Prof. Lidia La Mendola - Antonino Di...
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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PALERMO FACOLTÀ DI INGEGNERIA Corso di Laurea in Ingegneria Civile Corso di Tecnica delle Costruzioni Prof. Lidia La Mendola SCHEDE RISOLUZIONE DEI SISTEMI INTELAIATI 2
Transcript of Prof. Lidia La Mendola - Antonino Di...
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26
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ρρ
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+
=+
+=
⋅=
++
++
+
v
ik
ab
EI
ab
ab
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EI
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ba
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EI
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ρρ
ρρ
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102
Le equ
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lob
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n
yikk=
1yi
n
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1
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0E
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0E
quilibrioalla
rotazione
M
=
=
=
∑∑∑
FF
n =
num
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nco
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i; fxik
e fyik=
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e x ed y d
elle
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orm
ale e taglio
) trasmesse d
alle aste i –
k concorren
ti.
xi , yi e M iso
no eventu
ali azioni ap
plicate al nodo
i. Il prim
o p
asso d
a fare èq
uello
di cono
scere il lega
me
tra
le so
llecitazioni
alle estrem
itàd
ell’asta e
gli
spo
stamen
ti ai nodi. P
iùp
recisamen
te per app
licare il
meto
do
defo
rmazio
ni o
ccorre esplicitare
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ni in
funzion
e d
egli spo
stamen
ti (in
cognite). Q
ueste si o
ttengon
o sovrapp
onendo
i due
effetti:
SO
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ALI
SO
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OT
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spostamenti
per la singo
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0P
er l'asta i - k S
Kf
δ⇒
=⋅
+⇒
iS
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Ki
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Vetto
re
sollecitazioni
Matrice di
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Vettore
spostamenti
Vettore sollecitazio
ni
di incastro perfetto
Al no
do i
F
kS
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M i
F
Co
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Co
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ni –C
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di La
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a in Ing
eg
neria
Civile –
Pro
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a Me
ndo
la
103
ikikikkikiki
vv υµυµ
111
213
1415
16xi
2122
232
425
26yi
31
323
33
435
36
ixk41
4243
44
4546
yk5
152
53
54
555
6
k6
16
263
646
566
KK
KK
KK
KK
KK
KK
KK
KK
KK
KK
KK
KK
KK
KK
KK
KK
KK
KK
δδγδδγ
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ikikikkikiki
NVMNVM
=
Per esteso il le
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con KK
=
Matrice d
i rigidezza d
ell’asta
i –k nel sistem
a di riferimento lo
cale()
ix
y,
Le d
eformazio
ni pro
prie dell’asta sono q
uella assia
le e quella flessio
nale e cio
èrisp
ettivamen
te allung
amen
ti o acco
rciamen
ti e curvature. S
ono
trascurabili le deformazioni da taglio
trascurabili le deformazioni da taglio, cio
ègli scorrim
enti.
Nel segu
ito con
L si indica la lu
nghezza d
ell’asta i-k
Matrice sim
metrica
Co
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Co
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Nello
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incastrato la rig
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la forza d
a appli
care in ip
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Calcolo dei coefficienti di rigidezza
Calcolo dei coefficienti di rigidezza
1 1° °C
olonnaC
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xiyi
xkyk
ik
1 e 0
δδ
γδ
δγ
==
==
==
Le sollecitazio
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rmativo
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L
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EA
EA
ρ⋅
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==
∫∫
,R
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EZ
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SIA
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SIA
LE
114
121
3151
61a
ikK
KK
KK
K0
ρ=
−=
==
==
,;
Nel caso
di asta a sezione A
costante
ika
ik
1E
AN
LE
AL
ρ=
==
,
ik
xi1
δ=
y
x
Nik
Nki =
-N
ik
Co
rso d
i Te
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Co
struzio
ni –C
orso
di La
ure
a in Ing
eg
neria
Civile –
Pro
f. Lidia L
a Me
ndo
la
105
2 2° °C
olonnaC
olonna
yixi
xkyk
ik
1 e 0
δδ
γδ
δγ
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==
==
()
()
()
kiik
iki
ikk
ikikik
ik3
2ik
ik
kiik
62ki
kiik
ML
1K
LL
1M
KL
L δρ
γρ
γρ
ρρρ
ρρ
ρρ
ρρ
=+
−+
=
+
=
−+
−=
=
+
=
−+
−=
=
''
''
''
Mik
ed M
ki po
sitivi perch
èorari
In q
uesto
schem
a i tagli ch
e nasco
no non
sono
altro ch
e la RIG
IDE
ZZ
A A
TA
GLIO
RIG
IDE
ZZ
A A
TA
GLIO
ρv,ik .
