I NUMERI COMPLESSII NUMERI COMPLESSI

Perché i numeri complessi?Perché i numeri complessi?

�� Risolviamo l’equazione di 2Risolviamo l’equazione di 2°° grado: . grado: .

0322 =+− xx

?2

82

2

1242 =−±=−±=x ?22

===x

unità immaginaria, rappresentata dal simbolo i e che si definisce

come un numero il cui quadrato è uguale al numero reale –1, ossia:

12 −=i 1−±=i

( )21

2

212

2

222

2

82

2

82

2

82

2

1242 2

iiiii

x ±=±=±=±=±=−±=−±=

Potenza ad esponente intero positivo

Poiché le potenze si ripetono periodicamente ogni

4 volte, le potenze di i formano un

gruppo ciclico di ordine 4.

� i4n = i0 = 1� i4n = i0 = 1

� i4n +1 = i1 = i

� i 4n +2 = i 2 = -1

� I 4n +3 = i3 = -i

EsempiEsempi

� Calcolare le seguenti potenze di i:

a) i12 b) i27 c) i41 d)1/i15 e) i34

(a) i12 = (i4)3 = 1(a) i12 = (i4)3 = 1

(b) i27 = i24i3 = i3 = −i

(c) i41 = i40i = i

(d) i34 = i32 · i2 = i2 = −1

I NUMERI COMPLESSII NUMERI COMPLESSI

(forma algebrica)(forma algebrica)

I numeri complessi z = a + ib individuano le coppie (a,b)

che rappresentano le coordinate di punti nel piano R2

chiamato piano di Argand-Gauss

I numeri complessi z si possono rappresentare con un vettoreI numeri complessi z si possono rappresentare con un vettore

centrato nell’origine degli assi cartesiani

a

b P(a,b)z = a + i b z = a + i b ∈∈ CC

a = parte reale a = parte reale

b= parte immaginariab= parte immaginariavv ax b y= +r r ur

OPERAZIONI FRA VETTORIOPERAZIONI FRA VETTORI

SOMMA (si sommano le parti reali e SOMMA (si sommano le parti reali e

quelle immaginarie)quelle immaginarie)

La regola dell’addizione

corrisponde alla regola

del parallelogramma

(5, 5)

del parallelogramma

relativa alla risultante

dei vettori (4, 2)

(1, 3)

(4+2i) + (1+3i) =5+5i

1 2

1 1 1 2 2 2

1 2 1 2 1 2)

( ; ) ( ; )

( ;

z z

v a b v a b

v v a a b b

+ =

+ =

+ + +

ur uur

uuuuuuur

PRODOTTO PER UNO SCALAREPRODOTTO PER UNO SCALARE

( ; ) ( ; )k v a b k v ka kb⋅ = ⋅ur uuur

Se k<0Se k>0

kv

v

kv

v

kv

PRODOTTO PER i (unità immaginaria)PRODOTTO PER i (unità immaginaria)

1

( ; ) ( )

²

( ; )

i v a b i a ib

ia i b b ia

v b a

⋅ = ⋅ + =+ = − + =

−

r

ur

bP(a,b)

viv

1( ; )v b a−

La moltiplicazione per i fa ruotare

il vettore di 90° in senso antiorario

a

Coniugato di un numero complesso

� E’ utile definire a questo punto anche il

numero complesso coniugato di un

numero come quel numero, indicato

con , come quel numero complesso

che ha la stessa parte reale di z e parte z

che ha la stessa parte reale di z e parte

immaginaria opposta:

