Numeri Complessi - science.unitn.itserapion/Numeri Complessi.pdf · “Lo Spirito Divino trovò una...
Transcript of Numeri Complessi - science.unitn.itserapion/Numeri Complessi.pdf · “Lo Spirito Divino trovò una...
Problema: Cardano, Ars Magna cap.XXXVII, (1545)
Dividi 10 in due parti il cui prodotto è 40
Girolamo Cardano (Pavia, 24 settembre 1501 – Roma, 21 settembre 1576?)
Problema: Cardano, Ars Magna cap.XXXVII, (1545)
Dividi 10 in due parti il cui prodotto è 40
x(10− x) = 40
le soluzioni sono:x1 = 5 +
√−15
x2 = 5−√−15
Problema: Cardano, Ars Magna cap.XXXVII, (1545)
Dividi 10 in due parti il cui prodotto è 40
x(10− x) = 40
le soluzioni sono:x1 = 5 +
√−15
x2 = 5−√−15
�5+
√−15
��5−
√−15
�
=25 + 5√−15− 5
√−15− (
√−15)2
=25 + 15 = 40
Girolamo Cardano (1501 – 1576?)
Così progredisce la sottigliezza aritmetica il cui fine, come si dice, è tanto raffinato
quanto inutile.”
“Lasciando da parte le torture mentali connesse:
(5 +√−15) · (5−
√−15) = 25− (−15) = 40
“E’ giusto che le radici delle equazioni siano spesso impossibili [complesse],
per esibire casi di problemi impossibili.”
Newton (1728)
Equazioni di terzo grado
Niccolò Tartaglia, soprannome di Niccolò Fontana (Brescia, 1499 – Venezia 1557)
Gerolamo Cardano (Pavia 1501 – Roma, 1576?)
Scipione del Ferro (Bologna,1465 – Bologna, 1526)
Lodovico Ferrari (1522 –1565)
?
Caso Irriducibile
x1 = 4, x2 = −2−√3, x3 =
√3− 2
x3 − 15x− 4 = 0
le soluzioni sono:
�4 �2 2 4
�40
�20
20
40
4
Usando la formula risolutiva
Caso Irriducibile
x1 = 4, x2 = −2−√3, x3 =
√3− 2
x3 − 15x− 4 = 0
le soluzioni sono:
x1 =3
�2 +
√−121 +
3
�2−
√−121 = 4
x2 = . . .
x3 = . . .
“Né le vere né le false [negative] radicisono sempre reali;
talvolta esse sono immaginarie.”
Descartes, Géométrie (1637)
Haye en Touraine, 31 marzo 1596 – Stoccolma, 11 febbraio 1650)René Descartes
“Lo Spirito Divino trovò una via d’uscita sublimein quel mostro dell’analisi,
quel portento del mondo ideale,quell’anfibio fra essere e non essere,
che chiamiamoradice immaginaria dell’unità negativa.”
Leibniz (1702)
1 2 3 4
i
2i
3i
-i
-2i
-1-2
4+2i
Numeri complessi
Piano complesso o piano di Argand-Gauss
Karl Friederich Gauss,(Braunschweig, 1777 – Gottinga,1855)
Jean-Robert Argand(Ginevra 1768 – Parigi, 1822)
Asse immaginario
Asse reale
w=2-i
Numeri complessi
Numeri immaginari
Numeri reali
C
i
2i
3i
−i
−2i
−2 −1 0 1 2 3 4
z = 4 + 2i
Asse immaginario
Asse reale
w=2-i
Numeri complessi
Numeri immaginari
Numeri reali
C
Numeri complessi
i
2i
3i
−i
−2i
−2 −1 0 1 2 3 4
z = 4 + 2i
Numeri complessi C
i
2i
3i
−i
−2 −1 0 1 2 3 4
z = 4 + 2i
|z|
modulo di z = distanza di z dall’origine
Numeri complessi C
i
2i
3i
−i
−2 −1 0 1 2 3 4
z = 4 + 2i
|z|
modulo di z
|z| =�
42 + 22 = 2√5
= distanza di z dall’origine
Numeri complessi C
i
2i
3i
−i
−2 −1 0 1 2 3 4
z = 4 + 2i
|z|
modulo, parte reale, parte immaginaria
Re(z)
Im(z)
Im(z) = 2Re(z) = 4|z| =�
42 + 22 = 2√5
1 2 3 4
i
2i
3i
-i
-2i
-1-2
Asse immaginario