Vik
Vki =
-Vik
Mik
Mki
ik
y
x
Mik
Mki
yi1
δ=
Per l’equilib
rio n
ascono
i tagli Vike V
ki
()
()
ikki
ikik
kiik
kiv
ik2
2252
ikv
ikki
vik
2M
MV
VL
L
VK
positivo
inq
uanto
conco
rde
con
yV
Kneg
ativoin
quan
tod
isco
ncord
eco
ny
ρρ
ρρ
ρρ
++
+=
−=
==
==
=−
=
'
,
,,
;
Imp
rimen
do
non
nascono
sforzi no
rmali
pertanto
1
24
2K
K0
==
yi1
δ=
Per asta a sezion
e costante:
ikik
kiik
326
22
2
22
52
vik
3
4E
I2
EI
4E
I2
EI
6E
I6
EI
LL
LL
KK
LL
LL
LL
12
EI
KK
L
ρρ
ρρ
ρ
++
++
==
==
==
=−
==
''
,
;
Co
rso d
i Te
cnica d
elle
Co
struzio
ni –C
orso
di Lau
rea
in Inge
gne
ria C
ivile –
Pro
f. Lidia L
a M
end
ola
106
3 3° °C
olonnaC
olonna
xiyi
xkyk
ik
1 e 0
γδ
δδ
δγ
==
==
==
Mik
Mki
iy
xγ
i =1
k
Mik
ed M
ki po
sitivi se orari
33
ikik
MK
ρ=
=
I mo
men
ti che n
ascono
in qu
esto sch
ema son
o:
RIG
IDE
ZZ
A F
LES
SIO
NA
LE A
L NO
DO
RIG
IDE
ZZ
A F
LES
SIO
NA
LE A
L NO
DO
i
e
63
kiik
MK
ρ=
='
Mo
men
to di trasp
orto in kV
ikV
ki
Mik
Mki
Per l’equilib
rio i tagli valg
ono:
ikik
ikki
ikki
2353
ikki
MM
VV
LL
VK
eV
K
ρρ
++
=−
==
==
'
No
n n
ascono
sforzi no
rmali e p
ertanto:13
43
KK
0=
=
Per asta a sezion
e costante:
33
63
ikik
ikik
23
53
2
4E
I2
EI
KK
LL
4E
I2
EI
6E
IL
LK
KL
LL
ρρ
ρρ
==
==+
+=
−=
==
'
'
;;
Co
rso d
i Te
cnica d
elle
Co
struzio
ni –C
orso
di La
ure
a in Ing
eg
neria
Civile –
Pro
f. Lidia L
a Me
ndo
la
107
4 4° °C
olonnaC
olonna
xkxi
yiyk
ik
1 e 0
δδ
δγ
δγ
==
==
==
14
442
43
454
64ik
aik
aik
aik
aik
EA
Np
er Acost.
Ke
Ke
KK
KK
0L
ρρ
ρρ
=−
==
=−
==
==
=
,
,,
,
5 5° °C
olonnaC
olonna
ykxi
yixk
ik
1 e 0
δδ
δγ
δγ
==
==
==
ik
x
yxk
1δ
=N
iki
kN
ki
ik
δyk =
1
Mik
Mki
x
y(
)(
)
()
ikik
ki3
5ik
ikik
ikik
kiik
65
kiki
ik
1M
KL
LL
1M
KL
L
ρρ
δρ
ρρ
ρ
ρρ
ρρ
+=
−+
=−
+=
−=
+=
−+
=−
=
''
'
''
Vik
Vki
Mik
Mki
Per l’equilibrio i ta
gli valgono:
ikki
ikik
kiik
kiv
ik2
2M
MV
VR
IGID
EZ
ZA
AT
AG
LIOL
L
ρρ
ρρ
++
+−
==
==
'
,
2555
vik
vik
Qu
indiK
eK
ρρ
=−
=,
,
1545
Non
nascono
sforzinormalipercui
KK
0=
=
Per asta a sezione costante:
35
6525
552
3
6E
I12
EI
KK
eK
KL
L=
=−
−=
=
Mik
ed Mki negativi p
erché
antiorari
Co
rso d
i Te
cnica d
elle
Co
struzio
ni –C
orso
di Lau
rea
in Inge
gne
ria C
ivile –
Pro
f. Lidia L
a M
end
ola
108
6 6° °C
olonnaC
olonna
γ=
δ=
δ=
γ=
δ=
δ=
xi
yiyk
xk
ki
1 e 0
i
γ=1 kM
kiM
ik
Mik
ed Mki positivi in quanto orari
y
x
Il mom
ento in k è:
66
kiki
MK
==
ρR
IGID
EZ
ZA
FE
LSS
ION
ALE
AL N
OD
O k
e il mom
ento in i èil m
om
ento di trasporto
Per l’equilibrio
36
ikik
MK
==
'ρ
Vik
Mik
Mki
Vki =
-Vik
kiik
ikki
26ik
kiik
56ki
ik
16
46ik
ki
MM
VK
LL
VV
KL
edN
N0
pertantoK
K0
++
==
=
+=
−=
−=
==
==
'
'
ρρ
ρρ
Nel caso di asta a sezion
e costante
36
66ik
ki
kiik
265
62
2E
I4
EI
KK
LL
6E
IK
KL
L
==
==
+=
−=
=
'
'
;ρ
ρ
ρρ
Co
rso d
i Te
cnica d
elle
Co
struzio
ni –C
orso
di La
ure
a in Ing
eg
neria
Civile –
Pro
f. Lidia L
a Me
ndo
la
109
aik
aik
ikik
kiik
vik
vik
ikik
ikik
ikik
ja
ika
ik
ikik
ki
ikv
ikv
ik
kiik
kiik
ikki
00
00
00
LL
00
LL
K0
00
0
00
LL
00
LL
ρρ
ρρ
ρρ
ρρ
ρρ
ρρ
ρρ
ρρ
ρρ
ρρ
ρρ
ρρ
ρρ
ρρ
−
+
+
−
++
−
=
−
+
+
−
−−
++
−
,,
,,
,,
,,
''
''
'
''
''
'
IN D
EF
INIT
IVA
per l’asta j di estrem
i i e k
e nel caso di asta a sezio
ne costante
La m
atrice èsim
metrica:
lmm
lK
K=
32
32
22
j
32
32
22
EA
EA
00
00
LL
12
EI
6E
I1
2E
I6
EI
00
LL
LL
6E
I4
EI
6E
I2
EI
00
LL
LL
KE
AE
A0
00
0L
L1
2E
I6
EI
12
EI
6E
I0
0L
LL
L6
EI
2E
I6
EI
4E
I0
0L
LL
L
−
−
−
=
−
−
−−
−
Co
rso d
i Te
cnica d
elle
Co
struzio
ni –C
orso
di Lau
rea
in Inge
gne
ria C
ivile –
Pro
f. Lidia L
a M
end
ola
110
njxi
j1
xi
njyi
j1
yi
nji
j1
0f
0f
0M
===
=
=
=
∑∑∑
FF
n = num
ero di aste che a
fferiscono al nodo “i”
M i
i
i
kj+
1
j
i
kj+
2
j+2
kj
ix
y
yj+
1
Nik j
Mik j
Vik j
x
Mik j+
2V
ik j+2
Nik j+
2
x
Nik j+
1M
ik j+1
Vik j+
1T
raslazione in direzion
e x
Traslazion
e in direzione y
Rotazione
jxi
jj
iy
i
ji
f
ffM
=
xi
iy
i
=
F F
F
vettore delle sollecitazio
ni trasm
esse dalle aste che
afferiscono al nodo, proiettate
nel sistema di riferim
ento glob
ale
vettore delle eventua
li azioni applicate al nodo
yx
iF
yiF
Le equ
azioni di equilibrio si scrivono nel sistem
a di riferim
ento globale.
