo numero, b, si chiama conseguente .

Data la proporzione: 20 : 5 = 32 : 8In essa :

• I quattro numeri 20, 5, 32 e 8 sono i termini della proporzione;

• Il 1° e il 3° numero, 20 e 32 sono gli antecedenti ;

• Il 2° e il 4° numero, 5 e 8, sono i conseguenti ;

• Il 1° e il 4° numero, 20 e 8, sono gli estremi ;

Tale proporzione la leggeremo: 20 sta a 5 come 32 sta a 8

• Il 1° e il 4° numero, 20 e 8, sono gli estremi ;

• Il 2° e il 3° numero, 5 e 32, sono i medi ;

• Il 4° numero, 8, è il quarto proporzionale .

conseguentiantecedentiestremi

Quarto proporzionale

20 : 5 = 32 : 8

medi

20 : 5 = 32 : 8

Esaminiamo una proporzione, per esempio 18 : 2 = 27 : 3e scriviamola nel seguente modo:

3

27

2

18 =

Riduciamo le due frazioni al m.c.d., che è 6; otteniamo:6

227

6

318 ×=×

Osserviamo i due numeratori; non sono altro che:

•Il prodotto degli estremi, 18 x 3;

•Il prodotto dei medi, 27 x 2

Essi sono necessariamente uguali; infatti 18 x 3 = 54 e 27 x 2 = 54

Esprimiamo tutto ciò con la proprietà fondamentale delle proporzioni :

In ogni proporzione il prodotto degli estremi è sempre uguale al prodotto dei medi.

Se a : b = c : d allora a x d = b x c

Consideriamo la proporzione 27 : 3 = 36 : 4

Riscriviamola scambiando in essa ogni antecedente con il proprio conseguente:

3 : 27 = 4 : 36 Possiamo affermare di aver scritto ancora una proporzione vera? Sì!

(prodotto degli estremi)

Possiamo affermare di aver scritto ancora una proporzione vera? Sì! Infatti, applicando la proprietà fondamentale, abbiamo:

3 x 36 = 108 27 x 4 = 108

(prodotto dei medi)=Proprietà dell’invertire:

Se in una proporzione si scambia ogni antecedente con il proprio conseguente si ottiene ancora una proporzione.

Se a : b = c : d allora b : a = d : c

Se in una proporzione si scambiano tra loro gli estremi o i medi o entrambi si ottengono ancora altre proporzioni.

72 : 8 = 63 : 7

scambiamo i medi. Otteniamo:

72 : 63 = 8 : 7

Prova tu a scambiare gli estremi e verifica se ottieni ancora una proporzione.

Possiamo verificare con la proprietà fondamentale che otteniamo ancora una proporzione.

63 x 8 = 504

72 x 7 = 504

In ogni proporzione la somma del 1° e del 2° termine sta al primo o al secondo termine come la somma del 3° e del 4°termine sta al terzo o al quarto termine.

72 : 8 = 63 : 7

Otteniamo:

(72 + 8 ) : 72 = ( 63 + 7 ) : 63

oppure ( 72 + 8 ) : 8 = ( 63 + 7 ) : 7

80 : 72 = 70 : 63

80 : 8 = 70 : 7

Conclusioni:Le due proporzioni ottenute sono esatte perché in ciascuna delle due il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.

In ogni proporzione (con gli antecedenti maggiori dei rispettivi conseguenti) la differenza del 1° e del 2° termine sta al 1° o al 2°termine come la differenza del 3° e 4° termine sta al 3° o al 4°termine.

100 : 10 = 30 : 3

(100 – 10 ) : 100 = (30 – 3 ) : 30

Oppure:

( 100 – 10 ) : 10 = ( 30 – 3 ) : 3

90 : 100= 27 : 30

90 : 10 = 27 : 3

Conclusioni:Le due proporzioni ottenute sono esatte perché, in ciascuna delle due, il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.

54 : 6 = 108 : XIl termine mancante è detto termine incognito e si indica con x.

12648 ==x

Applichiamo la proprietà fondamentale:

54 . x = 6 . 108 da cui:

54 . x = 648 da questa avremo:{

X =6 . 108

54= 12

In una proporzione il valore di un estremo incognito è dato dal prodotto dei medi diviso l’estremo conosciuto.

In generale diciamo quindi che:

1254

648 ==x{

121 : x = 143 : 13

Applichiamo la proprietà fondamentale:

121 . 13 = x . 143 da cui:

1573 = x . 143 da questa avremo:

111573 ==x

{121 . 13

X =143

= 11

In una proporzione il valore di un medio incognito è dato dal prodotto degli estremi diviso il medio conosciuto.

In generale diciamo quindi che:11

143

1573 ==x{

In una proporzione continua il valore del medio proporzionale è dato dalla radice quadrata del prodotto degli estremi.

4 : x = x : 25 Data la proporzione

Applichiamo la proprietà fondamentale X . X = 4 . 25

X² = 4 . 25

Ricaviamo x ricordando che l’operazione inversa della potenza è la radice quadrata.

10100......... ===x 4 . 25

La differenza tra due numeri è 15, e uno è pari ai 12/7 dell’altro. Determina i due numeri.

x : y = 12 : 7 x - y = 15

( x - y ) : x = ( 12 - 7 ) : 12

y = x – 15 = 36 – 15 = 21

15 : x = 5 : 12 15 . 12

5x = = 36

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