Asse reale
Numeri complessi
−w = −2 + i
w = 2− i
coniugato di z
z = 4 + 2i
1 2 3 4
i
2i
3i
-i
-2i
-1-2
Asse immaginario
Asse reale
Numeri complessi
−w = −2 + i
w = 2− i
Opposto e coniugato
z = 4 + 2i
z̄ = 4− 2i
z = a+ ib
Re(z) = a parte reale di z
Im(z) = b parte immaginaria di z
Numeri complessi
z̄ = a− ib coniugato di z
−z = −a− ib opposto di z
z = a+ ib
Re(z) = a parte reale di z
Im(z) = b parte immaginaria di z
modulo di z : |z| =�
a2 + b2
Numeri complessi
z̄ = a− ib coniugato di z
−z = −a− ib opposto di z
4
2i
-i
-1
z=4+2i
Rappresentazione trigonometrica
|z|
Modulo di z
θ
Argomento di z
2 = |z| sin(θ)
4 = |z| cos(θ)
z = a+ bi
|z| =�a2 + b2 arg(z) = θ = arctan
�b
a
�
Rappresentazione Algebrica e Trigonometrica
se a > 0 altrimenti · · ·
z = a+ bi
|z| =�a2 + b2 arg(z) = θ = arctan
�b
a
�
a = |z| cos(θ)b = |z| sin(θ)
Rappresentazione Algebrica e Trigonometrica
se a > 0 altrimenti · · ·
z = a+ bi
|z| =�a2 + b2 arg(z) = θ = arctan
�b
a
�
a = |z| cos(θ)b = |z| sin(θ)
Rappresentazione Algebrica e Trigonometrica
z = |z| (cos(θ) + i sin(θ))
= |z| (cos(θ + 2kπ) + i sin(θ + 2kπ))
se a > 0 altrimenti · · ·
Operazioni con Numeri Complessi
Somma:
Prodotto: quadrati, cubi,...
z + w, 2z, . . .
zw,1
z, z2, z3 . . .
Operazioni con Numeri Complessi
Somma:
Prodotto: quadrati, cubi,...
Radici: quadrate, cubiche,...
z + w, 2z, . . .
zw,1
z, z2, z3 . . .
√z, 3
√z, . . .
Operazioni con Numeri Complessi
Somma:
Prodotto: quadrati, cubi,...
Radici: quadrate, cubiche,...
Esponenziali:
z + w, 2z, . . .
zw,1
z, z2, z3 . . .
√z, 3
√z, . . .
2z, iz, ii, . . .
Operazioni con Numeri Complessi
Somma:
Prodotto: quadrati, cubi,...
Radici: quadrate, cubiche,...
Esponenziali:
z + w, 2z, . . .
zw,1
z, z2, z3 . . .
√z, 3
√z, . . .
2z, iz, ii, . . .
(3 + 2i) + (4 + 5i) = (3 + 4) + (2 + 5)i = 7 + 7i
Somma di numeri complessi
(3 + 2i)− (4 + 5i) = (3− 4) + (2− 5)i = −1− 3i
(3 + 2i) + (4 + 5i) = (3 + 4) + (2 + 5)i = 7 + 7i
Somma di numeri complessi
a+ bi+ c+ di = a+ c+ (b+ d)i
(3 + 2i)− (4 + 5i) = (3− 4) + (2− 5)i = −1− 3i
1 2 3 4
i
2i
3i
-i
-2i
-1-2
z=4+2i
Asse immaginario
Asse reale
w=2-i
65
Somma di numeri complessi
Regola del Parallelogramma
1 2 3 4
i
2i
3i
-i
-2i
-1-2
z=4+2i
Asse immaginario
Asse reale
w=2-i
65
z+w=6+i
Somma di numeri complessi
Regola del Parallelogramma
1 2 3 4
i
2i
3i
-i
-2i
-1-2
z=4+2i
Asse immaginario
Asse reale
w=2-i
65
z+w=6+i
Somma di numeri complessi
Regola del Parallelogramma
Modulo della differenza di due numeri complessi
|z − w| = distanza fra z e w
1 2 3 4
i
-i
-2i
-1-2 65
z
w
Modulo della differenza di due numeri complessi
|z − w| = distanza fra z e w
1 2 3 4
i
-i
-2i
-1-2 65
z
w
−w
Modulo della differenza di due numeri complessi
|z − w| = distanza fra z e w
1 2 3 4
i
-i
-2i
-1-2 65
z
w
z − w
Modulo della differenza di due numeri complessi
|z − w| = distanza fra z e w
1 2 3 4
i
-i
-2i
-1-2 65
z
w
z − w
−w
Modulo della differenza di due numeri complessi
|z − w| = distanza fra z e w