In forma com
patta: n
jii
j1 f
==
∑F
con
Equazioni di equilibrio al nodo
Equazioni di equilibrio al nodo “ “i i” ”
M i
M i
Co
rso d
i Te
cnica d
elle
Co
struzio
ni –C
orso
di La
ure
a in Ing
eg
neria
Civile –
Pro
f. Lidia L
a Me
ndo
la
111
Occo
rre quindi proie
ttare
le sollecitazioni d
al siste
ma di riferim
ento locale i (x,y) a quello glob
ale O
(x,y).jiS
Tjλ
jif
La m
atrice gode d
elle proprietàe p
ertanto
conj
λ
Le p
roiezioni delle solle
citazioni dell’asta j a
gli estrem
i i e k sono effettuate attraverso la m
atric
e :
jS
jf
jΛ
jji
ij
Sf
λ=
⋅T
1
jj
λλ
−=
j
xx
xy
0
yx
yy
0
00
1
co
sc
os
co
sc
os
λ
=
jj
ji
ijj
jk
k
0S
f
0S
f
λ
λ
=⋅
jj
xi
ik
jj
yi
ikjj
ikik
fN
xx
yx
0
xy
yy
0f
V
00
1M
M
co
sc
os
co
sc
os
⋅
=
(
)
jj
jik
ikx
i
jj
jik
iky
i
jj
ikik
Nx
xV
yx
f
Nx
yV
yyf
MM
zp
ara
llelo
az
co
sc
os
co
sc
os
+
=
+=
=
jΛ
Co
rso d
i Te
cnica d
elle
Co
struzio
ni –C
orso
di Lau
rea
in Inge
gne
ria C
ivile –
Pro
f. Lidia L
a M
end
ola
112
Ricord
ando che:ji
S+
jiiK
jiδ
0j
if
=jk
Sjk
δ0
j
kf
jikK
jkiK
jkkK
jS
=
jj
jj
0j
j
ii
ik
iiik
SK
Kf
δδ
=+
+
essendo si scrivej
jii
jS
fλ
=⋅
jj
jj
0j
jii
ik
iiik
jf
KK
fλ
δδ
⋅=
++
e si ricavaji
f
jj
jj
0j
jT
TT
ii
ik
iiik
jj
jf
KK
fλ
δλ
δλ
=+
+
vettori contenenti le com
ponenti di spostamento n
el sistem
a di riferimento locale.
Per esprim
ere un vettore nel sistem
a di riferimento locale occo
rre premoltiplicare il vetto
re definito
nel sistema di riferim
ento globale p
er , quindi
jλ
ii
jδ
λδ
=⋅
e analogam
ente per
kδ
Sostituendo tale espressione n
elle equazioni di eq
uilibrio scritte in form
a compatta si ha
:
La relazion
e (1)si può scrivere quind
i:
jj
jT
jT
j0
j
ii
ik
iiik
jj
jj
fK
Kf
λλ
δλ
λδ
=+
+
nj
ii
j1 f
==
∑F
nn
nj
jT
jT
j0
j
ii
ki
iiik
jj
jj
j1
j1
j1
KK
fλ
λδ
λλ
δ=
==
++
=∑
∑∑
F
ècom
une a tutte le aste j
(1)
0j
f
jj
jj
0j
j
kk
ik
ki
kk
SK
Kf
δδ
=+
+
Al nodo i:
Co
rso d
i Te
cnica d
elle
Co
struzio
ni –C
orso
di La
ure
a in Ing
eg
neria
Civile –
Pro
f. Lidia L
a Me
ndo
la
113
q
5
32
31
2x
y
6
41
o
M
SIS
TE
MI D
I RIF
ER
IME
TO
LOC
ALI
Essendo
esi può scrive
re:j
jT
T
iiii
ikik
jj
jj
KK
KK
λλ
λλ
==
nn
nj
jj
oji
ik
iii
ikj
1j
1j
1
KK
fδ
δ=
==
+=
−+
∑∑
∑F
Di questi gruppi di equ
azioni (3 per nodo) se n
e scrivono tanti quan
ti sono i nodi a cui sono associate
le inco
gnite. Si proced
eall’assem
blaggio
che consente di p
ervenire alla m
atrice di rigidezza del sistem
a.Q
uesta operazion
e viene mostrata attraverso un esem
pio
62
5
53
4
32
3
21
2
14
1
ki E
stremi
Asta
45
x
y
x
y
xy
xy
x
y
P
Co
rso d
i Te
cnica d
elle
Co
struzio
ni –C
orso
di Lau
rea
in Inge
gne
ria C
ivile –
Pro
f. Lidia L
a M
end
ola
114
q
5
32
54
31
2x
y
6
41
O
M
Equazioni di equilibrio
Si scriveranno 9 equ
azioni nelle 9 in
cognite
al nodo i :n
nn
joji
ik
iii
ikj
1j
1j
1
KK
fδ
δ=
==
+=
−+
∑∑
∑F
x1y1
1x
2y
22
x3
y3
3,
,,
,,
,,
,δ
δγ
δδ
γδ
δγ
EQ
UA
ZIO
NI
DI
EQ
UILIB
RIO
A
L
NO
DO
1
In forma ulterio
rmente com
patta
La m
atrice (9x9) èsim
metrica in qu
anto =
e =
K(
) 22