z a ib= −

Reciproco di un numero complesso

� Ogni elemento z = a + ib , con a e b non

contemporaneamente nulli, ammette in

C un “simmetrico” rispetto alla

moltiplicazione, che si chiama reciproco

di z , dato dadi z , dato da

2 2 2 2

1 1 z a bi

z a ib z z a b a b= = = −

+ ⋅ + +

LE COORDINATE POLARILE COORDINATE POLARI

P(a;b)ρρ

ϑa

b

² ²

0 2

a bρϑ π

= +≤ ≤

MODULO

ARGOMENTO

PRINCIPALE

(cos )z i senρ ϑ ϑ= + ⋅

Per le regole trigonometriche si ha che

cosa

b sen

ρ ϑρ ϑ

==

quindi

PASSAGGIO DALLLE COORDINATE CARTESIANEPASSAGGIO DALLLE COORDINATE CARTESIANE

A QUELLE TRIGONOMETRICHEA QUELLE TRIGONOMETRICHE

cosa

b sen

ρ ϑρ ϑ

= =

PASSAGGIO DALLLE COORDINATE PASSAGGIO DALLLE COORDINATE

TRIGONOMETRICHE A QUELLE CARTESIANETRIGONOMETRICHE A QUELLE CARTESIANE

A QUELLE TRIGONOMETRICHEA QUELLE TRIGONOMETRICHE

² ²

cos² ²

² ²

a b

a

a bb

sena b

ρ

ϑ

ϑ

= + =

+

=+

ESERCIZIESERCIZI

1

2

2

z i

z i

z

= −==

Trasformare i seguenti numeri dalla forma algebrica a quella

trigonometrica e posizionarli sul piano di Gauss:

2

1 3

2 2

2 cos6 6

5 cos4 4

z

z i

z isen

z isen

π π

π π

=

= +

= +

= −

PRODOTTO PRODOTTO DI DUE NUMERI COMPLESSI DI DUE NUMERI COMPLESSI

IN FORMA TRIGONOMETRICAIN FORMA TRIGONOMETRICA

1 1 1 1

2 2 2 2

(cos )

(cos )

z i sen

z i sen

ρ ϑ ϑρ ϑ ϑ

= + ⋅= + ⋅

Dati due numeri complessi

Eseguendo la moltiplicazione e ricordando le formule di addizione del coseno e del seno

Il prodotto di due numeri complessi in forma trigonometrica è un

numero complesso che ha come modulo il prodotto dei moduli e

come argomento la somma degli argomenti

di addizione del coseno e del seno

)]sin()[cos( 21212121 θθθθρρ +++= izz

DIVISIONE DI DUE NUMERI COMPLESSI DIVISIONE DI DUE NUMERI COMPLESSI

IN FORMA ALGEBRICAIN FORMA ALGEBRICA

DIVISIONE DI DUE NUMERI COMPLESSI DIVISIONE DI DUE NUMERI COMPLESSI

22

22

21122

22

2

2121

2

1

yx

yxyxi

yx

yyxx

z

z

+−+

++=111 iyxz +=

222 iyxz += )0( 2 ≠z

( ) ( )( )1 11 2 1 2

2 2cos

zisen

z

ρ ϑ ϑ ϑ ϑρ

= − + −

IN FORMA TRIGONOMETRICAIN FORMA TRIGONOMETRICA

)sin(cos 1111 θθρ iz +=

)sin(cos 2222 θθρ iz += )0( 2 ≠z

Il modulo si ottiene dividendo i moduliL’argomento si ottiene sottraendo gli argomenti

POTENZA DI DUE NUMERI POTENZA DI DUE NUMERI

COMPLESSI COMPLESSI

IN FORMA TRIGONOMETRICAIN FORMA TRIGONOMETRICA

( ) ( )(cos )n nz n i sen nρ ϑ ϑ= + ⋅

RADICE N.ESIMA DI UN NUMERO RADICE N.ESIMA DI UN NUMERO

COMPLESSOCOMPLESSO

(cos )z i senρ ϑ ϑ= + ⋅

nw z=

Dato il numero complesso

si dice RADICE N-ESIMA di z un qualunque

numero complesso w tale che

Da cui di ricava che esistono n soluzioni :

2 2cosn

kk k

w isenn n

ϑ π ϑ πρ + + = +

con k=0,1,2,…,n-1

I numero complessi w hanno lo stesso modulo, ma

diverso argomento; quindi individuano punti di una

stessa circonferenza di raggio uguale al modulo.