1 2 3 4
i
-i
-2i
-1-2 65
z
w
z − w
−w
Prodotto di numeri complessi
i ∗ i = −i ∗ −i = −1
i2 = (−i)2 = −1
(a+ ib) ∗ (c+ id) = ac+ (bc+ ad)i+ (i)2bd
Prodotto di numeri complessi
i ∗ i = −i ∗ −i = −1
i2 = (−i)2 = −1
(a+ ib) ∗ (c+ id) = ac+ (bc+ ad)i+ (i)2bd
= ac+ (bc+ ad)i+ (−1)bd
Prodotto di numeri complessi
i ∗ i = −i ∗ −i = −1
i2 = (−i)2 = −1
(a+ ib) ∗ (c+ id) = (ac− bd) + (ad+ bc)i
(a+ ib) ∗ (c+ id) = ac+ (bc+ ad)i+ (i)2bd
= ac+ (bc+ ad)i+ (−1)bd
Prodotto di numeri complessi
z = r (cos(θ) + i sin(θ))
w = s (cos(φ) + i sin(φ))
z ∗ w = (r (cos(θ) + i sin(θ))) ∗ (s (cos(φ) + i sin(φ)))
= rs (cos(θ) + i sin(θ)) (cos(φ) + i sin(φ))
= rs (cos(θ) cos(φ)− sin(θ) sin(φ)) + i (sin(θ) cos(φ) + cos(θ) sin(φ))
Prodotto di numeri complessi
z = r (cos(θ) + i sin(θ))
w = s (cos(φ) + i sin(φ))
z ∗ w = (r (cos(θ) + i sin(θ))) ∗ (s (cos(φ) + i sin(φ)))
= rs (cos(θ) + i sin(θ)) (cos(φ) + i sin(φ))
= rs (cos(θ) cos(φ)− sin(θ) sin(φ)) + i (sin(θ) cos(φ) + cos(θ) sin(φ))
z ∗ w = rs (cos(θ + φ) + i sin(θ + φ))
i
1θ
z = a+ ib = r (cos(θ) + i sin(θ))
z
r
Prodotto di numeri complessi
w
φs
w = s (cos(φ) + i sin(φ))
i
1θ
z = a+ ib = r (cos(θ) + i sin(θ))
z
r
Prodotto di numeri complessi
w
φs
w = s (cos(φ) + i sin(φ))
θ + φ
i
1θ
z
r
Prodotto di numeri complessi
w
φs
rs
z ∗ w = rs (cos(θ + φ) + i sin(θ + φ))
θ + φ
z = r (cos(θ) + i sin(θ)) ; w = s (cos(φ) + i sin(φ))
z ∗ w = rs (cos(θ + φ) + i sin(θ + φ))
i
1θ
z = a+ ib = r (cos(θ) + i sin(θ))
zr
Inverso del numero complesso:
1
z=
1
r
�cos(−θ) + sin(−θ)
�z−1 =
i
1θ
z = a+ ib = r (cos(θ) + i sin(θ))
zr
Inverso del numero complesso:
1
z=
1
r
�cos(−θ) + sin(−θ)
�
z−1
z−1 =
−θ1
r
z = a+ ib = r (cos(θ) + i sin(θ))Inverso del numero complesso
z−1 =1
r
�cos(−θ) + i sin(−θ)
�
z−1 =a
a2 + b2− i
b
a2 + b2
in forma trigonometrica:
in forma algebrica:
Esercizi
Scrivi in forma algebrica:3− 2i
4 + 3i
(2 + i)2
(2 + i)3
Scrivi in forma trigonometrica: 1 + i
(1 + i)2
Potenze di numeri complessi
z = r (cos(θ) + i sin(θ))
z2 = r2�cos(2θ) + i sin(2θ)
�
z3 = r3�cos(3θ) + i sin(3θ)
�
...
zn = rn�cos(nθ) + i sin(nθ)
�
Radici di un numero complesso
Le radici quadrate di un numero complesso z sono tutti quei numeri che elevati al quadrato danno z.
s2 = r
2φ = θ + 2kπ
z = r�cos(θ) + i sin(θ)
�e w = s
�cos(φ) + i sin(φ)
�
w =√z se e solo se w2 = z.
Supponiamo che:
allora se e solo se w2 = s2�cos(2φ) + i sin(2φ)
�= z
k = . . . ,−1, 0, 1, 2, . . .
Radici quadrate dell’unità immaginaria
w2 = s2�cos(2φ) + i sin(2φ)
�= i
se e solo se
s2 = 1
2φ =π
2+ 2kπ, k = · · ·− 1, 0, 1, . . .
cioè se
s = 1 e φ =π
4oppure φ =
π
4+ π
s = r13
φ =θ
3+ k
2
3π
Radici terze di un numero complesso
Le radici terze di un numero complesso z sono tutti quei numeri che elevati al cubo danno z.
z = r�cos(θ) + i sin(θ)
�e w = s
�cos(φ) + i sin(φ)
�Supponiamo che:
allora se e solo se
w = 3√z se e solo se w3 = z
w3 = s3�cos(3φ) + i sin(3φ)
�= z
s3 = r
3φ = θ + 2kπ=⇒
k = . . . ,−1, 0, 1, 2, . . .