1K
() 2T
12
K(
) 33
2K
() 3T
23
K
()
()
02
05
22
ff
+=
()
02
1f0
1F00
1δ
2δ
3δ
() 2
12K
0
() 2
21K
()
()
()
22235
2222
KKK
++(
) 323K
() 3
32K
()
()
34
3333
KK
+0
()(
)1
2
1111
KK
+
1K
Kδ
δ−
=⇒
=F
F
P
EQ
UA
ZIO
NI
DI
EQ
UILIB
RIO
A
L
NO
DO
2
EQ
UA
ZIO
NI
DI
EQ
UILIB
RIO
A
L
NO
DO
3
1δ
2δ
3δ
Co
rso d
i Te
cnica d
elle
Co
struzio
ni –C
orso
di La
ure
a in Ing
eg
neria
Civile –
Pro
f. Lidia L
a Me
ndo
la
115
Matrice d
i rigidezza n
el sistema d
i riferim
ento loc
ale
==
Asta 1
Asta 1
Matrice d
i trasferimento
() 1
xx
xy
00
10
yx
yy
01
00
00
10
01
coscos
coscos
λ−
==
In generale si può dedu
rre la matrice p
er la gen
erica asta i k come se
gue
:
()
()
()
()
()
()
()
()
ki
ki
ki
ki
ki
ki
ki
ki
j
xx
Ly
yL
0x
xy
y0
1y
yL
xx
L0
yy
xx
0L
00
10
0L
λ
−
+−
−+
−
=
−−
−=
−−
−
Matrice d
i rigidezza d
ell’asta 1 nel sistem
a di riferim
ento globale
()
T1λ
0
0(
)T1
λ()
()()
()1
T1
11
KK
=Λ
Λ=
i
() 144
K() 14
1K
() 11
4K
() 11
1K
() 1
λ0
0(
) 1λ
i()
()()
1T1
144
Kλ
λ()
()()
1T1
141
Kλ
λ
()()
()1
T11
14K
λλ
()()
()1
T11
11K
λλ
() 1
44
K(
) 14
1K
() 1
14
K(
) 11
1K
==
14 1
x
y
jλ
j
i
k
xx
y O
Lly
= -(y
k–
yi )
lx=
xk
–x
i
yy
xx
() 144K
() 141K
() 114K
() 111K
() 1K
() 1Λ
() 1λ
() 1λ 0
0
y
Co
rso d
i Te
cnica d
elle
Co
struzio
ni –C
orso
di Lau
rea
in Inge
gne
ria C
ivile –
Pro
f. Lidia L
a M
end
ola
116
22
nn
12
21
22
22
nn
n12
3
22
nn
n2
13
Pa
bP
ab
LL
Pb
Pab
Pa
bv
LL
Pa
Pab
Pa
bv
LL
µµ
=−
=−=
−−
−=
−+
ll
12l
21l
bX
Lb
P0
XP
EA
EA
Lb
aP
PL
Lυ
υ ⋅−
+=
⇒=
==
;
()
()
()
()
()
()
()
()
l
3n
n0
22
20
20
20
2T
1n
20
2l
23
nn
22
n
Pb
L
Pb
LP
abL
ba
fP
abL
ff
fP
aL
fP
aL
Pab
Lb
a
Pa
bL
−−
−
−
==
=Λ
−+
−
Asta 2
Asta 2
Calcoli an
aloghi a qu
elli relativi all’asta (1) per
Vettore d
elle sollecitazio
ni di incastro perfetto
()
()
2
2K
eΛ
21
Pn
Pl
2
21
Pn
ab
µ12
µ21
ab
Pl
XL
L
Si proced
e analo
gamen
te per le aste 3 4 e 5
Co
rso d
i Te
cnica d
elle
Co
struzio
ni –C
orso
di La
ure
a in Ing
eg
neria
Civile –
Pro
f. Lidia L
a Me
ndo
la
117
Sollecitazioni sull
Sollecitazioni sull’ ’asta 2
asta 2di estremi “1
”e “2
”
11
23
K
δδ
δδδ
−
=
=
FS
oluzione:S
oluzione:
Vettore d
egli spostam
enti nel sistema di riferim
ent
o globale
⇒+
==
() 2
Λ
Sollecitazioni sull
Sollecitazioni sull’ ’asta 1
asta 1
+=
() 1S
=
0
Risoluzione del sistem
a
Si calcolano p
er esempio
le sollecitazioni sull’ast
a 2 di estrem
i 1 e 2 e sull’asta 1 di estremi 4 e 1
44K
41K
14
K1
1K
4δ
1δ
001
S 4S 1
2(
)λ
δ
22
()
λδ
11
K1
2K
21K
22K
1δ
2δ
1δ
2δ
1S
2S
1δ
2δ
01f
02f
Co
rso d
i Te
cnica d
elle
Co
struzio
ni –C
orso
di Lau
rea
in Inge
gne
ria C
ivile –
Pro
f. Lidia L
a M
end
ola
118
Per l’asta A
D si p
uò co
nsid
erare la cerniera co
me
ap
parten
ente all’asta e quin
di con
D'
δD
’
DE E’
AC
B
AD
AD
3EI
e0
L'
ρρ
==
Op
pure si può
introdurre u
n no
do in
D’
individu
ando
d
ue aste: A
D’
com
e asta
canonica e D
D’co
me
asta speciale co
n:
00
K0
0
00
0
∞
=∞
Qu
esta second
a scelta èo
pportun
a quando è
necessaria
la con
oscenza d
ella rotazio
ne in
D’.