Si può dimostrare che essi individuano i vertici di

un poligono regolare di n lati.

EsempiEsempi

1) 1

1

2

1

0

w

z

n

ρϑ

==

=⇒ =

=

2 0 2 0 21 cos

2 2

0,1

k kw isen

k

π π+ + = +

=

( )( )

0

1

1 cos0 0

1 cos

w isen

w isenπ π= +

= +w1

w0

32) 1

1

w

z

==

( )0 1 cos0 0w isen= +

3

1

0

n

ρϑ

=⇒ =

=

1

2

2 21 cos

3 3

4 41 cos

3 3

w isen

w isen

π π

π π

= +

= +

SOLUZIONE EQUAZIONI SOLUZIONE EQUAZIONI

POLINOMIALI IN CPOLINOMIALI IN C

³ 8 0x• + =ha tre soluzioni in C . Quali?

4• + =4 1 0x• + =ha quattro soluzioni in C . Quali?

Risoluzione algebrica delle equazioni

di secondo grado

Consideriamo l’equazione dove α è un numero

reale. Si devono distinguere due casi; nel primo porta a

determinare due soluzioni reali ( ), il secondo in cui , che

2z α=

z α= ±

conduce a due soluzioni complesse coniugate, dette immaginarie

( ).

Quando invece si deve risolvere la generica equazione di secondo

grado , con , si può seguire, una volta

raccolto il coefficiente a, il “metodo del completamento del

quadrato”, che fornisce le soluzioni con operazioni elementari sulle

variabili e sui coefficienti reali:

z i α= ±

2 0az bz c+ + = , , Ra b c ∈

2 22 2

2

4

2 4

b c b b acaz bz c a z z a z

a a a a

− + + = + + = + −

� Posto , si hanno due casi:

∆≥0, allora e 2

22

4

4

b acw

a

−=

2 4

2

b acw

a

−= ±

2 4

2

b b acz

a

− ± −=

∆<0, allora e

Nel caso in cui l’equazione di partenza sia a coefficienti complessi,

allora per risolvere l’equazione di secondo grado si risolve il

sistema ottenuto uguagliando separatamente le parti reali

dell’equazione e le parti immaginarie tra loro.

2w

a= ±

24

2

i ac bw

a

−= ±

2a

24

2

b i ac bz

a

− ± −=

Forma esponenziale dei numeri Forma esponenziale dei numeri

complessicomplessi

ϕϕϕ isenei += cos

( ) ρϕϕρ =+=+= isenibaz cos( )

2121 ϕϕϕϕ iiii eee +=⋅

Operazioni tra numeri complessi in Operazioni tra numeri complessi in

forma esponenzialeforma esponenziale

�� moltiplicazionemoltiplicazione

ρ=1z 1ϕie

ρ=2z 2ϕie

2121 ρρ=⋅ zz )( 21 ϕϕ +ie )(

2

1

2

1 21 ϕϕ

ρρ −= ie

z

z

ϕρ innn ez = nn z ρ=

+n

kn

i

eπϕ 2

Forma polare dei numeri Forma polare dei numeri

complessicomplessi

Estrazione di radiceEstrazione di radice

�� L’estrazione della L’estrazione della radice quadrataradice quadrata di un numero di un numero

complesso è sempre possibile e si ottiene complesso è sempre possibile e si ottiene

utilizzando la seguente formula:utilizzando la seguente formula:2222 aba

iaba

iba−+±++=±

22

abai

abaiba

−+±++=±

Per la radice ennesima si applica la formula che segue.

Se il numero di cui estrarre la radice è scritto in forma

algebrica è necessario convertirlo

in forma canonica:

+±

+=±n

kn

isenn

kn

isen nnπϕπϕρϕϕρ 22

cos)(cos

Formula di De MoivreFormula di De Moivre

( )[ ] ( )njsennjsen nn ⋅±⋅=± ϕϕρϕϕρ coscos