Radici cubiche di i:
i
1
3√i = {w1, w2, w3}
w1 = cos(π/6) + i sin(π/6)
w2 = cos(π/6 + 2π/3) + i sin(π/6 + 2π/3)
w1w2
Radici cubiche di i:
i
1
3√i = {w1, w2, w3}
w1 = cos(π/6) + i sin(π/6)
w2 = cos(π/6 + 2π/3) + i sin(π/6 + 2π/3)
w3 = cos(π/6 + 4π/3) + i sin(π/6 + 4π/3)
w1w2
w3
Radici cubiche di i:
i
1
3√i = {w1, w2, w3}
w1 = cos(π/6) + i sin(π/6)
w2 = cos(π/6 + 2π/3) + i sin(π/6 + 2π/3)
w3 = cos(π/6 + 4π/3) + i sin(π/6 + 4π/3)
w1w2
w3
Radici quarte:
i
1
4√z = {w1, w2, w3, w4}
4√−1
w1 =
√2
2+ i
√2
2w2 = −
√2
2+ i
√2
2
w3 = −√2
2− i
√2
2w4 =
√2
2− i
√2
2
=�√2
2+ i
√2
2,−
√2
2+ i
√2
2,−
√2
2− i
√2
2,
√2
2− i
√2
2
�
n√z = {w1, . . . , wn}Se z = r (cos(θ) + i sin(θ)) allora
w1 = r1/n�cos
�θ
n
�+ i sin
�θ
n
��,
w2 = r1/n�cos
�θ
n+
2π
n
�+ i sin
�θ
n+
2π
n
��,
n√z = {w1, . . . , wn}Se z = r (cos(θ) + i sin(θ)) allora
w1 = r1/n�cos
�θ
n
�+ i sin
�θ
n
��,
w2 = r1/n�cos
�θ
n+
2π
n
�+ i sin
�θ
n+
2π
n
��,
w3 = r1/n�cos
�θ
n+ 2
2π
n
�+ i sin
�θ
n+ 2
2π
n
��,
n√z = {w1, . . . , wn}Se z = r (cos(θ) + i sin(θ)) allora
w1 = r1/n�cos
�θ
n
�+ i sin
�θ
n
��,
w2 = r1/n�cos
�θ
n+
2π
n
�+ i sin
�θ
n+
2π
n
��,
w3 = r1/n�cos
�θ
n+ 2
2π
n
�+ i sin
�θ
n+ 2
2π
n
��,
wn = r1/n�cos
�θ
n+ (n− 1)
2π
n
�+ i sin
�θ
n+ (n− 1)
2π
n
��.
......
n√z = {w1, . . . , wn}Se z = r (cos(θ) + i sin(θ)) allora
w1 = r1/n�cos
�θ
n
�+ i sin
�θ
n
��,
w2 = r1/n�cos
�θ
n+
2π
n
�+ i sin
�θ
n+
2π
n
��,
w3 = r1/n�cos
�θ
n+ 2
2π
n
�+ i sin
�θ
n+ 2
2π
n
��,
wn = r1/n�cos
�θ
n+ (n− 1)
2π
n
�+ i sin
�θ
n+ (n− 1)
2π
n
��.
......
wn+1 = r1/n�cos
�θ
n+ 2π
�+ i sin
�θ
n+ 2π
��
n√z = {w1, . . . , wn}Se z = r (cos(θ) + i sin(θ)) allora
w1 = r1/n�cos
�θ
n
�+ i sin
�θ
n
��,
w2 = r1/n�cos
�θ
n+
2π
n
�+ i sin
�θ
n+
2π
n
��,
w3 = r1/n�cos
�θ
n+ 2
2π
n
�+ i sin
�θ
n+ 2
2π
n
��,
wn = r1/n�cos
�θ
n+ (n− 1)
2π
n
�+ i sin
�θ
n+ (n− 1)
2π
n
��.
......
wn+1 = r1/n�cos
�θ
n+ 2π
�+ i sin
�θ
n+ 2π
��
=
Teorema fondamentale dell’algebra
ha sempre
L’equazione
xn + a1xn−1 + a2x
n−2 + · · ·+ an−1x+ an = 0
n soluzioni nel campo complesso.
Karl Friederich Gauss,(Braunschweig, 1777 – Gottinga,1855)
Teorema fondamentale dell’algebra
ha sempre
L’equazione
xn + a1xn−1 + a2x
n−2 + · · ·+ an−1x+ an = 0
n
(Contandole con la loro molteplicità)
soluzioni nel campo complesso.