Il vettore avrà
solo la co
mp
onente rotazion
e diversa d
a zero:
00D'
γD
'δ
=
Per l’asta C
E si p
uò o
perare in
mo
do
analogo
. Si pu
ò introd
urre un
nodo
E’
per cu
i, con
sideran
do p
er l’asta E
E’
l’asse x
parallelo
al bip
endolo si h
a:
0
Considerazioni sui vicoli esterni0
yx
O
yE'
δE
'δ
=e
00
K0
00
00
∞
=
∞
Co
rso d
i Te
cnica d
elle
Co
struzio
ni –C
orso
di La
ure
a in Ing
eg
neria
Civile –
Pro
f. Lidia L
a Me
ndo
la
119
Particolarizzazione del m
etodo matriciale per il caso di nodi ce
Particolarizzazione del m
etodo matriciale per il caso di nodi cerniera
rniera
E
F
CD
AB
y
xG
≡O
Og
ni nodo
presenta du
e incogn
ite :
La matrice di rigid
ezza della sing
ola asta ha dim
ensioni (4
x4).
L’unica rigid
ezza coin
volta èq
uella assiale
-Im
po
nen
do p
er l’asta i-k al no
do i, la so
llecitazione ch
e nasce è
lo sforzo
norm
ale pari a
-Im
po
nendo
al no
do i, non
nasce alcun
a sollecitazione;
xy
eδ
δ
xy
1e
0δ
δ=
=a
ik,ρ
xy
0e
1δ
δ=
=
ki
1x
y
ki
1
i
In p
resenza di un
vincolo
elastico si p
uò pen
sare di fare lo
stesso segu
endo
una d
elle du
e alternative
:
a) si inglo
ba il vinco
lo n
ell’asta calcolando
rigidezza e so
llecitazioni di in
castro ten
endo
conto
della p
resenza d
ella mo
lla;
b) si con
sidera l’asta can
onica e la mo
lla com
e asta u
lteriore.
P
Co
rso d
i Te
cnica d
elle
Co
struzio
ni –C
orso
di Lau
rea
in Inge
gne
ria C
ivile –
Pro
f. Lidia L
a M
end
ola
120
La matrice di rotazion
e è:
xx
xy
yx
yy
coscos
coscos
λ
=
λ0
0λ
=Λ
Lo stesso
si può
dire p
er il nodo
k e quin
di
aik,
ρ0
0a
ik,ρ−
00
00
aik,
ρ−0
0a
ik,ρ
00
00
K=
Py
Px
ab
L
Le sollecitazio
ni dovu
te ai carichi esterni so
no sf
orzi norm
ali e tagli. P
er esemp
io p
er l’asta AB
AB
xx
00
AB
yy
Pb
Pa
LL
ff
Pb
Pa
LL
==
−−
xy
Co
rso d
i Te
cnica d
elle
Co
struzio
ni –C
orso
di La
ure
a in Ing
eg
neria
Civile –
Pro
f. Lidia L
a Me
ndo
la
121
Estensione del m
etodo matriciale al calcolo dei tel
ai spaziali
ikxi
iky
yi
ikz
zii
i
ikx
xiyiik
y
ziik
z
NVVS
MMM
,,,,,
δδδδ
γγγ
==
kiy
M,
kiy
V, ki
Nki
xM
,
kiz
M,
kiz
V,
ikz
M,
ikz
V,
ikN
ikx
M,
iky
M,
iky
V,
Si
definisco
no
le rigid
ezze flession
ali n
ei du
e pia
ni
di
sollecitazion
e xye xz
e le corrispo
nden
ti rigid
ezze a tag
lio .
Si introdu
ce il concetto
di rigidezza to
rsionalet
ρ
z
y
xi
k
Co
rso d
i Te
cnica d
elle
Co
struzio
ni –C
orso
di Lau
rea
in Inge
gne
ria C
ivile –
Pro
f. Lidia L
a M
end
ola
122
aik
,ρ
yvik
,ρ
000
0
00
00
0
S I M M
.
zvik
,ρ
yikρ
000
0
yy
ikik
L
'ρ
ρ+
−
()
jii6
6K
×=
ikN
yikV
zikV
xikM
yikM
zikM
tik
,ρ
zikρ
zz
ikik
L
'ρ
ρ+
()
jii6
6K
×
()
jki
66
K×
()
jik6
6K
×
()
jkk
66
K×
= jK
()
1212
×
Per l’asta j d
i estremi i e k:
()
ikiky
j
ojik
zo
joj
ji
ij
j3
3oj
ikx
jk
iky
j
ikz
v0
00
xx
xy
xz
v0
00
fyx
yy
yz
ff
00
0f
zx
zy
zz
00
0
,,,,,
coscos
cos
coscos
cos
coscos
cos
υλ
λλ
µλ
λµµ
×
=Λ
==
=
ii
jj
kk
SS
S
δδ
δ
=
=
(
)12
x1
()
12x1
2(
)12
x1
()
12x1
Co
rso d
i Te
cnica d
elle
Co
struzio
ni –C
orso
di La
ure
a in Ing
eg
neria
Civile –
Pro
f. Lidia L
a Me
ndo
la
123
Il sistem
a è
a 2
no
di sp
ostab
ili, di
cui u
no
do
vuto
alla presen
za de
lla
fon
dazio
ne.
Qu
esta si
con
side
ra
com
e u
n’asta in
finita
men
te rigid
a
con
nessa
al
telaio
co
n
un
so
lo
no
do
.
Occo
rre riso
lvere
3 sch
em
i. Le in
cog
nite p
er o
gn
i sche
ma
son
oLa m
atrice d
ei coefficien
ti èse
mp
re la stessa pe
r tutti g
li sche
mi, q
uin
di si fa u
na so
la op
erazio
ne d
i in
version
e di m
atrice.
BC
D,
,γ
γγ
BA
BC
ρρ+
BC
'ρ0
CB
CD
ρρ+
BC
'ρ
CD
'ρ
Bγ
Cγ
Dγ
CB
µ−
=
0CD
'ρ
DC
f
+ρρ
BC
µ−
fµ
−
ρf è
la rigid
ezza flessio
na
le de
ll’insie
me
fo
nd
azion
e-terren
o
µf è
il mo
me
nto
di
incastro
do
vuto
alla fo
rza app
licata in
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dazio
ne
Se si vu
ole riso
lvere il telaio
di fig
ura in
cui a
l no
do
D è
con
nessa u
n’asta
rigid
a di fo
nd
azion
e (plin
to) e si
vuo
le utilizza
re il me
tod
o d
ei vinco
li ausilia
ri, occo
rre in
trod
urre d
ue ca
rrelli.
α
INT
ER
AZ
ION
E T
ELA
IO
INT
ER
AZ
ION
E T
ELA
IO
- -F
ON
DA
ZIO
NE
F
ON
DA
ZIO
NE
A BC
D
Co
rso d
i Te
cnica d
elle
Co
struzio
ni –C
orso
di Lau
rea
in Inge
gne
ria C
ivile –
Pro
f. Lidia L
a M
end
ola
124
3
Nk
costante di sottofondom
m
=
���������
12
22
33
f1
2f
f3
ab
Fkad
Fkb
d2
2
22
a2
b2
ab
NF
aF
bkd
ab
kd3
32
32
33
3m
m
==
ρ=
+⇒
ρ=
+⇒
ρ=
+
;;
3m
mm
m⋅
⋅
Calcolo della rigidezza flessionale dell’insiem
e fondazione rigida-terreno.
Il terren
o è
sche
ma
tizzato
com
e u
n le
tto d
i mo
lle in
dip
end
enti.
Imp
on
end
o la ro
tazio
ne u
nitaria
si calco
la il m
om
ento
necessario
pe
r p
rod
urla.
1
a
b
d
σ=
kbσ
=kw
= kb
ρ
F2
kad
kbd
F1
f
ρ
ab
γ =1
f
Co
rso d
i Te
cnica d
elle
Co
struzio
ni –C
orso
di La
ure
a in Ing
eg
neria
Civile –
Pro
f. Lidia L
a Me
ndo
la
125
fP
bµ
=−
⋅
Ris
olu
zio
ne
MV
NR
⇒⇒
⇒⇒
⇒*
γ
CB
CD
CD
CB
CD
CD
NV
N0
VV
N0
αα
αα
−−
=
+−
=
cossin
sincos
BB
AC
BR
VN
=+
*
VD
CD
C
22
1D
2D
D1
V2
FN
V
kdkd
Fa
Fb
22
RF
FF
P
=−
==
=+
−+
*
cossin
; αα
γγ
Per la
risolu
zion
e della
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od
i fissi si calcolan
o i m
om
enti d
i incastro
perfetto
sull’asta B
C e
in fo
nd
azion
e
Ca
lco
los
forz
in
orm
ali
CV
CB
NC
B
VC
D
NC
D α
VB
A
VB
CNB
C =
NC
BR
B *B
CB
CD
NN
⇒,
RD
ND
C =N
CD
VD
C
*
γDF
2
F1R
D *
FV
P
DP
Pb
Co
rso d
i Te
cnica d
elle
Co
struzio
ni –C
orso
di Lau
rea
in Inge
gne
ria C
ivile –
Pro
f. Lidia L
a M
end
ola
126
Spostam
ento impresso in B
BA
BA
B2
BC
CB
CB
BC
CB
2
CD
DC
CD
CD
DC
2
3E
IM
h6
EI
MM
l6E
IM
Mh
==
==
−=
=
==
==
cos
µδ
δµ
µ
δµ
µ
α
CB
B
CD
B
=
=
tanco
s
δδ
αδ
δα
BB
DB
Riso
luzio
ne
MV
NR
R⇒
⇒⇒
⇒⇒�����
,γ
δBδ
CD
δC
B
α
δC
Dδ
CB
h
δ
BC
DA
α
δB
h
l
Co
rso d
i Te
cnica d
elle
Co
struzio
ni –C
orso
di La
ure
a in Ing
eg
neria
Civile –
Pro
f. Lidia L
a Me
ndo
la
127
Effettu
ata la riso
luzio
ne, il ca
lcolo
della reazio
ne in
B vien
e co
nd
otto
allo stesso
mo
do
di p
rima
, ma
con
rife
rimen
to a
lle solle
citazion
i di q
uesto
sche
ma. M
entre in
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vece si d
eve agg
iun
gere
un
’aliq
uo
ta d
ovu
ta
alla reazio
ne
che n
asce p
er effetto
de
ll’abb
assam
ento
δ
D :
BC
CB
DB
CC
B2
6E
IM
Ml
δµ
µ=
=−
==
22
'''
'''
δδ
µ
=⋅
⋅=
⋅⋅
=−
⋅+
⋅
DD
f
Fk
da
Fk
db
ba
FF
++
DD
DD
DD
DD
V1
2R
RR
RF
FF
FF
=+
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+−
++
'''
''''
''
()
2DD
ak
d2
γ⋅
⋅⋅
()
2DD
bk
d2
⋅⋅
⋅γ(
)D
kd
ab
δ⋅⋅
⋅+
Spostam
ento impresso in D
Co
n
i no
di
blo
ccati alla
rota
zion
e, oltre
ai m
om
enti d
i in
castro
perfetto
sull’asta
BC
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n m
om
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castro in
fo
nd
azion
e a cau
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ll’abb
assam
ento
di D
, in q
ua
nto
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ue p
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i fon
dazio
ne a
sinistra
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estra di D
han
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δD
F’
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δD
F'
F''
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F’’
F1
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DR
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R’’’D
D
B
A
C
D
δD
Co
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i Te
cnica d
elle
Co
struzio
ni –C
orso
di Lau
rea
in Inge
gne
ria C
ivile –
Pro
f. Lidia L
a M
end
ola
128
E
A B
H=
0
CG
D
F
q
q
ba
x
y
1
5 98
7
6 3
4
2
f
Asta 1
Asta 1
()
32
32
21
EE
EA
AE
AA
32
EA
L0
0E
AL
00
12
EI
L6
EI
L0
12
EI
L6
EI
LK
K4
EI
L0
6E
IL
2E
IL
KE
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00
KK
12
EI
L6
EI
L
4E
IL
−
−
−
=
=
−
SIS
TE
MI D
I RIF
ER
IME
TO
LOC
ALI
x // x e y // yf
CA
9
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8
CB
7
BA
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5
GC
4
HB
3
FD
2
AE
1
Estrem
okE
stremoi
Asta
()
()
()
()
Ai
AE
Ai
AE
1
xx
yy
01
yy
xx
0L
00
L
λ
−
−
=
−−
−
S I M
M.
()
()
22
AE
AE
Lx
xy
y=
−+
−co
n
Se si vu
ole riso
lvere
il telaio
di fig
ura, in
cui è
presen
te u
na fo
nd
azion
e rigid
a in E
, con
il meto
do
matriciale
si pro
cede co
me
seg
ue.
Co
rso d
i Te
cnica d
elle
Co
struzio
ni –C
orso
di La
ure
a in Ing
eg
neria
Civile –
Pro
f. Lidia L
a Me
ndo
la
129
Asta 3
Asta 3
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
33
33
33
33
2
33
33
33
3
33
33
2
33
EA
EA
00
00
LL
3E
I3
EIa
3E
I3
EIb
0a
ba
ba
ba
b
3E
Ia3
EIa
3E
Iab
0a
ba
ba
bK
EA
00
L3
EI
3E
Ib
ab
ab
3E
Ib
ab
−
−
++
++
−
+
++
=
−
++
+
3
0L
00
10
1L
00
10
0L
00
L0
01
λ−
−
=
=
()
()
()
2
02
2
2
0
qL2
qL8L
0f
0
qL2
qL8L
qL8
−+
=
−
−
S I M M
.
Asta 2
Asta 2
()
33
2
2
32
EA
L0
0E
AL
00
3E
IL
00
3E
IL
3E
IL
00
00
KE
AL
00
3E
IL
3E
IL
3E
IL
−
−
=
−
2λ
S I M M
.
si costruisce an
alogam
ente a q
uan
to fatto
per
l’asta 1
La cerniera appartiene all’asta e p
ertanto
DF
L
q
x
y
DF
DF
ρρ
='
Co
rso d
i Te
cnica d
elle
Co
struzio
ni –C
orso
di Lau
rea
in Inge
gne
ria C
ivile –
Pro
f. Lidia L
a M
end
ola
130
Asta 4
Asta 4
Per le aste 5
, 6, 7
, e 8 si pro
cede an
alogam
ente a
qu
anto fatto p
er lealtreaste p
er la costru
zione d
ella m
atrice di rigidezza
locale e d
ella matrice d
i rotazione. P
er l’asta 7 o
ccorre inoltre costru
ire il vettore d
elle sollecita
zionidi incastro
perfetto
4
L0
01
00
10
L0
01
0L
00
L0
01
λ
=
=
() 4
EA
L0
0E
AL
00
00
00
0
EI
L0
0E
IL
KE
AL
00
00
EI
L
−
−
=
S I M M
.
Asta 9
Asta 9
() 9
EA
L0
0E
AL
00
00
00
0
00
00
KE
AL
00
000
−
=
S I M M
.
Èu
n b
ipen
dolop
er cui la m
atrice di rigidezza h
a i term
ini corrispond
enti alla rigidezza assiale diver
sa da zero
e tutti gli altri
termini nu
lli
9λ
La matrice si co
struisce in m
od
o an
alogo
a qua
nto
fatto p
erle altre aste
Co
rso d
i Te
cnica d
elle
Co
struzio
ni –C
orso
di La
ure
a in Ing
eg
neria
Civile –
Pro
f. Lidia L
a Me
ndo
la
131
Asta f
Asta f
La fond
azion
e che in
teragisce con
il terreno co
stituisce un
’asta con un
solo n
odo p
er cui la matrice d
i rigidezza è
di d
imen
sione (3x3
)
Per co
struirela 1
ªco
lonn
a occo
rreim
prim
ereδ
x =1
e δy=γ=
0 a
l nodo
E.
Avend
o ipotizzato
che il mo
to in
direzion
e x èim
ped
ito risulta:
Per co
struirela 2ªcolo
nna o
ccorre
imp
rimereδx =
γ=0
e δy=
1al no
doE
.
Risulta p
ertanto:
Per co
struirela 3ªcolo
nna o
ccorre
imp
orreγ=
1 e δ
x = δ
y= 0
al nodo
E.
Risulta p
ertanto:
()
()
12
12
xy
22
21
21
12
F0
FR
Rkd
ll
ed
ll
kdM
RR
ll
22
2
==
+=
+
=−
=+
;
.
xy
FF
0e
M0
=∞
==
;.
()(
)
22
22
21
21
21
xy
22
33
21
22
11
21
21
ll
kdF
0F
RR
kdkd
ll
22
2l
l2
22
2kd
MR
lR
lkd
lkd
ll
l3
32
32
33
==
−=
−=
−
=−
=+
=+
;
.
ρf
rigidezza flessionale del sistem
a fondazion
e -terreno
Ell
12
x
y
R1
R2
E
1
M
k1d
yF
2
1
l
l
1
kdl2
kdl1MR
2
R1
E
yF
Co
rso d
i Te
cnica d
elle
Co
struzio
ni –C
orso
di Lau
rea
in Inge
gne
ria C
ivile –
Pro
f. Lidia L
a M
end
ola
132
Per l’asta f risulta quindi
f
10
0
01
0
00
1
λ
=
La matrice di rotazion
e èun
a matrice id
entità:
K
()
()
()
()
()
f2
21
22
1
22
33
21
12
00
kd
K0
kd
ll
ll
2k
dk
d0
ll
ll
23
∞
=+
−
−
+
Co
mp
letata la parte prelim
inare si p
roced
e alla riso
luzion
e del sistem
a d
i 15 equ
azioni n
elle 15 in
cognite (3
per i nod
i A, B
, C
, D, E
) :
EQ
UILIB
RIO
AL N
OD
O A
EQ
UILIB
RIO
AL N
OD
O D
EQ
UILIB
RIO
AL N
OD
O B
EQ
UILIB
RIO
AL N
OD
O C
EQ
UILIB
RIO
AL N
OD
O E
()()
()
()(
)()
()()
()(
)
()
()
()
()
()()
()
()
()
()
()(
)
15
69
51
AA
AA
AB
AC
AD
AE
69
AA
AA
36
7B
BB
B
BC
7
BB
47
8C
CC
C
CD
89
CC
CC
25
DD
DD
8
DD
1f
EE
KK
KK
KK
KK
KK
K0
0K
KK
K0
KK
KK
0K
KK
++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Aδ
Bδ
Cδ
Eδ
Dδ
AF000 0
0
()
07
Bf
()
07
Cf0
()
02
Df
=+
_
δF
Co
rso d
i Te
cnica d
elle
Co
struzio
ni –C
orso
di La
ure
a in Ing
eg
neria
Civile –
Pro
f. Lidia L
a Me
ndo
la
133
con
e i blocchi d
elle matrici co
ntenu
ti nella m
atrice d
i rigidezza co
mp
lessiva sono
ottenuti co
me
Tf
f=
λK
Risolto
il sistema si o
ttiene il vetto
re da cu
i si prelevano di volta in
volta le c
om
po
nen
ti necessarie p
er il calcolo d
elle sollecitazioni n
elle aste .
A00
=
F
F
e anch
e i vettori
TK
K=
λλ
Kδ
=F
+=
DD
KD
FK
FD
KF
FK
Dδ0
FS
DS
()
02
Df
()
02
Ff
noti in
quan
to calcolati n
ella fase che preced
e la risolu
zion
e
A tio
tolodi esem
pio
si calcolano le sollecitazion
i d
ell’asta 2 (A
F)
in cui si è
introdotto
D2
Dδ
=λ
δp
relevato d
al vettore soluzio
ne
Si o
tterràp
er esemp
io
(si fa
un
a ipo
tesi sui
segni d
elle caratteristiche
di sollecitazion
e)
DF
N
DF
FD
Ve
Vn
egativi e tali ch
e
FD
N=
−p
ositivi
DF
FD
DF
VV
ql+
=
positivo
perch
éo
rario e tale ch
e2
DF
FD
DF
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lM
Vl
q2
=−
FD
M
D
F
xy
q
DF
N
FD
N
DF
V
FD
V FD
M
Co
rso d
i Te
cnica d
elle
Co
struzio
ni –C
orso
di Lau
rea
in Inge
gne
ria C
ivile –
Pro
f. Lidia L
a M
end
ola
